【文档说明】四川省达州市高级中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题 Word版含解析.docx，共(17)页，865.544 KB，由小赞的店铺上传

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25届高三数学试题注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写

在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语，不等式，函数与导数，三角函数．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的．1.命题“20,12aa+”的否定为（）A.20,12aa+B.20,12aa+C.20,12aa+D.20,12aa+【答案】C【解析】【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题进行判断.【详解】因为“20,12aa+”的否定是“20,12

aa+”.故选：C2.已知集合230,{013}AxxBxx=−=+∣∣，则AB=（）A.()1,3−B.()3,2−C.()3,3−D.()1,2−【答案】A【解析】【分析】先确定两个集合中元素，再根据交集的定义求解，【详解】因为()()3,3,1,2AB=

−=−，所以()1,3AB=−.故选：A．3.已知是第二象限的角，(),2Px为其终边上的一点，且1sin3=，则x=（）A.4−B.4C.42D.42−【答案】D【解析】【分析】利用三角函数的定义，建立方程，结合象限角的定义，可得答案.

【详解】依题意，20,4xrOPx==+，其中，O为坐标原点，则221sin34x==+，所以42x=−．故选：D.4.已知函数()*(2),nfxxn=−N，则“1n=”是“()fx是增函数”的（）A.充分

不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由当21,nkk=+N时，𝑓′(𝑥)≥0，可得()(2)nfxx=−是增函数，即可得到答案.【详解】由()(2)nfxx=−，得()1(2)nfxnx−−=，则当21,nkk=+N

时，𝑓′(𝑥)≥0，()(2)nfxx=−是增函数，当1n=时，可得()fx是增函数；当()fx是增函数时，21,nkk=+N，故“1n=”是“()fx是增函数”的充分不必要条件.故选：A.5.某公

司引进新的生产设备投入生产，新设备生产的产品可获得的总利润s（单位：百万元）与新设备运行的时间t（单位：年，Nt）满足23225098,8102,8tttstttt−+−=−+−，当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间t=

（）A.6B.7C.8D.9【答案】B【解析】【分析】由已知可得298250,8102,8ttsyttttt−−+==−+−，当8t和8t时分别求得最大值，即可求解.【详解】由题意，新设备生产的产品可获得的年平均利润298250,8102,8ttsyttttt−−

+==−+−，当8t时，98228tt+，当且仅当7t=时，等号成立，则9825022tt−−+，所以当7t=时，st取得最大值，且最大值为22，当8t时，22102(5)23ttt−+−=−−+，所以函数在)8,+上单调递减，

所以当8t=时，st取得最大值，且最大值为14，故当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间7t=.故选：B.6.已知函数()fx对任意xR，都有()()()1,fxfxfx+−=的图象关于点π1,22−

对称，且π1124f=，则119π12f=（）A.34−B.34C.14−D.14【答案】B【解析】【分析】方法一：因为()fx的图象关于点π1,22−对称和()()π+fxfx=−，得()fx是周期为π的

周期函数，根据周期函数的性质即可求解.方法二：根据题意取符合题意的特殊函数即可求解.【详解】方法一：因为()fx的图象关于点π1,22−对称，所以有()()π1fxfx−+−+=，又()()π+fxfx=−，所以()fx是周期为π的周期函数，所以119ππππ310π1121212

124ffff=−=−=−=.方法二：取()11sin222fxx=−,则()()1111sin2sin22222fxxx−=−−=+，即()()1111sin2sin212222fxfxxx+−=−++=，令π20π2kxkx=+=，所以()

fx图象关于点π1,22−对称，所以()11sin222fxx=−满足题意，得119π1111911π11π3sinsin20sin122262262264f=−=−−=+=．故选：B7.已知函数()()sin10fx

x=+在区间()0,π上有且仅有2个零点，则的取值范围是（）A.711,22B.711,22C.)3,5D.(3,5【答案】B【解析】【分析】利用三角函数的性质结合整体思想计算即可.【详解】因为0πx，所以0πx，令()sin10f

xx=+=，则方程sin1x=−有2个根，所以711πππ22，解得71122，则的取值范围是711,22．故选：B8.已知函数()331fxxx=++，若关于x的方程()()sincos2fxfmx++=有实数解，则m的

取值范围为（）A.1,2−B.1,1−C.0,1D.2,2−【答案】D【解析】的【分析】设()()313gxfxxx=−=+，利用函数的单调性和奇偶性，把()()sincos2fxfmx++=转化成sincosmxx=−−，再结合三角函数的性

质求m的取值范围.【详解】令()()313gxfxxx=−=+，则()2330gxx=+恒成立，则()gx在R上单调递增，且()gx是奇函数.由()()sincos2fxfmx++=，得()()sin1cos1fxfmx−=−+−，即()()sincosgxgmx=−

−，从而sincosxmx=−−，即πsincos2sin(2,24mxxx=−−=−+−故选：D【点睛】方法点睛：设()()313gxfxxx=−=+，可得函数()gx为奇函数，利用导函数分析函数()gx的单调性，把()()sincos2

fxfmx++=转化成sincosmxx=−−，再求m的取值范围.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列结论正确的是（）A.若

0x，则2211xx+B.若,abcd，则acbdC.若()1,1a−，则2211411aa++−D.若10abc，则ccabba【答案】AD【解析】【分析】利用基本不等式判断AC选项，利用不等式的基本性质判断BD选项.【详解】对于A，当0x时

，22211xxxx=++，∵12xx+，当且仅当1x=时，取“=”，∴222111xxxx=++，A正确．对于B，若1,1,1,2abcd==−=−=−，则1,2acbd=−=，此时acbd，B错误．对于C，()2222222222222211111111

2?211111111211222aaaaaaaaaaaaaa−+−++++−++++−+−+−+===+−，当且仅当0a=时，等号成立，C错误．对于D，∵10abc，∴11ccba−−，故ccabba

，D正确．故选：AD10.已知函数()()1tan(0,0π)2fxx=−的部分图象如图所示，则（）A.2=B.π3=C.()fx的图象与y轴的交点坐标为30,3−D.函数()yfx=的图象关于直线7π12x=对称【答案】AD【解

析】【分析】根据函数的图象确定其最小正周期，求出2=，判断A；利用特殊值可求出，进而求出()fx的图象与y轴的交点坐标，判断BC；判断()fx的图象关于点7π,012对称，即可判断D.【详解】由图可知，()fx的最小正周期ππ2T==，则2=，A正确；由图象可

知π3x=时，函数无意义，故2πππ,Z32kk−=+，由0π，得π6=，即()1πtan226fxx=−，则()306f=−，即()fx的图象与y轴的交点坐标为30,6−，B，C错误；由于17ππtan

0667π221f=−=，则()fx的图象关于点7π,012对称，可得函数()yfx=的图象关于直线7π12x=对称.故选：AD11.已知41log1002a=，10ln9b=，1030c=，则（）A.caB.abC.cb

D.ba【答案】ACD【解析】【分析】将a，b变形作差，可得11ln11010ab−=+−，设()()ln1fxxx=+−，()0,1x，求导判断函数的单调性即可判断D；将c变形，可得10109ln9910bc−=−+，设()1lnhxxxx=−+，()1,x

+，求导判断函数的单调性即可判断C；根据C，D即可判断A.【详解】4211loglog1001012210a===，1091lnlnln191010b==−=−−，11ln11010ab−=+−，令()()ln

1fxxx=+−，()0,1x，则()11011xfxxx−=−=−−，()fx在()0,1上单调递减，所以()10010ff=，即ab，故D正确；因为1010930910c==−，所以10109ln9910bc−=−+，令()1lnhxxxx=−+，

()1,x+，则()23332211121(1)02222xxxhxxxxxx−−−−=−−==，()hx在()1,+上单调递减，所以()10109hh=，即bc，故C正确，因为ab，

bc，所以ca，故A正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：数的大小的比较，通过构造函数，通过求导利用函数的单调性求解是解题的关键.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上12.某班共有60名学生，其中参加物

理竞赛的有27人，参加数学竞赛的有25人，只参加这两个竞赛中的一个竞赛的共有44人，则这两个竞赛都没参加的学生有______________人．【答案】12【解析】【分析】利用容斥原理，可得两个竞赛都参加的人数，结合总人数，可得答案.【详解】由题可得这两

个竞赛都参加的学生有27254442+−=人，所以这两个竞赛都没参加的学生有()6044412−+=人．故答案为：12.13.若π,02−，且πcos2cos4=+，则=__________.【答案】π

12−【解析】【分析】化简三角函数式，求出1sin42π+=，根据π,02−即可求解.【详解】由πcos2cos4=+，得()222cossincossin2−=−.因为π,0

2−，所以cossin0−，则2cossin2+=，则1sin42π+=.由π,02−，得πππ,444+−，则ππ46+=，解得π12=−.故答案为：π12−.14

.已知aN，函数312e(),(1,),,(1,)31xaxfxxxxxa=−+++，且12xx，恒有()()1221fxfxxx，则a的最大值为______________．【答案】8【解

析】【分析】由题意可得()()1122xfxxfx在𝑥∈(1,+∞)上恒成立，构造函数()()gxxfx=，从而可得3()e0xagxx=−在𝑥∈(1,+∞)上恒成立，进而可得3lnxax，求得3lnxx的最小值即可.【详解】因为()12,1,

xx+，且12xx，恒有()()1221fxfxxx，所以()()1122xfxxfx在𝑥∈(1,+∞)上恒成立．设31e()(),(1,)31xaxgxxfxxa+==−++，可得函数31e()31xaxgxa+=−+在𝑥∈(1,+∞)上单调递增，所以

3()e0xagxx=−在𝑥∈(1,+∞)上恒成立，故3lnxax．当𝑥∈(1,+∞)时，3lnxax恒成立．设3(),(1,)lnxhxxx=+，则23(ln1)()(ln)xhxx−=，令()0hx=，得ex=，当()1,ex时，()()0,hxhx单调递减，当(

)e,x+时，()()0,hxhx单调递增，所以min()(e)3e8.2hxh==，又因为aN，所以a的最大值为8．故答案为：8．【点睛】思路点睛：变形为()()1122xfxxfx，进而构造函数31e()(),(1,)31

xaxgxxfxxa+==−++，利用单调性得到不等式恒成立，进而分离变量，利用导数求得最值即可.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知命题:[0,π],sincospxxax−，

当p为假命题时，设a的取值集合为A．（1）求A；（2）请写出一个非空集合B，使得“aA”是“aB”的必要不充分条件．【答案】（1）1Aaa=−（2）答案不唯一，具体见解析【解析】【分析】（1）由p是真命题，结合三角恒等变换可求a的范围，

进而可得集合A；（2）由题意可得集合B是集合A的真子集，可写出集合B.【小问1详解】因为命题:0,π,sincospxxax−为假命题，所以命题:[0,π],sincospxxax−为真命题．由sincosxax−，得sincosxxa−，又πsincos2sin4x

xx−=−，因0,πx，所以ππ3π,444−−x，所以minπ2sin4ax−，即1a−．所以{|1}Aaa=−．【小问2详解】因为“aA”是“aB”的必要不充分条件，

所以集合B是集合A的真子集，则{|2}Baa=−符合题意（答案不唯一）．16.已知ABCV的内角,,ABC的对应边分别为,,abc，且()2coscos0cbAaB++=．（1）求角A；（2）若ABCV的面积为1534，

周长为15，求a．【答案】（1）2π3A=（2）7a=【解析】【分析】（1）利用正弦定理结合正弦的和角公式化简计算即可；（2）利用三角形面积公式结合余弦定理建立方程计算即可.【小问1详解】因为()2coscos0cbAaB++=，．由正

弦定理得2sincossincossincos0CABAAB++=，则()sin2sincosABCA+=−，为即sin2sincosCCA=−．在ABCV中，sin0C，故1cos2A=−．因为()0,πA，所以2

π3A=．【小问2详解】因为ABCV面积为1534，所以11533sin244bcAbc==，得15bc=．由余弦定理得2222cosabcbcA=+−，则22()abcbc=+−．又15abc++=，所以()

221515aa=−−，解得7a=．17.已知函数()()2ln1fxxax=−+．（1）若4a=，求()fx的极值点；（2）若12a−，讨论()fx的单调性．【答案】（1）()fx的极小值点为1，无极大值点（2）答案见解析【解析】【分析】（

1）利用导函数研究函数的单调性进而求极值可得；（2）由导函数为0转化为方程2220xxa+−=，分类讨论方程在()1,−+内根的情况，结合二次函数的图象判断导函数在各区间的符号，进而可得()fx单调性.【小问1详解】因4a=，所以()()24ln1,1fxxxx=−+−，则()(

)()2214211xxfxxxx+−=−=++．当11x−时，()()0,fxfx在(−1,1)单调递减；当1x时，()()0,fxfx在(1,+∞)单调递增．的为所以()fx在1x=处取极

小值，且极小值为(1)14ln2f=−.故()fx的极小值点为1，无极大值点．【小问2详解】由()()2ln1fxxax=−+，1x−，得()222211axxafxxxx+−=−=++．令()0fx=，则2220xxa+−=，由12

a−，则480a=+，则方程2220xxa+−=有两不相等实数根，解得12112112,22aaxx−++−−+==，其中11x−，则()2122()()2211xxxxxxafxxx−−−=+=++，1x−.①当0121a+时，即102a−，则121xx−

．当11212ax−−+−时，𝑓′(𝑥)>0，则()fx在1121,2a−−+−单调递增；当11211222aax−−+−++时，𝑓′(𝑥)<0，则()fx在112112,22aa−−+−++单调递减；当1

122ax−++时，𝑓′(𝑥)>0，则()fx在112,2a−+++单调递增；②若121a+，即0a，则211xx−．当11212ax−++−时，𝑓′(𝑥)<0，则()fx在11

21,2a−++−单调递减；当1122ax−++时，𝑓′(𝑥)>0，则()fx在112,2a−+++单调递增.综上所述，当102a−时，()fx在1121,2a−−+−单调递增，在112112,22aa−−+−++

单调递减，在112,2a−+++单调递增；的当0a时，()fx在1121,2a−++−单调递减，在112,2a−+++单调递增.18.已知函数()2coscos2fxxx=．（1）讨论()fx在区间()0,π上的单

调性；（2）求()fx的最大值和最小值；（3）设*10,nnN，证明：()()()()33327cossin32422nnxxfxfxfxfx+．【答案】（1）()fx在π0,3和π2,2π3上单调递减，

在ππ,32和2π,π3上单调递增（2）()fx的最大值为1，最小值为18−（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求导函数的零点，分区间讨论导函数的符号研究函数的单调性即可得；（2）利用函数的周期性，结合单调性，求函数在一个周期内的最大与最小值即可；

（3）利用三角恒等变换化简，结合三角函数的有界性进行放缩证明即可.【小问1详解】由题可得()()()222cossincos2cos2sin22sincos4cos1fxxxxxxxxx=−+−=−−()()2sincos2cos12cos1xxxx=−−+．令()0fx=在(0,π)x

上的根为123ππ2π,,323xxx===，当π0,3x时，()()0,fxfx单调递减；当ππ,32x时，()()0,fxfx单调递增；当π2π,23x时，()()0

,fxfx单调递减；当2π,π3x时，()()0,fxfx单调递增．综上，()fx在π0,3和π2π,23上单调递减，在ππ,32和2π,π3上单调递增．【小问2详解】因为()()()()2

2πcosπcos2πcoscos2fxxxxxfx+=++==，所以()fx的一个正周期为π．故函数()fx在0,π的最大与最小值即()fx的最大值和最小值.根据（1）中结论，又()()π1π2π101,,0,,π138238fffff==−==−

=，所以()fx在0,π的最大值为1，最小值为18−．故()fx的最大值为1，最小值为18−．【小问3详解】证明：()()()()3333331cossin3242sin3coscos2cos4cos2cos2

nnnxxfxfxfxfxxxxxxx+=33333sin3coscos2cos4cos2nxxxxx，又()()223sin3sincos2cossin2sin12sin2sin1sin3sin4sinxxxxxxxxxxx=+=−+−=−，所以sin3coscos2cos4cos8c

os2nxxxxxx2234sinsincoscos2cos2cos2nxxxxxx=−111sin233sincoscos2cos4cos2322nnnnxxxxxx+++，所以()()()()33327cossin32422nnxx

fxfxfxfx+，得证．19.当一个函数值域内任意一个函数值y都有且只有一个自变量x与之对应时，可以把这个函数的函数值y作为一个新的函数的自变量，而这个函数的自变量x作为新的函数的函数值，我们称这两个函数互为反函数.例

如，由3,Ryxx=，得,3yxy=R，通常用x表示自变量，则写成,3xyx=R，我们称3,yxx=R与,3xyx=R互为反函数.已知函数()fx与()gx互为反函数，若,AB两点在曲线𝑦=𝑓(𝑥)上

，,CD两点在曲线𝑦=𝑔(𝑥)上，以,,,ABCD四点为顶点构成的四边形为矩形，且该矩形的其中一条边与直线yx=垂直，则我们称这个矩形为()fx与()gx的“关联矩形”.（1）若函数()fxx=，且点11,4A

y在曲线𝑦=𝑓(𝑥)上.（i）求曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点A处的切线方程；（ii）求以点A为一个顶点的“关联矩形”的面积.（2）若函数𝑓(𝑥)=ln𝑥，且()fx与()gx的“关联矩形”是正方形，记该“关联矩形”的面积为S.证明：212e2S−.（参

考数据：e1ln20−−）【答案】（1）（i）14yx=+；（ii）2218+；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）（i）先由点在曲线𝑦=𝑓(𝑥)上求出点A，再利用导数工具求出14f即可由直线的点斜式方程得解；（ii

）先由反函数性质依次得出𝑦=𝑓(𝑥)的反函数()gx和A关于直线yx=对称的点为D，从而得ADk和AD，再由题意以及()fxx=图象特征得ACAD⊥和ACk，进而得直线AC的方程，接着联立求出点C即可得AC，从而计算SADAC=即可得解.（

2）先由题意设,AD关于直线yx=对称，,BC关于直线yx=对称得ABAD⊥，进而设()()()()34112234,ln,,ln,,e,,exxAxxBxxCxDx得12430,xxxx，再由已知信息结合ABBC=得到111e2ln0xxx−+

=，接着建立函数()e2lnxhxxx=−+并利用导数工具研究其单调性从而由()10hx=和102h得112x，从而借助()1221||2exSABx==−的单调性得证()122112

e2e2xSx=−−.【小问1详解】（i）因为点11,4Ay在曲线()fxx=上，所以11142y==，即11,42A，由()fxx=，得()12fxx=，则114f=，所以曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点A处的切线方程为1124yx−=−即

14yx=+.（ii）由（1）11,42A，由()fxx=得其反函数为()()20gxxx=，则函数()fx和()gx图象关于直线yx=对称，设A关于直线yx=对称的点为D，则D在曲线()gx上，且11,24D，114211124

ADk−==−−，则221111224424AD=−+−=，由题意以及由()fxx=图象特征可知ACAD⊥，则1ACk=，直线AC的方程为14yx=+，联立方程组2,1,4yxyx

==+解得122x+=或122x−=（舍去），则2212322121322142,,2424424CAC+++++=−+−=，则该“关联矩形”的面积242221448SAD

AC++===.【小问2详解】证明：由𝑓(𝑥)=ln𝑥得其反函数为()exgx=，所以()fx和()gx图象关于直线yx=对称，且由其性质可知()()0fxgx−，根据对称性可设,AD关于直线yx=对称，,BC关于直线yx=对称，则ABAD⊥，设()()()()341

12234,ln,,ln,,e,,exxAxxBxxCxDx，其中12430,xxxx，则4132ln,lnxxxx==，3421,eexxxx==，因为“关联矩形”是正方形，所以1ABDCkk==，1ADBCkk==−，所以(

)()()21212322lnln,2ABxxxxBCxx=−=−=−，由ABBC=，得132lnxxx==，所以132eexxx==，所以由2123lnlnxxxx−=−得3111elnxxxx−=−即111e2ln0xxx−+=.对于函数()

e1,0xtxxx=−−，则()e10,0xtxx=−，故函数()tx在(0,+∞)上单调递增，故()()00txt=即e1xx+，令()e2lnxhxxx=−+，则()1111e2ln0xhxxx=−+=且()111e2122120xh

xxxxxx=+−++−+−，则ℎ(𝑥)在(0,+∞)上单调递增，所以1e1ln202h=−−，所以112x，因为()()1222211||22exSABxxx==−=−，令()exxx=−，则()e1xx

=−，当𝑥∈(0,+∞)时，()()0,xx单调递增，则()11111ee022xxx=−=−，从而()122112e2e2xSx=−−.【点睛】关键点睛：解决本题的关键1

是正确处理()()()()34112234,ln,,ln,,e,,exxAxxBxxCxDx四点的关系，从而根据四点之间的关系结合ABBC=得到111e2ln0xxx−+=，关键点2是建立函数()e2

lnxhxxx=−+并利用导数工具研究其单调性从而由()10hx=和102h得112x，从而借助()1221||2exSABx==−的单调性得证()122112e2e2xSx=−−.