【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019必修一）专题5.16 三角函数全章综合测试卷（基础篇） Word版含解析.docx，共(15)页，542.742 KB，由小赞的店铺上传

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第五章三角函数全章综合测试卷（基础篇）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2022·江苏·高一阶段练习）与﹣460°角终边相同的角可以表示为（）A．𝑘⋅360°+260°,𝑘∈𝑍B．𝑘⋅360°+100°,𝑘∈𝑍C．𝑘⋅360°+

460°,𝑘∈𝑍D．𝑘⋅360°−260°,𝑘∈𝑍【解题思路】先求出相近的终边相同的角，即可判断.【解答过程】与﹣460°角终边相同的角为−100°,260°,620°，故与﹣460°角终边相同的角可以表示为𝑘⋅360°+260°,𝑘∈𝑍.故选：A.2．（5分）

（2022·安徽省高一开学考试）给出下列四个命题:①-75°是第四象限角；②小于90∘的角是锐角；③第二象限角比第一象限角大；④一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角等于1弧度.其中正确的命题有（）A．1个

B．2个C．3个D．4个【解题思路】利用反例可判断②③的正误，根据1弧度的定义可判断④的正误，根据范围可判断①的正误.【解答过程】对于①，因为−90°<−75°<0°，故−75°为第四象限角，对于②③，−270°<−210°<−1

80°，故−210°为第二象限角，但−210°<30°<90°且30°为第一象限角，故②③错误，对于④，因为1弧度的圆心角所对的弧长为半径，此时对应的弦长小于半径，故④错误，故选：A.3．（5分）（2022·山东·高三期中）已知𝜃为第三象限角，sin𝜃−cos𝜃=

−15，则cos𝜃(1−2sin2𝜃)sin𝜃+cos𝜃=（）A．−425B．−325C．325D．425【解题思路】由同角三角函数关系即可求得{sin𝜃=−45cos𝜃=−35，进而代入原式即可

求解.【解答过程】由sin𝜃−cos𝜃=−15，且sin2𝜃+cos2𝜃=1，解得：{sin𝜃=35cos𝜃=45或{sin𝜃=−45cos𝜃=−35，又因为𝜃为第三象限角，所以sin𝜃<0，cos𝜃<0，所以{sin𝜃=−45cos𝜃=−35.所以cos𝜃(1

−2sin2𝜃)sin𝜃+cos𝜃=−35[1−2×(−45)2]−45−35=−325.故选：B.4．（5分）（2022·江西九江·高三阶段练习（理））已知𝑓(𝑥)=cos(𝜋−𝑥)sin(𝜋+𝑥)sin2(𝜋−𝑥)−1，则𝑓(2023𝜋6)=（）A．

√3B．−√3C．√33D．−√33【解题思路】利用三角函数的诱导公式求解.【解答过程】解：𝑓(𝑥)=cos(𝜋−𝑥)sin(𝜋+𝑥)sin2(𝜋−𝑥)−1，=cos𝑥sin𝑥sin2𝑥−1=−cos�

�sin𝑥cos2𝑥=−tan𝑥，则𝑓(2023𝜋6)=−tan2023𝜋6=−tan(337𝜋+𝜋6)=−tan𝜋6=−√33，故选：D.5．（5分）（2022·全国·高三阶段练习（理））已知sin(𝛼−𝜋4)⋅cos(𝜋+𝛼)=√2cos2𝛼，则sin2𝛼的值

为（）A．1或45B．－1或−45C．1或−45D．－1或45【解题思路】利用三角恒等变换整理等式，求得正切值，根据二倍角公式，结合同角三角函数平方式，可得答案.【解答过程】因为sin(𝛼−𝜋4)⋅co

s(𝜋+𝛼)=√2cos2𝛼，所以(sin𝛼cos𝜋4−cos𝛼sin𝜋4)⋅(−cos𝛼)=√2(cos2𝛼−sin2𝛼)．即(sin𝛼−cos𝛼)(−cos𝛼)=2(cos2𝛼−sin2𝛼)，即cos2𝛼+sin𝛼⋅cos𝛼−2sin2�

�=0．由原式可知cos𝛼≠0，等式两边同时除以cos2𝛼，可得1+tan𝛼−2tan2𝛼=0，解得tan𝛼=1或tan𝛼=−12．所以sin2𝛼=2sin𝛼cos𝛼sin2𝛼+cos

2𝛼=2tan𝛼tan2𝛼+1．当tan𝛼=1时，sin2𝛼=2tan𝛼tan2𝛼+1=2×112+1=1；当tan𝛼=−12时，sin2𝛼=2tan𝛼tan2𝛼+1=2×(−12)(−12)2+1=−45．故选：C．6．（5分）（2022·辽宁朝阳·高二阶段练习）函

数𝑓(𝑥)=𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)（𝐴>0，𝜔>0，|𝜑|<𝜋2）的部分图象如图所示，将f（x）的图象向右平移𝜋12个单位长度得到函数g（x）的图象，则（）A．𝑔(𝑥)=√2sin(2𝑥−𝜋3)B．𝑔(𝑥)=√2cos2𝑥C．𝑔(𝑥)=

√2cos(2𝑥−𝜋3)D．𝑔(𝑥)=√2sin(2𝑥+𝜋4)【解题思路】首先根据函数图象得到𝑓(𝑥)=√2sin(2𝑥+𝜋3)，再根据平移变换求解即可.【解答过程】由图知：𝑓(𝑥)min=−𝐴=−√2，则𝐴=√2，14𝑇=712𝜋−𝜋3=𝜋4，所以𝑇=

𝜋，则𝜔=2，即𝑓(𝑥)=√2sin(2𝑥+𝜑).因为𝑓(𝜋3)=√2sin(23𝜋+𝜑)=0，所以23𝜋+𝜑=𝑘𝜋，𝑘∈𝑍，即𝜑=−23𝜋+𝑘𝜋，𝑘∈𝑍.因为|𝜑|<𝜋2，得𝜑

=𝜋3，所以𝑓(𝑥)=√2sin(2𝑥+𝜋3).所以𝑔(𝑥)=√2sin[2(𝑥−𝜋12)+𝜋3]=√2sin(2𝑥+𝜋6)=√2sin[(2𝑥−𝜋3)+𝜋2]=√2cos(2𝑥−𝜋3

).故选：C.7．（5分）（2022·广东广州·高三期中）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为𝑅的水车，一个水斗从点𝐴(1,−√3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时8秒.经

过𝑡秒后，水斗旋转到𝑃点，设点𝑃的坐标为(𝑥,𝑦)，其纵坐标满足𝑦=𝑓(𝑡)=𝑅sin(𝜔𝑡+𝜑)(𝑡≥0,𝜔>0,|𝜑|<𝜋2)，则𝑓(𝑡)的表达式为（）A．𝑦=sin(𝜋4𝑡+𝜋3)B．𝑦=sin(𝜋4𝑡−𝜋3)C．𝑦

=2sin(𝜋4𝑡+𝜋3)D．𝑦=2sin(𝜋4𝑡−𝜋3)【解题思路】由点A坐标，可求得𝑅.由题可知𝑓(𝑡)的最小正周期为8，据此可求得𝜔.又由题,有𝑓(0)=−√3，结合|𝜑|<π2可得𝜑.【解答过程】因点𝐴(1,−√3)在水车上，所以𝑅=√12+(−√3)2

=2.由题可知𝑓(𝑡)的最小正周期为8，则2π|𝜔|=8，又𝜔>0，则𝜔=π4.因𝑓(0)=−√3，则2sin𝜑=−√3，又|𝜑|<π2，故𝜑=−π3.综上：𝑓(𝑡)=2sin(π4𝑡−π3).故选：D.8．（5分）（2022·江

苏泰州·高三期中）已知函数𝑓(𝑥)=sin(𝜔𝑥+𝜑)（𝜔>0，𝜑∈(0,π2)），直线𝑥=π12和点(−π6,0)分别是𝑓(𝑥)图象相邻的对称轴和对称中心，则下列说法正确的是（）A．函数𝑓(𝑥+π12)为奇函数B．函数𝑓(𝑥)的图象关于点(

−π3,0)对称C．函数𝑓(𝑥)在区间[−π3,π4]上为单调函数D．函数𝑓(𝑥)在区间[0,6π]上有12个零点【解题思路】根据已知条件求得𝑓(𝑥)=sin(2𝑥+π3)，代入法以及正余弦函数性质判断奇偶性、对称中心，由整体

法，结合正弦函数的单调性、周期性判断𝑓(𝑥)区间单调性和区间零点个数.【解答过程】由题设，𝑇=4×[π12−(−π6)]=π，故𝜔=2π𝑇=2，所以𝑓(−π6)=sin(𝜑−π3)=0，故𝜑−π3=𝑘π且𝑘∈Z，所以𝜑=𝑘π+π3，

𝑘∈Z，又𝜑∈(0,π2)，故𝜑=π3，综上，𝑓(𝑥)=sin(2𝑥+π3)，𝑓(𝑥+π12)=sin(2𝑥+π6+π3)=cos2𝑥为偶函数，A错误；𝑓(−π3)=sin[2×(−π3)+π

3]=−sinπ3≠0，图象不关于(−π3,0)对称，B错误；在[−π3,π4]上，2𝑥+π3∈[−π3,5π6]，根据正弦函数的性质𝑓(𝑥)在该区间上不单调，C错误；在[0,6π]上2𝑥+π3∈[π3,19π3]，𝑓(𝑥)在区间

内有6个周期长度，每个周期有2个零点，所以该区间内有12个零点，D正确.故选：D.二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）（2021·山东·高一阶段练习）下列说法正确的有（）A．经过30分钟，钟表的分针转过−2π弧度B．若sin𝜃>0,cos

𝜃<0，则𝜃为第二象限角C．若sin𝜃+cos𝜃>1，则𝜃为第一象限角D．第一象限角都是锐角，钝角都在第二象限【解题思路】根据任意角的概念可判断A；由正弦值余弦值的正负可判断角的范围，判断B;将sin𝜃+cos𝜃>1平方推出sin𝜃

>0,cos𝜃>0，判断𝜃为第一象限角，判断C;举反例可判断D.【解答过程】对于A,经过30分钟，钟表的分针转过−π弧度，A错误；对于B，若sin𝜃>0,cos𝜃<0，则𝜃为第二象限角，正确；对于C，因为sin𝜃+cos𝜃>

1，故(sin𝜃+cos𝜃)2>1,∴1+2sin𝜃cos𝜃>1，即sin𝜃cos𝜃>0，结合sin𝜃+cos𝜃>1可知sin𝜃>0,cos𝜃>0，故𝜃为第一象限角，C正确；对于D，第一

象限角不都是锐角，比如390∘是第一象限角，但不是锐角，故D错误；故选：BC.10．（5分）（2022·湖南·高三阶段练习）已知𝛼为第一象限角，𝛽为第三象限角，且sin(𝛼+𝜋6)=1213,cos(𝛽−𝜋6)=−4

5，则sin(𝛼+𝛽)的值可以为（）A．5665B．−6365C．1665D．−3365【解题思路】用𝛼+𝜋6，𝛽−𝜋6配凑出目标角度𝛼+𝛽，结合正弦的和角公式以及同角三角函数关系，即可求得结果.【解答过程】∵𝛼为第一象限角，sin(𝛼+𝜋6)=121

3>√32，则2𝑘𝜋+𝜋3<𝛼+𝜋6<2𝑘𝜋+2𝜋3，𝑘∈Z，故𝛼+𝜋6可能为第二象限角，也可能为第一象限角，则cos(𝛼+𝜋6)=±513，∵𝛽为第三象限角，cos(𝛽−𝜋6)=−45,−

√32<−45<−12，则2𝑘𝜋−56𝜋<𝛽−𝜋6<2𝑘𝜋−23𝜋,𝑘∈Z，故𝛽−𝜋6只可能为第三象限角，则sin(𝛽−𝜋6)=−35，sin(𝛼+𝛽)=sin[(𝛼+𝜋6)+(𝛽−

𝜋6)]=sin(𝛼+𝜋6)cos(𝛽−𝜋6)+cos(𝛼+𝜋6)sin(𝛽−𝜋6)，当cos(𝛼+𝜋6)=513时，sin(𝛼+𝛽)=1213×(−45)+513×(−35)=−6365，当cos(𝛼+𝜋6

)=−513时，sin(𝛼+𝛽)=1213×(−45)+(−513)×(−35)=−3365.故选：BD.11．（5分）（2023·山东省高三阶段练习）已知函数𝑓(𝑥)=2sin(2𝑥−π4)+1，下列选项中正确的是（）A．𝑓(𝑥)的最小值为−2B．𝑓

(𝑥)在(0,π4)上单调递增C．𝑓(𝑥)的图象关于点(π8,0)中心对称D．𝑓(𝑥)在[π4,π2]上值域为[√2+1,3]【解题思路】A选项，利用整体法，结合函数图象得到𝑓(𝑥)的最小值为

−1，A错误；B选项，求出2𝑥−π4∈(−π4,π4)，从而确定B正确；C选项，将𝑥=π8代入，可得到𝑓(𝑥)的图象关于点(π8,1)中心对称，C错误；D选项，𝑥∈[π4,π2]时，2𝑥−π4∈[π4,3π4]，求出𝑓(𝑥)的最大值和最小值，确定值域.【解答过程】当2𝑥

−π4=2𝑘π−π2，𝑘∈Z，即𝑥=𝑘π−π8，𝑘∈Z时，𝑓(𝑥)=2sin(2𝑥−π4)+1取得最小值，最小值为−2+1=−1，A错误；当𝑥∈(0,π4)时，2𝑥−π4∈(−π4,π4)，故𝑦=sin(2𝑥−π4)在𝑥∈(0,π4)上单调递增，则�

�(𝑥)=2sin(2𝑥−π4)+1在𝑥∈(0,π4)上单调递增，故B正确；当𝑥=π8时，𝑓(π8)=2sin(2×π8−π4)+1=1，故𝑓(𝑥)的图象关于点(π8,1)中心对称，C错误；𝑥∈[π4,π2]时，2𝑥−π4∈[π4,3π4]，当2𝑥−π4=π4或3π4，

即𝑥=π4或π2时，𝑓(𝑥)=2sin(2𝑥−π4)+1取得最小值，最小值为2×√22+1=√2+1，当2𝑥−π4=π2，即𝑥=3π8时，𝑓(𝑥)=2sin(2𝑥−π4)+1取得最大值，最大值为2×1+1=3，故值域为[√2+1,

3]，D正确.故选：BD.12．（5分）（2022·全国·高一）如图，一圆形摩天轮的直径为100米，圆心O到水平地面的距离为60米，最上端的点记为Q，现在摩天轮开始逆时针方向匀速转动，30分钟转一圈，以

摩天轮的中心为原点建立平面直角坐标系，则下列说法正确的是（）A．点Q距离水平地面的高度与时间的函数为ℎ(𝑡)=50sin(𝜋𝑡15+𝜋3)+10B．点Q距离水平地面的高度与时间的函数的对称中心坐标为(15𝑘,60)(𝑘∈𝑍)C．经

过10分钟点Q距离地面35米D．摩天轮从开始转动一圈，点Q距离水平地面的高度不超过85米的时间为20分钟【解题思路】由题可知∠𝑥𝑂𝑄=𝜋2，摩天轮转一圈用30分钟，则OQ在𝑡分钟转过的角为2𝜋30𝑡，即可得OQ为终边的角，进而判断A选项；对称中心的横坐标

满足𝜋𝑡15=𝑘𝜋+𝜋2,𝑘∈𝑍，即可判断B选项；将𝑡=10代入点Q距离水平地面的高度与时间的函数ℎ(𝑡)中，即可判断C选项；令ℎ(𝑡)≤85，求解即可判断D选项.【解答过程】由题意知∠𝑥𝑂𝑄=

𝜋2，OQ在𝑡分钟转过的角为2𝜋30𝑡=𝜋15𝑡，所以以OQ为终边的角为𝜋15𝑡+𝜋2，所以点Q距离水平地面的高度与时间的关系为ℎ(𝑡)=50sin(𝜋𝑡15+𝜋2)+60=50cos𝜋𝑡15+60，故A错误；由𝜋�

�15=𝑘𝜋+𝜋2,𝑘∈𝑍，得𝑡=15𝑡+152,𝑘∈𝑍，所以(15𝑘,60)(𝑘∈𝑍)不是对称中心，故B错误；经过10分钟，ℎ(10)=50cos10𝜋15+60=35，故C正确；由50cos𝜋𝑡15+60≤85，得cos𝜋𝑡15≤12，得𝜋3

≤𝜋𝑡15≤5𝜋3，解得5≤𝑡≤25，共20分钟，故D正确.故选：CD.三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2022·上海市高一期末）与2023∘终边相同的最小正角是223∘．【解题

思路】用诱导公式（一）转化即可.【解答过程】因为2023∘=5×360∘+223∘，所以与2023∘终边相同的最小正角是223∘.故答案为：223∘.14．（5分）（2022·河南·洛阳市高三阶段练习（理））已知

sin(π3−𝑎)＝13，则cos(5π6−𝑎)＝−13．【解题思路】根据cos(5π6−𝑎)=cos(π2+π3−𝑎)，利用诱导公式计算即可.【解答过程】∵sin(π3−𝑎)=13,∴cos(5π6−𝑎)=cos(π2+π3−𝑎

)=−sin(π3−𝑎)=−13，故答案为：−13.15．（5分）（2022·全国·高三专题练习）函数𝑓(𝑥)=sin(𝜔𝑥+𝜑)的部分图像如图所示，则𝑓(𝑥)的最小正周期为2．【解题思路】观察图像，利用正弦函数图像的性质求解即可.【解答过程】设函数𝑓(

𝑥)=sin(𝜔𝑥+𝜑)的最小正周期为𝑇，由图像可知，𝑇2=13−(−23)=1，所以𝑇=2.故答案为：2.16．（5分）（2022·上海·高三阶段练习）已知𝑓(𝑥)=sin𝑥cos𝑥，关于该函数有下面四个

说法，①𝑓(𝑥)的最小正周期为π；②𝑓(𝑥)在[−π4,π4]上单调递增③当𝑥∈[−π6,π3]时，𝑓(𝑥)的取值范围为[−√34,√34]④𝑓(𝑥)的图象可由𝑔(𝑥)=12sin(2𝑥+π4)的图象

向右平移π8个单位长度得到其中正确的是①②④（填写序号）．【解题思路】首先根据题意得到𝑓(𝑥)=12sin2𝑥，根据周期公式即可判断①正确，根据2𝑥∈[−π2,π2]即可判断②正确，根据2𝑥∈[−π3,2π3]，−√32≤sin2𝑥≤1，即可判断③

错误，根据三角函数的平移变换即可得到④正确.【解答过程】𝑓(𝑥)=sin𝑥cos𝑥=12sin2𝑥.对①，𝑇=2𝜋2=𝜋，故①正确；对②，𝑥∈[−π4,π4]，2𝑥∈[−π2,π2]，所以𝑓(𝑥)在区间[−π4,π4]单调递增，故②正确；对③，𝑥∈[−π6,π3]，2�

�∈[−π3,2π3]，−√32≤sin2𝑥≤1，所以𝑓(𝑥)∈[−√34,12]，故③错误.对④，𝑔(𝑥)=12sin(2𝑥+π4)的图象向右平移π8个单位长度，得到𝑦=12sin[2(𝑥−𝜋8)]+π4=12sin2𝑥=𝑓(𝑥)，故④正确.故答案为：①②④.四．解答题

（共6小题，满分70分）17．（10分）（2023·全国·高三专题练习）已知角α＝﹣920°．(1)把角α写成2kπ+β（0≤β＜2π，k∈Z）的形式，并确定角α所在的象限；(2)若角γ与α的终边相同，且γ∈（﹣4π，﹣3π），求角γ．【解题思路】（1）化角度制为弧度制，可得α＝﹣92

0°＝（﹣3）×2𝜋+8𝜋9．再由8𝜋9是第二象限角得答案;（2）由角γ与α的终边相同，得𝛾=2𝑘𝜋+8𝜋9（k∈Z）．结合γ∈（﹣4π，﹣3π）即可求得γ的值．【解答过程】(1)∵α＝﹣920°＝﹣3×360°+160°，160°=8𝜋9，∴α＝﹣920°＝（﹣3）×

2𝜋+8𝜋9．∵角α与8𝜋9终边相同，∴角α是第二象限角；(2)∵角γ与α的终边相同，∴设𝛾=2𝑘𝜋+8𝜋9（k∈Z）．∵γ∈（﹣4π，﹣3π），由−4𝜋＜2𝑘𝜋+8𝜋9＜−3𝜋，可得−2

29＜𝑘＜−3518．又∵k∈Z，∴k＝﹣2．∴𝛾=−4𝜋+8𝜋9=−28𝜋9．18．（12分）（2022·全国·高三专题练习）如图，以𝑂𝑥为始边作角𝛼与𝛽(0<𝛽<𝛼<𝜋)，它们的终边分别与单位圆相交于点𝑃、𝑄，已知点𝑃的坐标为(−√55,2√55)，求3s

in𝛼−2cos𝛼2sin𝛼+3cos𝛼的值.【解题思路】根据三角函数的定义求出tan𝛼，再根据同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得.【解答过程】解：因为角𝛼终边与单位圆相交于点𝑃(−√55,2√55)，所以tan𝛼=2√55−√55=−

2，所以3sin𝛼−2cos𝛼2sin𝛼+3cos𝛼=3tan𝛼−22tan𝛼+3=−6−2−4+3=8.19．（12分）（2021·山西·高一阶段练习）已知tan𝛼，tan𝛽是方程3𝑥2+5𝑥−7=0的两根，求下列各式的值.(1)tan(

𝛼+𝛽)(2)sin(𝛼+𝛽)cos(𝛼−𝛽)【解题思路】（1）利用韦达定理得到tan𝛼+tan𝛽，tan𝛼⋅tan𝛽，再根据两角和的正切公式计算可得；（2）利用同角三角函数的基本关系及和差角公式得到sin(𝛼+𝛽)=−53cos𝛼cos𝛽

，cos(𝛼−𝛽)=−43cos𝛼cos𝛽，从而代入计算可得.【解答过程】（1）解：因为tan𝛼，tan𝛽是方程3𝑥2+5𝑥−7=0的两根，所以tan𝛼+tan𝛽=−53，tan𝛼⋅tan𝛽=−73，

所以tan(𝛼+𝛽)=tan𝛼+tan𝛽1−tan𝛼tan𝛽=−531+73=−12.（2）解：因为tan𝛼+tan𝛽=sin𝛼cos𝛼+sin𝛽cos𝛽=sin𝛼cos𝛽+cos𝛼sin𝛽cos𝛼cos𝛽=sin(𝛼+𝛽)cos𝛼cos

𝛽=−53，所以cos𝛼cos𝛽=−35sin(𝛼+𝛽)，即sin(𝛼+𝛽)=−53cos𝛼cos𝛽，又tan𝛼⋅tan𝛽=sin𝛼cos𝛼⋅sin𝛽cos𝛽=−73，所以sin𝛼sin𝛽=−73co

s𝛼cos𝛽，所以cos(𝛼−𝛽)=cos𝛼cos𝛽+sin𝛼sin𝛽=−43cos𝛼cos𝛽，所以sin(𝛼+𝛽)cos(𝛼−𝛽)=−53cos𝛼cos𝛽−43cos𝛼c

os𝛽=54.20．（12分）（2022·广东·高三阶段练习）设函数𝑓(𝑥)=2cos(𝑥2−π3)．(1)求𝑓(𝑥)的最小正周期和单调增区间；(2)当𝑥∈[0,2π]时，求𝑓(𝑥)的最大值和最小值．【解题思路】（1）利用最小正周期公式求得𝑓(�

�)的周期；利用余弦函数的单调性求得𝑓(𝑥)的单调增区间；（2）由条件利用余弦函数的定义域和值域，求得𝑓(𝑥)的最大值和最小值．【解答过程】（1）∵函数𝑓(𝑥)=2cos(𝑥2−π3)，∴𝑓(𝑥)的最小正周期为2π12=

4π，令2𝑘π−π≤𝑥2−π3≤2𝑘π，𝑘∈Z，求得4𝑘π−4π3≤𝑥≤4𝑘π+2π3，𝑘∈Z故函数𝑓(𝑥)的单调增区间为[4𝑘π−4π3,4𝑘π+2π3]，𝑘∈Z．（2）当𝑥∈[0,2π]时，𝑥2−π3∈[−π3,2π3]，∴cos(𝑥2−π3

)∈[−12,1]，故当𝑥2−π3=0，即𝑥=2π3时，函数𝑓(𝑥)取得最大值2，当𝑥2−π3=2π3，即𝑥=2π时，函数𝑓(𝑥)取得最小值为−1．21．（12分）（2022·福建省高三期中）已知函数𝑓(𝑥)=𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)(𝐴>0,𝜔>0

,|𝜑|<π)的部分图象如图所示.(1)求𝑓(𝑥)的解析式及对称中心；(2)先将𝑓(𝑥)的图象横坐标不变，纵坐标缩短到原来的12倍，得到函数𝑔(𝑥)图象，再将𝑔(𝑥)图象右平移π12个单位后得到ℎ(𝑥)的图象，求函数𝑦=ℎ(𝑥)在𝑥∈[π12,3π4]上

的单调减区间.【解题思路】（1）根据函数图象确定A以及周期，进而确定𝜔，将点(5π12,2)代入解析式求得𝜑，即得函数𝑓(𝑥)的解析式，结合正弦函数性质即可求得其对称中心；（2）根据三角函数图象的变换规律可求得ℎ(𝑥)的解析式，结合余弦函数的性质即可求得答案.【解答过程】（1）由函

数图象知，𝐴=2，最小正周期𝑇=43[5π12−(−π3)]=π，所以𝜔=2π𝑇=2ππ=2，所以𝑓(𝑥)=2sin(2𝑥+𝜑)，将点(5π12,2)代入𝑓(𝑥)=2sin(2𝑥+𝜑)中，有2sin(2×5π12+𝜑)=2，所以5π6+𝜑=π2+2𝑘π,𝑘∈Z，�

�=2𝑘π−π3,𝑘∈Z，因为|𝜑|<π，所以𝜑=−π3,所以𝑓(𝑥)=2sin(2𝑥−π3),令2𝑥−π3=𝑘π,𝑘∈Z，则𝑥=π6+𝑘π2,𝑘∈Z，即𝑓(𝑥)的对称中心为(π6+𝑘π2,0),𝑘∈Z．（2）先将𝑓(𝑥)的图象横坐标不

变，纵坐标缩短到原来的12倍，得到函数𝑔(𝑥)图象，即𝑔(𝑥)=sin(2𝑥−π3)，再将𝑔(𝑥)图象右平移π12个单位后得到ℎ(𝑥)的图象，即ℎ(𝑥)=sin[2(𝑥−π12)−π3]=sin(2𝑥−π2)=−cos2𝑥，令2

𝑥∈[2𝑘π−π，2𝑘π]，𝑘∈Z，则𝑥∈[𝑘π−π2,𝑘π]，𝑘∈Z，因为𝑥∈[π12,3π4]，所以𝑥∈[π2,3π4]，即函数𝑦=ℎ(𝑥)在𝑥∈[π12,3π4]上的单调减区间为[π2,3π4].22．（12分）（2022·全国·高一课

时练习）筒车是我国古代发明的一种水利工具．如图筒车的半径为4m，轴心𝑂距离水面2m，筒车上均匀分布了12个盛水筒．已知该筒车按逆时针匀速旋转，2分钟转动一圈，且当筒车上的某个盛水筒𝑃从水中浮现时（图中点𝑃0）开始计算时间．(1)将点𝑃距离水面的距离𝑧（单位：m．在水面下时𝑧

为负数）表示为时间𝑡（单位：分钟）的函数；(2)已知盛水筒𝑄与𝑃相邻，𝑄位于𝑃的逆时针方向一侧．若盛水筒𝑃和𝑄在水面上方，且距离水面的高度相等，求𝑡的值．【解题思路】（1）以𝑂为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设𝑃(𝑥,𝑦

)，根据题意可表示出函数；（2）根据题意表示出𝑃,𝑄两点的纵坐标，因为两点距离水面的高度相等，进而可求出𝑡的值．【解答过程】（1）以𝑂为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设𝑃(𝑥,𝑦)，由题意，得𝜔=𝜋,𝜑=−𝜋6，所以�

�=4sin(𝜋𝑡−𝜋6)+2,𝑡⩾0；（2）易知，点𝑄纵坐标𝑦=4sin𝜋𝑡，点𝑃纵坐标𝑦=4sin(𝜋𝑡−𝜋6)，由题意，得sin𝜋𝑡=sin(𝜋𝑡−𝜋6)，所以𝜋𝑡=𝜋𝑡−𝜋6+2𝑘𝜋或𝜋𝑡=𝜋−(𝜋𝑡−𝜋6

)+2𝑘𝜋，解得𝑡=𝑘+712,𝑘∈𝐙，由盛水筒𝑃和𝑄在水面上方，得4sin𝜋𝑡>−2，所以2𝑠𝜋−𝜋6<𝜋𝑡<2𝑠𝜋+7𝜋6,𝑠∈𝐙，所以𝑡=2𝑠+712,𝑠∈𝐙，因为𝑡>0，所以𝑡=2𝑠+712,𝑠∈𝐍．