【文档说明】湖南省长沙市平高教育集团2024-2025学年高三上学期八月联合考试数学试题 Word版含解析.docx，共(21)页，1.457 MB，由小赞的店铺上传

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2024年平高教育集团八月联合考试高三数学一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的1.若集合2|20,Axmxxmm=++=R中有且只有一个元素，则m值的集合是（）A.1−B.0C.1,1−D.1,0

,1−【答案】D【解析】【分析】分m是否为0两种情况进行讨论，结合二次方程根的情况列式求解即可.【详解】当0m=时，|200Axx===，故0m=符合题意；当0m时，由题意2440m=−=，解得1m=，符合题意，满足题意的m值的集合是1,0,1−.故选：D.2.对于函

数()yfx=，部分x与y的对应关系如下表：x1234567y7458134则()()1ff值为（）A.1B.3C.4D.5【答案】C【解析】【分析】根据表格先求()1f，再求()()1ff的值.【详解】由表格可得，()17f=，所以()()()174fff==故选：C.3.设xR，则“20x

x−”是“11x−”的（）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】分别解出不等式：20xx−，|1|1x−，即可判断出结论．【详解】解：由20xx−解得：01

x；由|1|1x−解得：02x．因为()()0,10,2Ü“20xx−”是“|1|1x−”的充分不必要条件．故选：A．4.已知函数()fx的大致图象如图所示，则其解析式可能为（）A.2()ee−=+xxfxB.ee()2−+=xxfxC.2()ee−=−xxfx

D.ee()2−−=xxfx【答案】A【解析】【分析】根据图象的对称性排除CD；根据函数的最值排除B，从而可得答案.【详解】由图象关于y轴对称可知，函数()fx为偶函数，因为2()xxfxee−=−与()2xxeefx−−=为奇函数，所以排除CD；因为()

12xxxxeefxee−−+==，当且仅当0x=时，等号成立，所以ee()2−+=xxfx在0x=时取得最小值1，由图可知()fx在0x=时取得最大值，故排除B.故选：A【点睛】关键点点睛：根据函数的性质排除不正确的选项是解题关键.5.已知非零向量π(cos2,sin())4

a=+，π(sin(),1)4b=+，若//ab，则sin2=（）A.1−B.1010C.45D.35【答案】D【解析】【分析】利用两个向量平行的性质可得2πsin()cos24+=，化简可得1tan3=，利用齐次式即可得到答案.【详解】因为a，b为非零向量，所以cos20πsi

n()04+，即12ππ42ππ4kk+−+()12Z,Zkk因为//ab，所以2πsin()cos24+=，则π1cos22cos22−+=，即1sin22cos2+=，即2222sincos2si

ncos2cos2sin++=−，由于cos0，所以两边同除2cos，可得：23tan2tan10+−=，解得：tan𝛼=13或tan1=−(舍去),所以222tan33sin211tan519===++.故选：D6.已知随机变量()2~1,N，且()()0P

Pa=，则()140xaxax+−的最小值为（）A.9B.92C.4D.6【答案】B【解析】【分析】利用正态分布密度曲线的对称性可求得2a=，代数式()122xx+−与142xx+−相乘，展开后

利用基本不等式可求得所求代数式的最小值.【详解】因为随机变量()2~1,N，且()()0PPa=，则12a=，可得2a=，()14141142222xxxaxxxxx+=+=++−−−−12412

49145222222xxxxxxxx−−=++++=−−，当且仅当23x=时，等号成立，所以，()140xaxax+−的最小值为92.故选：B.【点睛】易错点睛：利用

基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”

是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.7.已知函数()fx的定义域为(),−+，满足()2fx+是奇函数，且()()11fxfx−=+，若()13f

=，则()()()()()01232025fffff+++++=（）A.-100B.-3C.3D.2025【答案】C【解析】【分析】由()2fx+是奇函数，可得()20f=，可得()()22fxfx+=−−+，结合()()11fxfx−=+，可得()()4fx

fx=+，则函数()fx的周期为4，再由()()11fxfx−=+，可得()()020ff==，()33f=−，()()400ff==，则()()()()12340ffff+++=，所以()()()()()01232025fffff+++++()()()()()()050612314ff

ffff=+++++，即可求得结果.【详解】因为函数()fx的定义域为(),−+，()2fx+是奇函数，所以()fx关于()2,0对称，即()20f=，有()()22fxfx−+=−+，即()()22fxfx+=−−+，因为()()11fxfx−=+，则()()2fxf

x−=+，所以()()2fxfx−=−−+，则()()2=−+fxfx，则()()24fxfx+=−+，则()()4fxfx=+，所以函数()fx的周期为4，因为()()11fxfx−=+，令1x=，则()()020ff==，令2x=，则()()()3113fff=−=−=−，()(

)400ff==，所以()()()()()123430300ffff+++=++−+=，所以()()()()()01232025fffff+++++()()()()()()050612314ffffff=+++++0506033=++

=.故选：C.8.已知1F，2F分别是椭圆()2222:10xyEabab+=的左、右焦点，O是坐标原点，P是椭圆E上一点，1PF与y轴交于点M．若1OPOF=，156aMF=，则椭圆E的离心率为（）A.59或58B.53或104C.34或14D.32或1

2【答案】B【解析】【分析】由1OPOF=得12PFPF⊥，则121PFFOFM∽△△求出|𝑃𝐹1|，结合椭圆定义求出2PF，再由12PFPF⊥可得答案.【详解】由1OPOF=，得1212OPFF=，则12PFPF⊥，则121P

FFOFM∽△△，则11211PFFFOFFM=，即1256PFcac=，解得21125cPFa=，则222211210122255cacPFaPFaaa−=−=−=，因为12PFPF⊥，所以2221212PFPFFF+=，即222222121012455caccaa

−+=，整理得42247285250caca−+=，则427285250ee−+=，解得259e=或258e=，故53e=或104e=．故选：B.【点睛】关键点点睛：解题的关键点是判断出1290FP

F=，利用勾股定理求出答案.二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设0,bacR，则下列不等式中正确是（）A.1122

abB.11ccab−−C.22aabb++D.22acbc【答案】BC【解析】【分析】根据不等式的性质即可求解ABD，利用作差法即可求解C.【详解】由于0,bacR，故110,,baab对于A,1122ab,故A正确，的对于B，由于11,ab故1

1ccab−−，B错误，对于C，()()22,0,0,22baaabababbbb−+−=−++故()()22022baaabbbb−+−=++，C正确，对于D，若0c=时，220acbc==，故D错误，故选;BC10.为庆祝中国共产党成立100周年，某单

位组织开展党史知识竞赛活动．某支部在5道党史题中(有3道选择题和2道填空题)，不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是()A.(

)35PA=B.()310PAB=C.()12PBA=D.()12PBA=【答案】ABC【解析】【分析】第1次抽到选择题的概率为()PA，根据古典概型即可计算；第1次抽到选择题且第2次抽到选择题时概率为()PAB，根据古典古典概型即

可计算；在第1次抽到选择题的条件下，第2次抽到选择题的概率为()PBA，根据条件概率计算公式即可计算；在第1次没有抽到选择题的条件下，第2次抽到选择题的概率为()PBA，根据条件概率计算公式即可计算．【详解】第1次抽到选择题时，则()35P

A=，故A正确；第1次抽到选择题且第2次抽到选择题时，则()1132CC35410PAB==，故B正确；在第1次抽到选择题的条件下，第2次抽到选择题，则()321342PBA==，故C正确；在第1次没有抽到选择题的条件下，第2次抽到选择题，则()233244PBA==，故D错误

﹒故选：ABC．11.如图，在棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，点P在侧面11AADD内运动（包括边界），Q为棱DC中点，则下列说法正确的有（）A.存在点P满足平面//PBD平面11BDCB.当P为线段1DA中点时，

三棱锥111PABD−的外接球体积为2π3C.若()101DPDA=，则PQPB−最小值为32D.若QPDBPA=，则点P的轨迹长为2π9【答案】ABD【解析】【分析】当点P位于1A点时，平面//PBD平面11BDC，可判断A选项；确定三棱锥111PABD−的外接球的球心，进而求

半径，可判断B选项；当点P位于D点时，可判断C选项；利用PAB∽PDQ，建立适当的平面直角坐标系可得到P点的轨迹，进而求轨迹的长，可判断D选项.【详解】对于A，面1//ABD面11BDC，所以当点P位于1A点时，平面//PBD平面11BDC，故A正确；对

于B，当P为线段1DA中点时，11APD与111BAD均为直角三角形，且面11APD⊥面111BAD，三棱锥111PABD−的外接球的球心为11BD的中点，外接球的半径22R=，三棱锥111PABD−的外接球体积为342ππ33VR==，故B正确；对于C，()101DPDA=，点P

在线段1DA上，当点P位于D点时，13222PQPBDQDB−=−=−，故C错误；对于D，若QPDBPA=，PAB与PDQ均为直角三角形，PAB∽PDQ，2PAABPDDQ==，如图，在正方形11ADDA中，以1A为原点，11AD、1A

A分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则()0,1A，()1,1D，设𝑃(𝑥,𝑦)，则()()()22221211xyPAPDxy+−==−+−，整理得：()2244139xy−+−=，点P在面11AADD内的轨迹为以4,13F为圆心，以23为半径

的MN，13DF=，23FN=，在FDN中，1cos2DFDFNFN==，60MFNDFN==，π22π339MN==，故D正确.故选：ABD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知

na为等比数列，nS为数列na的前n项和，122nnaS+=+，则5a的值为__________.【答案】162【解析】【分析】由题意对所给的递推关系式进行赋值，得到关于首项、公比的方程组，求解方程组确定首项和公比的值，然后结合等比数列通项公式

即可求得5a的值.【详解】设等比数列na的公比为()0qq，由122nnaS+=+，得()21132122222,2222aSaaSaa=+=+=+=++，即()1121112222aqaaqaaq=+=++，

解得123aq==，所以451162aaq==.故答案为：16213.已知函数()212log6yaxx=−+在1,2上是减函数，则实数a的取值范围是__________.【答案】(,2−

【解析】【分析】将问题转化为函数26uaxx=−+在1,2上是增函数，且0u在1,2上恒成立，再根据对称轴与区间的关系，可得答案.【详解】因为函数()212log6yaxx=−+在1,2上是减

函数，设()206uaxux=−+，因为12logyu=为减函数，所以26uaxx=−+在1,2上是增函数，因为()206uaxux=−+，其图象的对称轴为直线2ax=，所以12a，且0u

在1,2上恒成立，所以61012aa−+，解得2a，所以实数a的取值范围是(,2−.14.已知()fx是定义在R上的函数，1(1)0f=，且对于任意Rx都有(20)()20fxfx++，(1)()1fxfx++，若()()2gxfxx=−+，

则(10)g=__________.【答案】11【解析】【分析】根据题目所给不等式恒成立，利用赋值法求得()10f的值，由此求得()10g的值.【详解】在(20)()20fxfx++中，令10x=−，得(10)(10)20ff−+，由(1)()1fxfx+

+，得(10)(91)(9)1(8)2(1)919fffff=++++=，又()(1)1fxfx+−，(10)(9)1(8)2(1)111ffff−−−−−−=−，因此(10)(10)2012019ff−+−+=，则有19(10)19f

，即(10)19f=，所以(10)(10)10211gf=−+=.故答案为：11【点睛】关键点点睛：由给定的递推关系，结合“两边夹”原理求出(10)19f=是求解本题的关键.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演

算步骤.15.记ABCV的内角,,ABC的对边分别为,,abc，已知sin3cos2AA+=.（1）求A；（2）若2,2sinsin2abCcB==，求ABCV的面积.【答案】（1）π6（2）312+【解析】【分析】（1）由辅助角公式可得sin()1π3A+=，由于A是三角形的内角，

可得A的范围，继而可得出角A的值.（2）由题意利用正弦定理把边化成角得2sinsin2sinsincosBCCBB=，根据,(0,π)BC，可得2cos2B=，继而求得角B的值，结合（1）的结论，由和差公式可求得sinC，再利用正弦定理可求出b，根据面积公式1si

n2ABCSabC=即可求解.【小问1详解】πsin3cos2sin()23AAA+=+=，πsin()13A+=，(0,π)A，π4π(0,)33A+，ππ32A+=，π6A=.【小问2详解】2sinsin2bCcB=，即2sin2sincosbCcBB=，由正弦定理可得2sins

in2sinsincosBCCBB=，,(0,π)BC，sin0,sin0BC，2cos2B=，π4B=，又πABC++=，π6A=，ππsinsin()sin()64CAB=+=+123262

22224+=+=，由正弦定理得2ππsinsin64b=，即2b=，116231sin222242ABCSabC++===.16.已知定义在R上的函数()fx对任意实数,xy，恒有()()()fxfyfxy+=+，且当0x时，()0

fx.（1）求证()fx为奇函数；（2）试判断()fx在R上的单调性并证明；（3）解关于x不等式()10fax−.【答案】（1）证明见解析（2）单调递增，证明见解析（3）答案见解析【解析】【分析】（1）令yx=−

结合奇函数的定义证明；（2）利用单调性的定义证明；（3）利用函数的单调性解抽象不等式.【小问1详解】证明：取0xy==，得(0)0f=；再取yx=−，得()()(0)0fxfxf+−==，即()()fxfx−=−，∴()fx为R上的奇函数；【小问2详解】()fx为R上的增函数.证明如下：证

明：任意取12,xxR，且12xx，则()()()()2211211fxfxxxfxxfx=−+=−+，∴()()()2121fxfxfxx−=−，∵12xx，∴210xx−，由已知0x时，()0fx得()210f

xx−，∴()()210fxfx−，即()()12fxfx，∴()fx为R上的增函数.【小问3详解】的()10(0)faxf−=，∵()fx为R上的增函数，∴10ax-<，即1ax.当0a=时，解集为空集；当0a时，1xa；当0a

时，1xa，综上所述：当0a=时，解集为空集；当0a时，解集为：1xxa；当0a时，1xxa，17.如图，在四棱锥PABCD−中，,,22ABCDABBCABBCCDPDPC⊥====∥，设,,EFM分列为棱,,ABPCCD的中点．（1）证明

：//EF平面PAM；（2）若PAPM=，求EF与平面PCD所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）16515.【解析】【分析】（1）取PM的中点N，利用线面平行的判定推理即得.（2）取AM的中点H，证明PH⊥平面ABCD，以H为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间

向量求出线面角的正弦值即得.【小问1详解】取PM的中点N，连接,ANNF，则//NFCM，且2NFCM=，又//AECM，且2AECM=，于是//,NFAENFAE=，四边形AEFN为平行四边形，则//EFAN，又AN平面,P

AMEF平面PAM，所以//EF平面PAM.【小问2详解】取AM的中点H，连接PH，由PAPM=，得PHAM⊥，又,CDPDPCM==是CD的中点，则CDPM⊥，又22,//,,ABBCCDABCDABBCM==⊥是CD的中点，则CDAM⊥，而,,AMPMMAMPM=

平面PAM，于是CD⊥平面PAM，PH平面PAM，CDPH⊥，又,,,,PHCDPHAMAMCDMAMCD⊥⊥=平面ABCD，因此PH⊥平面ABCD，不妨设224ABBCCD===，以点H为坐标原点，直线HA、

过点H平行于CD的直线、直线PD分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系，则(1,0,0),(0,0,11),(1,0,0),(1,2,0)APMC−−，则(1,0,11),(0,2,0)PMMC=−−=，由N为PM的中点，得

111311(,0,),(,0,)2222NAN−=−，由（1）知，//EFAN，直线EF与平面PCD所成角即为直线AN与平面PCD所成角，设(,,)nxyz=为平面PCD的一个法向量，则1100nPMxznMCy=−−===，令1z=，得(11,0,1)n=−，设AN与平面P

CD所成角为，则||211165sin|cos,|15||||235nANnANnAN====，所以EF与平面PCD所成角的正弦值为16515.18.已知F为抛物线C：22(0)xpyp=的焦点，点A在C上，1(3,)4FA=−.点P（0，-2），M，N是抛物线上不同两点，直

线PM和直线PN的斜率分别为1k，2k.（1）求C的方程；（2）存在点Q，当直线MN经过点Q时，12123()24kkkk+−=恒成立，请求出满足条件的所有点Q的坐标；（3）对于（2）中的一个点Q，当直线MN经过点Q时，|MN|存在最小值，试求出这个最小值.【答案】（1）24xy=（2）（2，2

）或（4，2）（3）5【解析】【分析】（1）设211(,)2xAxp，进而求出FA的坐标，利用坐标式向量相等的条件求解即可（2）设11(,)Mxy，22(,)Nxy，联立直线MN的方程和抛物线方程，利用韦达定理求出1k，2k，代入12123()24kkkk+−=得22mk=−或24mk=−，利用

点斜式求出Q的坐标；（3）根据（2）结论和条件得MN只能过（2，2）点，此时|MN|有最小值，利用韦达定理和两点间的距离公式求出43242322MNkkkk=−+−+，然后构造函数，通过导函数求出单调区间，利用函数的单调性求出最值【小问1

详解】𝐹(0,𝑝2)，设211(,)2xAxp，则2111(,)(3,)224xpFAxp=−=−，所以1213,1,224xxpp=−=−得：2260pp−−=，解得2p=或32p=−（舍），所

以抛物线C的方程为24xy=①.小问2详解】设直线MN：ykxm=+②，11(,)Mxy，22(,)Nxy，联立①②，得2440xkxm−−=.所以216()0km=+③，124xxk+=，124xxm=−④.111111222ykxmmk

kxxx++++===+，222222222ykxmmkkxxx++++===+，则1212121211(2)2(2)()2(2)xxkmkkkmkmxxxxm+−+=+++=++=，【121212(2)(2)kxmkxm

kkxx++++=2222121212(2)()(2)8(2)4kxxkmxxmkmxxm+++++++==−.因为12123()24kkkk+−=，即：22(2)8(2)32404kmkmmm−++−−=−，即：(22)(42)0kmkm+−+−=，则22mk=−或24mk=−，能满足③式.

则MN：22(2)2ykxkkx=+−=−+，或MN：24(4)2ykxkkx=+−=−+，所以定点Q的坐标为（2，2）或（4，2）；【小问3详解】如MN过（4，2）点，当122kk==时，12123()

24kkkk+−=，但此时M，N重合，则|MN|无最小值，所以MN只能过（2，2）点，此时|MN|有最小值.由（2），在④中，令22mk=−得：124xxk+=，1288xxk=−，222221212121212||()()1||1()4MNxxyyk

xxkxxxx=−+−=+−=++−224321(4)4(88)42322kkkkkkk=+−−=−+−+.令432()2322fkkkkk=−+−+，则322()46622(21)(1)0fkkkkkkk

=−+−=−−+=，.当12k时，()0fk，()fk在1(,)2−上为减函数，当12k时，()0fk，()fk在1(,)2+上为增函数，所以当12k=时，()fk有最小值，|MN|有最小值.min11|

|4112544MN=+−+=.【点睛】关键点睛：第二问的关键：根据一元二次方程根与系数的关系，结合12123()24kkkk+−=恒成立，得到直线MN过定点.19.定义函数()()()23*1123nnnxxxfxxnn=−+−++−N．（1）求曲线

()nyfx=在2x=−处切线斜率；（2）若()22exfxk−对任意xR恒成立，求k的取值范围；（3）讨论函数()nfx的零点个数，并判断()nfx是否有最小值．若()nfx有最小值m﹐证明：1ln2m−；若()nfx没有最小

值，说明理由．（注：2.71828e=…是自然对数的底数）【答案】（1）12n−（2）(,1−−（3）答案见详解【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；（2）通过参变分离以及求解函数的最值得出结果；（3）分成n为奇数，

n为偶数两种情况，并借助导数不等式分别讨论函数()nfx的零点个数及最值.【小问1详解】由()()2111nnnfxxxx−=−+−++−，可得()2112212221212nnnnf−−−=−−−−−=−=−−,所以曲线()nyfx=在2x=−处的切线斜率12n−.【小问2详解】的若()2

2exfxk−对任意xR恒成立，所以()22122eexxxxfxk−−+−=对任意xR恒成立，令212()exxxgx−−+=，则()4()exxxgx−=，由()0gx解得0x，或4x；由()0gx解得04x，故()gx

在(),0−上单调递减，在()0,4上单调递增，在()4,+上单调递减，又(0)1g=−，且当4x时，()0gx，故()gx的最小值为(0)1g=−，故1k−，即k的取值范围是(,1−−.【小问3详解】()(

)1111nfn−=−−−−=−，当1x−时，()()()()()21111111nnnnnxxfxxxxxx−−−−−=−+−++−=−=−−+，因此当n为奇数时，()2311231nnnxxxxfxxnn−=−+−++−−，此时()1,1,1,1.nnxxfxxn

x−−−=−+−=则()0nfx，所以()nfx单调递减.此时()010nf=，()11fxx=−显然有唯一零点，无最小值.当2n时，()2312222212231nnnfnn−=−+−++−−()2123212220321nnnn−=−+−++−

−且当2x时，()()2311231nnnxxxxfxxnn−=−+−++−−()21311321nxxnxxxxnn−=−+−++−−−，由此可知

此时()nfx不存在最小值.从而当n为奇数时，()nfx有唯一零点，无最小值，当2nk=()*kN时，即当n为偶数时，()2311231nnnxxxxfxxnn−=−+−+−+−，此时()1,1,1,1.nnxxfxxnx−−=−+−=，由()0n

fx，解得1x；由()0nfx，解得1x则()nfx在(,1−上单调递减，在()1,+上单调递增，故()nfx的最小值为()()1111111102321nfnnn=−+−++−+−−，即()()10nn

fxf，所以当n为偶数时，()nfx没有零点.设()()()ln101xhxxxx=+−+，()()()22110111xhxxxx=−=+++，所以()hx在()0,+上单调递增，()()00hxh=，即()()ln101xxxx+

+.令1xn=可得11ln1nnn++，当2nk=()*kN时()211111111234212kfkk−=−+−++−−11111112232242kk=++++−+++11111112322kk=++++−+++

111122kkk=++++1222lnlnlnlnln2121kkkkkkkk++++==+−，即()211ln2kmf=−.从而当n为偶数时，()nfx没有零点，存在最小值1ln2m

−.综上所述，当n为奇数时，()nfx有唯一零点，无最小值；当n为偶数时，()nfx没有零点，存在最小值1ln2m−.【点睛】方法点睛：恒成立问题的等价转化法则（1）()0fx恒成立()min()0,0f

xfx恒成立max()0fx；（2）()fxa恒成立()min(),fxafxa恒成立max()fxa；（3）()()fxgx恒成立()()min[]0fxgx−，()()fxgx恒成立()()max[]0fxgx−；（4）()()12

12,,xMxNfxgx恒成立()()12minmaxfxgx．