【文档说明】北京市通州区2022-2023学年高一下学期期末质量检测数学试题 含解析.docx，共(19)页，1.889 MB，由小赞的店铺上传

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通州区2022—2023学年第二学期高一年级期末质量检测数学试卷2023年7月本试卷共4页，150分，考试时长120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小

题列出的四个选项中，选出符合愿目要求的一项．1.已知P是复平面内表示复数()i,abab+R的点，若复数iab+是虚数，则点P（）A.在虚轴上B.不在虚轴上C.在实轴上D.不在实轴上【答案】D【解析】【分析】根据复数的分类和其几何意义即可得到答案.【详解】由题意得0b，则点P不

在实轴上，则C错误，D正确，若0,0ab，则A错误，若0,0ab=，则其在虚轴上，则B错误，故选：D.2.对于任意两个向量a和b，下列命题中正确的是（）A.abab+−B.abab−+C.abab++D.abab−−【答案】C【解析】【分析】根据向量加减法的法则即可得到答案.【详解】

对A，当,0ab，且,ab同方向时，abab+−，故A错误，对B，当,0ab，且,ab反方向时，abab−+，故B错误，对C，根据向量加法的平行四边形法则，得abab++，故C正确，对D，根据向量减法的三角形法则，得aba

b−−，故D错误，故选：C.3.在ABC中，若2cosaBc=．则ABC一定是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理进行边化角，结合两角和与差的正弦公式即可判断三角形形状.【详解】因为2cosaBc

=,由正弦定理得2sincossinsin()sincossincosABCABABBA==+=+，所以sincossincos0ABBA−=,即in0()sAB−=,因为(),0,AB，所以()π,πAB−−，则0AB−=，即A

B=，故ABC为等腰三角形.故选：A.4.从甲、乙、丙、丁四人中随机选取两人，则甲被选中的概率为（）A.14B.13C.12D.34【答案】C【解析】【分析】用列举法得出甲、乙、丙、丁四人中随机选出2人的事件数，从而可求甲被选中的概率.【详解】从甲、乙、丙、丁四人中随

机选出2人，包括：甲乙；甲丙；甲丁；乙丙；乙丁；丙丁6种情况，甲被选中的概率为3162=.故选：C.5.已知一组数据有40个，把它分成六组，第一组到第四组的频数分别为10，5，7，6，第五组的频率是0.20，则第六组的频率是（）A.0.10B.0.1

2C.0.15D.0.18【答案】A【解析】【分析】利用各组的频率之和等于1的性质即得.【详解】由已知条件可得第一组到第四组数据的频率分别为0.25，0.125，0.175，0.15，又这六组的频率之和是1，因此，第六组的频率为10.250.125

0.1750.150.200.10−−−−−=.故选：A.6.某市6月前10天的空气质量指数为35，54，80，86，72，85，58，125，111，58，则这组数据的第70百分位数是（）A.86B.85.5C.85D.84.5【答案】B【解析】【分析】

按照百分位数的定义计算即可.【详解】100.77=，故从小到大排列后，35，54，58，58，72，80，85，86，111，125，取第7个数和8个数的平均数得85.528586=+，故选：B.7.下列命题正确的是（）A.一条线段和不在这条线段上的一点确定一个平面B.两条不平

行的直线确定一个平面C.三角形上不同的三个点确定一个平面D.圆上不同的三个点确定一个平面【答案】D【解析】【分析】根据平面的确定情况即可得到答案.【详解】对A，若这个点位于这条线段所在的直线上，则无法确定一个平面，故A错误，对B，若两条直线异面，则无法确定一个平面，故B错

误；对C，若三点位于一条直线上，则无法确定一个平面，故C错误；对D，圆上不同的三点一定构成一个三角形，则可确定一个平面.故选：D.8.若m，n是两条不同的直线，，是两个不同平面，m，n．则“∥”是“mn∥”的（

）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】由线线、面面关系以及充分、必要条件的概念即可得出结论.【详解】若m，n是两条不同的直线，，是两个不同平面，m，n，则

mn∥或m，n异面；mn∥或平面与平面相交；故“∥”是“mn∥”的既不充分也不必要条件.故选：D.9.设l是直线，，是两个不同平面，则下面命题中正确的是（）A.若l∥，l，则∥B.若l∥，l⊥，则⊥C.若l⊥，⊥，则l

∥D.若l∥，⊥则l⊥【答案】B【解析】【分析】根据线线关系、线面关系以及面面关系逐个判断各选项即可得出答案.【详解】l是直线，，是两个不同平面，若l∥，l，则∥或平面与平面相交，故A错误；若l∥，l⊥，

则⊥，故B正确；若l⊥，⊥，则l∥或l，故C错误；若l∥，⊥则l与平面相交或l或l，故D错误.故选:B.10.如图，在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，点,,EFG分别是棱111,,BCCCCD的中点，点P为底面1111DCBA上在意一点，若直线BP与

平面EFG无公共点，则BP的最小值是（）A.22B.6C.5D.2【答案】B【解析】【分析】由直线BP与平面EFG无公共点，知//BP平面EFG，由平面11//BAC平面EFG，知P点在11AC上，利用三角形11BAC为等边三角形可得BP的最小值.【详解】如图：连接1111

1,,,CDBABCAC，由正方体性质可知：11////BACDGF，因GF平面EFG，1BA平面EFG，所以1//BA平面EFG，同理，1//BCEF,因EF平面EFG，1BC平面EFG，所以1//BC平面EFG，又11BABCB=，1BA平面11BAC，1BC平面11BA

C，所以平面11//BAC平面EFG，因直线BP与平面EFG无公共点，点P底面1111DCBA上在意一点所以P点在11AC上，故BP最小时，11BPAC⊥，因正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，为所以三角形11BAC为边长为22的等边三角形，11BPAC⊥时，22sin6

06BP==，故选：B第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.在复数范围内，方程220x+=的解为___________．【答案】2i【解析】【分析】根据复数的运算性质即可得方程的根.【详解】在复数范围内，由方程220x+=得22

x=−，即2ix=故答案为：2i.12.已知一组数1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数的方差为______.【答案】265【解析】【分析】先根据平均数计算出m的值，再根据方差的计算公式计算出这组数的方差.【详解】依题意1267

4,45mm++++==.所以方差为()()()()()22222114244464745−+−+−+−+−126944955=+++=.故答案为265.【点睛】本小题主要考查平均数和方差的有关计算，考查运算求解能力，属于基础题.13.如图，正方形A

BCD的边长为2，P为CD边上的一个动点，则PAPB的取值范围是__________．【答案】3,4【解析】【分析】以D为原点，建立合适的直角坐标系，设(,0)Px，02x，计算出2(1)3PAPBx=−+，根据二次函数的性质则得到其范围.【详解】以D为原点，DC,DA所在直线分别为

x,y轴,建立如图所示的平面直角坐标系，则()()()0,0,0,2,2,0,(2,2)DACB，设(,0)Px，其中02x，则(,2),(2,2)PAxPBx=−=−，22()(2)2224(1)

3PAPBxxxxx=−−+=−+=−+，当1x=时,PAPB有最小值3，当0x=或2时，PAPB有最大值为4，PAPB的取值范围为3,4.故答案为：3,4.14.在ABC中，已知2BC=，6b=，4c=，则

cosC=___________，ABC的面积为__________．【答案】①.34##0.75②.1574【解析】【分析】空1：直接利用正弦定理,二倍角公式可得；空2：先求出sinC，再由cosC可得a，直接代入三角形面积公式即可.【详解】因为2BC=，所以s

insin2BC=，由正弦定理sinsinbcBC=，得64sinsinBC=，即32sin2sinCC=，则322sincossinCCC=，又(0,),sin0CC，所以3cos4C=；则27sin1cos4CC=−=，又由余弦定理222cos2abc

Cab+−=，即有29200aa−+=，解得4a=或5a=.当4a=时，AC=，又2BC=，则4C=，则2cos2C=，这与3cos4C=矛盾，所以不符合题意，舍去;当5a=时，1157sin24ABCSabC==.故答案为：34；1574.15.如图，在棱长为1的正方体

1111ABCDABCD−中，E为棱BC上的动点且不与B重合，F为线段1AE的中点．给出下列四个命题：①三棱锥1AABE−的体积为12；②11ABAE⊥；③ADF△的面积为定值；④四棱锥11FABBA−是正四棱锥．其中所有正确命题的序号是_________

-．【答案】②③④【解析】【分析】利用锥体体积公式可判断①，利用线面垂直的判定定理可判断②，利用平行线的传递性及三角形面积公式可判断③，利用正棱锥的定义可判断④.的【详解】因为三棱锥1AABE−体积为

11111113266AABEAABEVVABBEAABE−−===，所以三棱锥1AABE−体积的最大值为16，故①错误；连接1AB，则11ABAB⊥，又BC⊥平面11ABBA，1AB平面11ABBA，所以1ABBC⊥，因为1ABBC

B=I，1ABBCI平面1ABE，所以1AB⊥平面1ABE，因为1AE平面1ABE，所以11ABAE⊥，故②正确；设11ABABG=，连接GF，则//,//GFBEBEAD，所以//GFAD，即F和G到AD的距离相等且不变，所以三角形

ADF的面积不变，故③正确；由//GFBC，可知GF⊥平面11ABBA，又11ABBA为正方形，G为其中心，故四棱锥11FABBA−是正四棱锥，故④正确.故答案为：②③④.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.

已知复数()i0,0zxyxy=+满足5z=，且3z−是纯虚数．（1）求z及1z；（2）若()20,zazbab++=R，求a和b的值．【答案】（1）34iz=+，134i2525z=−（2）6a=−，25b

=【解析】【分析】（1）根据复数的类型即可得到关于,xy的方程，解出即可；（2）根据一元二次方程复数根的特点结合韦达定理即可.【小问1详解】33izxy−=−+为纯虚数，3x=，225zxy=+=且0y，4y=，34iz=+，()()()34i1134i34i34i3

4i2525z−===−++−.【小问2详解】由（1）知，方程20zbzc++=的一根为34iz=+，则另一根为：34iz=−，则625zzazzb+=−===，解得：25b=，6a=−.17.已知a，b是同一平面内的两个向量，其中(1,2)a=，且||5b=．（1）若ab

⊥，求b的坐标；（2）若|||2|+=−abab，求a与b夹角．【答案】（1）(2,1)b=−或(2,1)b=−（2）π3【解析】【分析】（1）设(),bxy=，按照向量的坐标表示计算即可；（2）根据数量积与模、夹角的关系转化即可.【小问1详解】设(,)bxy=．因为

ab⊥，(1,2)a=，所以0ab=即20xy+=又因为||5b=，所以225xy+=．解之得2x=时，1y=−或2x=−时，1y=，所以(2,1)b=−或(2,1)b=−．【小问2详解】记a与b夹角为．因|||2|+=−abab，所以22(

)(2)abab+=−，则2222244abababab++=+−，即22abb=，所以221cos2||||2||abbabb===，又因为[0,π]，所以π3=．18.为提高服务质量，某社区居委会进行了居民对社区工作满意度的问卷调查．随机抽取了100户居民的问卷进行评分统

计，评分的频率分布直方图如图所示，数据分组依次为：)60,65，)65,70，)70,75，)75,80，)80,85，85,90．（1）求a的值；（2）求这100户居民问卷评分的中位数；（3）若根据各组的频率的比例采取分层抽样的方法，从评分在)65

,70和)70,75内的居民中共抽取6户居民，查阅他们答卷的情况，再从这6户居民中选取2户进行专项调查，求这2户居民中恰有1户的评分在)65,70内的概率．【答案】（1）0.02（2）77.5（3）815【解析】【分析】（

1）根据已知条件,由频率分布直方图中各组矩形面积之和等于1,即可求出a的值;（2）结合频率分布直方图的性质,以及中位数的定义,即可求解;（3）根据已知条件,结合分层抽样的定义,列举法,以及古典概型的概率公式,即可求解.【小问1详解】为由频率分布直方图可得,(0.0120.040.05

0.06)51a++++=,解得0.02a=;【小问2详解】由频率分布直方图可得,(0.010.020.04)50.350.5++=，(0.010.020.040.06)50.650.5+++=则中位数在[75,80)之间,设为x,则(75)0.060.350.5x−+=,解得7

7.5x=,故中位数为77.5分;【小问3详解】评分在[65,70),[70,75)对应的频率为0.1,0.2,从评分在[65,70)和[70,75)内的居民中共抽取6人,则评分在[65,70)占2人,设为,ab,评分在[

70,75)占4人,,,,ABCD,从6人中选取2人的情况为:,,,,,,,,,,,,,,abaAaBaCaDbAbBbCbDABACADBCBDCD,共15种,其中这2人中恰有1人的评分在)65,70的情况为:,,,,,,,a

AaBaCaDbAbBbCbD,共8种,故这2人中恰有1人的评分在)65,70内的概率为:815.19.已知ABC中，()sinsin2sinsinbBcCabCA+=−．（1）求A的大小；（2）若D是边AB的中点，且2CD=，求22bc+的取值范围，【答案

】（1）3π4A=（2）(2,22)【解析】【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理得到sincosAA=−，即可求出A；（2）设ACD=，利用正弦定理表示出AD，AC，设2()2fbc=+，利用辅助角公式化简，最后结合正弦函数的性质计算可得.【小问

1详解】在ABC中，由正弦定理有sinsinsinabcABC==，sinsinsin(2sin)bBcCAabC+=−，22sinsinsin(sin2sinsin)BCAABC+=−，即2222sinbcabcA+=−，在ABC中，由余弦定理

，有2222cosabcbcA=+−，2sin2cosbcAbcA=−，则sincosAA=−，即tan1A=−，(0,)A，∴34A=.【小问2详解】如图，设ACD=，则π4ADC=−，π0,4，在ACD中,根据正弦定理，有sinsinsinCD

ADACAACDADC==，22sin2cAD==，π22sin4ACb==−，设()2π22sin4sin2cos2sin24fbc=+=−+=+π22sin4=+，又πππ,442+，所以()f在π0

,4上单调递增，所以()()π0,4fff，即()()2,22f，所以22bc+的取值范围为(2,22)．20.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是矩形，PD⊥底面AB

CD，且1PD=，3AB=，2AD=，E，F分别是PC，BD的中点．（1）求证：//EF平面PAD；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求三棱锥GDCE−的体积．条件①：G是棱BC上一点，且2BGGC=；条件②：G是PB的中点；条件③：G是PBC的内心

（内切圆圆心）．注；如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）连接AC，则AC与BD交于F点，推导出//EFPA，由此能证明//EF平面PAD；（2）选择①从而BC⊥平面PDC，再推导出三棱锥GDCE−的

高为23GC=，由此能求出三棱锥GDCE−的体积；选择条件②：推导出,PDBCCDBC⊥⊥，从而BC⊥平面PDC，再推导出三棱锥GDCE−的高为1GE=，由此能求出三棱锥GDCE−的体积；选择条件③：推导出,PDBCCD

BC⊥⊥，从而BC⊥平面PDC，设PBC的内切圆与PC边相切于点H，则GHPC⊥，三棱锥GDCE−的高为GH，由此能求出三棱锥GDCE−的体积.【小问1详解】连接AC，则AC与BD交于F点，在PAC△中，E,F均为中点，//EFPA，EF平面,PADPA平面PAD

，//EF平面PAD.【小问2详解】选择条件①PD⊥平面,ABCDBC平面ABCD，PDBC⊥，又底面ABCD是矩形,CDBC⊥，,,PDCDDPDCD=平面PCD，BC⊥平面PDC，2,BGGCG=是BC的三等分点，且13GCBC=，2,BCAD==三棱锥GDCE−

的高为23GC=，PD⊥底面,ABCDDC底面ABCD，PDDC⊥，在PDA中，E为PC中点，113224CDESPDDC==，三棱锥GDCE−的体积为:11323334318GDCEDC

EVSGC−===△.选择条件②同条件①得到BC⊥平面PDC,G是PB中点，E是PC中点，在PBC中,12GEBC=，三棱锥GDCE−的高为1GE=,PD⊥底面,ABCDDC底面ABCD，PDDC⊥，在PDC△中,

E为PC中点，113224CDESPDDC==，三棱锥GDCE−的体积为：1133133412GDCEDCEVSGE−===△.选择条件③同条件①得到BC⊥平面PDC，设PBC内切圆与PC边相切于点H，则GHPC⊥，BC⊥平面,PCDPC平面,,PCDBCPCGHBC⊥

//，三棱锥GDCE−的高为GH，在RtPDC△中，222PCPDDC=+=，2BC=，2222PBPCBC=+=，1222221(2222)2GH==−++，PD⊥底面,ABCDDC底面ABCD，PDDC⊥，在PDC△中,E为PC中点,11132224CDEPDCSSPDDC==

=，三棱锥GDCE−的体积为：113236(22)33412GDCEDCEVSGH−−==−=.21.如图，在直三棱柱111ABCABC-中，点M在棱AC上，且1//BC平面1ABM，ABBC=

，2AC=，12AA=．（1）求证：M是棱AC的中点；（2）求证：1AC⊥平面1ABM；的（3）在棱1BB上是否存在点N，使得平面1ACN⊥平面11ACCA？如果存在，求出1BNBB的值；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）存在，112BNBB=

【解析】【分析】（1）连接1AB与1AB,两线交于点O,连接OM,利用线面平行的性质可得1OMBC，再由三角形中位线性质即可证;（2）应用线面垂直的性质、判定可得BM⊥平面11ACCA,从而得到1BMAC⊥,根据11ACCAMA=和1190ACCCAC+=

得到11AMAC⊥,再利用线面垂直的判定即可证;（3）当点N为1BB的中点,设1AC的中点为D,连接DM,DN,先证四边形BNDM为平行四边形,从而得到BMDN,进而有DN⊥平面11ACCA,再利用面面垂

直的判定即可证.【小问1详解】连接1AB与1AB,两线交于点O,O为1AB的中点,连接OM,因为1//BC平面1ABM，1BC平面1ABC,平面1ABC平面1ABMOM=，所以1OMBC,又在1ABCV中O为1AB的

中点,所以M是AC的中点;小问2详解】因为1AA⊥底面,ABCBM平面ABC,所以1AABM⊥,又M为棱AC的中点,ABBC=,所以BMAC⊥,因为11,,AAACAAAAC=平面11ACCA,【所以BM⊥平面111,ACCAAC平面11ACCA,所以1BMAC

⊥,因为2AC=,所以1AM=,又12AA=,在Rt1ACC△和Rt1AAM中,11tantan2ACCAMA==,所以11ACCAMA=,即111190ACCCACAMACAC+=+=,所以11AMAC

⊥,又11,,BMAMMBMAM=平面1ABM,所以1AC⊥平面1ABM;【小问3详解】当点N为1BB的中点,即112BNBB=时,平面1ACN⊥平面11AACC证明如下:设1AC的中点为D,连接DM,DN,因为DM分别为1,ACAC的中点

,所以1DMCC∥且112DMCC=,又N为1BB的中点,所以DMBN∥且DMBN=,所以四边形BNDM为平行四边形,故BMDN,由（2）知BM⊥平面11ACCA,所以DN⊥平面11ACCA,又DN平面1ACN,所以平面

1ACN⊥平面11ACCA.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com