【文档说明】江西省多所重点校2022-2023学年高二上学期12月统一调研数学试题 含解析.docx，共(22)页，2.018 MB，由管理员店铺上传

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高二数学试卷第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量(1,3,7)(2,,)abmn=−=，分别是直线1l，2l的方向向量，若12//ll，则mn−=（）A.

8B.20C.8−D.20−【答案】A【解析】【分析】根据空间向量平行的坐标表示求解可得.【详解】因为12ll//，则存在实数使得ab=，所以(1,3,7)(2,,)mn−=，即2137mn=−==，解得12=−，

6m=−，14n=−，所以6148mn−=−+=.故选：A.2.考古团队发现，海昏侯墓出土的一套14件编钮钟的出土排序存在错位，推测为随葬时造成，调整为正确顺序后，它已能演奏乐曲，音色清脆悦耳.若将这14件编钮钟（每件编钮钟都不一样）随机排成一排，不同的排法有（）A.1414A种B.14

14种C.14种D.1种【答案】A【解析】【分析】根据题意，该题为排列问题，在无限制条件下全排列即可．【详解】解：将这14件编钮钟（每件编钮钟都不一样）随机排成一排，不同的排法有1414A种，故选：A．3已知直线1l：()()2230kxky−+−+=与直线2l：()210kx

y−−+=垂直，则k=（）A.2或1B.1C.2D.2或1−【答案】B【解析】【分析】由两直线互相垂直，可得两直线系数间的关系，由此列关于k的方程求得k值．【详解】解：直线1:(2)(2)30lkxky−+

−+=与直线2:(2)10lkxy−−+=，且12ll⊥，(2)(2)(2)(1)0kkk−−+−−=，解得2k=或1k=，当2k=时直线1l：30=，直线不存在，即得2k，所以1k=．故选：B．4.从1,2,3,4,5,6,7中任取3个数字，至少有1个数字是偶数的情况有（）A.28种B

.30种C.31种D.35种【答案】C【解析】【分析】首先求得任取3个数字和取得的3个数字均为奇数的情况，作差即可得到结果.详解】从1,2,3,4,5,6,7中任取3个数字，共有37C35=种情况；其中取得的3个数字均为奇数的情况有34C4=种，至少有1个数字是偶数的情况

有35431−=种.故选：C.5.国家体育场（鸟巢），位于北京奥林匹克公园中心区南部，为2008年北京奥运会的主体育场，也是2022年北京冬季奥运会开幕式、闭幕式举办地.某近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同、扁平程度相同的椭圆，已知小椭圆的短轴长为8cm，长轴长为16

cm，大椭圆的短轴长为16cm，则大椭圆的长轴长为（）.【A.32cmB.64cmC.163cmD.323cm【答案】A【解析】【分析】根据椭圆的离心率的公式以及,,abc的关系求解.【详解】设小椭圆的短轴为12b，长轴为12

a，大椭圆的短轴为22b，长轴为22a，所以有1128,216ba==，所以114,8ba==，则有2211143cab=−=，所以小椭圆的离心率11132cea==，依题意可知，大椭圆的离心率等于小椭圆

的离心率，所以2232ca=，且2216b=，222222abc=+，所以解得216,a=所以大椭圆的长轴长为2232cma=，故选：A.6.在正四棱锥P—ABCD中，(1,1,4),(3,2,23)A

BAP=−=−，则该四棱锥的体积为（）A.21B.24C.67D.391【答案】B【解析】【分析】根据正四棱锥的性质，结合空间向量模的坐标公式、棱锥的体积公式进行求解即可.【详解】如图所示，在正四棱锥P—ABCD中，

设顶点P在底面的射影为O，O为正方形ABCD对角线的交点，111632,94125ABAP=++==++=，所以()()22113232322AOAC==+=，222594POPAAO=−=−=，所以该四

棱锥的体积为()21324243=，故选：B7.过点(2,1)Q作抛物线24yx=的弦AB，恰被点Q平分，则弦AB所在直线的方程为（）A.230xy+−=B.230xy−+=C.230xy−−=D.230xy++=【答案】C【解析】【分析】利用点

差法及中点坐标求出直线AB的斜率，再根据点斜式求解即可.【详解】解：设()11,Axy，()22,Bxy，由题意可知12xx，则21122244yxyx==，两式相减，得()()()1212124yyyyxx+−=−，因为(2,1)Q是弦AB的中点，所以124xx+=，122yy+=，所以

()12122yyxx−=−，即12122yyxx−−=，直线AB的斜率为2，所以弦AB所在直线的方程为()122yx−=−，即230xy−−=，故选：C.8.如图，在长方体1111ABCDABCD−中，12AAAD==，3A

B=，P为线段BD上的动点，当直线AP与平面11ABD所成角的正弦值取最大值时，DPDB=（）A.12B.13C.25D.413【答案】D【解析】【分析】利用空间向量的坐标运算表示直线与平面所成角的正弦值即可求解.【详解】建立如图所示空间直角坐标系，21(0,0,0),(2,0,0),(

2,3,0),(2,3,2),(0,0,2),(2,3,0),DABBDDB=设(2,3,0),DPDB==则11(2,3,0),(22,3,0),(0,3,2),(2,0,2).PAPABAD

=−==−设平面11ABD的法向量为(,,).nxyz=则110,0,ABnADn==即320,,220,yzxz+=−+=令3,z=则(3,2,3).n=−26|cos,|||.||||22

1384nAPnAPnAP==−+设直线AP与平面11ABD所成角为，则26sin,221384=−+当413=时，sin最大，故选:D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，

共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知()21001121002aaxaxaxx+++=+−，则（）A.1002a=B.91102a=−C.10

12102aaa+++=−D.展开式中所有项二项式系数的和为102【答案】ABD【解析】【分析】根据二项式的展开公式以及赋值法即可求解.【详解】令0x=，则有1002a=，A正确；()102x−展开式的通项公式为101011010C2()(1)C2kkkkkkkkTxx−−+=−=−，令

1k=，则有199210C2102Txx=−=，所以91102a=−，B正确；令1x=，则有0121010(21)1aaaa++=−++=，所以01210101210012aaaaaaaa+++++=−=+−+，C错误；因为二项式()nab+的二项式系数和为2n，所以展

开式中所有项的二项式系数的和为102，D正确.故选:ABD.10.已知双曲线22:1Cxmy−=的左、右焦点分别为()12,0F−、()22,0F，点P在双曲线C上，下列结论正确的是（）A.3m=B.双曲线C的渐近线方程为3yx=C.存在点P，满足1

24PFPF=D.点P到两渐近线的距离的乘积为34【答案】BD【解析】【分析】求出b的值，可得出双曲线C的方程，可判断A选项；求出双曲线C的渐近线方程，可判断B选项；利用双曲线的定义、焦半径公式以及双曲线的范围可

判断C选项；利用点到直线的距离公式可判断D选项.的【详解】对于A选项，因为1a=，2c=，则223bca=−=，所以，双曲线C的方程为2213yx−=，则13m=，A错；对于B选项，双曲线C的渐近线方程为3byxa==，B对；对于C选项，若存在点P，使得124PFPF=，则点

P必在双曲线C的右支上，由双曲线的定义可得122322PFPFPFa−===，可得223PF=，设点()00,Pxy，则01x，则()222220000024433PFxyxxx=−+=−++−2000044121211xxxx=−+=−=−，

矛盾，故不存在点P，使得124PFPF=，C错；对于D选项，设点()00,Pxy，则220013yx−=，则点P到直线30xy−=距离为00132xyd−=，点P到直线30xy+=的距离为00232xyd+=，所以，2

200123344xydd−==，D对.故选：BD.11.设有一组圆kC：()2222210xykxkykk+−−+−=R，下列命题正确的是（）A.不论k如何变化，圆心kC始终在一条直线上B.若点()3,2在

圆kC的内部则()1,9kC.若圆kC的半径为50，则7k=D.若圆kC上恰有两点到原点的距离为1，则()()22,00,22k−【答案】ACD【解析】【分析】对A，根据圆的一般方程可得圆心坐标判断即可；对B，根据点在圆内则代入圆的标准方程左边，所得值小于右边列式求

解即可；对C，将圆化为标准方程，再根据半径值求解即可；对D，根据题意转化为的以原点为圆心，半径为1的圆与kC有两个交点，再根据两圆间的位置关系列式求解即可.【详解】对A，()2222210xykxkykk+−−+−=R即()()()2221xky

kkk−+−=+R，故圆心坐标为(),kk，则圆心kC始终在直线yx=上，故A正确；对B，由题意，()()222321kkk−+−+，即210120kk−+，解得513513k−+，故B错误；对C，由()()()2221xkykkk−+−=+R可得2150k+=，解得7k=，故C

正确；对D，圆kC上恰有两点到原点的距离为1，则以原点为圆心，半径为1的圆221xy+=与()()()2221xkykkk−+−=+R有两个交点，此时两圆心间的距离222dkkk=+=，故2211211kkk+−++，平方后化简可得222221221

kkk−+++，当0k=时不等式不成立，故0k，则222122010k−+−+=，故只需22221kk++，此时22221kk−+，4224444kkk−++，即428kk，28k，结合0k，解得()()22,00,22k−.故D正确；故选：ACD12.已知椭

圆C：()222123xyaa+=的左、右焦点分别为1F，2F，过椭圆C上一点P和原点O作直线l交圆O：2224xya+=+于M，N两点，下列结论正确的是（）A.椭圆C离心率的取值范围是1,12B.若12PFPF⊥，且OPPM=，则2203a=C.1PMPF−的最小值为23aa−−

−D.若126PFPF=，则7PMPN=【答案】AD【解析】【分析】A中，由椭圆的离心率e的表达式及a的范围，可得离心率的范围，判断A的真假；B中，由题意，可得P在以12FF为直径的圆上，再由||||OPPM=，可得P为OM的中点，由圆的半径r可得11||||22

OPOMrc===，从而求出2a的值，判断B的真假；C中，由椭圆的定义，可得122||||||(2||)||||2PMPFPMaPFPMPFa−=−−=+−，由三点共线，可得它的最小值，判断C的真假；D中，由余弦定理及椭圆的定义，可得||OP的表达式，然后得到|

|PM，||PN的表达式，进而求出||||PNPM的值，判断D的真假．【详解】对于A：由椭圆的方程，可得椭圆的离心率231ceaa==−，因为2a，所以24a，所以2334a，所以23114a−，再由椭圆的离心率(0,1)e，

可得1,12e，所以A正确；对于B：若12PFPF⊥，且OPPM=，则P在以12FF为直径的圆上，如图所示：所以122OPcc==，由题意可得224ca=+，即2244ca=+，所以224(3)4aa−=+，解得2163a=

，所以B不正确；对于C：由椭圆的定义，可得()1222222PMPFPMaPFPMPFaMFa−=−−=+−−，当P为右顶点时取等号，此时1PMPF−最小，且为22242423aacaaa+−−=+−−−，所以C不正确；对于

D：因为12||||2PFPFa+=，所以22222121212||||(||||)2||||426412PFPFPFPFPFPFaa+=+−=−=−，在1PFO中，由余弦定理，可得2221111|||||||2||||cosPFOPOFOPOFPOF=+−，①在2PFO△中，由余弦定理，可

得2222222|||||||2||||cosPFOPOFOPOFPOF=+−，②而12||||OFOFc==，12coscosPOFPOF=−，①+②，可得222212||||2||2PFPFOP

c+=+，即2224122||2aOPc−=+，所以222222||2626(3)3OPacaaa=−−=−−−=−，所以2222||||(||)(||)||4(3)7PMPNrOPrOPrOPaa=−+=−=+−−=，所以D正确．故选：A

D．第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若抛物线28yx=上一点()00,xy到焦点的距离是该点到y轴距离的4倍，则0x=________.【答案】23【解析】【分析】首先求出焦点坐标与准线方程，根据抛物线的定义及已知可得0024xx+=，解得即可.【详解】抛物线28

yx=的焦点为()2,0，准线方程为2x=−，所以抛物线28yx=上一点()00,xy到焦点的距离为02x+，若抛物线28yx=上一点()00,xy到焦点的距离是该点到y轴距离的4倍，则0024xx+=，则023x=．故答案为：23

．14.已知等腰直角三角形斜边上的高所在直线的斜率为3，则该等腰直角三角形两腰所在直线的斜率分别为________，________.【答案】①.2−②.12##0.5【解析】【分析】由已知结合直线的倾斜角与斜率关系及两角和与差的正切公式可求．【详解】解：设等腰直角三角形斜边上的高所在

直线的倾斜角为，则tan3=，由题意得该等腰直角三角形两腰所在直线的倾斜角分别为45+，45−，因为()tantan45tan4521tantan4313115++=+==−−−，tantan451tan(45)1tanta

n452−−==+，所以该等腰直角三角形两腰所在直线的斜率分别为为2−，12．故答案为：2−，12．15.用5种不同的颜色对图5个区域涂色（5种颜色不一定全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有________种.【答案】420【解析】【分析

】要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则涂5块区域至少需要3种颜色，然后对使用的颜色种数进行分类讨论，分别求出方案数，再运用分类加法计数原理求出最后结果.【详解】要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则涂5块区域至少需要3种颜色.若5

块区域只用3种颜色涂色，则颜色的选法有35C种，相对的区域必同色，此时不同的涂色方案有3353CA60=种；若5块区域只用4种颜色涂色，则颜色的选法有45C种，其中一对相对的区域必同色，余下的两个区域不同色，此时不同的

涂色方案有414524CCA240=种；若5块区域只用5种颜色涂色，则每块区域都不同色，此时不同的涂色方案有55A120=种；综上，不同的涂色方案有：60240120420++=种.故答案为：420.16.如图，球O为长方

体1111ABCDABCD−内能放入的体积最大的球，EF是球O的一条直径，P为该长方体表面上的动点，且1224AAABAD===，则PEPF的最大值为________.【答案】10【解析】【分析】根据空间向量的加法运算和数量积的运算律求解

.【详解】根据题意，球O的半径为1，2()()PEPFPOOEPOOFPOPOOF=++=+221,POOEOEOFPOOEOFPO++=+=−当球O与平面1111DCBA相切，点P为四边形ABCD顶点时，22POPO=取得最大值，所以221110POAO−−=，故答案为:10

.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.甲、乙、丙等6名同学站成一排照相.（1）甲、乙、丙3名同学相邻的排法共有多少种？（2）甲、乙、丙3名同学均不相邻的排法共有多少种？【答案】（1）144（2）14

4【解析】【分析】(1）根据题意，分2步进行分析：先将甲乙丙三人看成一个整体，再将这个整体与其他3人全排列，由分步计数原理计算可得答案；(2）甲、乙、丙3名同学均不相邻，可用插空法计算可得答案.【小问1

详解】根据题意，甲、乙和丙三个同学相邻，将三人看成一个整体，有33A6=种情况，将这个整体与其他3人全排列，有44A24=种站法，则有624144=种排法；【小问2详解】甲、乙、丙3名同学均不相邻排法可分为两步解决，先把其余三人排列有33A6=种排法，第二步把甲、乙、丙

三位同学插入由那三个隔开的四个空中，有34A24=种排法，故有3334AA144=种排法．18.已知圆C：()()22124xy++−=，直线l恒过点()1,1-.（1）若直线l与圆C相切，求l的方程；（2）若直线l的倾斜角为3π4，且与圆C相交于P，Q两点，求CPQ（点C

为圆C的圆心）的面积.【答案】（1）1x=或51270xy++=（2）72【解析】【分析】（1）分直线的斜率存在于不存在两种情况讨论，利用圆心到直线的距离等于半径得到方程，求出参数的值，即可得到直线方程；（2）首先得到直线l的方程，从而得到弦长，再由面积

公式计算可得.【小问1详解】圆C：()()22124xy++−=的圆心为()1,2C−，半径2r=，当直线l斜率不存在时，直线l的方程为1x=，此时直线l和圆C相切．当直线l斜率存在时，设方程为1(1)ykx+=−，即10kxyk−−−=，l与圆C相切，

圆心到直线的距离等于半径，即2|21|21kkdk−−−−==+，解得512k=−，直线l的方程为55101212xy−−+−=，即51270xy++=，综上，直线l的方程为1x=或51270xy++=．【小问2详解】直线l的倾斜角为3

π4，则直线的斜率13πtan14k==−，所以直线l的方程为()11yx+=−−，即0xy+=，所以圆心到直线的距离12222d−+==，124142PQ=−=，CPQ的面积1127142222CPQSPQd===．19.如图，在四棱锥PABCD−中，P

D⊥底面ABCD，四边形ABCD为正方形，PDDC=，E，F分别是AD，PB的中点.（1）证明：//EF平面PCD；（2）求直线PB与直线CE所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）1515【解析】【分析】（1）由平行四边形可得线线平行，进而由线面平行的判定定理即可求证，（2）建立空间直角

坐标系，由向量法即可求解线线角余弦值.【小问1详解】如图，设M为PC的中点，连接FM，MD．因为F，M分别为PB，PC的中点，所以1//,2FMBCFMBC=．在正方形ABCD中，1//,2DEBCDEBC=，所以//,DEFMDEFM=．所以四边形DEFM为平行

四边形，//DMEF．因为DM平面PCD，EF平面PCD，所以//EF平面PCD．【小问2详解】以D为原点，以DA，DC，DP所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设2PDDC==，则(2,2,0),(0,2,0),(0,0,2

),(1,0,0),(1,1,1)BCPEF，(1,2,0),(2,2,2)ECPB=−=−．设直线PB与直线CE所成角为，则15cos|cos,|||15|||2352PBECPBECPBEC====，故直线PB与直线CE所成角的余弦值为1515．2

0.已知椭圆()2222:10xyCabab+=的离心率为63，且过点()3,1P.（1）求C的方程；（2）若直线()1:03lyxmm=+与C相交于A、B两点，求P与交点A、B所构成的PAB面积的最大值.【答案】（1）221124xy+=（2）23【解析】【分析】（1）根据已知

条件可得出关于a、b、c方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆C的方程；（2）设点()11,Axy、()22,Bxy，将直线l的方程与椭圆C的方程联立，列出韦达定理，求出AB以及点P到直线AB的距离，利用基本不等式可求得PA

B面积的最大值.【小问1详解】解：由已知可得2222263911ceaababc==+==+，解得23222abc===，因此，椭圆C的方程为221124xy+=.【小问2详解】解：设点()11,Axy、()22,Bxy，直线l不过点P，则1313m+，可得0m，

联立2213312yxmxy=++=可得22469360xmxm++−=，()()2223616936361630mmm=−−=−，又因为0m，所以，21603m，由韦达定理可得1232mxx+=−，2129364m

xx−=，()()()2222221212101631131419363322mmABxxxxm−=++−=+−−−=，直线l的方程可化为330xym−+=，则点P到直线l的距离为()22331013mmd==+−，的所以，()

()222101633163311222410PABmmmmSABd−−===△()2222316333163323442mmmm−−+==，当且仅当221633mm−=时，即当283m=时，等号成立，因此，PAB面积的最大值为23.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中

的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．21.如图，在正六

棱柱111111ABCDEFABCDEF−中，124AAAB==，M，N分别为1EE，1BB的中点.（1）证明：C，M，1F，N四点共面；（2）求平面1CMFN与平面11ABBA所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）427【

解析】【分析】（1）根据证明线线平行证明四点共面即可；（2）空间向量法求面面角余弦值，再根据同角三角函数关系求正弦值即得.【小问1详解】取1CC的中点P，连接111,,PBPMBF,又M为1EE的中点，再结合正六棱柱的性质易得：11//PMBF，且11PMBF=,四边形11

MPBF为平行四边形，11//MFPB，又,NP均为对应棱的中点，1//PBCN，1//MFCNC，M，1F，N四点共面；【小问2详解】根据正六棱柱的性质可得：1,,CECBCC两两相互垂直，分别以直线1,,CECBCC为x轴，y轴，z轴，建立如图的空间坐标系，则根据题

意可得：()()()()()3,3,0,0,0,0,23,0,0,23,0,2,0,2,2ACEMN()3,3,0AE=−,()()23,0,2,0,2,2CMCN==,根据正六棱柱的性质知10,0,ABAEAAAE==平面11ABBA的法向量()3,3,0mAE==−,设平面1CMFN的

法向量为(),,nxyz=,则2320220nCMxznCNyz=+==+=,令3,1,3zxy=−==，则()1,3,3n=−,设平面1CMFN与平面11ABBA所成角平面1CMFN与平面11ABBA所成角的余弦值

为：231cos2377mnmn===所以平面1CMFN与平面11ABBA所成角的正弦值为642sin77==22.已知双曲线C：()222210,0xyabab−=的左、右焦点分别为1F，2F，C的右顶点M在圆

224xy+=上，且1212MFMF=−.（1）求C的方程；（2）若A，B是双曲线C上位于x轴上方的两点，且12//AFBF，2AF与1BF交于点P，证明：12PFPF+是定值.【答案】（1）221412xy−=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由M的坐标求得a，再由向量数量积的坐

标表示求得c，进而得到b，可得双曲线的方程；（2）设直线1AF的方程为4xmy=−，直线1BF的方程为4xmy=+，依题意可得3333m−，设()11,Axy，()22,Bxy，()120,0yy，由11221141412xmyxy=−−=，求出1y，即可表示出1AF，

同理可得2y，2BF，即可得到12123AFBFAFBF=+，由三角形相似得到112PFAFBPBF=，再结合双曲线的定义得到()121124AFBFPFAFBF+=+，同理可得()212124BFAFPFAFBF+=+，

相加即可得解.【小问1详解】因为C的右顶点M在圆224xy+=上，所以(2,0)M，即2a=，设1(,0)Fc−，2(,0)Fc，则()12,0MFc=−−，()22,0MFc=−，又因为1212MFMF=−，所以2412c−=−

，所以216c=，所以22216412bca=−=−=，所以双曲线的方程为221412xy−=；【小问2详解】证明：双曲线221412xy−=的渐近线方程为3yx=，设直线1AF的方程为4xmy=−，直线1BF的方程为4xmy=+，因为A，B是双曲线C上位于x轴上方的两点，且

12//AFBF，所以3333m−，设()11,Axy，()22,Bxy，()120,0yy，由11221141412xmyxy=−−=，化简得()22113124360mymy−−+=，解得212126131m

mym−+=−，或212126131mmym++=−（舍去），又2111AFym=+，同理可得222126131mmym−−+=−，2221BFym=+，因为()()2222121212236111131mAFBFymymyymm+=

++=+=−−，()()2212122121131mAFBFyymm++=++=−−，所以12123AFBFAFBF=+，因为12//AFBF，所以21BPFFPA∽，所以112PFAFBPBF=，又11214PBBFPFBF

PF=−=+−，所以()121124AFBFPFAFBF+=+，同理可得()212124BFAFPFAFBF+=+，所以()()12212112121212442410AFBFBFAFBFAFPFPFAFBFAFBFAFBF+++=+=+=+++，所以12PFPF+为定

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