【文档说明】江苏省镇江市实验高级中学2021-2022学年高二下学期期中数学试题 含解析.docx，共(17)页，1.192 MB，由小赞的店铺上传

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2022年镇江实验高中高二下学期期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知双曲线C：22221(0,0)xyabab−=是一条渐近线与x轴正半轴所成夹角

为3，则C的离心率为（）A.2B.3C.3D.233【答案】A【解析】【分析】首先表示出双曲线的渐近线，依题意可得tan3ba=，再根据离心率公式计算可得；【详解】解：双曲线C：22221(0,0)xyabab−=的渐近线为byxa=，依题意tan33ba=

=，所以双曲线的离心率()2222221132cabbeaaa+===+=+=；故选：A2.已知()sin2fxx=，那么函数在2x=处的瞬时变化率为（）A.1B.0C.2−D.1−【答案】C【解析】【分析】根据简单复合函数的导函数计算规则求出函数的导函数，再代入计算可得；【详解】解：因为()s

in2fxx=，所以()2cos2fxx=，所以2cos2222f==−，所以函数在2x=处的瞬时变化率为2−，故选：C3.用数字0，1，2，3，4组成允许有重复数字的三位数，这样的三位数个

数为（）A.125种B.100种C.64种D.60种【答案】B【解析】【分析】首先确定百位数字，再根据允许有重复数字，即可确定十位与个位的数字，按照分步乘法计数原理计算可得；【详解】解：首先排百位数字，只能是1，2，3，4中的一个，故有

4种排法，因为允许有重复数字，故十位与个位均有5种排法，故一共有455100=种；故选：B4.函数22()fxxx=+的大致图像为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用导数求出()fx的

单调性即可选出答案.【详解】由22()fxxx=+可得()322212()2xfxxxx−=−=，所以由()0fx可得1x，由()0fx可得1x且0x，所以()fx在()(),0,0,1−

上单调递减，在()1,+上单调递增，故选：D5.满足条件23nnAC的自然数n有（）A.7个B.6个C.5个D.4个【答案】C【解析】【分析】根据排列数和组合数公式化简可得8n，再根据3n，且*nN可得答案.【详解】由23nnAC得(1)(2)(1)32

1nnnnn−−−，即8n，又3n，且*nN，所以3,4,5,6,7n=.故选：C.【点睛】本题考查了排列数与组合数公式，属于基础题.6.过点(3,5)A作圆22(2)(3)1xy−+−=的切

线，则切线的方程为（）A.x=3或3x+4y－29=0B.y=3或3x+4y－29=0C.x=3或3x－4y+11=0D.y=3或3x－4y+11=0【答案】C【解析】【分析】设切线的斜率为k，则切线方程为350kxyk--+=，由圆心

到切线的距离等于半径求得k值得切线方程，同时检验斜率不存在的直线是否为切线即可得．【详解】由圆的方程可得圆心坐标为(2,3)，半径为1，当过点(3,5)A的切线斜率存在时，设切线的斜率为k，则切线方程为350kxyk--+=，由点到直线的距离公式可得

2|2335|11kkk−−+=+，解得34k=，所以切线方程为34110xy−+=，当过点(3,5)A切线斜率不存在时，切线方程为3x=，所以过点(3,5)A的圆的切线方程为3x=或34110xy−+=，故选：C．7

.若点A，B分别是函数4exyx=−与33yx=−图象上的动点（其中e是自然对数的底数），则AB的最小值为（）A.71010B.4910C.17D.17【答案】A【解析】的【分析】设()4exfxx=−，()33gxx=−，设与()gx平行且与

()fx相切的直线与()fx切于()000,4exPxx−，由导数的几何意义可求出点P的坐标，则AB的最小值为点P到直线33yx=−的距离【详解】设()4exfxx=−，()33gxx=−，()14exfx=−令()02ln2fxx==−且当2

ln2x−时，()0fx，()fx；当2ln2x−时，()0fx，()fx设与()gx平行且与()fx相切的直线与()fx切于()000,4exPxx−()00014e30xfxx=−=−=．(0,4)P−则P到直线()gx的

距离为77101010d==，即min710()10AB=，故选：A．8.已知321e2a=，eb=，432e3c=（其中e为自然对数的底数），则a，b，c的大小关系为（）A.abcB.bcaC.bacD.bca【答案】B【

解析】【分析】构造函数()()2exfxx=−+，则32321e2fa==，()e1bf==，43432e3fc==，然后利用()fx的单调性可比较出答案.【详解】构造函数()()2exfxx=−+，则32321e2fa==，()e1bf==，43432e3f

c==，因为()()1exfxx=−+，所以当)1+x，时，()0fx，()fx单调递减，因为43132，所以bca，故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，

部分选对得2分，有选错的得0分．9.已知函数3213()ln32fxxxax=−−在区间()0,+上单调递增，则符合条件的实数a的取值可以是（）A.1B.2−C.4−D.5−【答案】CD【解析】【分析】由条件可得2()30a

fxxxx=−−在区间()0,+上恒成立，然后可得323axx−，然后利用导数求出右边的最小值即可.【详解】因函数3213()ln32fxxxax=−−在区间()0,+上单调递增，所以2()30afxxxx=−−在区间()0,+上恒成立，由230axxx−−可得323axx−

，令()323gxxx=−，则()236gxxx=−，由()0gx可得2x，由()0gx可得02x，所以()gx在()02,上单调递减，在()2,+上单调递增，所以()()min24gxg==−所以4a−故选：CD10.3个人坐在一排5个座位上，则下列说

法正确的是（）A.共有60种不同的坐法B.空位不相邻的坐法有72种C.空位相邻的坐法有24种D.两端不是空位的坐法有18种【答案】ACD【解析】【分析】按照题目给定的条件排列即可.【详解】对于A，3554360A

==，故A正确；对于B，相当于先排好这3个人有33A种排法，然后把2个空位插在3个人中间，故有24C种插法，234336CA=，故B错误；对于C，相当于把2个空位先捆绑好，再插到3人中，134324CA=，为故C正确；对于D，相当于先从3人中抽取2人排好后放在两端，第三个人在中间的

3个空位中任取一个，故有123318CA=种，故D正确；故选：ACD.11.弦AB经过抛物线C：()220ypxp=的焦点F，设()11,Axy，()22,Bxy，下列说法正确的是（）A.1AFxp=+B.AB的最小值为2pC.212yyp=−D.以弦AB为直径的圆与准线相切

【答案】BCD【解析】【分析】首先得出焦点坐标和准线方程，然后由抛物线的定义可判断A，设弦AB所在的直线方程为2pxmy=+，然后联立直线与抛物线的方程消元，然后韦达定理可得21212,2yypmyyp+==−，()212122xxmy

yppmp+=++=+，然后可判断BCD.【详解】焦点为,02pF，准线为2px=−，12pAFx=+，故A错误，设弦AB所在的直线方程为2pxmy=+，由222pxpyymx=+=可得2220ypmyp−−=，所以2121

2,2yypmyyp+==−，()212122xxmyyppmp+=++=+，故C正确，所以12222pAppxmBx=+=++，所以当0m=时AB最小，最小值为2p，故B正确，AB的中点的横坐标为21222xxppm+=+，所以以弦AB为直径的圆的圆心到准线的距离为221212222xxp

ppmpmpAB+=++=+=，所以以弦AB为直径的圆与准线相切，故D正确，故选：BCD12.定义在1,5−上的函数()fx的导函数()fx的图象如图所示，函数()fx的部分对应值如下表．下列关于函数()fx的结论正确的是（

）x1−0245()fx13132A.函数()fx的极大值点的个数为2B.函数()fx的单调递增区间为()()1,02,4−C.当1,xt−时，若()fx的最小值为1，则t的最大值为2D.若方程(

)fxa=有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是()1,2【答案】AD【解析】【分析】由导函数图象得原函数的单调性可判断AB；由单调性结合函数值表可判断CD.【详解】由图知函数()fx在区间[-1,0

]上单调递增，在区间[0,2]上单调递减，在区间[2,4]上单调递增，在区间[4,5]上单调递减，所以在0,4xx==处有极大值，故A正确；单调区间不能写成并集，故B错误；因为函数()()21,43ff==，且()fx在区间[2,4]上单调递增，所以存在02,4x使得()02f

x=，易知，当0tx=时，()fx在区间1,t−的最小值为1，故C不正确；由函数值表结合单调性作出函数草图可知D正确.故选：AD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.2022年北京冬奥会期间，小明收藏了4个冰墩墩和5个雪容融且造型不一的吉祥物，现抽取3个吉祥物赠送友人，其中

至少有冰墩墩雪容融各1个，则不同的送法有__________种．【答案】70【解析】【分析】分选1个冰墩墩和2个雪容融与选2个冰墩墩和1个雪容融两种情况讨论，按照分类加法与分步乘法计数原理计算可得；【详解】解：若选1个冰墩墩和2个雪容融，则有1245CC=40

种；若选2个冰墩墩和1个雪容融，则有2145CC=30种；综上可得一共有403070+=种；故答案为：7014.做一个无盖的圆柱形水桶，其体积是27，则当圆柱底面圆半径r=__________时，用料最省．【答案】3【解析】【分析】设圆柱的高

为h，半径为r则由圆柱的体积公式可得227hr=，要使用料最省即求全面积的最小值，而22Srrh=+全面积，令()Sfr=，结合导数可判断函数()fr的单调性，进而可求函数取得最小值时的半径【详解】解：设

圆柱的高为h，半径为r(0)r，则由圆柱的体积公式可得227rh=所以227hr=所以2222275422Srrhrrrrr=+=+=+全面积令()Sfr=，(0)r，则322542(27)()2rfrrrr−=−=，令()0f

r解得3r，令()0fr可得03r，()fr在(0,3)上单调递减，在[3,)+上单调递增，则()fr在3r=时取得极小值即最小值，即当3r=时，圆柱的表面积（不包含上底面）最小，即用料最省；故答案为：315.若函数f（x）=lnx-ax有两个不同的零点，则

实数a的取值范围是______．【答案】10,e【解析】【分析】函数()lnfxxax=−有两个不同的零点，转化为函数lnyx=与函数yax=有两个不同的交点，根据图像求解临界情况，得出结果．【详解】解：函数()lnfxxax

=−有两个不同的零点，即ln0xax−=有两个不同的解，等价于函数lnyx=与函数yax=的图像有两个不同的交点，当直线yax=与曲线lnyx=相切时，只有一个交点，此时为临界情况，设切点为00(,)xy，则可得00000l

n1yxyaxax===，解得0011xeyae===，根据图像可以得到，当10ae时，直线yax=与曲线lnyx=有两个交点，故答案是10ae．【点睛】本题考查了函数的零点问题，函数的零点问题可以转化为两个函数的交点问题

，然后通过对临界情况的分析，得出参数的取值范围．16.如图，过原点O的直线L与圆O有一个交点()3,4A，已知B，C为圆O上相异两点且满足85BCOA=，则直线BC的方程为__________．【答案】453yx=【解析】【分析】由条件可得4,83BC

kBC==，圆O的半径为5，然后求出圆心O到直线BC的距离，然后可求出答案.【详解】因为()3,4A，所以4,53OAkOA==，即圆O的半径为5，因为85BCOA=，所以4,83BCkBC==，设直线BC的方

程为43yxm=+，即4330xym−+=，因为8BC=，圆O的半径为5，所以圆心O到直线BC的距离为228532−=，所以233343m=+，解得5m=，即直线BC的方程为453yx=，故答案为：453yx=四、解答题（本大题共

6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知()2exxafx−=，且()fx在4x=处取得极值.（1）求()fx的解析式；（2）求()fx在4,5x−上的最小值.【答案】（1）()28exxfx−=（2）24e−【解析】【分析】（1）利

用()'40f=求得a，由此求得()fx的解析式.（2）利用导数求得()fx在区间4,5−上的最小值.【小问1详解】()2'2exxxafx−+=，()2'4244408eafa−+===，此时()()()()22'24e8e8,2exxxxfxx

xxfxx−+−−+==−=，所以()fx在区间()()()()',2,4,,0,fxfx−−+递减；在区间()()()'2,4,0,fxfx−递增，所以()fx在4x=处取得极值符合题意.所以()28e

xxfx−=.【小问2详解】由（1）知()fx在区间()()()4,2,4,5,fx−−递减；在区间()()2,4,fx−递增，()()251724e,5eff−=−=，所以()fx在区间4,5−

上的最小值为24e−.18.已知圆C：x2+y2-2x+4y-4=0,问是否存在斜率是1的直线l，使l被圆C截得的弦AB，以AB为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由.【答案】x-y-4=0或x-y+1="0."【解

析】【详解】试题分析：假设存在，并设出直线方程y＝x＋b，然后代入圆的方程得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理得到根的关系，最后利用OA⊥OB即x1x2＋y1y2＝0，得到参数b的方程求解即可．试题解析：设直线l的方程为y＝x＋b①圆C：x2＋y2－

2x＋4y－4＝0．②联立①②消去y，得2x2＋2（b＋1）x＋b2＋4b－4＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则有③因为以AB为直径的圆经过原点，所以OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝0，而y1y2＝（x1＋b）（x2＋b

）＝x1x2＋b（x1＋x2）＋b2，所以2x1x2＋b（x1＋x2）＋b2＝0，把③代入：b2＋4b－4－b（b＋1）＋b2＝0，即b2＋3b－4＝0，解得b＝1或b＝－4，故直线l存在，方程是x－y＋1＝0，

或x－y－4＝0．考点：存在性问题．【方法点睛】存在性问题，首先应假设存在，然后去求解．对本题来说具体是：设出直线方程y＝x＋b，然后分析几何性质得到OA⊥OB即得到关于参数b的方程求解即可．解该类问题

最容易出错的的地方是，忽视对参数范围的考虑，即直线方程与圆的方程联立求解后应得到，即求出的b值必须满足b的范围，否则无解．19.在①第5项的系数与第3项的系数之比是14:3，②第2项与倒数第3项的二项式系数之和为55，③221CC10nnn−+

−=这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并解答．问题：已知在1nxx+的展开式中，__________．（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中含2x的项．【答案】（1）256252Tx−=；（2）2345Tx=.【解析】【分析】（1）不管选哪

个条件，都可以求出10n=，然后可求出答案；（2）写出展开式的通项，然后可得答案.【小问1详解】若选①，第5项的系数与第3项的系数之比是14:3，则42:14:3nnCC=，求得10n=，当二项式系数rnC最大时，=5r，即第六项的二项式系数最大，此项为525

556101·()?252TCxxx−==．若选②，第2项与倒数第3项的二项式系数之和为55，则212(1)5522nnnnnnnCCn−−++=+==，10n=，当二项式系数rnC最大时，=5r，即第六项的二项式系数最大，此项为525556101·()?2

52TCxxx−==．若选③，221(1)?(1)1022nnnnnnnCC−++−−==−，10n=，当二项式系数rnC最大时，=5r，即第六项的二项式系数最大，此项为525556101·()?252TCxxx−==．小问2详解】该二项式的通

项公式为10113520101·()?rrrrrrTCxxxC−−+==，令3522r−=，求得2r=，故展开式中含2x的项为2345Tx=．20.如图，在几何体SABCD中，AD⊥平面SCD，BC⊥平面SCD，2ADCD==，1BC=，又2SD=，120SDC=．（1）求SC与平

面SAB所成角的正弦值；（2）求平面SAD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）1020（2）105【解析】【【详解】试题分析：（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用公式sincos,SCn

=即可；（2）利用坐标，求两个半平面所在平面的法向量，根据公式cos,nmnmnm=求解即可.试题解析：(1)如图，过点D作DC的垂线交SC于E，以D为原点，分别以,,DCDEDA为,,xyz轴建立空间直角坐标系.∵0120ADC=，∴030ADE=，又2SD=，则

点S到y轴的距离为1，到x轴的距离为3则有()0,0,0D，()1,3,0S−，()0,0,2A，()2,0,0C，()2,0,1B.（1）设平面SAB的法向量为(),,nxyz=，∵()2,0,1AB=−，()1,3,2AS=−−则有20320xz

xyz−=−+−=，取3x=，得()3,5,23n=，又()3,3,0SC=−，设SC与平面SAB所成角为，则2310sincos,2023210SCn===，故SC与平面SAB所成角正

弦值为1020.（2）设平面SAD的法向量为(),,mxyz=，∵()0,0,-2AD=，()1,3,2AS=−−，则有20320zxyz−=−+−=，取3x=，得()3,1,0m=，∴810cos

,52102nmnmnm===，的故平面SAD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值为105.点睛：本题考查线面角的求法，以及二面角的余弦的求法，属于中档题.对于能够建立空间直角坐标系的问题，要优先考虑坐

标法来处理，对于第一问，要先求面的一个法向量，然后利用两个向量的夹角公式处理，利用求得的法向量来求二面角的余弦值后，要注意角是锐角还是钝角.21已知aR，函数()ln1afxxx=+−．（Ⅰ）当1a=

时，求曲线()yfx=在点(2,(2))f处的切线方程．（Ⅱ）求()fx在区间(0,e]上的最小值．【答案】（1）44ln240xy−+−=．（2）见解析.【解析】【详解】试题分析：（1）求出f'（x），得切线的斜率()2f，又曲线的切点为（2，f（2）），由点斜式可写出切线方程；（2）借助于导

数，将函数()ln1afxxx=+−的最值问题转化为导函数进行研究．分0a，0ea，ea三种情况讨论函数的最值情况.试题解析：（1）当1a=时，()1ln1fxxx=+−，()0,x+，∴()22111xfxxxx−=−+=，()0,x+，∴()124f=，即曲线()yfx

=在点()()2,2f处的切线斜率为14．又∵()1222fln=−，∴曲线()yfx=在点()()2,2f处的切线方程为()11ln2224yx−−=−，即44ln240xy−+−=．.（2）∵()ln1a

fxxx=+−，∴()221axafxxxx−=−+=．令()0fx=，得xa=．①若0a，则()0fx，()fx在区间(0,e]上单调递增，此时函数()fx无最小值．②若0ea，当()0,xa时，()0fx，函数()fx在区间()0,a上单调递减

，当(,e]xa时，()0fx，函数()fx在区间(,e]a上单调递增，所以当xa=时，函数()fx取得最小值lna．③当ea，则当(0,e]x时，()0fx，函数()fx在区间(0,e]上单调递减，

所以当ex=时，函数()fx取得最小值ea．综上所述，当0a时，函数()fx在区间(0,e]上无最小值．当0ea时，函数()fx在区间(0,e]上的最小值为lna．当ea时，函数()fx在区间(0,e

]上的最小值为ea．22.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：()222210xyabab+=的离心率为12，且过点()2,3．（1）求椭圆C的方程；（2）设A为椭圆C的左顶点，过点()3,0R作与x轴不重合的直线l交椭圆C于P，Q两点，连接AP，AQ分别交直线163x=于M，N两点，若直线M

R，NR的斜率分别为1k，2k，试问12kk是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）2211612xy+=（2）是定值，定值为127−【解析】【分析】（1）根据已知条件求得,ab，由此求得椭圆方程.（2）设出直线l的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，求得,MN

两点的坐标，由此计算出12127kk=−为定值.【小问1详解】由题意知2222212449123caaabbabc==+===+，∴椭圆C的方程为：2211612xy+=.

【小问2详解】设直线l的方程为3xmy=+，()11,Pxy，()22,Qxy，()4,0A−，()22223334483448xmymyyxy=+++=+=，∴()223418210mymy++−=，1212221821

,3434myyyymm−−+==++，直线AP方程为：()1144yyxx=++，令163x=得()112834yyx=+，∴()112816,334yMx+，同理()222816,334yNx

+，∴()()()()()()121212121212122828161633347374477yyyyyykkxxyxxmymy===++++++()22212122221162134211

87497493434mmmyymyymmmm−−+==−−+++++++