【文档说明】福建省厦门市第一中学2023-2024学年高三上学期10月月考数学试题 Word版含解析.docx,共(22)页,1.767 MB,由管理员店铺上传
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厦门一中2024届高三年数学科10月月考卷满分150分考试时间:120分钟考试时间:2023.10.03命题:廖献武审核:张帆一、选择题:本题8小题,每题5分,共40分.在每题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.已知集合20,1,2,3
,1,,ABxxnnAPAB===−=∣,则P的子集共有()A.8个B.16个C.32个D.64个【答案】D【解析】【分析】先求出集合B,再求出集合P,从而可求出其子集的个数.【详解】因为0,1,2,3A=,21,BxxnnA==−∣,所以1,0
,3,8B=−,所以{,,,,,}P=−101238,则P的子集共有6264=个,故选:D2.若()1i2iz+=,其中i为虚数单位,则zz=()A.iB.i−C.1D.1−【答案】A【解析】【分析】根据复数的除法求出z,再由22zzzz=代入计算即可.【详解】因
为()1i2iz+=,所以2i2i(1i)i11i2z−===++,所以222ii2zzzz===,故选:A.3.已知函数()fx的定义域为)1,+,数列na满足()nafn=,则“数列na为递增数列”
是“函数()fx为增函数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用特例法、函数的单调性、数列的单调性结合充分条件、必要条件的定义判断可得
出结论.【详解】若数列na为递增数列,取()252fxxx=−,即252nann=−,则()()2215531120222nnaannnnn+−=+−+−−=−对任意的Nn恒成立,所以数列na为单调递增数列,但函数()252fxxx=−
在)1,+上不单调,即“数列na为递增数列”“函数()fx为增函数”;若函数()fx在)1,+上为增函数,对任意的Nn,则()()1fnfn+,即1nnaa+,故数列na为递增数列,即“数列na为递增数列”“函数()
fx为增函数”.因此,“数列na为递增数列”是“函数()fx为增函数”的必要不充分条件.故选:B.4.如图所示,九连环是中国传统民间智力玩具,以金属丝制成9个圆环,解开九连环共需要256步,解下或套
上一个环算一步,且九连环的解下和套上是一对逆过程.九连环把玩时按照一定得程序反复操作,可以将九个环全部从框架上解下或者全部套上.将第n个圆环解下最少需要移动的次数记为()*9,Nnann,已知121,1aa==,按规则有()*12213,Nnnnaaann−
−=++,则解下第5个圆环最少需要移动的次数为()A.4B.7C.16D.31【答案】C【解析】【分析】根据递推公式求5a即可.【详解】由题意得321214aaa=++=,432217aaa=++=,5432116aaa=++=,所以解下第5个圆环最少需要移动的次数为16
次.故选:C5.用一个平行于圆锥C底面的平面截该圆锥得到一个圆台,若圆台上底面和下底面半径之比为23,则该圆台与圆锥C的体积之比为()A.58B.1727C.1927D.34【答案】C【解析】【分析】设圆台的上底面半径为2r,截去的小圆锥的高为2h,可
得圆锥下底面半径为3r,圆锥C的高为3h,求出圆台与圆锥C的体积可得答案.【详解】设圆台的上底面半径为2r,截去的小圆锥的高为2h,可得圆锥下底面半径为3r,圆锥C的高为3h,所以圆锥C的体积为()221π33
9π3rhrh=,小圆锥的体积为()2218π22π33rhrh=,所以圆台的体积为2228199πππ33rhrhrh−=,所以该圆台与圆锥C的体积之比为2219π1939π27rhrh=.故选:C.6.已知角的终边落在直线2yx=−上,则22cos2sin23sin++的值为
()A.25−B.25C.±2D.45【答案】B【解析】【分析】根据角终边的位置得到tan2=-,然后将22cos2sin23sin++转化为2222tantan1tan+++再代入求值即可.【详解】角的终边落在直线2yx=−上,所以tan2=-,.222
2222cos2sin2sincos3sin2cos2sin23sincoscos−++++=+22222cos2sincossincossin++=+2222tantan1tan++=+24414−+=+25=.故选:B.7.已知双曲线()2
22210,0xyabab−=的左、右焦点分别为1F、2F,过2F作一条直线与双曲线右支交于A、B两点,坐标原点为O,若22OAab=+,15BFa=,则该双曲线的离心率为()A.152B.102C.153D.103【答案】B【解析】【分析】作出图形,分析可知12FAF为直角三角
形,设2AFm=,在1ABF中,利用勾股定理求出m,然后在12AFF△中,利用勾股定理可求出该双曲线的离心率的值.【详解】如下图所示:因为12OAcOFOF===,则11OAFOFA=,22OAFOFA=
,所以,()121211221902FAFOAFOAFOAFOFAOAFOFA=+=+++=,因为15BFa=,则2123BFBFaa=−=,设2AFm=,则12AFma=+,则3ABma=+,由勾股定理可得22211AFABBF+
=,即()()()222235mamaa+++=,整理可得22560mama+−=,因为0m,解得ma=,所以,2AFa=,13AFa=,由勾股定理可得2221212AFAFFF+=,即()22292aac+=,整理可
得210ca=,因此,该双曲线的离心率为102cea==.故选:B.8.已知函数()21e(0)2xfxxx=+−与()()2(2)ln2gxxxa=−+−+的图象上存在关于直线1x=对称的点,则a的取值范围是()A.1,e−B.1e,e−C.1,ee−
D.(),e−【答案】D【解析】【分析】将函数()fx与()gx的图象上存在关于直线1x=对称的点转化为函数()()ln0yaxx=−与函数()102xyx=−e的图象存在交点,然后结合图象求a的范围即可.【详解】设()fx上一点A的坐标为02001,2xxx+−
e()00x,关于直线1x=对称的点A坐标为020012,2xxx−+−e,函数()fx与()gx的图象上存在关于直线1x=对称的点,则存在0x使得()()022000122ln222xxxax−−+−−+=+−e,即()001ln2xax−−=e()00x成立,即函数(
)()ln0yaxx=−与函数()102xyx=−e的图象存在交点,由图可知,当()()ln0yaxx=−经过点10,2时恰好没有交点,此时ea=,将()lnyx=−e的图象向左平移函数()()ln0yaxx=−与函数()102xyx=−e的图象会存
在交点,所以ea.故选:D.【点睛】方法点睛:函数图象的交点问题:(1)根据图象讨论交点情况;(2)转化为函数零点问题讨论;(3)转化为方程的根的问题讨论.二、多项选择题:本题4小题,每题5分,共20分.全部选对得5分,少选得2分,选错
得0分.9.设,ab为空间中的任意两个非零向量,下列各式中正确的有()A.2abbaa=B.2aaa=C.()222abab=D.222()||2||abaabb−=−+【答案】BD【解析】【分析】根据向量数量积运算法则计算,对四个选项一一进行判断
即可.【详解】A选项,22cos,cos,ababbababaaa==,故与ba不相等,A错误;B选项,222,coscos0aaaaaaa===,B正确;C选项,()()22222cos,cos,ababababab==,故与22ab
不一定相等,C错误;D选项,22222()22abaabbaabb−=−+=−+,D正确.故选:BD10.已知函数()()sinfxx=+,其中0,2,且满足①()6fxf
;②()56fxfx+−0=;③()fx在区间2,23单调,则下述结论中正确的为()A.2=B.6=C.函数()fx的图象关于直线512x=对称D.函数()fx在区间2,23单调递增【答案】A
B【解析】【分析】由①可得()fx在6x=处取得最值,由②可得()fx关于50,12对称,由③可得6,结合①②与题设条件可得2=,6=进而判断选项【详解】由()6fxf得:162k+=
+,1kZ;由5()06fxfx+−=得:2512k+=,2kZ;∴()2142kk=−−,12,kkZ.由()fx在区间2,23单调得:26T=,6,又2,综上可得2=,6=,()sin26fxx=+
,故AB正确;又函数()fx的图象关于点5,012对称,()fx满足在区间2,23单调递减.故CD错误;故选:AB11.直三棱柱111ABCABC-中,1,1ABACABACAA⊥===,点D是线
段1BC上的动点(不含端点),则()A.CD与1AC一定不垂直B.AC//平面1ABDC.三棱锥1AABC−的外接球表面积为3πD.ADDC+的最小值为3【答案】BCD【解析】【分析】利用空间向量法判断AD选项的正确性,根据线面平行、外接球的知识判断BC选项的正确性.【详解】A选项
,以A为原点建立如图所示空间直角坐标系,()()()()110,1,0,1,0,0,0,1,1,1,1,1CBCBC=−,设()101BDBC=,则(),,BD=−,()()1,,,1,1,ADABBDCD=+=−=−−,112
1CDAC=−+=−,可知当12=时,CD与1AC垂直,所以A选项错误.B选项,由于11//,ACACAC平面11ABC,11AC平面11ABC,所以//AC平面11ABC,而平面1ABD即平面11ABC,所以AC//平面1ABD,B选项正确.C选项,将三棱锥1AABC−
补形成正方体如图所示,三棱锥1AABC−的外接球也即正方体的外接球,设正方体外接球的半径为R,则23R=,所以外接球的表面积为24πR3π=,C选项正确.D选项,先证明不等式()()222222abcdacbd++++++,当且仅当adbc=且0acbd+时等号成立:
设()()(),,,,,xabycdxyacbd==+=++,所以()()222222,xyabcdxyacbd+=++++=+++,根据向量加法的三角形法则可知xyxy++,当,xy同向,即adbc=且0acbd+时等号成立,也即()()222222abcdacbd
++++++,当且仅当adbc=且0acbd+时等号成立.(证毕)所以()()()222222111ADCDADCD+=+=−+++−+−+2222221222321342333333=−++−+=−++−+
22221222333333=−++−+2212223333333−+−++=
,当且仅当1222333333−=−,且12223303333−−+,即12=时等号成立,所以D选项正确.故选:BCD12.已知()123123,,xxxxxx
是函数()()()()1eeeexxfxxm=−++−(mR且0m)的三个零点,则1123e21xxx−−++的可能取值有()A.0B.1C.2D.3【答案】CD【解析】【分析】根据题意,设()e
1e1tthtt+=−可得其为偶函数且在()0,+单调递增,从而可得()()ee1eexxgxx+=−−关于1x=对称,即可得到结果.【详解】()10f=,当1x时,()()()11eee1011eee1xxxxfxxmxm−−++=−=−−=−−−,设()e1e1tthtt
+=−,则()()()()1ee1e1ee1etttttthtttht−−++−=−=−=−−,即()ht为偶函数,当0t时,()21e1thtt=+−,且()()()()22ee21e12ee1e1e1tttttttttht−−+=−=−−−,因为()()'
ee212ee10tttttt−−=−−,所以()()00ee21ee2010ttt−−−−=,即函数()ht单调递增,所以()()()ee11eexxgxxhx+=−=−−关于1x=对称,且在(),1−上递减,
在()1,+上递增,所以1231xxx=,且132xx+=,所以()1111112311e21e221e1xxxxxxx−−−−++=−+−+=−−,令()exxx=−,0x,()e10xx=−,即()x在(),0−上递减
,所以()()01x=所以()1123e211,xxx−−+++.故选:CD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知,为锐角,25tan2,cos5==,则()ta
n2−=__________.【答案】112−【解析】【分析】根据二倍角公式、同角三角函数的基本关系式、两角差的正切公式求得正确答案.【详解】由于为锐角,所以2255sin1sin1,tan55cos2=−===
,222tan44tan21tan123===−−−,所以()41tan2tan1132tan2411tan2tan2132−−−−===−++−.故答案为:112−14.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训
,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有_____.(用数字作答)【答案】240【解析】【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者,其余各项目中分配1名志愿者,然后利用组合,排列,乘法原理求得.【详解】根据题意,有一个项目中分配2名志愿者,其余各项目中分配
1名志愿者,可以先从5名志愿者中任选2人,组成一个小组,有25C种选法;然后连同其余三人,看成四个元素,四个项目看成四个不同的位置,四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4!种,根据乘法原理,完成这件事,共有254!240C=种不同的分配方案故答案
为:24015.函数()212lnfxxx=−−的值域为__________.【答案】)1,+【解析】【分析】由解析式知定义域为|0xx,分102x、112x、1x讨论,并结合导数研究的单调性,可
求得答案.【详解】函数()212lnfxxx=−−的定义域为|0xx,当102x时,()122lnfxxx=−−为单调递减函数,当112x时,()212lnfxxx=−−,()220fxx=−,()fx为单调递减函数,当1x时,()212lnfxxx=−−,(
)220fxx=−,()fx为单调递增函数,又()fx在各分段的界点处连续,综上可得01x时()fx为单调递减函数,1x时,()fx为单调递增函数,且x→+时,()fx→+,所以()()11fxf=.故答案为:)1,+.16.已知函数()22cos3sin
1(0,)2xfxxx=+−R,若函数()fx在区间()π,2π上有且只有1个零点,则的取值范围是__________.【答案】55126或11171212或1123612【解析】【分析】根据二倍角公式和辅助角公式化简得到()π2sin6fxx=+
,然后用整体代入的方法得到()fx的零点,最后列方程求解即可.【详解】()cos3sin2sin6fxxxx=+=+π,令ππ,Z6xkk+=,解得,6kxk=−+ππZ,所以()fx的零点为,6kxk=−
+ππZ,因为函数()fx在区间()π,2π上有且只有1个零点,所以()()1πππ6πππ2π61ππ2π6kkk−−+−++−+,解得761112265122kkkk−−+
−++,当0k=时,无解;当1k=时,55126;当2k=时,11171212;当3k=时,1123612;当4k=时,无解.故答案为:55126或11171212或1123612.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤.17.已知数列na的前n项和为nS,且对任意的*nN有23nnSan=+−.(1)证明:数列1na−为等比数列;(2)求数列11nnaa+−的前n项和nT.【答案】(1)证明见解析(2)2122+=−
nnnT【解析】【分析】(1)令1n=可求得1a的值,令2n,由23nnSan=+−可得1124nnSan−−=+−,两式作差可得出()1121nnaa−−=−,结合等比数列的定义可证得结论成立;(2)求得1111
22nnnaa+=+−,利用分组求和法可求得nT.【小问1详解】证明:当1n=时,1122aa=−,则12a=;.当2n时,由23nnSan=+−可得1124nnSan−−=+−.两式相减得1221nnnaaa−=−+,即121nnaa−=−,()1121nnaa
−−=−.因为1110a−=,则212a−=,L,以此类推可知,对任意Nn,10na−,所以,数列1na−构成首项为1,公比为2的等比数列.【小问2详解】解:由(1)112nna−−=,故121nna−=+,则1121111222nnnnnaa−++==+−.所以,22111111
111111222222222222nnnT=++++++=+++++++1112121222212nnnn−+=+=−−.18.ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc,已知2ca=,且ABC的面积2224
bcaS+−=.(1)求C;(2)若ABC内一点P满足APAC=,BPCP=,求PAC.的【答案】(1)π2(2)π6【解析】【分析】(1)根据题意,利用余弦定理和面积公式,化简得到sincosAA=,求得π4
A=,再由正弦定理和2ca=,得到sin1C=,即可求解;(2)设PAC=,分别在APC△和BPC△中,求得PC的表达式,列出方程求得1sin2=,即可求解.【小问1详解】解:根据题意知2224bcaS+−=,由余弦定理得22222211
cos4222bcabcaSbcbcAbc+−+−===,又因为1sin2SbcA=,所以sincosAA=,即tan1A=,因为(0,π)A,所以π4A=,又由正弦定理sinsincaCA=且2ca=
,所以sin2sin1CA==,又因为(0,π)C,所以π2C=.【小问2详解】解:由(1)知π4A=,π2C=,所以ππ4BAC=−−=,可得π4AB==,所以ab=,设PAC=,因为APAC=,所以π2ACPAPC−==,
因为π2C=,所以π22BCPACP=−=,在APC△中,APAC=,所以2sin2sin2sin222PCACba===,在BPC△中,BPCP=,所以2cos2BCPCa==,即2cos2aPC=,所以2
sin22cos2aa=,即12sincos222=,即1sin2=,因为π(0,)4PAC=,所以π6PAC=.19.已知,AB分别是椭圆2222:1(0)xyCabab+=的右顶点和
上顶点,5AB=,直线AB的斜率为12−.(1)求椭圆的方程;(2)直线//lAB,与x轴交于点M,与椭圆相交于点,CD,求证:22CMMD+为定值.【答案】(1)2214xy+=(2)证明见解析【解析
】【分析】(1)根据()(),0,0,AaBb,因为5AB=,直线AB的斜率为12−可得答案;(2)设直线l的方程为12yxm=−+,与椭圆方程联立,设()()1122,,,CxyDxy,利用韦达定理代入()()222222112222CMMDxmyxmy+=−++−+化简计算可得答案
.【小问1详解】,AB分别是椭圆2222:1(0)xyCabab+=的右顶点和上顶点,,可得()(),0,0,AaBb,因为5AB=,所以225ABab=+=,直线AB的斜率为12−,所以0102ba−=−−,解得2,1ab==,所以椭圆的方程为
2214xy+=;【小问2详解】设直线l的方程为12yxm=−+,则()2,0Mm,与椭圆方程联立221214yxmxy=−++=可得222220xmxm−+−=,由()()2222422840mmm−−=−得22m−,设()()1122,,,CxyDxy,可得21
212222xxmxxm+==−,,()()222222112222CMMDxmyxmy+=−++−+22222211122211444422xmxmxmxmxmxm=−++−++−++−+()()2
21212125551042xxxxmxxm=+−−++()2222552210102mmmm=−−−+5=,所以22CMMD+为定值.20.已知四棱锥PABCD−的底面ABCD是直角梯形,AD//BC,ABBC⊥,3,22,ABBCAD===E为CD的中点,PBAE⊥
(1)证明:平面PBD⊥平面ABCD;(2)若PBPD=,PC与平面ABCD所成的角为4,试问“在侧面PCD内是否存在一点N,使得BN⊥平面PCD?”若存在,求出点N到平面ABCD的距离;若不存在,请说明理由.【答案】(1)见
解析;(2)存在N点到平面ABCD的距离为235【解析】分析】(1)通过证明BDAE⊥,结合题目所给已知PBAE⊥,由此证得⊥AE平面PBD,进而证得平面PBD⊥平面ABCD.(2)存在.通过(1)的结论,利用面面垂直的性质定理建立空间直角坐标系,假设存在符合题意的点N,
使BN⊥平面PCD,利用向量线性运算设出N点坐标,结合00BNPCBNPD==求得N点坐标,由此证得存在一点N,使得BN⊥平面PCD.利用点到平面距离的向量求法,求得点N到平面ABCD的距离.【详解】(1)证明:由四边形ABCD是直角梯形,AB=
3,BC=2AD=2,AB⊥BC,可得DC=2,∠BCD=3,从而△BCD是等边三角形,BD=2,BD平分∠ADC.∵E为CD中点,∴DE=AD=1,∴BD⊥AE,又∵PB⊥AE,PB∩BD=B,∴AE⊥平面PBD.又∵AE⊂平面A
BCD∴平面PBD⊥平面ABCD.(2)存在.在平面PBD内作PO⊥BD于O,连接OC,又∵平面PBD⊥平面ABCD,平面PBD∩平面ABCD=BD,∴PO⊥平面ABCD,∴∠PCO为PC与平面ABCD所成的角,则∠PCO=4∴易得O
P=OC=3,PB=PD,PO⊥BD,所以O为BD的中点,OC⊥BD.以OB,OC,OP所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则B(1,0,0),C(0,3,0)D(-1,0,0),P(0,0,3)假设在侧面
PCD内存在点N,使得BN⊥平面PCD成立,设(,0,1)PNPDPC=++uuuruuuruuur,易得(,3,3(1))N−−+−由00BNPCBNPD==得12,55==,满足题意,所以N点到
平面ABCD的距离为233(1)5−+−=【的【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明,考查利用空间向量法求点到面的距离,考查存在性命题的向量证法,考查空间想象能力和逻辑推理能力,属于中档题.21.某工厂A,B两条相互独立的生产线生产同款产品,在产量一样的情况下,通过日常监控得知,
A,B生产线生产的产品为合格品的概率分别为p和21(0.51)pp−.(1)从A,B生产线上各抽检一件产品,若使得产品至少有一件合格的概率不低于99.5%,求p的最小值0p;(2)假设不合格的产品均可进行返工修复为合格品,以(1)中确定的0p作
为p的值.①已知A,B生产线的不合格品返工后每件产品可分别挽回损失5元和3元,若从两条生产线上各随机抽检1000件产品,以挽回损失的平均数为判断依据,估计哪条生产线的挽回损失较多?②若最终的合格品(包括返工修复后的合格品)按照一、
二、三等级分类后,每件可分别获利10元、8元、6元,现从A,B生产线的最终合格品中各随机抽取100件进行分级检测,结果统计如图所示,用样本的频率分布估计总体分布,记该工厂生产一件产品的利润为X,求X的分布列并估计该厂产量2000件时利润的期望值.【答案】(1)0.95;(2)①B生产线挽回的
平均损失较多;②分布列见解析,16200元.【解析】【分析】(1)根据独立事件同时发生以及对立事件的概率,求出产品至少有一件合格的概率,根据已知建立p的不等量关系,即可求解;(2)①根据(1)的结论求出,AB生产线不合格品率,进而求出两条生产
线的不合格品数,即可求出结论;②X的可能取值为6,8,10,根据频数分布图,求出X可能值的频率,得到X的分布列,根据期望公式求解即可.【详解】(1)设从A,B生产线上各抽检一件产品,至少有一件合格为事件C,从A,B生产线上抽检到合格品分别为事件M,N,由题知,M,N互为独立事件,所以(
)PMp=,()21PNp=−,()1()1()()PCPMNPMPN=−=−21(1)[1(21)]12(1)ppp=−−−−=−−,令212(1)0.995p−−…,解得0.95p…,故p的最小值00.95p=.(2)由(1)可知,A
,B生产线生产产品为合格品率分别为0.95和0.9,不合格品率分别为0.05和0.1.①由题知,A生产线上随机抽检1000件产品,估计不合格品10000.0550=(件),可挽回损失为505250=(元),B生产线上随机抽检1000件产品,估计不合
格品10000.1100=(件),可挽回损失为1003300=(元).由此,估计B生产线挽回的平均损失较多.②由题知,X的所有可能取值为6,8,10,用样本的频率分布估计总体分布,则20259(6)20040PX+===,60401(8)200
2PX+===,203511(10)20040PX+===,所以X的分布列为X6810P940121140的所以9111()68108.140240EX=++=(元).故估计该厂产量为2000件时利润的期望值为2000
8.116200=(元).【点睛】本题考查独立事件同时发生的概率,以及离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,考查创新与应用和运算求解的能力,属于中档题.22.函数()sin1fxxax=−+,(1)12a=,求()fx的单调区间;(2)若()co
sfxx在0,πx上恒成立,求实数a的取值范围;(3)令函数()()1gxfxax=+−,求证:π2π3π8π22151515155gggg++++
.【答案】(1)单调减区间为π5π2π,2π33kk++,Zk;单调增区间为ππ2π,2π33kk−++,Zk.(2)2(,]π−;(3)证明见解析.【解析】【分析】(1)对函数求导,判断()0fx¢>与()0fx,即可得单调区间;(2)将不等式转化为
cossin10axxx+−−恒成立,然后构造新函数()cossin1hxaxxx=+−−,根据不等式恒成立列不等式组求解2πa,代入2π=a构造新函数,然后分类讨论证明;(3)利用(2)的结论,可得π22sin4π2−−xx,令()s
ingxx=,ππ415kx−=,415π60kx+=,1k=,2,…,8,代入415π60kx+=,即可证明不等式.【详解】(1)12a=,()1sin12fxxx=−+,()1cos2fxx=−当ππ2π2π33kxk−++,Zk时,()0fx¢>,
当π5π2π2π33kxk++,Zk时,()0fx,所以,()fx的单调递增区间是ππ2π,2π33kk−++,Zk.()fx的单调递减区间是π5π2π,2π33kk++,Z
k.(2)不等式恒成立等价于cossin10axxx+−−在0,πx上恒成立,令()cossin1hxaxxx=+−−,则由()()00π0π02hhh可得,2πa∵cossin1yaxxx=+−−可
以看作是关于a的一次函数,单调递增,∴令()2cossin1πxxxx=+−−,对于2πa,0,πx,()()hxx恒成立.只需证明()2cossin10πxxxx=+−−即可.()22πsincos2sinππ4xxxx
=−−=−+①当π0,2x,(πsincos2sin1,24xxx+=+,则()22sincos10ππxxx=−−−,()x在π0,2上单调递减,又()00=,所以此时()0x恒成立.②当3π,π
4x时,()22πsincos2sin0ππ4xxxx=−−=−+恒成立,所以()x在3π,π4上单调递增,又()0=,所以此时()0x恒成立.③当π3π,24x
时,()22πsincos2sinππ4xxxx=−−=−+单调递增,π02,3π04,所以在π3π,24上存在唯一的0x,使得()00x=,当()00,xx时,()0x,当()0,πxx时
,()0x,所以()x在()00,xx时单调递减,在()0,πxx时单调递增.∴()00=,()π0=,()00x∴()0x恒成立,故()()0hxx恒成立,∴2πa.(3)由(2)可知2π
2sincos12sin1π4πxxxxx−−−−π22sin4π2xx−−令()singxx=,ππ415kx−=,415π60kx+=,1k=,2,…,8,可得到()()415ππ222sin41515π60260kkk+−=−,从而()
()8811818π2222sin4150415815606025kkkk==+−=−=,即π2π3π8π22151515155gggg++++得证.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,而函
数是高中数学中重要的知识点,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行:(1)考查导数的几何意义,往往与解析几何、微积分相联系.(2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性,求参数.(3)利用导数求
函数的最值(极值),解决生活中的优化问题.(4)考查数形结合思想的应用.