【文档说明】福建省厦门市第一中学2023-2024学年高三上学期10月月考数学试题 Word版含解析.docx，共(22)页，1.767 MB，由管理员店铺上传

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厦门一中2024届高三年数学科10月月考卷满分150分考试时间：120分钟考试时间：2023.10.03命题：廖献武审核：张帆一､选择题：本题8小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的

.1.已知集合20,1,2,3,1,,ABxxnnAPAB===−=∣，则P的子集共有（）A.8个B.16个C.32个D.64个【答案】D【解析】【分析】先求出集合B，再求出集合P，从而可求出其子集的个数.【详解】因为0,1,2,3A=，2

1,BxxnnA==−∣，所以1,0,3,8B=−，所以{,,,,,}P=−101238，则P的子集共有6264=个，故选：D2.若()1i2iz+=，其中i为虚数单位，则zz=（）A.iB.i−C.1D.1−【答案】A【解析】【

分析】根据复数的除法求出z，再由22zzzz=代入计算即可．【详解】因为()1i2iz+=，所以2i2i(1i)i11i2z−===++，所以222ii2zzzz===，故选：A．3.已知函数()fx的定义域为)1,+，数列na满足()nafn=，则“数列na为递

增数列”是“函数()fx为增函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用特例法、函数的单调性、数列的单调性结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】若

数列na为递增数列，取()252fxxx=−，即252nann=−，则()()2215531120222nnaannnnn+−=+−+−−=−对任意的Nn恒成立，所以数列na为单调

递增数列，但函数()252fxxx=−在)1,+上不单调，即“数列na为递增数列”“函数()fx为增函数”；若函数()fx在)1,+上为增函数，对任意的Nn，则()()1fnfn+，即1nnaa+，故数列na为递增数列，即“数列na为递增数列”

“函数()fx为增函数”.因此，“数列na为递增数列”是“函数()fx为增函数”的必要不充分条件.故选：B.4.如图所示，九连环是中国传统民间智力玩具，以金属丝制成9个圆环，解开九连环共需要256步，解下或套上一个环算一步，且九连环的解下和套上是一对逆过程.九连环把玩时按

照一定得程序反复操作，可以将九个环全部从框架上解下或者全部套上.将第n个圆环解下最少需要移动的次数记为()*9,Nnann，已知121,1aa==，按规则有()*12213,Nnnnaaann−−=++，则解下第

5个圆环最少需要移动的次数为（）A.4B.7C.16D.31【答案】C【解析】【分析】根据递推公式求5a即可.【详解】由题意得321214aaa=++=，432217aaa=++=，5432116aaa=++=，所以解下第

5个圆环最少需要移动的次数为16次.故选：C5.用一个平行于圆锥C底面的平面截该圆锥得到一个圆台，若圆台上底面和下底面半径之比为23，则该圆台与圆锥C的体积之比为（）A.58B.1727C.1927D.34【答案】C【解析】【分析

】设圆台的上底面半径为2r，截去的小圆锥的高为2h，可得圆锥下底面半径为3r，圆锥C的高为3h，求出圆台与圆锥C的体积可得答案.【详解】设圆台的上底面半径为2r，截去的小圆锥的高为2h，可得圆锥下底面半径为3r，圆锥C的高为3h，所以圆锥C的

体积为()221π339π3rhrh=，小圆锥的体积为()2218π22π33rhrh=，所以圆台的体积为2228199πππ33rhrhrh−=，所以该圆台与圆锥C的体积之比为2219π1939π27rhrh=.故选：C.6.已知角的终边落

在直线2yx=−上，则22cos2sin23sin++的值为（）A.25−B.25C.±2D.45【答案】B【解析】【分析】根据角终边的位置得到tan2=-，然后将22cos2sin23sin++转化为2222tantan1tan+++再代入求值即可.【详解】角

的终边落在直线2yx=−上，所以tan2=-，.2222222cos2sin2sincos3sin2cos2sin23sincoscos−++++=+22222cos2sincossincossin++=+2222tantan1tan

++=+24414−+=+25=.故选：B.7.已知双曲线()222210,0xyabab−=的左、右焦点分别为1F、2F，过2F作一条直线与双曲线右支交于A、B两点，坐标原点为O，若22OAab=+，15BFa=

，则该双曲线的离心率为（）A.152B.102C.153D.103【答案】B【解析】【分析】作出图形，分析可知12FAF为直角三角形，设2AFm=，在1ABF中，利用勾股定理求出m，然后在12AFF△中，利用勾股定理可求出该双曲线的离心率的

值.【详解】如下图所示：因为12OAcOFOF===，则11OAFOFA=，22OAFOFA=，所以，()121211221902FAFOAFOAFOAFOFAOAFOFA=+=+++=，因为15BFa

=，则2123BFBFaa=−=，设2AFm=，则12AFma=+，则3ABma=+，由勾股定理可得22211AFABBF+=，即()()()222235mamaa+++=，整理可得22560mama+−=，因为0m，解得ma=，所以，2AFa=，13AFa=，由勾股

定理可得2221212AFAFFF+=，即()22292aac+=，整理可得210ca=，因此，该双曲线的离心率为102cea==.故选：B.8.已知函数()21e(0)2xfxxx=+−与()()2(2)ln

2gxxxa=−+−+的图象上存在关于直线1x=对称的点，则a的取值范围是（）A.1,e−B.1e,e−C.1,ee−D.(),e−【答案】D【解析】【分析】将函数()fx与()gx的图象上存

在关于直线1x=对称的点转化为函数()()ln0yaxx=−与函数()102xyx=−e的图象存在交点，然后结合图象求a的范围即可.【详解】设()fx上一点A的坐标为02001,2xxx+−e()00x，关于直线1x=对称的点A坐标为020012,2xxx−+−

e，函数()fx与()gx的图象上存在关于直线1x=对称的点，则存在0x使得()()022000122ln222xxxax−−+−−+=+−e，即()001ln2xax−−=e()00x成立，即函数()()ln0yaxx=−与函数()102xyx=−e的图

象存在交点，由图可知，当()()ln0yaxx=−经过点10,2时恰好没有交点，此时ea=，将()lnyx=−e的图象向左平移函数()()ln0yaxx=−与函数()102xyx=−e的图象会存在交点，所以ea.故选：D.【点睛】方法点睛：函数图象的交点问题：（1）根据图

象讨论交点情况；（2）转化为函数零点问题讨论；（3）转化为方程的根的问题讨论.二､多项选择题：本题4小题，每题5分，共20分.全部选对得5分，少选得2分，选错得0分.9.设,ab为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（）A

.2abbaa=B.2aaa=C.()222abab=D.222()||2||abaabb−=−+【答案】BD【解析】【分析】根据向量数量积运算法则计算，对四个选项一一进行判断即可.【详解】A选项，22cos,cos,ababbababaaa=

=，故与ba不相等，A错误；B选项，222,coscos0aaaaaaa===，B正确；C选项，()()22222cos,cos,ababababab==，故与22ab不一定相等，C错误；D选项，22222()22abaabbaabb−=−+=−+，D正确.故选

：BD10.已知函数()()sinfxx=+，其中0，2，且满足①()6fxf；②()56fxfx+−0=；③()fx在区间2,23单调，则下述结论中正确的为（）A.2=B.6=C.函数()fx的图象关于直线512x=对称D.函数

()fx在区间2,23单调递增【答案】AB【解析】【分析】由①可得()fx在6x=处取得最值，由②可得()fx关于50,12对称，由③可得6，结合①②与题设条件可得2=，6=进而判断选项【详解】由

()6fxf得：162k+=+，1kZ；由5()06fxfx+−=得：2512k+=，2kZ；∴()2142kk=−−，12,kkZ.由()fx在区间2,23单调得：26T=，6

，又2，综上可得2=，6=，()sin26fxx=+，故AB正确；又函数()fx的图象关于点5,012对称，()fx满足在区间2,23单调递减.故

CD错误；故选：AB11.直三棱柱111ABCABC-中，1,1ABACABACAA⊥===，点D是线段1BC上的动点（不含端点），则（）A.CD与1AC一定不垂直B.AC//平面1ABDC.三棱锥1AABC−的外接球表面积为3πD.ADDC+的最小值为3【答案】BCD【

解析】【分析】利用空间向量法判断AD选项的正确性，根据线面平行、外接球的知识判断BC选项的正确性.【详解】A选项，以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，()()()()110,1,0,1,0,0,0,1,1,1,1,1CBCBC=−，设()101BDBC=

，则(),,BD=−，()()1,,,1,1,ADABBDCD=+=−=−−，1121CDAC=−+=−，可知当12=时，CD与1AC垂直，所以A选项错误.B选项，由于11//,ACACAC平面1

1ABC，11AC平面11ABC，所以//AC平面11ABC，而平面1ABD即平面11ABC，所以AC//平面1ABD，B选项正确.C选项，将三棱锥1AABC−补形成正方体如图所示，三棱锥1AABC−的

外接球也即正方体的外接球，设正方体外接球的半径为R，则23R=，所以外接球的表面积为24πR3π=，C选项正确.D选项，先证明不等式()()222222abcdacbd++++++，当且仅当adbc=且0acbd+时等号成立：设()()(),,,,,

xabycdxyacbd==+=++，所以()()222222,xyabcdxyacbd+=++++=+++，根据向量加法的三角形法则可知xyxy++，当,xy同向，即adbc=且0acbd+时等号成立

，也即()()222222abcdacbd++++++，当且仅当adbc=且0acbd+时等号成立.（证毕）所以()()()222222111ADCDADCD+=+=−+++−+−+222222

1222321342333333=−++−+=−++−+22221222333333=−++−+2212

223333333−+−++=，当且仅当1222333333−=−，且12223303333−−+，即12

=时等号成立，所以D选项正确.故选：BCD12.已知()123123,,xxxxxx是函数()()()()1eeeexxfxxm=−++−（mR且0m）的三个零点，则1123e21xxx−−++的可能取值有（

）A.0B.1C.2D.3【答案】CD【解析】【分析】根据题意，设()e1e1tthtt+=−可得其为偶函数且在()0,+单调递增，从而可得()()ee1eexxgxx+=−−关于1x=对称，即可得

到结果.【详解】()10f=，当1x时，()()()11eee1011eee1xxxxfxxmxm−−++=−=−−=−−−，设()e1e1tthtt+=−，则()()()()1ee1e1ee1etttttthtttht−−++−=−

=−=−−，即()ht为偶函数，当0t时，()21e1thtt=+−，且()()()()22ee21e12ee1e1e1tttttttttht−−+=−=−−−，因为()()'ee212ee10tttttt−−

=−−，所以()()00ee21ee2010ttt−−−−=,即函数()ht单调递增，所以()()()ee11eexxgxxhx+=−=−−关于1x=对称，且在(),1−上递减，在()1,+上递增，所以1231xxx=，且132xx+=

，所以()1111112311e21e221e1xxxxxxx−−−−++=−+−+=−−，令()exxx=−，0x，()e10xx=−，即()x在(),0−上递减，所以()()01x=所以()1123e211,xxx−−+++.故选：C

D三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知,为锐角，25tan2,cos5==，则()tan2−=__________.【答案】112−【解析】【分析】根据二倍角公式、同角三角函数的

基本关系式、两角差的正切公式求得正确答案.【详解】由于为锐角，所以2255sin1sin1,tan55cos2=−===，222tan44tan21tan123===−−−，所以()41tan2tan1132tan2411tan2tan213

2−−−−===−++−.故答案为：112−14.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有_

____．（用数字作答）【答案】240【解析】【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得．【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成

一个小组，有25C种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有254!240C=种不同的分配方案故答案为：24015.函数()212lnfxxx=−−的值域为_______

___.【答案】)1,+【解析】【分析】由解析式知定义域为|0xx，分102x、112x、1x讨论，并结合导数研究的单调性，可求得答案.【详解】函数()212lnfxxx=−−的定义域为|0xx，当102

x时，()122lnfxxx=−−为单调递减函数，当112x时，()212lnfxxx=−−，()220fxx=−，()fx为单调递减函数，当1x时，()212lnfxxx=−−，()220fxx=−，()fx为单调递增函数，又()fx在各分段

的界点处连续，综上可得01x时()fx为单调递减函数，1x时，()fx为单调递增函数，且x→+时，()fx→+，所以()()11fxf=.故答案为：)1,+.16.已知函数()22cos3sin1(0,)2xfxxx=+−R，若函数()fx在区间()π

,2π上有且只有1个零点，则的取值范围是__________.【答案】55126或11171212或1123612【解析】【分析】根据二倍角公式和辅助角公式化简得到()π2sin6fxx=+，然后用

整体代入的方法得到()fx的零点，最后列方程求解即可.【详解】()cos3sin2sin6fxxxx=+=+π，令ππ,Z6xkk+=，解得,6kxk=−+ππZ，所以()fx的零点为,6kxk=

−+ππZ，因为函数()fx在区间()π,2π上有且只有1个零点，所以()()1πππ6πππ2π61ππ2π6kkk−−+−++−+，解得761112265122kkkk−−+−++，当0k=

时，无解；当1k=时，55126；当2k=时，11171212；当3k=时，1123612；当4k=时，无解.故答案为：55126或11171212或1123612.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文

字说明､证明过程或演算步骤.17.已知数列na的前n项和为nS，且对任意的*nN有23nnSan=+−.（1）证明：数列1na−为等比数列；（2）求数列11nnaa+−的前n项和nT.【答案】（1）证明见解析（2）2122+=

−nnnT【解析】【分析】（1）令1n=可求得1a的值，令2n，由23nnSan=+−可得1124nnSan−−=+−，两式作差可得出()1121nnaa−−=−，结合等比数列的定义可证得结论成立；（2）求得

111122nnnaa+=+−，利用分组求和法可求得nT.【小问1详解】证明：当1n=时，1122aa=−，则12a=；.当2n时，由23nnSan=+−可得1124nnSan−−=+−.两式相减得1221nnnaaa−=−+，即121nnaa−=−，()1121nnaa−

−=−.因为1110a−=，则212a−=，L，以此类推可知，对任意Nn，10na−，所以，数列1na−构成首项为1，公比为2的等比数列.【小问2详解】解：由（1）112nna−−=，故121nna−=+，则1121111222nnnnnaa−++==+−.所以，

22111111111111222222222222nnnT=++++++=+++++++1112121222212nnnn−+=+=−−.18.ABC的内

角,,ABC的对边分别为,,abc，已知2ca=，且ABC的面积2224bcaS+−=.（1）求C；（2）若ABC内一点P满足APAC=，BPCP=，求PAC．的【答案】（1）π2（2）π6【解析】【分析】（1）根据题意，利用余弦定理和面

积公式，化简得到sincosAA=，求得π4A=，再由正弦定理和2ca=，得到sin1C=，即可求解；（2）设PAC=，分别在APC△和BPC△中，求得PC的表达式，列出方程求得1sin2=，即可求解.【小问1详解】解：根据题意知

2224bcaS+−=，由余弦定理得22222211cos4222bcabcaSbcbcAbc+−+−===，又因为1sin2SbcA=，所以sincosAA=，即tan1A=，因为(0,π)A，所以π4A=，又由正弦定理sinsincaCA=且2ca=，所以sin2sin1CA==

，又因为(0,π)C，所以π2C=.【小问2详解】解：由（1）知π4A=，π2C=，所以ππ4BAC=−−=，可得π4AB==，所以ab=，设PAC=，因为APAC=，所以π2ACPAPC−==，因为π2C=，所以π22BCPACP=−

=，在APC△中，APAC=，所以2sin2sin2sin222PCACba===，在BPC△中，BPCP=，所以2cos2BCPCa==，即2cos2aPC=，所以2sin22cos2aa=，即12sincos222

=，即1sin2=，因为π(0,)4PAC=，所以π6PAC=.19.已知,AB分别是椭圆2222:1(0)xyCabab+=的右顶点和上顶点，5AB=，直线AB的斜率为12−.（1）求椭圆的方程；（2）直线//lAB，与x轴交于点M，与椭圆

相交于点,CD，求证：22CMMD+为定值.【答案】（1）2214xy+=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据()(),0,0,AaBb，因为5AB=，直线AB的斜率为12−可得答案；（2）设直线l的方程为12yxm=−+，与

椭圆方程联立，设()()1122,,,CxyDxy，利用韦达定理代入()()222222112222CMMDxmyxmy+=−++−+化简计算可得答案.【小问1详解】,AB分别是椭圆2222:1(0)xyCabab+=的右顶点和上顶点，，可得()(),0,0,

AaBb，因为5AB=，所以225ABab=+=，直线AB的斜率为12−，所以0102ba−=−−，解得2,1ab==，所以椭圆的方程为2214xy+=；【小问2详解】设直线l的方程为12yxm=−+，则()2,0Mm，与椭圆方程联立221214yxmxy=−++

=可得222220xmxm−+−=，由()()2222422840mmm−−=−得22m−，设()()1122,,,CxyDxy，可得21212222xxmxxm+==−，，()()222222112222CMMDxmyxmy+=−++−+222222

11122211444422xmxmxmxmxmxm=−++−++−++−+()()221212125551042xxxxmxxm=+−−++()2222552210102mmmm=−−−+

5=，所以22CMMD+为定值.20.已知四棱锥PABCD−的底面ABCD是直角梯形，AD//BC，ABBC⊥，3,22,ABBCAD===E为CD的中点，PBAE⊥（1）证明:平面PBD⊥平面ABCD；（2）若P

BPD=，PC与平面ABCD所成的角为4，试问“在侧面PCD内是否存在一点N，使得BN⊥平面PCD？”若存在，求出点N到平面ABCD的距离；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）存在N点到平面ABCD的距离为235【解

析】分析】（1）通过证明BDAE⊥，结合题目所给已知PBAE⊥，由此证得⊥AE平面PBD，进而证得平面PBD⊥平面ABCD.（2）存在.通过（1）的结论，利用面面垂直的性质定理建立空间直角坐标系，假设存在符合题意的点N，使BN⊥平面PCD，利用向量线性运算设出N点坐标，结合00BNPCBNPD

==求得N点坐标，由此证得存在一点N，使得BN⊥平面PCD.利用点到平面距离的向量求法，求得点N到平面ABCD的距离.【详解】（1）证明:由四边形ABCD是直角梯形,AB=3，BC=2AD=2，AB⊥BC，可得DC

=2,∠BCD=3，从而△BCD是等边三角形,BD=2,BD平分∠ADC.∵E为CD中点,∴DE=AD=1,∴BD⊥AE,又∵PB⊥AE,PB∩BD=B,∴AE⊥平面PBD.又∵AE⊂平面ABCD∴平面PBD⊥平面ABCD.(2)存在.

在平面PBD内作PO⊥BD于O,连接OC,又∵平面PBD⊥平面ABCD,平面PBD∩平面ABCD=BD,∴PO⊥平面ABCD，∴∠PCO为PC与平面ABCD所成的角,则∠PCO=4∴易得OP=OC=3，PB=PD,PO⊥BD,所以O为BD的中点，OC⊥BD.以OB,OC,OP所在的直线分别

为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则B(1,0,0),C（0,3，0）D(-1,0,0),P（0,0,3）假设在侧面PCD内存在点N，使得BN⊥平面PCD成立，设(,0,1)PNPDPC=++uuuruuur

uuur，易得(,3,3(1))N−−+−由00BNPCBNPD==得12,55==，满足题意，所以N点到平面ABCD的距离为233(1)5−+−=【的【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查利用空间向量

法求点到面的距离，考查存在性命题的向量证法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.21.某工厂A，B两条相互独立的生产线生产同款产品，在产量一样的情况下，通过日常监控得知，A，B生产线生产的产品为合格品的概率分别为p和

21(0.51)pp−．（1）从A，B生产线上各抽检一件产品，若使得产品至少有一件合格的概率不低于99.5%，求p的最小值0p；（2）假设不合格的产品均可进行返工修复为合格品，以（1）中确定的0p作为p的值．①已知A，B生产线的不合格品返工后每件产品可分别挽回损失5元和3元，若从两

条生产线上各随机抽检1000件产品，以挽回损失的平均数为判断依据，估计哪条生产线的挽回损失较多？②若最终的合格品（包括返工修复后的合格品）按照一、二、三等级分类后，每件可分别获利10元、8元、6元，现从A，B生产线的最终合格品中各随机抽取100件进行分级检测，结果统计如图所示，用样本的频率分布估计

总体分布，记该工厂生产一件产品的利润为X，求X的分布列并估计该厂产量2000件时利润的期望值．【答案】（1）0.95；（2）①B生产线挽回的平均损失较多；②分布列见解析，16200元.【解析】【分析】（1）根据独立事件同时

发生以及对立事件的概率，求出产品至少有一件合格的概率，根据已知建立p的不等量关系，即可求解；（2）①根据（1）的结论求出,AB生产线不合格品率，进而求出两条生产线的不合格品数，即可求出结论；②X的可能取值为6，8，10，根据频数分布图，求出X可能值的频率，得到X的分布列，根据期望公式求解

即可.【详解】（1）设从A，B生产线上各抽检一件产品，至少有一件合格为事件C，从A，B生产线上抽检到合格品分别为事件M，N，由题知，M，N互为独立事件，所以()PMp=，()21PNp=−，()1()1()()PCPMNPMPN=−=−21(1)[1(21)]

12(1)ppp=−−−−=−−，令212(1)0.995p−−…，解得0.95p…，故p的最小值00.95p=．（2）由（1）可知，A，B生产线生产产品为合格品率分别为0.95和0.9，不合格品率分别为0.05和0.1．①由题知，A生

产线上随机抽检1000件产品，估计不合格品10000.0550=（件），可挽回损失为505250=（元），B生产线上随机抽检1000件产品，估计不合格品10000.1100=（件），可挽回损失为1003300=（元）．由此，估

计B生产线挽回的平均损失较多．②由题知，X的所有可能取值为6，8，10，用样本的频率分布估计总体分布，则20259(6)20040PX+===，60401(8)2002PX+===，203511(10)20040PX+===，所以X的分布列为X6810P940121

140的所以9111()68108.140240EX=++=（元）．故估计该厂产量为2000件时利润的期望值为20008.116200=（元）．【点睛】本题考查独立事件同时发生的概率，以及离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查创新与应用和运算求解的能力，属于中档题．22

.函数()sin1fxxax=−+，（1）12a=，求()fx的单调区间；（2）若()cosfxx在0,πx上恒成立，求实数a的取值范围；（3）令函数()()1gxfxax=+−，求证：π2π3π8π22151515155

gggg++++.【答案】（1）单调减区间为π5π2π,2π33kk++，Zk；单调增区间为ππ2π,2π33kk−++，Zk.（2）2(,

]π−；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）对函数求导，判断()0fx¢>与()0fx，即可得单调区间；（2）将不等式转化为cossin10axxx+−−恒成立，然后构造新函数()cossin1h

xaxxx=+−−，根据不等式恒成立列不等式组求解2πa，代入2π=a构造新函数，然后分类讨论证明；（3）利用（2）的结论，可得π22sin4π2−−xx，令()singxx=，ππ415kx−

=，415π60kx+=，1k=，2，…，8，代入415π60kx+=，即可证明不等式.【详解】（1）12a=，()1sin12fxxx=−+，()1cos2fxx=−当ππ2π2π33kxk−++，Zk时，()0fx¢>，当π5π2π2π33kxk+

+，Zk时，()0fx，所以，()fx的单调递增区间是ππ2π,2π33kk−++，Zk.()fx的单调递减区间是π5π2π,2π33kk++，Zk.（2）不等式恒成立

等价于cossin10axxx+−−在0,πx上恒成立，令()cossin1hxaxxx=+−−，则由()()00π0π02hhh可得，2πa∵cossi

n1yaxxx=+−−可以看作是关于a的一次函数，单调递增，∴令()2cossin1πxxxx=+−−，对于2πa，0,πx，()()hxx恒成立.只需证明()2cossin10πxxxx=+−−即可.()22πsincos2sinππ4xxxx

=−−=−+①当π0,2x，(πsincos2sin1,24xxx+=+，则()22sincos10ππxxx=−−−，()x在π0,2上单调递减，又()00=，

所以此时()0x恒成立.②当3π,π4x时，()22πsincos2sin0ππ4xxxx=−−=−+恒成立，所以()x在3π,π4上单调递增，又()0=，所以此时()0x恒成立.③当π3π,24x时，()22πsi

ncos2sinππ4xxxx=−−=−+单调递增，π02，3π04，所以在π3π,24上存在唯一的0x，使得()00x=，当()00,xx时，()0x，当()0,πxx时，()0x，所

以()x在()00,xx时单调递减，在()0,πxx时单调递增.∴()00=，()π0=，()00x∴()0x恒成立，故()()0hxx恒成立，∴2πa.（3）由（2）可知2π2sincos12sin1π4π

xxxxx−−−−π22sin4π2xx−−令()singxx=，ππ415kx−=，415π60kx+=，1k=，2，…，8，可得到()()415ππ222sin41515π60260kkk+−=−，从而()()8811818π2222sin41504

15815606025kkkk==+−=−=，即π2π3π8π22151515155gggg++++得证.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的

应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题．（4）考查数形结

合思想的应用．