【文档说明】云南省陆良县联办高级中学2019-2020学年高二下学期入学考试数学（理）试题含解析【精准解析】.doc，共(21)页，2.364 MB，由小赞的店铺上传

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陆良联中2021届高二下学期入学考试理科数学一、选择题（共12个小题，每小题5分，共60分）1.已知全集UZ=,0,1,2,3A=,22Bxxx==，则AB=（）A.1,3B.0,2C.0,1,3D.2【答案】B【解析】【分析】化简集合B，根据集合的交集运算即可求

解.【详解】220.2Bxxx===,0,1,2,3A={0,2}AB=，故选：B【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于容易题.2.若(1i)2iz+=，则z=（）A.1i−−B.1+i−C.1i−D.1+i【答案】D【

解析】【分析】根据复数运算法则求解即可.【详解】()(2i2i1i1i1i1i1i)()z−===+++−．故选D．【点睛】本题考查复数的商的运算，渗透了数学运算素养．采取运算法则法，利用方程思想解题．3.甲、乙两名篮球运

动员在10场比赛中得分的茎叶图如图所示，则“9x=”是“甲运动员得分平均数大于乙运动员得分平均数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】当9x=时，可得甲的平行数为25.8，乙的平行数为25.6，25.825.6

，可得甲的平行数大于乙的平行数；若甲的平行数大于乙的平行数可得7x，即8x=或9x=，所以“9x=”是甲的平均分大于乙的平均分的充分不必要条件，故选A.4.已知等比数列na中，132a=，公比12q=−，则6a等于（）．A.1B

.12−C.1−D.12【答案】C【解析】分析：直接代入等比数列通项公式即可详解：5613212a=−=−．故选C．点睛：本题考查等比数列通项公式，属基础题.5.函数2()(3)ln()fxxx=−的图象大致是（）A.B.C.D.【答案】A【

解析】【分析】根据函数的奇偶性，结合特殊点的值的情况求解.【详解】已知函数()()()23lnfxxx=−，()()()23lnfxxx−=−−−（）=()()23lnxx−=()fx，即函数是偶函数，故排除选项B，D;由()()23l

n0xx−=，得1x=或3x=，当x>0时，101e，21113ln0feee=−，可排除选项C，故选A.【点睛】本题考查了已知函数表达式，识别函数图象，涉及了函数的零点与函数的奇偶性；从函数的奇偶性可以判断函数图象的

对称性，从特殊点的值的情况，可以排除不符合要求的选项.6.若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆2231xypp+=的一个焦点，则p=A.2B.3C.4D.8【答案】D【解析】【分析】利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p的方程，即可解出p，或者利用检验排除的方法，

如2p=时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A，同样可排除B，C，故选D．【详解】因为抛物线22(0)ypxp=的焦点(,0)2p是椭圆2231xypp+=的一个焦点，所以23()2ppp−

=，解得8p=，故选D．【点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．7.某几何体的三视图如图（虚线刻画的小正方形边长为1）所示，则这个几何体的体积为A.94B.823C.12D.83【答案】D【解析】【分析】先还原几何体，再分割

成两个椎体，最后根据锥体体积公式求结果.【详解】几何体为如图多面体PABCDE，所以体积为1111822(12)221.32323DPABEABCDVV−−+=++=选D.【点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略

(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的

直观图，然后根据条件求解．8.在ABC中，ABACABAC+=−，4AB=，3AC=，则BC在CA方向上的投影是（）A.4B.3C.-4D.-3【答案】D【解析】分析：根据平面向量的数量积可得ABAC⊥，再结合图形求出BC与CA方向上的投影即可.详解：如图所示：ABACABA

C+=−，0ABAC=，ABAC⊥，又4AB=，3AC=，BC在CA方向上的投影是：()cos,coscos3BCBCCABCACBBCACB=−=−=−，故选D.点睛：本题考查了平面向量的数量积以及投影的应用问题，也考查了数形结合思想的应用问题.9.直

线20xy++=分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆()2222xy−+=上，则ABP△面积的取值范围是A.26，B.48，C.232，D.2232，【答案】A【解析】分析：先求出A，B两点坐标得到AB，再计算圆心到直线距离，得到点P到直

线距离范围，由面积公式计算即可详解：直线xy20++=分别与x轴，y轴交于A，B两点()()A2,0,B0,2−−,则AB22=点P在圆22x22y−+=（）上圆心为（2，0），则圆心到直线距离1202222d++==故点P到直线xy20++=的距离2d的范围为2,3

2则22122,62ABPSABdd==故答案选A.点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题．10.设0.2log0.3a=，2log0.3b=，则（）A.0abab+B.0abab+C.0abab+

D.0abab+【答案】B【解析】【分析】根据对数函数的图像与性质，先判断,ab的符号；结合对数的运算及换底公式可判断+ab的符号及abab+的范围，进而可比较大小得解.【详解】由对数函数的图像与性质可知0.2log0.30a=，2log0.30b=，所以0ab

，排除C选项；由对数运算及换底公式可得02.2log0lo0.3g.3ab+=+222log0.3log0log..203+=2222221log0.2log0.4log0log0.3log0.3.2log0.2==+，因为222log0.20,llog0.30,og0.40

，所以0ab+，故排除D；而11lg0.2lg2lg0.4lg0.3lg0.3lg0.3ababab+=+=+=，因为1lg0.3lg0.40−，所以lg0.401lg0.3，则01abab+，所以abab+，综上可知，0abab+，故选：B.【点

睛】本题考查了对数函数图像与性质的综合应用，对数的运算与换底公式的应用，属于中档题.11.设ABCD，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥DABC−体积的最大值为A.123B.183C.243D.543【答案】B【解析】【详解】分析：作

图，D为MO与球的交点，点M为三角形ABC的中心，判断出当DM⊥平面ABC时，三棱锥DABC−体积最大，然后进行计算可得．详解：如图所示，点M为三角形ABC的中心，E为AC中点，当DM⊥平面ABC时，三棱锥DABC−体积最大此时，ODOBR4===23934ABCSAB==AB6=,点M为

三角形ABC的中心2BM233BE==RtOMB中，有22OM2OBBM=−=DMODOM426=+=+=()max19361833DABCV−==故选B.点睛：本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱

锥的体积公式，判断出当DM⊥平面ABC时，三棱锥DABC−体积最大很关键，由M为三角形ABC的重心，计算得到2BM233BE==，再由勾股定理得到OM，进而得到结果，属于较难题型．12.已知双曲线22221(0,0)xyabab−=的左、右

两个焦点分别为12FF、，AB、为其左右顶点,以线段12FF、为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M，且30MAB=,则双曲线的离心率为(）A.212B.213C.193D.192【答案】B【解析】分析：求出双曲线的渐近线方程和圆的方程，求

出交点M，再由两点的斜率公式，得到,ab的关系，再由离心率公式即可得到所求值．详解：双曲线22221(0,0)xyabab−=的渐近线方程为byxa=，以12FF为byxa，=代入圆的方程，可得，22acxaab==+（负的舍去），yb=，即有Mab（，）

，又0Aa−（，），由于30MAB=，则直线AM的斜率为33k=，又2bka=，则2222343baca==−（），即有2237ca=，则离心率21.3cea=＝．故选B．点睛：本题考查双曲线的方程和性质，考查直线和圆的位置关系，直线的斜率

公式，考查离心率的求法，属于基础题．二、填空题（共4个小题，每小题5分，共20分）13.ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc.若π6,2,3bacB===，则ABC的面积为__________.【答案】63【解析】【分析】本题首先

应用余弦定理，建立关于c的方程，应用,ac的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．【详解】由余弦定理得2222cosbacacB=+−，所以

2221(2)2262cccc+−=，即212c=解得23,23cc==−（舍去）所以243ac==，113sin432363.222ABCSacB===【点睛】本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有

误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．14.若,xy满足约束条件250,230,50,xyxyx+−−+−则zxy=+的最大值为__________．【答案】9【解析

】【分析】作出可行域，根据目标函数的几何意义可知当5,4xy==时，max9z=.【详解】不等式组表示的可行域是以(5,4),(1,2),(5,0)ABC为顶点的三角形区域，如下图所示，目标函数zxy=+的最大值必在顶点处取得，易知当5,4xy=

=时，max9z=.【点睛】线性规划问题是高考中常考考点，主要以选择及填空的形式出现，基本题型为给出约束条件求目标函数的最值，主要结合方式有：截距型、斜率型、距离型等.15.已知sincos1+=，cossin0+=，则()sin+_____

_____．【答案】12−【解析】【详解】因为，所以，①因为，所以，②①②得，即，解得，故本题正确答案为16.已知函数()fx是定义在R上的偶函数，若对于0x，都有()()2fxfx+=−且当)0,2x时，()e1xfxx=−，则()()20172018ff−+=_____

_____.【答案】e【解析】【分析】由已知可得函数是以4为周期的周期函数，且()fx是定义在R上的偶函数可得()()()()2017201820172018ffff−+=+，求出()2017f与()2018f的值，可得答案.【详解】解：由已知

函数()fx对于0x，都有()()2fxfx+=−，可得()()()42fxfxfx+=−+=，即当0x时，函数()fx是以4为周期的周期函数，又函数()fx是定义在R上的偶函数，可得()()()()2017201820172018ffff−

+=+，()()201750441(1)1fffe=+==−，()()201850442(2)(0)1ffff=+==−=，故可得：()()()()201720182017201811ffffee−+=+=−+=，故答案为：e.【点

睛】本题主要考查了函数奇偶性与周期性的综合应用，其中根据已知条件得出函数为周期是4的周期函数是解题关键.三、解答题（共6题，共70分）17.为了纪念“一带一路”倡议提出五周年,某城市举办了一场知识竞赛,为了了

解市民对“一带一路”知识的掌握情况,从回收的有效答卷中按青年组和老年组各随机抽取了40份答卷,发现成绩都在50,100内,现将成绩按区间)50,60,)60,70,)70,80,)80,90，90,100进行分组,绘制

成如下的频率分布直方图．青年组中老年组(1)利用直方图估计青年组的中位数和老年组的平均数；(2)从青年组)80,90,90,100的分数段中,按分层抽样的方法随机抽取5份答卷,再从中选出3份答卷对应的市民参加政府组织的座谈会,求选出的3位市民中有2位来自90,100分数段的概率．【答案】

(1)中位数为80，平均数为73.5(2)310【解析】【分析】(1)根据中位数使得左右两边的面积相等,可以确定中位数,再根据在频率分布直方图计算平均数的方法计算即可求出平均数；(2)求邮青年组)80,90,90

,100的分数段中答卷的份数,再求出抽取比例,最后确定两段中分别抽取的答卷份数,记)80,90中的3位市民为a,b,c,90,100中的2位市民为x,y,列出可能出现的情况,最后求出选出的3位市民中有2位来自90,100分数段的概率．【详解】解：(1)由青年

组的频率分布直方图可知,前3个小矩形的面积和为0.5,后2个小矩形的面积和为0.5,所以中位数为80．中老年组成绩的平均数为()550.01650.03750.03850.025950.0051073.5++++=．(2)青年组)80,90,90,100的分数段中答卷分

别为12份,8份,抽取比例为511284=+,所以两段中分别抽取的答卷分别为3份,2份．记)80,90中的3位市民为a,b,c,90,100中的2位市民为x,y,则从中选出3位市民，共有不同选法种数10种：(),,abc,(),,abx,(),,aby,(),

,acx,(),,acy,(),,axy,(),,bcx,(),,bcy,(),,bxy,(),,cxy．其中,有2位来自90,100的有3种：(),,axy,(),,bxy,(),,cxy．所以所求概率310P=．【点睛】本题考查了在频率分布直方图确定中位数和平均数的方法

,考查了分层抽样的方法,考查了古典概型概率的求法.18.在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长.cos2cosbAaB=，3cos3B=.（1）求角A的值；（2）若22c=+，求ABC的面积.【答案】（1）4；（2）22

+.【解析】【分析】（1）根据同角三角函数关系式,可得sinB,由正弦定理代入表达式即可求得A.（2）根据正弦和角公式,可代入求得sinC.再由正弦定理可求得b,结合三角形面积公式即可求得ABC的面积.【详

解】（1）在ABC中,因为3cos3B=,0B所以26sin1cos3BB=−=因为cos2cosbAaB=由正弦定理,得sincos2sincosBAAB=,即63cos2sin33AA=所以cossinAA=若cos0A=,则sin0A=,与2

2sincos1AA+=矛盾,故cos0A于是tan1A=又因为0A所以4A=（2）因为22c=+,4A=,3cos3B=,6sin3B=所以2326236sinsin()sincoscossin23236CABAcBAB+=+=+=+

=由正弦定理sinsinbcBC=,得6(22)sin322sin2366cBbC+===+所以ABC的面积为112sin22(22)22222SbcA==+=+【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的应用,正弦定理解三

角形,三角形面积公式的用法,属于基础题.19.已知数列na是各项都为正数的等比数列，且345122,1aaaaa+=+=.（1）求na的通项公式；（2）若22log3lognnba=+，求数列122nnbb++

的前n项和nS.【答案】(1)123nna−=(2)21nnSn=+【解析】【分析】（1）将已知条件转化为1,aq的形式，解方程求得1,aq，进而求得数列na的通项公式.（2）利用裂项求和法求得数列122nnbb++的前n项和nS.【详解】（1）设数列

na的公比为q，则3452aaa+=，可变形为2341112aqaqaq+=，化简为220qq−−=解得2q=或1q=−（舍去）因为121aa+=，所以1121aa+=，解得113a=所以数列na的通项公式为1112233nnna−−==（2）因

为()12222log3loglog3log21nnnnbaan−=+===−所以1222112(1)1nnbbnnnn++==−++所以1111122122311nnSnnn=−+−++−=++【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式和前n项和公式的基本量计算，考查裂项

相消求和法，属于基础题.20.已知四棱锥PABCD−，12BCCDDA==，//BCAD，90ADC=，点P在底面ABCD上的射影是BD的中点O，2PC=．（1）求证：直线BD⊥平面POC；（2）若1BC=，M、N分别为PO、CD的中点，求直线MN与平面PC

D所成角的正弦值；（3）当四棱锥PABCD−的体积最大时，求二面角BPCD−−的大小．【答案】（1）证明见解析（2）10535（3）23【解析】【分析】（1）连接OC，由题意可得出PO⊥平面ABCD，可得出POBD⊥，由等腰三角形

三线合一的思想可得出POBD⊥，再利用线面垂直的判定定理可得出结论；（2）以点C为坐标原点，CD、CB所在直线分别为x、y轴建立空间直角坐标系，先由2PC=求出点P的坐标，然后利用空间向量法可求出直线MN与平面PCD所成角的正弦值；（3）设2BCa=，则2

OCa=，222POa=−，利用基本不等式求出三棱锥PABCD−体积的最大值，求出a的值，以点C为坐标原点，CD、CB所在直线分别为x、y轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求出二面角BPCD−−的大小．【详解】（1）连接OC，因为PO⊥平面ABCD，BD平面ABCD

，所以POBD⊥，又因为BCCD=，且O为BD的中点，故OCBD⊥．又POOCO=，所以BD⊥平面POC；（2）以C为原点，CD、CB所在直线分别为x、y轴建立直角坐标系如图所示，则()0,0,0C，()0,1,0B，()1,0,0D，11,,22Pm

，于是211244PCm=++=，解得62=m．即116,,222P．所以1,0,02N，116,,224M，160,,24NM=设平面PCD的法向量为(),,nxyz=，()1,0,0CD=，116,,222

CP=，则0011660222nCDxxyznCPxyz====−=++=，令1z=−，得()0,6,1n=−，所以66024105sincos,351661416nNMnNMnNM+−====+

+．故直线MN与平面PCD所成角的正弦值为10535；（3）设2BCa=，则2OCa=，222POa=−，所以()24212422222232PABCDaaVaaaa−+=−=−32222246239aaa++−=，当且仅当2222aa=−即2633a==时取等号，此时

263BCCD==，433BD=，以C为原点，CD、CB所在直线分别为x、y轴建立空间直角坐标系如图所示，则()0,0,0C，26,0,03D，260,,03B，666,,333P．设平面PBC的法

向量为()1111,,nxyz=，260,,03CB=，666,,333CP=，则()1111111126003603nCByyxznCPxyz====−=++=，令11z=−，得()11,0,1n=−，同理，可得平面PCD的一个法向量为的

()20,1,1n=−，所以1212121cos,2==nnnnnn，又因为二面角BPCD−−为钝二面角，所以二面角BPCD−−的大小为23．【点睛】本题考查线面垂直的证明，同时也考查了线面角

和二面角的计算，建立空间直角坐标系是解题的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.21.已知椭圆C:22221(0)xyabab+=的左,右焦点分别为12,FF且椭圆C上的点P3(1,)2到12,FF两点的距离之和为4(1)求椭圆C的方程;(2)若直线y

kxm=+与椭圆C交于,MN两点,O为坐标原点直线,OMON的斜率之积等于14−，试探求△OMN的面积是否为定值，并说明理由【答案】（1）2214xy+=；（2）定值1【解析】【分析】（1）由已知求得2a=，又点3(1,)2P在椭圆上，代入求得21b=，即可得到

椭圆的方程；（2）设1122(,),(,)MxyNxy，联立方程组，求得212122284(1),1414mkmxxxxkk−+=−=++，又由直线,OMON的斜率之积等于14−，化简求得22241mk=

+，再由弦长公式和面积公式，即可求解.【详解】（1）由已知24a=，即2a=，又点3(1,)2P在椭圆上，所以2231214b+=（），所以21b=，故椭圆方程为2214xy+=.（2）设1122(,),(,)Mxy

Nxy，由2214ykxmxy=++=，得2214)84(1)0kmkxm+++−=（，则22226416(14)(1)0mkkm=−+−，即22140km+−，且212122284(1),1414mkmxxxxkk−+=−=++，因为直线,OMON的斜率之积等于

14−，2212121212121212()()()14yykxmkxmkmxxkxxmxxxxxx+++++===−，所以22222222(8)4(1)(14)414(1)4(1)4kmkmkmmkmkmm−+−+

+−==−−−，即22241mk=+，又O到直线MN的距离为21mdk=+，2222121221681()418kMNkxxxxkm+=++−=+−所以22111684(41)122OMNSMNdkk

==+−+=.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的

变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.22.在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为1cossinxy=+=，其中为参数，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）B为圆C上一点，且B点的极

坐标为()000,,,26−，射线OB绕O点逆时针旋转3，得射线OA，其中A也在圆C上，求OAOB+的最大值．【答案】（1）2cos=（2）23【解析】【分析】（1）消去参数，得到圆的直角坐标方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式222,cos,xyx=

+=即得解；（2）设10(,)6A+，利用极坐标的几何意义，002cos2cos3OAOB+=++，利用辅助角公式，即得解.【详解】（1）1cossinxy=+=2222(1)120xyxyx−+=+−=，由222,cos,xyx=+=可得圆C的极坐

标方程2cos=．（2）由题意可知：10(,)6A+，所以0002cos2cos23cos36OAOB+=++=+0,26−，所以0()(,)633+−01cos()(,

1]62+，从而OAOB+最大值为23．【点睛】本题考查了参数方程，极坐标综合，考查了参数方程，极坐标与普通方程的互化，极坐标的几何意义，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.