【文档说明】湖南省衡阳市第八中学2023-2024学年高二上学期期末考试 数学答案终稿.docx，共(16)页，1.083 MB，由管理员店铺上传

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衡阳市八中2022级高二期末试题数学命题人：李瑶刘容审题人：刘慧英请注意：时量120分钟满分150分一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．已

知集合0Axx=，Z3Bxx=，则AB=（）A．2,1,0−−B．0,1,2C．1,2D．1,2,3【答案】D【分析】根据题意求出集合B，然后利用集合的交集运算即可求解.【详解】由题意得3,

2,1,0,1,2,3B=−−−，因为，0Axx=所以1,2,3AB=，故D项正确.故选:D2.已知i为虚数单位，且32i1iz=+，则z=（）A.1i−B.1i−+C.1i+D.1i−−【答案】B【解析】【分析】按复数的除法进行运算即可.【详解】由题意：()22i1i2ii

1i1i2zi+===+=−+−.故选：B.3.在等差数列na中，若36202336aaaa+++=，则13a=（）A．12B．18C．6D．9【答案】D【解析】因为等差数列na中，所以()()3620

2332362013436aaaaaaaaa+++=+++==，所以139a=.故选：D.4.在()512x+的展开式中，3x的系数为（）A．8B．10C．80D．160【答案】C5．已知0a，0b，1ab+=，则4bab+

的最小值为（）A．4B．6C．8D．9【答案】C【分析】利用基本（均值）不等式求和的最小值.【详解】∵0a，0b，1ab+=，∴4bab+14aab−=+141ab=+−()141abab=++−44baab=++

42?4baab+8=（当且仅当4baab=即13a=，23b=时取“=”）.故选：C6．有七名同学排成一排,其中甲,乙两人不能在一起,丙,丁两人要排在一起的排法数是A．960B．720C．480D．240【答

案】A【解析】先把丙,丁两人绑定，与没有要求的另外三人，进行全排列，有5个空，甲,乙两人插空，由分步计算原理计算出结果．【详解】第一步，先把丙,丁两人绑定，有222A=种方法；第二步，把绑定的二人与无要求的三人全排列，有4424A=种方法，这时形成5个空；第三步，把甲,乙两人，插入5个空中，有

2520A=种方法，由分步计算原理可知：有七名同学排成一排,其中甲,乙两人不能在一起,丙,丁两人要排在一起的排法数是22420960=，故本题选A．【点睛】本题考查了分步计算原理、排列有关知识．本题涉及到绑定法、插

空法．7．如图，已知12,FF是双曲线22:221xyCab−=的左､右焦点，,PQ为双曲线C上两点，满足12FPFQ∥，且2213FQFPFP==，则双曲线C的离心率为（）A．105B．52C．153D．102【答案】D【分析】根据双曲线的定义和性

质分析可得ta=，进而可得11290FPQFPF==，结合勾股定理运算求解.【详解】延长2QF与双曲线交于点P，因为12FPFP∥，根据对称性可知12FPFP=，设21FPFPt==，则223FPFQt==，可得2122FPFPta−==，即ta=，所以44PQta==，则1

225QFQFaa=+=，123FPFPa==，即22211PQFPQF+=，可知11290FPQFPF==，在12PFF中，由勾股定理得2222121FPFPFF+=，即()22234a

ac=+，解得102cea==.故选：D.8．函数()fx是定义在()0,+上的可导函数，其导函数为()fx，且满足()()20fxfxx+，若不等式()()lnlnlnaxfaxfxxxax在()1,x+上

恒成立，则实数a的取值范围是（）A．10,eB．1,e+C．(0,eD．1,e+【答案】B【分析】根据题目条件可构造函数()()2gxxfx=，利用导函数判断出函数单调性，将不等式转化成()()lngaxgx，即lnxax在()1,x+

上恒成立，求出函数lnxx在()1,+上的最大值即可得a的取值范围.【详解】设()()2gxxfx=，0x，()()()()()22220gxxfxxfxxfxfxx=+=+所以函数()gx在()0,+上为增函数．由

()fx的定义域为()0,+可知0ax，得0a，将不等式()()lnlnlnaxfaxfxxxax整理得()()222lnlnaxfaxfxx，即()()lngaxgx，可得lnaxx在()1,x+上恒成立，即lnxax在()1,x+上恒成立；令

()lnxxx=，其中1x，所以()maxax()21lnxxx−=，令()0x=，得ex=．当()1,ex时，()0x，所以()x在()1,e上单调递增；当()e,x+时，()0x，所以()x

在()e,+上单调递减；所以()()max1eex==，即1ea故选：B．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9.给出如下四个命题正确的是（）A.方

程22210xyx+−+=表示的图形是圆B.椭圆22132xy+=的离心率33e=C.抛物线21=2yx的准线方程是18x=−D.双曲线2212549xy−=的渐近线方程是57yx=【答案】BC【解析】【分析】对于A选项，配方得其表示点()1,0，故错误；对于B选项，直

接求解离心率33e=，故错误；对于C选项，化标准形式212yx=，再求解即可判断；对于D选项，化为标准形式得2212549xy−=，再求解即可判断；【详解】解：对于A选项，()22222110xyxxy+−+=−+=，故1,0xy==，表示点()1,0，故错误；对于B选项，由题知

223,2ab==，所以1,3ca==，所以离心率33e=，故错误；对于C选项，抛物线22xy=化为标准形式得抛物线212yx=，故准线方程是18x=−，故正确；对于D选项，2225,49ab==，焦点在x轴上，故渐近线方程是75yx=，故错误.故选：BC10.在等比数列{an}中

，公比q为整数，Sn是数列{an}的前n项和.若a1·a4＝32，a2＋a3＝12，则下列说法正确的是()A.q＝2B.数列{Sn＋2}是等比数列C.S8＝510D.数列{lgan}是公差为2的等差数列答案ABC解析因为{an}为等比数列，且a1·a4＝32，所以a2·a3＝32.又a2＋a3

＝12，所以a2＝4，a3＝8，q＝2或a2＝8，a3＝4，q＝12.又公比q为整数，所以a2＝4，a3＝8，q＝2，即an＝2n，Sn＝2×（1－2n）1－2＝2n＋1－2.对于A，由上可得q＝2，故A正确；对于B，因

为Sn＋2＝2n＋1，所以Sn＋1＋2Sn＋2＝2n＋22n＋1＝2，则数列{Sn＋2}是等比数列，故B正确；对于C，S8＝29－2＝510，故C正确；对于D，lgan＋1－lgan＝lg2，即数列{lgan}是公差为lg2的等差数列，故D错误.故选

ABC.11.如图所示，棱长为3的正方体1111ABCDABCD−中，P为线段1AB上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（）A.11DPAB⊥B.当12APPB=时，点1C到平面1DAP的距离为1C.1APDC是定值D.1DP与AC所成的角可能是6【答案】ABC【解

析】【分析】以D为原点，DA为x轴正方向，DC为y轴正方向，1DD为z轴正方向，建立空间直角坐标系，设()3,,3Paa−，()03a，计算1DP，1AB可判断A；假设1DP与AC所成的角是π6，则1πcos,cos6DPAC=，求解

可判断B；计算AP，1DC可判断C；当12APPB=时，()3,2,1P，求出平面1DAP的法向量，利用点到平面的距离公式可判断D.【详解】以D为原点，DA为x轴正方向，DC为y轴正方向，1DD为z轴正方向，建立空间直角坐标系，则()10,0,3D，()13,3,3B，()10,3,3C，()3

,0,0A，()0,3,0C，()0,0,0D，设()3,,3Paa−，()03a，则()13,,DPaa=−，()10,3,3AB=，所以()1130330DaABaP=++−=，则11DPAB⊥，故A正确；因为()3,3,0AC=−，()13,,DPaa=−，所以111

239cos,9232DPACDPACDPaCaA−==+，若1DP与AC所成的角是π6，则1πcos,cos6DPAC=，即293πcos69232aa−=+，整理得()2230a+=，得32a=−，与0<<3a矛盾，故D错误；()0,,

3APaa=−，()10,3,3DC=，所以()1003339APDCaa=++−=uuuruuuur为定值，故C正确；当12APPB=时，()3,2,1P，()13,0,3DA=−，()0,2,1AP=，()110,3,0CD=−，设平面1D

AP的法向量为(),,mxyz=，由133020DAmxzAPmyz=−==+=令2z=，则2x=，1y=−，()2,1,2m=−，点1C到平面1DAP的距离11313CDmdm===，故B正确.故选：ABC.12．已知函数()()()e1e1xxfxxa=+−−，则（）A

．当1a=时，()fx在0x=处的切线方程为yx=B．当2a时，()fx单调递增C．当2a时，()fx有两个极值点D．若()0fx=有三个不相等的实根1x，2x，3x，则1230xxx++【答案】ABC【分析】根据导数的几何意义求切线方程即可判

断A；当2a时，()0fx即可判断B选项；当2a时，()fx有两个不同的零点，即可判断C选项；由()00f=得到0x=是()0fx=的一个根，当0x时，由()0fx=得()e1e1xxxa+=−，然后根据()()()101xxxgxx+=−ee

的奇偶性可得130xx+=，即可判断D选项.【详解】()()111xxxxfxxaxa=++−=+−+eeee，当1a=时，()e1xfxx=+，()01f=，()00f=，所以切线方程为yx=，故A正确；令()0fx，可得11exax++，令()11xhxx=++e，则

()111xxxhx−=−=eee，令()0hx，则0x，令()0hx，则0x，所以()hx在(),0−上单调递减，()0,+上单调递增，则()()min02ahxh==，即当2a时，()0f

x，()fx单调递增，故B正确；当x→−时，()hx→+，当x→+时，()hx→+，()min2hx=，所以当2a时，ya=与()hx的图象有两个不同的交点，即()fx有两个不同的变号零点，所以2a时，()fx

有两个极值点，故C正确；因为()00f=，所以0x=是()0fx=的一个实根，当0x时，由()0fx=，可得()e1e1xxxa+=−，则直线ya=与函数()()()101xxxgxx+=−ee的交点的横坐标为1x，3x，设123=<x

xx0，又()()()()1111xxxxxxgxgx−−++−===−−−eeee，所以()gx为偶函数，图象关于y轴对称，所以130xx+=，所以1230xxx++=，故D错.故选：ABC.【点睛】方法点睛：已知函数单调性求参数范围：①若(

)fx单调递增，则()0fx；②若()fx单调递减，则()0fx.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案写在答题卡的横线上）13..已知tan2=，则sincossincos+=−．【答案】3【分析】根据条件，得到1tan2=−，再利用“齐次式”即可求

出结果.【详解】tan2=，所以sinαcosαtanα13sinαcosαtanα1++==−−，故答案为：314．设向量a，b的夹角的余弦值为13，且1a=，3b=，则()2abb+=.【答案】11【分析】利用平面向量数量

积的运算求解即可.【详解】已知向量a，b的夹角的余弦值为13，且1a=，3b=，则11313ab==，()222221311abbabb+=+=+=.故答案为：11.15．某班为响应校团委发起

的“青年大学习”号召组织了有奖知识竞答活动，第一环节是一道必答题，由甲乙两位同学作答，每人答对的概率均为0．7，两人都答对的概率为0．5，则甲答对的前提下乙也答对的概率是________．(用分数表示)记事件A：甲答对，事件B：乙答对，则有：P(A)＝P(B)＝0．

7，P(AB)＝0．5，所以P(B|A)＝PABPA＝0.50.7＝57．16.在梯形ABCD中，ABCD∥，2AB=，1BCCDDA===，将ACD沿AC折起，连接BD，得到三棱锥DABC−，当三棱锥DABC−的体积取得最大值时，该三棱锥的外接球的表面积为__

____.【答案】5π【解析】【分析】根据梯形ABCD的边长可求出3AC=，由几何体翻折过程中体积最大可得平面ACD⊥平面ABC，由面面垂直性质可确定外接球的球心以及半径，即可求得其表面积.【详解】过点C作CEAB⊥，垂足为E，如图下图

所示：因为ABCD为等腰梯形，2AB=，1CD=，所以12BE=，1cos2BEBBC==，可得π3B=，由余弦定理得2222cos3ACABBCABBCB=+−=，即3AC=，易知222ABBCAC=+，

所以BCAC⊥，易知，当平面ACD⊥平面ABC时，三棱锥DABC−体积最大，如图所示：此时，BC⊥平面ACD，易知，23ADC=，记O为外接球球心，半径为R，由于BC⊥平面ACD，OBOC=，因此O到平面A

CD的距离1122dBC==，又ACD的外接圆半径12π2sin3ACr==，因此外接球半径22254=+=Rrd，即可得球的表面积为24π5πSR==.故答案为：5π四、解答题（本大题共6小题，第17题10

分，其余各小题为12分，共70分。）17．17．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acosC＋3asinC－b－c＝0．(1)求A；(2)若a＝2，则△ABC的面积为3，求b，c．【答案】(1)π3(2)2bc==【详解】（1）由正弦定理，可得sin

cos3sinsinsinsinACACBC+=+.即sincos3sinsinsin()sinACACACC+=++，所以sincos3sinsinsincoscossinsinACACACACC+=++

整理得3sincos1AA−=,即1sin()62A−=,.663AA−==（2）由1,sin3,4,232ASbcAbca=====故222222cos,4abcbcAbcbc=+−=+−由弦定得即余

理故2bc==.18．已知等差数列na和正项等比数列nb满足：113ab==，10212ab−=，433ab=．(1)求数列,nnab的通项公式；(2)记nnncab=，数列nc的前n项和为nS，求nS．【解析】（1）设数

列na的公差为d，数列nb的公比为q，则()11102221143912129933333(33)3adbqabdqadbqabdq+−=−=−=+==+=，消元得2603qqq−−==或2q=−（舍去），故2d=，故()13212

1,3?33nnnnannb−=+−=+==.（2）由()213nnnncabn==+，则()()()()123211322132313213nnSn=++++++++①()()()()231321132213213213n

nnSnn+=+++++−++②①−②得：()()()()23121233233321332333213nnnnnSnn++−=++++−+=++++−+()()113133221323.13nnnnn++−=+−+=−−

故13nnSn+=.19.如图所示，在直三棱柱111ABCABC-中，ACBC⊥，1=2ACBCCC==，M，N分别是1AB，11BC的中点．(1)求证：//MN平面11AACC；(2)求点1C到平面1ABC的距离．【答案】(1)证明见详解；（2）√2.【分析】（1）利用空间向量

证明即可；（2）利用空间向量求解即可.【详解】（1）如图，以C为原点，1,,CACBCC分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系，则()()()()()()1110,0,0,2,0,0,0,2,0,0,0,2,2,0,2,0,2,

2CABCAB因为M，N分别是1AB，11BC的中点，所以(1,1,1)M，(0,1,2)N，所以(1,0,1)MN=−，平面11AACC的一个法向量为(0,2,0)CB=，因为0MNCB=，所以MNCB∥，又因为

MN平面11AACC，CB平面11AACC，所以//MN平面11AACC.（2）由（1）知1(2,0,2)CA=，1(0,0,2)CC=，设平面1ABC的一个法向量为(,,)nxyz=，则120220nCBynCAxz===+=，令1x=，得0,1yz==−，所以平

面1ABC的一个法向量为(1,0,1)n=−.所以点1C到平面1ABC的距离为1222CCndn−===，故点1C到平面1ABC的距离为√2.20.进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地

资源的消耗，具有社会､经济､生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事.为了普及垃圾分类知识,某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为34，乙同学答对每题的概率都为p，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲、乙

两位同学中恰有一人答对的概率为512.(1)求p的值及每题甲、乙两位同学同时答对的概率；(2)试求两人答对的题数之和为3的概率.【答案】(1)23p=，甲、乙同时答对的概率为12(2)512【分析】（1）由互斥事件和对立事

件的概率公式列方程可解得p，再求解每题甲、乙两位同学同时答对的概率；（2）分别求出两人答对1道的概率，答对两道题的概率，两人共答对3道题，则是一人答对2道题另一人答对1道题，由互斥事件和独立事件概率公式可得结论．【详解】（1）设A={甲同学答对第一题}，

B={乙同学答对第一题}，则()34PA=，()PBp=.设C={甲、乙二人均答对第一题}，D={甲、乙二人中恰有一人答对第一题}，则CAB=，DABAB=+.由于二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，所以A与B相互独立，AB与AB相互互斥，所以()()()()PCPABPAPB==，()

()PDPABAB=+()()()()()()()()()()()()11PABPABPAPBPAPBPAPBPAPB=+=+=−+−.由题意可得()31514412pp−+=，则23p=，()()()()321432PCPABPAPB====，所以23p=，每题甲、乙同时答对的概率为12

；（2）设=iA{甲同学答对了i道题}，iB={乙同学答对了i道题}，0i=，1，2.由题意得，()11331344448PA=+=，()23394416PA==，()12112433339PB=+=，()2224339PB==.设E={甲乙二人共答对3道题}，则1221EA

BAB=+.由于iA和iB相互独立，12AB与21AB相互互斥，所以()()()()()()()12211221349458916912PEPABPABPAPBPAPB=+=+=+=.所以，甲乙二人共答对3道题的概率为512.21．已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的离

心率22e=，且点()4,1在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程；(2)若经过定点()0,1−的直线l与椭圆C交于,PQ两点，记椭圆的上顶点为M，当直线l的斜率变化时，求MPQ面积的最大值.【答案】(1)221189xy+=(2)16【分析】(1)根据离心率的值和定义可以求

出,ab之间的关系式，待定系数法设出椭圆方程后把已知点代入求解即可.(2)设出直线方程后，联立直线和椭圆方程，消元化简后，可得121222416,2121kxxxxkk−+==++，利用弦长公式求出弦长，再利用点到直线距离公式求出三角形的高，MPQ的面积可用直线斜率k进行表达，通

过换元转化为一元二次函数，求出最值即可.【详解】（1）椭圆C的离心率22e=，则22212cbaa==−，即2212ba=，所以22abc==，椭圆方程为222212xybb+=.将点()4,1代入方程得29b=，故所求方程为22

1189xy+=.（2）点()0,1−在椭圆C内，直线l的斜率存在，设直线l的方程为1ykx=−，由221,1891,xyykx+==−得()22214160kxkx+−−=.设()()1122,,,PxyQxy，则

121222416,,02121kxxxxkk−+==++.()()()()22221212241941421kkPQkxxxxk++=++−=+.点()0,3M到l的距离22241894,2211MPQkdSPQdkk+===++

.令()2211tkt=+，则21,2tk−=则229(1)481119288822MPQtStt−+==−−.因为101t，所以当()110kt==时，16MPQS=是所求最大值.22.已知函数()()ln,Rfxxxaxa

=−.(1)若()fx有两个极值点()1212,xxxx.求实数a的取值范围.(2)在（1）的条件下，求证：21232xxa−−.【答案】(1)102a(2)证明见解析【分析】（1）二次求导,根据单调性结合最值确定极值点个数求参即可;（

2）构造函数应用单调性求最值，把213xx−分解为()()12212xxxx++−分别证明不等式可得.【详解】（1）因为()()lnfxxxax=−，所以()1lnln21fxxaxxaxaxx=−+−=−+.令()()ln21gxfxxax==−+，则()12

gxax=−.因为()fx有两个极值点，()212xxx，所以()0gx=有两个不等正实根()1212,xxxx.①当0a时，()0gx，所以()gx在()0,+上单调递增，则()gx在()0,+上至多有一个零点，舍去.②当

0a时，令()0gx=得12xa=当102xa时，()0gx，则()gx在10,2a上为增函数；当12xa时，()0gx，则()gx在1,2a+上为减函数；所以12xa=时，()gx取极大值，即为最大值为()1ln22gaa=−

.所以()0gx=有两个不等正实根()1212,xxxx的必要条件是()1ln202gaa=−，解得102a.x→0，f(x)→0−；x→+∞，f(x)→−∞所以102a时，()0gx=有两个不等正实根12,xx.综上，实数a的取值范围是102a.（2）

由（1）知102a，且12102xxa.所以112a因为()gx在10,2a上为增函数，及()1120ga=−，所以11x，又因为212xa，所以21112xxa−−.因为()()120,0gxgx==，所以112

2ln210,ln210xaxxax−+=−+=.所以()1212lnln2xxaxx−=−，所以12121212lnln2xxxxaxx−+=−，所以121xxa+.所以()()2112211123222xxxxxxaaa−=++−+−=−.其中()()12121

21122122121lnlnlnln211xtxxxxxxtxxxtxx−−−+−++（其中121xtx=）构造函数()()()21ln,(01)1tgtttt−=−+，则()22214(1)(1)(1)tgttt

tt−=−=++.因为01t时，()0gt，所以函数()gt在()0,1上单调递增，故()()10gtg=，从而不等式121212lnln2xxxxxx−+−成立.所以21232xxa−−.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue10

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