【文档说明】吉林省名校联盟2024-2025学年高二上学期9月联考数学试题 Word版含解析.docx，共(15)页，857.260 KB，由小赞的店铺上传

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高二数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将

本试卷和答题卡一并交回.4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一章到第二章2.3.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线2430xy−+=的斜率为（）A.12B.2C.−

2D.12−【答案】A【解析】【分析】由直线()00AxByCB++=的斜率为AB−，求解即可.【详解】直线2430xy−+=的斜率为2142k=−=−．故选：A.2.若点()1,2P−到直线l：3yxa=−的距离为

10，则a=（）A.5B.15−C.5或15−D.5−或15【答案】C【解析】【分析】由点到直线的距离公式求解即可.【详解】由题意可得：点P到直线l的距离22|32||5|10103(1)aad−−−+===+−，解得5a=或15

−．故选：C.3.已知空间向量()23,,4akk=−−，()2,1,1b=，且ab⊥，则k=（）A.6−B.−8C.2D.10−【答案】C【解析】【分析】由空间向量垂直的坐标表示计算即可；【详解】因为ab⊥，所以()()2321410

abkk=−++−=，解得2k=．故选：C.4.已知直线l的斜率()1,3k−，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A.π4π,33B.3π04，C.π3π0,π64，D.π3π0,π34，【答案】D【解析】

【分析】根据直线倾斜角与斜率的变化关系，可得答案.【详解】设直线l的倾斜角为α，则tank=．因为()1,3k−，且[0,π)，所以π3π[0,)(,π)34．故选：D5.在空间四边形OABC中，OAa=，OBb

=，OCc=，且2AMMC=，2ONNB=，则MN=（）A.122333abc−++B.122333abc−+−C.212333abc−+−D.122333abc−−+【答案】B【解析】【分析】借助空间向量的线性运算法则计算

即可得.【详解】()222122333333MNONOMOBOAAMOBOAACabc=−=−+=−+=−+−．故选：B.6.空间内有三点()()()3,1,4,2,1,1,1,2,2PEF−，则点P到直线EF的距离为（）A.14B.32C.3D.23【答

案】A【解析】【分析】求出()1,1,1EF=−，得到直线EF的一个单位方向向量，利用点到直线距离公式得到答案.【详解】因为()1,1,1EF=−，所以直线EF的一个单位方向向量为()31,1,13u=−．因为()1,0,5PE=−，所以点P到直线EF的距离为()222612

14PEPEu−=−=．故选：A7.在如图所示多面体中，PA⊥平面ABC，平面QBC⊥平面ABC，且22ABBCACPA====，5QBQC==，则异面直线BP与CQ所成角的余弦值为（）A.15B.14C.13D.12【答案】A【解析】【分析】将该

多面体补成底面边长为2，高为2的正三棱柱，并建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用异面直线夹角公式得到答案.【详解】如图，将该多面体补成底面边长为2，高为2的正三棱柱，并建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()0,3,1,1,0,0,021,0,0,,0,

CQBP−，所以()1,3,1BP=−，()1,0,2CQ=，的所以()()1,3,11,0,21cos,513114BPCQBPCQBPCQ−===+++．故选：A8.已知二面角l−−的

棱l上有A，B两点，直线BD，AC分别在平面α，β内，且它们都垂直于l．若5AB=，3AC=，6BD=，213CD=，则平面与的夹角为（）A.30B.60C.120D.135【答案】B【解析】【分析】由CDCAABBD

=++，两边同时平方代入可得1cos,2CABD=−，即可求出平面与的夹角.【详解】因为CDCAABBD=++，所以2222||||||||222CDCAABBDCAABABBDCABD=++++

+.因为0CAAB=，0ABBD=，5AB=，3AC=，6BD=，213CD=，所以()2222213536236cos,CABD=+++，所以1cos,2CABD=−．因为cos,0,180CABD，所以cos,120CABD=，故平面与夹

角为18012600−=．故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知直线l过点()0,2，

()3,1，则（）A.直线l倾斜角为150°B.直线l的两点式方程为132103yx−−=−−C.直线l的一个方向向量为()1,3−D.直线l的截距式方程为1223xy+=【答案】ABD【解析】【分析】先求出直线l的斜率，由直线的倾斜角和斜率及直线的方向向量间的关系可

判断A，C；由直线的两点式、截距式可判断B，D.【详解】因为直线l过点()0,2，()3,1，所以直线l的斜率为123330−=−−，倾斜角为150°，故A正确，C不正确；直线l的两点式方程为132103yx−−=−

−，整理易得截距式方程为1223xy+=，所以B，D正确．故选：ABD.10.对于直线l：()1230mxym−+−+=，下列选项正确的是（）A直线l恒过点()2,1−B.当2m=时，直线l与两坐标轴

围成的三角形的面积为12C.若直线l不经过第二象限，则31,2mD.坐标原点到直线l的距离的最大值为5【答案】ABD【解析】【分析】求出l过的定点判断A，当2m=时，求出直线l的横纵截距计算判断B，根据m的取值情况判断的.C；求出原点到定点()

2,1−的距离即判断D.【详解】()1230mxym−+−+=可变形为()230xmxy−−++=，由20,30,xxy−=−++=得2,1,xy==−所以直线l恒过点()2,1−，故A正确；当2m=时，直线l在x，y轴上的截距分别为1，1，所

以直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为12，故B正确；当1m=时，直线l的方程为1y=−，直线l也不经过第二象限，故C不正确；因为直线l过定点()2,1−，所以坐标原点到直线l的距离的最大值为22(20)(10)5−+−−=，故D正确．故选：ABD11.已知正三棱柱11

1ABCABC−的所有棱长都为2，P是空间中的一动点，下列选项正确的是（）A.若1APABAA=+，则CP的最小值为2B.若1APABAA=+，则三棱锥P-ABC的体积为定值C.若1APABAC=+，则直线AP与平面ABC所成角的正弦值的最大值为277D.若1111236APAAABA

C=++，则平面PBC截三棱柱111ABCABC−所得的截面面积为7【答案】BCD【解析】【分析】如图，建立空间直角坐标系，由1APABAA=+，求出()33,,2P−，由空间中两点的距离公式和二次函数的性质可判断A；由点

到平面的距离公式和三棱锥的体积公式可判断B；由线面角的向量公式和二次函数的性质可判断C；先求出点P，再求出平面PBC截三棱柱111ABCABC−所得的截面，即可判断D.【详解】如图，建立空间直角坐标系，则()3,0,0A，B（0，1，0）

，C（0，-1，0），()13,0,2A，()10,1,2B，()10,1,2C−．因为1APABAA=+，所以()()()3,1,00,0,23,,2AP=−+=−，所以()33,,2P−，所以()()()2

222231142143CP=−+++=−++．当12=，0=时，min3CP=，所以A错误；因为()()()13,1,00,0,23,,2APABAA=+=−+=−，所以()33,,2P−，因为平面ABC的法向量为()0,0,1n=，所以点P到平面ABC的

距离为221nABdn===为定值，即三棱锥P-ABC的体积为定值，所以B正确；因为()()()13,1,03,1,233,1,2APABAC=+=−+−−=−−−，平面ABC的一个法向量为()0,0,

1m=，设AP与平面ABC所成的角为θ，所以2sincos,21APmAPmAPm===++，2221sin21112==++++，当2=−时，()max27sin7=，所以C正确；因为111131,,123626APAAA

BAC=++=−，所以31,,126P，由图可知平面PBC截三棱柱111ABCABC−所得的截面为1ABC，112772==ABCS△，所以D正确．故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知直线l垂直于

直线310xy−−=，且过点()3,2P，则直线l的倾斜角为________，在x轴上的截距为________．【答案】①.2π3②.533【解析】【分析】先根据直线的一般方程得出斜率，最后应用垂直得出斜率再求出倾斜角，点斜式最后求出截距即可.【详解】因为直线31

0xy−−=的斜率为33，所以直线l的斜率为3−，所以直线l的倾斜角为2π3．因为直线l过点()3,2P，所以直线l的方程为()33235yxx=−−+=−+，令0y=得出533x=,故直线l在x轴上的截距为533．故答案为：2π3；533.13.已知向

量()2,1,1a=−，()1,,1bx=，()1,2,1c=−−，当ab⊥时，向量b在向量c上的投影向量为________．（用坐标表示）【答案】()1,2,1−【解析】【分析】先根据向量垂直得到方程，求出3x=，再利用投影向量公式求出答案.【详解】因为ab⊥，所以210abx=−+=，所

以3x=．因为()1,3,1b=，所以b在c上投影向量为()1,2,1||||bccccc=−=−．故答案为：()1,2,1−14.已知点()()1,4,6,3PQ，直线l：30xy+−=，M为直线l上一动点，则||||MPMQ+的最小值为________．【答案】52【解析】【分析

】先求出P关于l的对称点为()01,2P−，进而得到||||MPMQ+的最小值为的()()220613252PQ=++−=【详解】设P关于l的对称点为()000,Pxy，则00001430,2241,1xyyx++

+−=−=−解得0012,xy=−=，，即()01,2P−．因为00||||||||||MPMQMPMQPQ+=+≥，所以||||MPMQ+的最小值为()()220613252PQ=++−=．故答

案为：52四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知直线1:220laxy−+=，直线()2:120lxay−−−=．（1）若12ll//，求1l，2l之间的距离；（2）若12

ll⊥，求1l，2l及x轴围成的三角形的面积．【答案】（1）322（2）154．【解析】【分析】（1）由12ll//求出a的值，再由平行线间的距离求解即可.（2）由12ll⊥求出a的值，再求出直线1l，2l的

交点，及1l，2l与x轴的交点，由三角形的面积公式求解即可.【小问1详解】因为12ll//，所以()()1210aa−−−−=，整理得()()22120aaaa−−=+−=，解得1a=−或2a=．当1a=−时，1:220lxy

−−+=，2:220lxy+−=，1l，2l重合；当2a=时，1:2220lxy−+=，22:0xyl−−=，符合题意．故2a=，则1l，2l之间的距离为()123222−−=．【小问2详解】因为12ll⊥，所以()1210aa+−=，解得23a=．1l，2l的方程分别为330x

y−+=，360xy+−=．联立方程组330360xyxy−+=+−=，得3,23.2xy==．因为1l，2l与x轴的交点分别为()3,0−，()2,0，所以1l，2l及x轴围成的三角形的面积为13155224=．16.如图，在正

方体1111ABCDABCD−中，点E，F，M分别是线段1AD，EC，1AA的中点.设ABa=，ADb=，1AAc=.（1）用基底,,abc表示向量1AF.（2）棱BC上是否存在一点G，使得MFEG⊥？若存在，指出G的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）1133244AFa

bc=+−（2）不存在一点G，理由见解析【解析】【分析】（1）结合空间向量的线性运算，由空间向量基本定理求解即可；（2）假设棱BC上存在点G，使得MFEG⊥，设()01BGBC=，由基底,,abc表示出向量,MFEG，由0MFEG

=即可求出.【小问1详解】因为()()1111111112222AEADAAADAAbc=+=−=−，111ACAAACAAABADabc=+=−++=+−，所以()11111111332222244AFAEACb

cabcabc=+=−++−=+−．【小问2详解】假设棱BC上存在点G，使得MFEG⊥，设()01BGBC=．因为1113311312442244MFAFAMabccabc=−=+−+=+−，所以()111222EGAGAEABBGAEabbc

abc=−=+−=+−+=+−−．因为MFEG⊥，所以0MFEG=，化简得131102428+−+=，得103=−，所以棱BC上不存一点G，使得MFEG⊥.17.在空间几何体ABC-DEF中，四边形ABED，ADFC均为直角梯形，π2FCACADDABABE

CAB=====，1ABACCF===，2AD=，3BE=．（1）证明：平面BEF⊥平面DEF．（2）求直线DF与平面BEF所成角的大小．【答案】（1）证明见解析（2）π6．【解析】【分析】（1

）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，得到两个法向量垂直，故两平面垂直；（2）在（1）的基础上，利用线面角的向量夹角公式得到答案.在【小问1详解】证明：因为π2CADDABCAB===，所以AB，AC，AD两两垂直．以A为坐标原点

，分别以AB，AD，AC的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则()()()()()()0,0,0,0,2,0,1,0,0,0,0,1,0,1,1,1,3,0ADBCFE．设平面BEF的法向量为()111,,nxyz=，因为()

0,3,0BE=，()1,1,1BF=−，所以111130,0,nBEynBFxyz===−++=，解得10y=，令11x=，得11z=，故()1,0,1n=．设平面DEF的法向量为()222,,mxyz=，因为()0,1,1DF=−，()1,1,0DE=，

所以22220,0,mDExymDFyz=+==−+=令21x=，得()1,1,1m=−−．因为0mn=，所以mn⊥，所以平面BEF⊥平面DEF．【小问2详解】设直线DF与平面BEF所成的角为，由（1）知()0,1,1DF=−，平面BEF的一个法向量为

()1,0,1n=，则()()0,1,11,0,111sin2111122DFnDFn−====++，所以π6=，即直线DF与平面BEF所成的角为π6．18.已知ABCV的顶点()5,1A，()

4,3B，直线l：()()()2110mxmymm++−+−=R过定点G．（1）若G是ABCV的重心，求ABCV三边所在直线的方程；（2）若CACB=，且ABCGABSS=△△，求顶点C的坐标．【答案】（1）2110xy+−=，101310xy−−=，47130xy−−=（2）

9322,105C或32,105C−−【解析】【分析】（1）由题意可得10210xyxy++=−−=，解出即可得G点坐标，结合重心性质即可得C点坐标，即可逐个计算三边所在直线的方程；（2）由CACB=可得点C在AB的

垂直平分线上，借助AB坐标及方程可求出其垂直平分线的坐标及方程，结合点到直线距离公式计算即可得C点坐标.【小问1详解】将l：()()2110mxmym++−+−=整理得()1210mxyxy+++−−=，由10210xyxy++=−−=，得01xy==−，所以()0,1G−，设(

)00,Cxy，因为G是ABCV的重心，所以0054031313xy++=++=−，解得0097xy=−=−，所以()9,7C−−，故AB所在直线的方程为()315145yx−=−

+−，整理得2110xy+−=，BC所在直线的方程为()734394yx−−=−+−−，整理得101310xy−−=，AC所在直线的方程为()715195yx−−=−+−−，整理得47130xy−−=；【小问2详解】因为点()0,1G−到直线AB的距离1212555d==

，又ABCGABSS=△△，所以点C到直线AB的距离为1255，因为CACB=，所以点C在AB的垂直平分线上，AB中点坐标为5413,22++，即9,22，则AB的垂直平分线的方程为19222yx=−+，即2410xy−−=，所

以0000241021112555xyxy−−=+−=，解得009310225xy==或0031025xy=−=−，所以9322,105C或32,105C−−．19.如图，AE⊥平面ABCD，//CFAE，//ADBC，ADAB⊥，2

AEBC==，1ABAD==．（1）证明：//BF平面ADE．（2）若三棱锥FBDE−的体积为1，求平面BDE与平面BDF的夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）33．【解析】【分析】（1）如图，以A为坐标

原点，建立空间直角坐标系，求出平面ADE的一个法向量()1,0,0AB=，由0BFAB=，即可证明//BF平面ADE．（2）设()1,2,Fa，求出点F到平面BDE的距离，由三角形的体积公式求出a，求出平面BDF的法向量，由二面角

的向量公式求解即可.【小问1详解】证明：因为AE⊥平面ABCD，ADAB⊥，所以,,ABADAE两两垂直．如图，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AE的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则()()()()()0,0,0,1,0,0,

1,2,0,0,1,0,0,0,2ABCDE．设()1,2,Fa，因为平面ADE的一个法向量为()1,0,0AB=，()0,2,BFa=，所以0BFAB=．因为BF平面ADE，所以//BF平面ADE．【小问2详解】解：设(),,nxyz=r为平面BDE的法向量

，点F到平面BDE的距离为h，因()1,1,0BD=−，()1,0,2BE=−，所以0,20,nBDxynBExz=−+==−+=令1z=，得()2,2,1n=．因为113FBDEBDEVSh−==△，解得：32BDES=△，

所以2h=，即点F到平面BDE的距离为2，所以|||4|23||BFnan+==，所以2a=，即()1,2,2F．设平面BDF的法向量为()111,,mxyz=，因为()1,1,0BD=−，()0,2,2BF=，所以11110220mBDxymBFyz=−+==+=

，令11y=，得()1,1,1m=−．因为33cos,333mnmnmn===rrrrrr，所以平面BDE与平面BDF的夹角的余弦值为33．