【文档说明】江西省多所重点校2022-2023学年高二上学期12月统一调研数学试题 含解析.docx,共(22)页,2.018 MB,由管理员店铺上传
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高二数学试卷第Ⅰ卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知向量(1,3,7)(2,,)abmn=−=,分别是直线1l,2l的方向向量,若12
//ll,则mn−=()A.8B.20C.8−D.20−【答案】A【解析】【分析】根据空间向量平行的坐标表示求解可得.【详解】因为12ll//,则存在实数使得ab=,所以(1,3,7)(2,,)mn−=,即2137mn=−==,解
得12=−,6m=−,14n=−,所以6148mn−=−+=.故选:A.2.考古团队发现,海昏侯墓出土的一套14件编钮钟的出土排序存在错位,推测为随葬时造成,调整为正确顺序后,它已能演奏乐曲,音色清脆悦耳.若将
这14件编钮钟(每件编钮钟都不一样)随机排成一排,不同的排法有()A.1414A种B.1414种C.14种D.1种【答案】A【解析】【分析】根据题意,该题为排列问题,在无限制条件下全排列即可.【详解】解:将这14件编钮钟(每件编钮钟都不一样)随机排成
一排,不同的排法有1414A种,故选:A.3已知直线1l:()()2230kxky−+−+=与直线2l:()210kxy−−+=垂直,则k=()A.2或1B.1C.2D.2或1−【答案】B【解析】【分析】由两直线互相垂
直,可得两直线系数间的关系,由此列关于k的方程求得k值.【详解】解:直线1:(2)(2)30lkxky−+−+=与直线2:(2)10lkxy−−+=,且12ll⊥,(2)(2)(2)(1)0kkk−−+−
−=,解得2k=或1k=,当2k=时直线1l:30=,直线不存在,即得2k,所以1k=.故选:B.4.从1,2,3,4,5,6,7中任取3个数字,至少有1个数字是偶数的情况有()A.28种B.30种C.31种D.35种【答案】C【解析】【分析
】首先求得任取3个数字和取得的3个数字均为奇数的情况,作差即可得到结果.详解】从1,2,3,4,5,6,7中任取3个数字,共有37C35=种情况;其中取得的3个数字均为奇数的情况有34C4=种,至少有1个数字是偶数的情况有
35431−=种.故选:C.5.国家体育场(鸟巢),位于北京奥林匹克公园中心区南部,为2008年北京奥运会的主体育场,也是2022年北京冬季奥运会开幕式、闭幕式举办地.某近似鸟巢的金属模型,其俯视图可近似看成是两个大小不同、扁平程度相同的椭圆,已知小椭圆的短轴长为8cm,长轴长为
16cm,大椭圆的短轴长为16cm,则大椭圆的长轴长为().【A.32cmB.64cmC.163cmD.323cm【答案】A【解析】【分析】根据椭圆的离心率的公式以及,,abc的关系求解.【详解】设小椭圆
的短轴为12b,长轴为12a,大椭圆的短轴为22b,长轴为22a,所以有1128,216ba==,所以114,8ba==,则有2211143cab=−=,所以小椭圆的离心率11132cea==,依题意可知,大椭圆
的离心率等于小椭圆的离心率,所以2232ca=,且2216b=,222222abc=+,所以解得216,a=所以大椭圆的长轴长为2232cma=,故选:A.6.在正四棱锥P—ABCD中,(1,1,4),(3,2,23)ABAP=−=−,则该四棱锥的体积为(
)A.21B.24C.67D.391【答案】B【解析】【分析】根据正四棱锥的性质,结合空间向量模的坐标公式、棱锥的体积公式进行求解即可.【详解】如图所示,在正四棱锥P—ABCD中,设顶点P在底面的射影为
O,O为正方形ABCD对角线的交点,111632,94125ABAP=++==++=,所以()()22113232322AOAC==+=,222594POPAAO=−=−=,所以该四棱锥的体积为()21324243
=,故选:B7.过点(2,1)Q作抛物线24yx=的弦AB,恰被点Q平分,则弦AB所在直线的方程为()A.230xy+−=B.230xy−+=C.230xy−−=D.230xy++=【答案】C【解析】【分析】利用点差法及中
点坐标求出直线AB的斜率,再根据点斜式求解即可.【详解】解:设()11,Axy,()22,Bxy,由题意可知12xx,则21122244yxyx==,两式相减,得()()()1212124yyy
yxx+−=−,因为(2,1)Q是弦AB的中点,所以124xx+=,122yy+=,所以()12122yyxx−=−,即12122yyxx−−=,直线AB的斜率为2,所以弦AB所在直线的方程为()122yx−=−,即230xy−−=,故选:C.8.如图,在长方体1111ABCD
ABCD−中,12AAAD==,3AB=,P为线段BD上的动点,当直线AP与平面11ABD所成角的正弦值取最大值时,DPDB=()A.12B.13C.25D.413【答案】D【解析】【分析】利用空间向量的坐标运算表示直线与平面所成角的正弦值即可求解.【详解】建立如图所示空间直
角坐标系,21(0,0,0),(2,0,0),(2,3,0),(2,3,2),(0,0,2),(2,3,0),DABBDDB=设(2,3,0),DPDB==则11(2,3,0),(22,3,0)
,(0,3,2),(2,0,2).PAPABAD=−==−设平面11ABD的法向量为(,,).nxyz=则110,0,ABnADn==即320,,220,yzxz+=−+=令3,z=则(3,2,3
).n=−26|cos,|||.||||221384nAPnAPnAP==−+设直线AP与平面11ABD所成角为,则26sin,221384=−+当413=时,sin最大,故选:D.二、选择题:
本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知()21001121002aaxaxaxx+++=+−,则()A.1002a=B.91102a=−C.1012102aaa+++=
−D.展开式中所有项二项式系数的和为102【答案】ABD【解析】【分析】根据二项式的展开公式以及赋值法即可求解.【详解】令0x=,则有1002a=,A正确;()102x−展开式的通项公式为101011010C2()(1)C2kkkkkkkkTx
x−−+=−=−,令1k=,则有199210C2102Txx=−=,所以91102a=−,B正确;令1x=,则有0121010(21)1aaaa++=−++=,所以01210101210012aaaaaaaa+++++=−=+−+,C错误;因为二项式()
nab+的二项式系数和为2n,所以展开式中所有项的二项式系数的和为102,D正确.故选:ABD.10.已知双曲线22:1Cxmy−=的左、右焦点分别为()12,0F−、()22,0F,点P在双曲线C上,下列结论正确的是()A.3m=B.双曲线C
的渐近线方程为3yx=C.存在点P,满足124PFPF=D.点P到两渐近线的距离的乘积为34【答案】BD【解析】【分析】求出b的值,可得出双曲线C的方程,可判断A选项;求出双曲线C的渐近线方程,可判断B选项;利用双曲线的定义、焦半径公式以及双曲线的范围可判
断C选项;利用点到直线的距离公式可判断D选项.的【详解】对于A选项,因为1a=,2c=,则223bca=−=,所以,双曲线C的方程为2213yx−=,则13m=,A错;对于B选项,双曲线C的渐近线方程为3byxa==,B对;对于C选项,若存在点P,使得124PFPF=,则点P
必在双曲线C的右支上,由双曲线的定义可得122322PFPFPFa−===,可得223PF=,设点()00,Pxy,则01x,则()222220000024433PFxyxxx=−+=−++−2000044121211xxxx=−+=−=−,矛盾,故不存在点P,使得124P
FPF=,C错;对于D选项,设点()00,Pxy,则220013yx−=,则点P到直线30xy−=距离为00132xyd−=,点P到直线30xy+=的距离为00232xyd+=,所以,2200123344xydd−==,D对.故选:
BD.11.设有一组圆kC:()2222210xykxkykk+−−+−=R,下列命题正确的是()A.不论k如何变化,圆心kC始终在一条直线上B.若点()3,2在圆kC的内部则()1,9kC.若圆kC的半径为50
,则7k=D.若圆kC上恰有两点到原点的距离为1,则()()22,00,22k−【答案】ACD【解析】【分析】对A,根据圆的一般方程可得圆心坐标判断即可;对B,根据点在圆内则代入圆的标准方程左边,所得值小于右
边列式求解即可;对C,将圆化为标准方程,再根据半径值求解即可;对D,根据题意转化为的以原点为圆心,半径为1的圆与kC有两个交点,再根据两圆间的位置关系列式求解即可.【详解】对A,()2222210xykxkykk+−−+−=R即()()()22
21xkykkk−+−=+R,故圆心坐标为(),kk,则圆心kC始终在直线yx=上,故A正确;对B,由题意,()()222321kkk−+−+,即210120kk−+,解得513513k−+,故B错误;对C,由()()()2221xkykkk−+−=+
R可得2150k+=,解得7k=,故C正确;对D,圆kC上恰有两点到原点的距离为1,则以原点为圆心,半径为1的圆221xy+=与()()()2221xkykkk−+−=+R有两个交点,此时两圆心间
的距离222dkkk=+=,故2211211kkk+−++,平方后化简可得222221221kkk−+++,当0k=时不等式不成立,故0k,则222122010k−+−+=,故只需22221kk++,此时22221kk−+,4224444
kkk−++,即428kk,28k,结合0k,解得()()22,00,22k−.故D正确;故选:ACD12.已知椭圆C:()222123xyaa+=的左、右焦点分别为1F,2F,过椭圆C上一点P和原点O作直线l交圆O:
2224xya+=+于M,N两点,下列结论正确的是()A.椭圆C离心率的取值范围是1,12B.若12PFPF⊥,且OPPM=,则2203a=C.1PMPF−的最小值为23aa−−−D.若126PFPF=,则7PMPN=
【答案】AD【解析】【分析】A中,由椭圆的离心率e的表达式及a的范围,可得离心率的范围,判断A的真假;B中,由题意,可得P在以12FF为直径的圆上,再由||||OPPM=,可得P为OM的中点,由圆的半径r
可得11||||22OPOMrc===,从而求出2a的值,判断B的真假;C中,由椭圆的定义,可得122||||||(2||)||||2PMPFPMaPFPMPFa−=−−=+−,由三点共线,可得它的最小值,判断C的真假;D中
,由余弦定理及椭圆的定义,可得||OP的表达式,然后得到||PM,||PN的表达式,进而求出||||PNPM的值,判断D的真假.【详解】对于A:由椭圆的方程,可得椭圆的离心率231ceaa==−,因为2a,所以24a,所以2
334a,所以23114a−,再由椭圆的离心率(0,1)e,可得1,12e,所以A正确;对于B:若12PFPF⊥,且OPPM=,则P在以12FF为直径的圆上,如图所示:所以122OPcc==,
由题意可得224ca=+,即2244ca=+,所以224(3)4aa−=+,解得2163a=,所以B不正确;对于C:由椭圆的定义,可得()1222222PMPFPMaPFPMPFaMFa−=−−=+−−,当P为右顶点时取等号,此时1PMPF−最小,且为22242423aacaaa+−−=+−−
−,所以C不正确;对于D:因为12||||2PFPFa+=,所以22222121212||||(||||)2||||426412PFPFPFPFPFPFaa+=+−=−=−,在1PFO中,由余弦定理,可得2221111||||||
|2||||cosPFOPOFOPOFPOF=+−,①在2PFO△中,由余弦定理,可得2222222|||||||2||||cosPFOPOFOPOFPOF=+−,②而12||||OFOFc==,12coscosPOFPOF=−,①+②
,可得222212||||2||2PFPFOPc+=+,即2224122||2aOPc−=+,所以222222||2626(3)3OPacaaa=−−=−−−=−,所以2222||||(||)(||)||4(3)7PMPNrOPrOPrOPa
a=−+=−=+−−=,所以D正确.故选:AD.第Ⅱ卷三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若抛物线28yx=上一点()00,xy到焦点的距离是该点到y轴距离的4倍,则0x=________.
【答案】23【解析】【分析】首先求出焦点坐标与准线方程,根据抛物线的定义及已知可得0024xx+=,解得即可.【详解】抛物线28yx=的焦点为()2,0,准线方程为2x=−,所以抛物线28yx=上一点()00,xy到焦点的距离为02x+,若抛物线28yx=上一点()00,xy到焦点的距离
是该点到y轴距离的4倍,则0024xx+=,则023x=.故答案为:23.14.已知等腰直角三角形斜边上的高所在直线的斜率为3,则该等腰直角三角形两腰所在直线的斜率分别为________,________.【答案】①.2−②.12##0.5【解析
】【分析】由已知结合直线的倾斜角与斜率关系及两角和与差的正切公式可求.【详解】解:设等腰直角三角形斜边上的高所在直线的倾斜角为,则tan3=,由题意得该等腰直角三角形两腰所在直线的倾斜角分别为45+,45−,
因为()tantan45tan4521tantan4313115++=+==−−−,tantan451tan(45)1tantan452−−==+,所以该等腰直角三角形两腰所在直线的斜率分别为为2−,12.故答案为:2−,12.15.用5种不同的
颜色对图5个区域涂色(5种颜色不一定全部使用),要求每个区域涂一种颜色,相邻的区域不能涂相同的颜色,则不同的涂色方法有________种.【答案】420【解析】【分析】要求相邻的区域不能涂同一种颜色,则涂5块区域至少需要3种颜色,然后对使用的颜色种数进行分类讨论,分别求出方案数,再运用分类加法计数
原理求出最后结果.【详解】要求相邻的区域不能涂同一种颜色,则涂5块区域至少需要3种颜色.若5块区域只用3种颜色涂色,则颜色的选法有35C种,相对的区域必同色,此时不同的涂色方案有3353CA60=种;若5块区域只用4
种颜色涂色,则颜色的选法有45C种,其中一对相对的区域必同色,余下的两个区域不同色,此时不同的涂色方案有414524CCA240=种;若5块区域只用5种颜色涂色,则每块区域都不同色,此时不同的涂色方案有55A120=种;综上,不同的涂色方案有:602401204
20++=种.故答案为:420.16.如图,球O为长方体1111ABCDABCD−内能放入的体积最大的球,EF是球O的一条直径,P为该长方体表面上的动点,且1224AAABAD===,则PEPF的最大值为________.【答案】10【解析】【分析】根据空间向量的加
法运算和数量积的运算律求解.【详解】根据题意,球O的半径为1,2()()PEPFPOOEPOOFPOPOOF=++=+221,POOEOEOFPOOEOFPO++=+=−当球O与平面1111DCBA相
切,点P为四边形ABCD顶点时,22POPO=取得最大值,所以221110POAO−−=,故答案为:10.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.甲、乙、丙等6名同学站成一排照相.(1)甲、乙、丙
3名同学相邻的排法共有多少种?(2)甲、乙、丙3名同学均不相邻的排法共有多少种?【答案】(1)144(2)144【解析】【分析】(1)根据题意,分2步进行分析:先将甲乙丙三人看成一个整体,再将这个整体与其
他3人全排列,由分步计数原理计算可得答案;(2)甲、乙、丙3名同学均不相邻,可用插空法计算可得答案.【小问1详解】根据题意,甲、乙和丙三个同学相邻,将三人看成一个整体,有33A6=种情况,将这个整体与其他3人全排
列,有44A24=种站法,则有624144=种排法;【小问2详解】甲、乙、丙3名同学均不相邻排法可分为两步解决,先把其余三人排列有33A6=种排法,第二步把甲、乙、丙三位同学插入由那三个隔开的四个空中,有34A24=种排法,故有3334AA144=种排法.18.已知圆C:()()22
124xy++−=,直线l恒过点()1,1-.(1)若直线l与圆C相切,求l的方程;(2)若直线l的倾斜角为3π4,且与圆C相交于P,Q两点,求CPQ(点C为圆C的圆心)的面积.【答案】(1)1x=或51270xy++=(2)72【解析】【分析】(1)分直线的斜率存在于不存在两种情况讨论,
利用圆心到直线的距离等于半径得到方程,求出参数的值,即可得到直线方程;(2)首先得到直线l的方程,从而得到弦长,再由面积公式计算可得.【小问1详解】圆C:()()22124xy++−=的圆心为()1,2C−,半径2
r=,当直线l斜率不存在时,直线l的方程为1x=,此时直线l和圆C相切.当直线l斜率存在时,设方程为1(1)ykx+=−,即10kxyk−−−=,l与圆C相切,圆心到直线的距离等于半径,即2|21|21kkdk−−
−−==+,解得512k=−,直线l的方程为55101212xy−−+−=,即51270xy++=,综上,直线l的方程为1x=或51270xy++=.【小问2详解】直线l的倾斜角为3π4,则直线的斜率13π
tan14k==−,所以直线l的方程为()11yx+=−−,即0xy+=,所以圆心到直线的距离12222d−+==,124142PQ=−=,CPQ的面积1127142222CPQSPQd===.19.如图,在四棱锥PABCD−中,
PD⊥底面ABCD,四边形ABCD为正方形,PDDC=,E,F分别是AD,PB的中点.(1)证明://EF平面PCD;(2)求直线PB与直线CE所成角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)1515【解析】【分析】(1)由平行四边形可
得线线平行,进而由线面平行的判定定理即可求证,(2)建立空间直角坐标系,由向量法即可求解线线角余弦值.【小问1详解】如图,设M为PC的中点,连接FM,MD.因为F,M分别为PB,PC的中点,所以1//,2FMBCFMBC=.在正方形ABCD中,1//,2DEBCDEBC=,所以//,DEFMDE
FM=.所以四边形DEFM为平行四边形,//DMEF.因为DM平面PCD,EF平面PCD,所以//EF平面PCD.【小问2详解】以D为原点,以DA,DC,DP所在的直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设2PDDC==,则(2,
2,0),(0,2,0),(0,0,2),(1,0,0),(1,1,1)BCPEF,(1,2,0),(2,2,2)ECPB=−=−.设直线PB与直线CE所成角为,则15cos|cos,|||15|||2352PBE
CPBECPBEC====,故直线PB与直线CE所成角的余弦值为1515.20.已知椭圆()2222:10xyCabab+=的离心率为63,且过点()3,1P.(1)求C的方程;(2)若直线()1:03lyxmm=
+与C相交于A、B两点,求P与交点A、B所构成的PAB面积的最大值.【答案】(1)221124xy+=(2)23【解析】【分析】(1)根据已知条件可得出关于a、b、c方程组,解出这三个量的值,即可得出椭圆C的方程;(2)设点()11,Axy、()22,Bxy,将直线l的方程
与椭圆C的方程联立,列出韦达定理,求出AB以及点P到直线AB的距离,利用基本不等式可求得PAB面积的最大值.【小问1详解】解:由已知可得2222263911ceaababc==+==+,解得23222ab
c===,因此,椭圆C的方程为221124xy+=.【小问2详解】解:设点()11,Axy、()22,Bxy,直线l不过点P,则1313m+,可得0m,联立2213312yxmxy=
++=可得22469360xmxm++−=,()()2223616936361630mmm=−−=−,又因为0m,所以,21603m,由韦达定理可得1232mxx+=−,2129364mxx−=,()()(
)2222221212101631131419363322mmABxxxxm−=++−=+−−−=,直线l的方程可化为330xym−+=,则点P到直线l的距离为()22331013mmd=
=+−,的所以,()()222101633163311222410PABmmmmSABd−−===△()2222316333163323442mmmm−−+==,当且仅当221633mm−=时,即当283m=时,等号成立,因此,PAB面积的最大值为23.【点睛】方法点睛:圆
锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种:一是几何法,特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值;二是代数法,常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题,然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有
界性等求最值.21.如图,在正六棱柱111111ABCDEFABCDEF−中,124AAAB==,M,N分别为1EE,1BB的中点.(1)证明:C,M,1F,N四点共面;(2)求平面1CMFN与平面11ABBA所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)427【解析】【分析】(1)根
据证明线线平行证明四点共面即可;(2)空间向量法求面面角余弦值,再根据同角三角函数关系求正弦值即得.【小问1详解】取1CC的中点P,连接111,,PBPMBF,又M为1EE的中点,再结合正六棱柱的性质易得:11//PMBF,且11PMBF=,四边形11MPBF为平行四边形,11//MFPB,又
,NP均为对应棱的中点,1//PBCN,1//MFCNC,M,1F,N四点共面;【小问2详解】根据正六棱柱的性质可得:1,,CECBCC两两相互垂直,分别以直线1,,CECBCC为x轴,y轴,z轴,建立如图的空间坐标系,则
根据题意可得:()()()()()3,3,0,0,0,0,23,0,0,23,0,2,0,2,2ACEMN()3,3,0AE=−,()()23,0,2,0,2,2CMCN==,根据正六棱柱的性质知10,0,ABAEAAAE==平面11ABBA的法向量()3,3,0mA
E==−,设平面1CMFN的法向量为(),,nxyz=,则2320220nCMxznCNyz=+==+=,令3,1,3zxy=−==,则()1,3,3n=−,设平面1CMFN与平面11ABBA所成角平面1CMFN与平面11ABBA所成角的余弦值为:231cos2377m
nmn===所以平面1CMFN与平面11ABBA所成角的正弦值为642sin77==22.已知双曲线C:()222210,0xyabab−=的左、右焦点分别为1F,2F,C的右顶点M在圆224xy+=上,且1212MFMF=−.(1)求C的方程;(2)若A,B是双曲线C上位于x
轴上方的两点,且12//AFBF,2AF与1BF交于点P,证明:12PFPF+是定值.【答案】(1)221412xy−=(2)证明见解析【解析】【分析】(1)由M的坐标求得a,再由向量数量积的坐标表示求得c,进而得到b,可得双曲线的方程;(2)设直线1A
F的方程为4xmy=−,直线1BF的方程为4xmy=+,依题意可得3333m−,设()11,Axy,()22,Bxy,()120,0yy,由11221141412xmyxy=−−=,求
出1y,即可表示出1AF,同理可得2y,2BF,即可得到12123AFBFAFBF=+,由三角形相似得到112PFAFBPBF=,再结合双曲线的定义得到()121124AFBFPFAFBF+=+,同
理可得()212124BFAFPFAFBF+=+,相加即可得解.【小问1详解】因为C的右顶点M在圆224xy+=上,所以(2,0)M,即2a=,设1(,0)Fc−,2(,0)Fc,则()12,0MFc=−−,()22,0MFc=−,又因为1212MFMF=−,所以2412c−
=−,所以216c=,所以22216412bca=−=−=,所以双曲线的方程为221412xy−=;【小问2详解】证明:双曲线221412xy−=的渐近线方程为3yx=,设直线1AF的方程为4xmy=−,直线1BF的方程为4xmy=+,因为A,B是双曲线C上位于x轴上方的两点,且12//AFB
F,所以3333m−,设()11,Axy,()22,Bxy,()120,0yy,由11221141412xmyxy=−−=,化简得()22113124360mymy−−+=,解得212126131mmym−+=−,或212126131mmym++=
−(舍去),又2111AFym=+,同理可得222126131mmym−−+=−,2221BFym=+,因为()()2222121212236111131mAFBFymymyymm+=++=+=−−,()()2212122121131mAFBFyymm++=++=−−
,所以12123AFBFAFBF=+,因为12//AFBF,所以21BPFFPA∽,所以112PFAFBPBF=,又11214PBBFPFBFPF=−=+−,所以()121124AFBFPFAFBF+=+,同理可得()212124BFAFPFAFBF+=+
,所以()()12212112121212442410AFBFBFAFBFAFPFPFAFBFAFBFAFBF+++=+=+=+++,所以12PFPF+为定值10.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com