【文档说明】江苏省南京市大厂高级中学2021-2022学年高二下学期期中数学试题 含解析.docx，共(18)页，1.065 MB，由小赞的店铺上传

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大厂高级中学2021-2022年第二期期中调研测试高二数学一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.把3封信投到4个信箱中，所有可能的投法共有（）A.7

种B.12种C.43种D.34种【答案】D【解析】【分析】由题意可得每封信都有4种投法，再由分步乘法计数原理可求出结果【详解】由题意可得，第1封信投到信箱中有4种投法，第2封信投到信箱中有4种投法，第3封信投到信箱中有4种投法，所以由分步乘法计数原理可得共有3

4444=种投法，故选：D2.已知圆22:68100Cxyxy+−−−=，则（）A.圆C的圆心坐标为()3,4−−B.圆C的圆心坐标为()4,3C.圆C的半径为35D.圆C的半径为35【答案】C【解析】【分析】圆方程配方成标准方程后可得圆心坐标和半

径．【详解】圆C的方程可化为()()223435xy−+−=，则圆心坐标为()3,4，半径为35.故选：C.【点睛】本题考查圆的一般方程，圆的一般方程可以配方为标准方程，得圆心坐标与半径．3.在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则至少取到1件次品的概率为（）A.11317250CCCB.203

47350CCCC.1233250CCCD.1120347347250CCCCC+【答案】D【解析】【分析】利用古典概型的概率求解.【详解】解：从50件产品中，任取2件有250C种方法，至少取到1件次

品有1120347347CCCC+种方法，所以至少取到1件次品的概率为1120347347250CCCCC+=p，故选：D4.设nS是等差数列na的前n项和，若18a=，213S=，则7a=（）A.26B.7−C.10−D.13−【答案】C【解析】【分析】由条件可得3d=−，则可结合等差数列

的通项公式求解.【详解】由题，1218213aSad==+=，所以3d=−，所以()831311nann=−−=−+，所以7371110a=−+=−，故选：C5.下表是2021年我国某地区新能源汽车的前5个月销售量与月份的统计表：

月份代码x12345销售量y（万辆）0.50.611.41.5由上表可知其线性回归方程为0.16ybx=+，则ˆb的值是（）A.0.28B.0.32C.0.56D.0.64【答案】A【解析】【分析】求出样本中心点的坐标

，代入回归直线方程可求得b的值.【详解】由表格中的数据可得1234535x++++==，0.50.611.41.515y++++==，由题意可知，样本中心点()3,1在回归直线0.16ybx=+上，则30.16

1b+=，解得0.28b=.故选：A.6.用0、1、2、3、4这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）A.60个B.40个C.30个D.24个【答案】C【解析】【分析】分两类进行求解：第一类0排在末位；第二类2、4排在末位

，然后每一类按照分步计数原理求解即可.【详解】由题意可分为两类：第一类末位数字为0时，百位数字有4种排法，十位数字有3种，根据分步计数原理，共有4312=种排法；第二类①末位数字为2或4中一个时，有2种排法；②再从除0以外3个数中，选一个放在百位有3种排法，再从剩余

的3个数中，选一个放在十位数字有3种排法，根据分步计数原理，共有23318=种排法；根据分类计数原理，共有121830+=种排法.故选：C7.从集合{1，2，3，4，5}中任取2个不同的数，作为直线Ax＋By＝0的系数，则最多形成不同的直线的条数为（）A.18B.20C.25D.10【答案】A

【解析】【分析】用分步乘法计数原理先列出A的情况,再列出B的情况，再相乘即可，注意考虑表示同一直线的情况.【详解】第一步，给A赋值有5种选择，第二步，给B赋有4种选择，由分步乘法计数原理可得：5×4＝20(种).又因为A＝1，B＝2，与A＝2，B＝4表示同一直线.A＝2，B＝1与A

＝4，B＝2，也表示同一直线.∴形成不同的直线最多的条数为20－2＝18.故选：A8.甲和乙两人独立的从五门选修课课程中任选三门进行学习，记两人所选课程相同的门数为，则()E为A.1.2B.1.5C.1.8D.2【答案】C的【解析】【分析】由已知得=1,2,3，分别求出

相应的概率，由此能求出()E.【详解】由已知得=1,2,3，315333553(1)10CCPCC===,32153233553(2)5CCCPCC===,3533551(3)10CPCC===,所以361()12

31.8101010E=++=,故选C【点睛】本题主要考查了离散型随机变量，离散型随机变量的期望，属于中档题.二､多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对

的得2分，有选错的得0分）9.已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则（）A.实轴长为82B.虚轴长为4C.焦距为6D.离心率为324【答案】ABD【解析】【分析】求出双曲线的标准方程，得到a＝42，b＝

2，c＝6，即得解.【详解】解：双曲线方程x2－8y2＝32化为标准方程为232x－24y＝1，可得a＝42，b＝2，c＝6，所以双曲线的实轴长为422=82，虚轴长为22=4，焦距为62=12，离心率为632=442.故选：ABD10.若x5＝a0

+a1（1+x）+a2（1+x）2+⋅⋅⋅+a5（1+x）5，其中a0，a1，a2，⋅⋅⋅，a5为实数，则（）A.01a=B.a1+a2+⋅⋅⋅+a5＝1C.a1+a3+a5＝−16D.01234523451aaaaaa+++++=−【答案】BD【解析】【分析】运用赋值法，结合导数

的运算逐一判断即可.【详解】在x5＝a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+⋅⋅⋅+a5（1+x）5中，令=1x−，得01a=−，故选项A不正确；令0x=，得01250aaaa++++=，而01a=−，所以1251(1)aaa+++=，所以选项B正确；令2x=

−，得012345123453231(2)aaaaaaaaaaa−+−+−=−−+−+−=−，(1)(2)−，得1351352()3216aaaaaa++=++=，因此选项C不正确；对x5＝a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+⋅⋅⋅+a5（1+x

）5左右两边求导，得42341234552(1)3(1)4(1)5(1)xaaxaxaxax=++++++++，令0x=，得1234502345aaaaa=++++，而01a=−，所以01234523451aaaaaa+++++=−，因此选项D正确，故选：B

D11.甲罐中有3个红球、2个黑球，乙罐中有2个红球、2个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以A表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出一球，以B表示事件“由乙罐取出的球是红球”，则（）A.()35PA=B.()25PBA=C.()1325PB=D.()

913PAB=【答案】ACD【解析】【分析】根据古典概型的计算公式，结合条件概率的计算公式逐一判断即可.【详解】因为甲罐中有3个红球、2个黑球，所以()35PA=，故选项A正确；因为()332213555525PB=+=，所以选项C正确；因

为()3395525PAB==，所以()9()92513()1325PABPABPB===，因此选项D正确；因为()9()3253()55PABPBAPA===，所以选项B不正确，故选：ACD12.

（多选题）正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点．则（）A.直线D1D与直线AF垂直B.直线A1G与平面AEF平行C.平面AEF截正方体所得的截面面积为98D.点C与点G到平面AEF的距离相等【答案】

BC【解析】【分析】利用反证法可判断A，根据线线平行可判断B，由线面平行得等腰梯形，继而可求面积，可判断C，根据反证法可判断D.【详解】根据题意，因为1DD⊥底面ABCD，所以1DD⊥AE，假设直线D1D与直线AF垂直，AEAFA=，则1DD⊥面AEF

，则1DD⊥EF，又因为,EF是中点，所以111//,//EFBCBCAD,故AD1∥EF，所以1AD与1DD所成角为145ADD=，所以直线D1D与直线EF所成角也为45，不垂直，所以与1DD⊥EF矛盾，所以直线D1D与直线AF不垂直，故A错误．因为11//AGD

F，1DF平面1AEFD，1AG平面1AEFD，所以1//AG平面1AEFD，故B选项正确．平面AEF截正方体所得截面为等腰梯形1AEFD，22115122AEDF==+=,11222EFAD==,且梯形的高为225232244−=，故梯形面积为2

32224928+=，故C选项正确．假设C与点G到平面AEF的距离相等，则平面AEF平分CG，即平面AEF必然经过CG的中点，连接CG交EF于点H,H不是CG的中点，故假设不成立，故C与点G到平面AEF的距离不相等，

故D错误．故选:BC【点睛】三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.某市进行了一次全市高中男生身高统计调查，数据显示全市30000名高中男生的身高（单位：cm）服从正态分布()2172,N，且()1721800.4P=，那么该市身高高于180cm的高

中男生人数大约为___________【答案】3000【解析】【分析】由正态分布的对称性求得()180P，结合全市共有30000名高中男生，即可求解.【详解】由题，()()1800.51721800.1PP

=−=，所以该市身高高于180cm的高中男生人数大约为：300000.13000=，故答案为：300014.已知函数()2sinxfxex=+，则()fx在点()()0,0f处的切线方程为___________.【答案】

310xy−+=.【解析】【分析】对函数求导，根据导数的几何意义求出()fx在点()()0,0f处的斜率，代点斜式化简即可.【详解】解：函数()e2sinxfxx=+，()e2cosxfxx=+，()0e2cos030

=f=+，所以()fx在点()()0,0f处的斜率为3，又()00e2sin0=1f=+，所以切点坐标为()01，，()fx在点()()0,0f处的切线方程：13yx−=，即310xy−+=.故答案为：310xy−+=.15

.已知na是等比数列，且公比为q，nS为其前n项和，若2a是1a、2S的等差中项，415S=，则q=___________，1a=___________.【答案】①.2②.1【解析】【分析】利用已知条件可得出2122aaS=+，化简可得q的值，再利用等比数列

的求和公式可求得1a的值.【详解】由题意可得2121222aaSaa=+=+，212aa=，则212aqa==，()4141115151aqSaq−===−，解得11a=故答案为：2；1.16.如图，给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜

色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，若有四种颜色可供选择，则不同的涂色方法共有______种.【答案】264【解析】【分析】按用色数量的不同分成两类，每一类中分步进行，先确定涂A，D，E三点涂法数，再讨

论点B，F，C的涂法数即可.【详解】计算不同涂色方法数有两类办法：当涂四色时，先涂A，E，D，有34A种涂法，再从B，F，C中选一点涂第四种颜色，如B，再涂F，.若F与D同色，则C有2种涂法，若F与D异色，则C有1种涂法，于是得有()3143AC21+种涂法，当涂三色时，先涂

A，E，D，有3343CA种涂法，再涂B，有2种涂法，则F，C各有1种涂法，于是得有33432CA种涂法，利用分类加法计数原理得不同涂色方法数为：()31334343AC212CA21648264++=+=(种)，所以不同的涂色方法共有264种.故答案为：264四､解答题（本大题共6小题，共

70分）17.已知二项式()12nxnx+N的展开式中，第7项为常数项，（1）求n的值；（2）求展开式中所有有理项【答案】（1）9（2）有理项为9512x，6932x，36316x，212，392x−【解析】【分析】（1）写出二

项式展开式的通项公式，根据第7项为常数项，令x的指数为0，求得答案；（2）根据二项式展开式的通项公式，令x的指数取整数，可求得答案.【小问1详解】22311CC22nknkkknkkknnxTxx−−−−+==，0,1,2,,kn=L，∴266666971C

C22nnnnnxTxx−−−−==，∵第7项为常数项，∴90n−=，∴9n=．【小问2详解】由（1）知29183191C2kkkkTx−−+=,0,1,2,,9k=，要使1kT+为有理

项，只需1832k−为整数，且09k,∴当0,2,4,6,8k=时，1kT+为有理项,9199901C2512xTx==，7266639136C2128329Txxx===，5435933112663C23216Txxx===

，6073918421C282Tx===,18399319C22Txx−−==∴有理项为91512xT=，63293Tx=，356316Tx=，7212T=，3992Tx−=.18.如图，在直三棱柱1

11ABCABC-（侧棱垂直于底面的棱柱）中，1CACB==，90BCA=，棱12AA=，N为1AA的中点.（1）求BN的长；（2）求1AB与面1ABC所成角的余弦值.【答案】（1）3（2）10515【解析】【分析】（1）由90BCA=可

得AB，根据直棱柱的特征易证1AAAB⊥，结合勾股定理即可求解；（2）以C为原点，CA，CB，1CC所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，分别得到1ABuuur，CA，1CBuuur的坐标，先求得平面1ABC的法向量n，再求得1ABuuu

r与n的夹角余弦值，进而得到答案.【小问1详解】因为1CACB==，90BCA=，所以2AB=，因为直棱柱，所以1AA⊥平面ABC，因为AB平面ABC，所以1AAAB⊥，因为12AA=，N为1AA的

中点，所以1AN=，所以223BNABAN=+=【小问2详解】以C为原点，CA，CB，1CC所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，连接1AB，则()1,0,0A，()0,1,0B，()0,0,0C，()11,0,2A

，()10,1,2B，所以()11,1,2AB=−−uuur，()1,0,0CA=，()10,1,2CB=uuur，设平面1ABC的法向量为(),,nxyz=r，则100nCAnCB==，即020xyz=+=，令1z=−，则2y=，所以(

)0,2,1n=−r，所以114230cos1556nABnAB===，所以1AB与面1ABC所成角的余弦值为21051cos15−=.19.已知4男3女共7个同学排成一行（1）女生都排在一起，有多少种排法？（用数字做答）（2）任何两个男生都不相邻，有多少种排法？（用

数字做答）（3）男生甲与男生乙中间必须排而且只能排2名女生，女生又不能排在队伍的两端，有多少种排法？（用数字做答）【答案】（1）720（2）144（3）144【解析】【分析】（1）利用捆绑法全排即可求解.（2）利用插空法即可求解.（3）首先在甲、乙之间排两

名女生，再排甲、乙，然后再利用捆绑法排首尾，最后再排余下的人即可求解.【小问1详解】将3名女生看成一个整体，就是5个元素的全排列，有55A种排法，又3名女生内部有33A种排法，所以共有55A33A720=种排法.【小问2详解】女生先排，

女生之间以及首尾共有4个空隙，这4个空隙安插男生即可，所以任何两个男生都不相邻的排法共有33A44A144=种排法.【小问3详解】先选2个女生排在男生甲、乙之间，有23A种排法，又甲、乙有22A种排法，这样就有23A22A种排法，然后把他们4人看成一个整体

（相当于一个男生），这一元素以及另2名男生排在首尾，有23A种排法，最后将余下的1名女生及1名男生排在中间，有22A种排法，故总排法为23A222223144AAA=种排法.20.北京冬季奥运会的成功举

办，引起了人们对冰雪运动的关注．某机构为了了解青少年对冰雪运动的喜爱情况，随机抽取了100名男青少年和100名女青少年，调查他们对冰雪运动的喜爱情况，得到下面的列联表：喜爱不喜爱合计男8515100女7030100合计15545200（1）分别估计男、女青少

年喜爱冰雪运动的概率；（2）能否有95%的把握认为是否喜爱冰雪运动与性别有关？参考公式：()()()()()22nadbcKabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++．参考数据：()20PKk0.100.050.0100.0

010k2.7063.8416.63510.828【答案】（1）0.85；0.7.（2）有95%的把握认为是否喜爱冰雪运动与性别有关【解析】【分析】（1）由表格中的数据，男青少年和女青少年喜爱冰雪运动的人数，进而求得概率的估计值；（2）利用公式，求得22006.45231K=，

结合附表，即可得到结论.【小问1详解】解：由表格中的数据可得，男青少年喜爱冰雪运动的人数为85人，则男青少年喜爱冰雪运动的比率是850.85100=，所以男青少年喜爱冰雪运动的概率的估计值为0.85．女青少年喜

爱冰雪运动的人数为70人，则女青少年喜爱冰雪运动的比率是700.7100=，所以女青少年喜爱冰雪运动的概率的估计值为0.7．【小问2详解】解：由()22200853015702006.4521001001554531K−==，因为6.45

23.841，所以有95%的把握认为是否喜爱冰雪运动与性别有关．21.为调查人们在购物时的支付习惯，某超市对随机抽取的300名顾客的支付方式进行了统计，数据如下表所示：支付方式微信支付宝购物卡现金人数100757550现有甲，乙、丙三人将进入该超市购物，各人支付方式

相互独立，假设以频率近似代替概率.（1）求三人中用支付宝支付的人数多于购物卡支付人数的概率；（2）记X为三人中用微信支付的人数，求X的分布列及数学期望.【答案】（1）1132；（2）分布列见解析，1.

【解析】【分析】（1）分别求出使用4种支付方式的概率，利用分类加法原理和独立重复事件的概率，求出三人中支付宝，支付人数多于购物卡支付人数的概率；（2）估计题意，得出X的可能值为0,1,2,3，利用二项分布的性质求出概率，从而得出分布列和数学期望.【详解】（1）解：使用微信支

付的概率为10013003=，使用支付宝支付的概率为7513004=，使用购物卡支付的概率为7513004=，使用现金支付的概率为5013006=，由题意得三人中使用支付宝支付的人数多于使用购物卡支付的人数的

概率为：322123311111111()()(1)()44443632CC+−++=，（2）解：随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3，318(0)(1)327PX==−=，123114(1)(1)339PXC==

−=，223112(2)()(1)339PXC==−=，311()()3327PX===.X的分布列为：X0123P8274929127期望值为842101231279927EX=+++=.【点睛】本题考查独立重复事件的应用以及二项分布性质分布和期望，考

查计算能力.22.如图，在四棱锥PABCD−中，平面PBC⊥平面ABCD.PBC是等腰三角形，且3PBPC==；在梯形ABCD中，ABDC，ADDC⊥，5AB=，4=AD，3DC=.（1）求证：AB∥面PCD；（2）求二面

角APBC−−的余弦值；（3）请问棱BC上是否存在点Q到面PBA距离为1010，若存在，求出CQCB的值，若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）1010；（3）棱BC上存在点Q到面PBA的距离为1010，||51||20CQ

CB=−.【解析】【分析】（1）由//ABCD即可得出//AB平面PDC；（2）建立空间坐标系，求出平面APB和平面PBC的法向量，计算法向量的夹角得出二面角的大小；（3）设CQCB=，用表示点Q到平面PAB距离，求解可得

的值．【小问1详解】证明：//ABCD，AB平面PCD，CD平面PCD，//AB平面PDC．【小问2详解】的ABCD是直角梯形，//ABDC，ADDC⊥，5AB=，4=AD，3DC=，224(53)25BC=−−=，又3PBPC==，P到BC的距离为2352−=，平面PBC

⊥平面ABCD，P到平面ABCD的距离为2．以D为原点，以DA，DC，及平面ABCD过D的垂线为坐标轴建立空间坐标系如图所示：(4A，0，0)，(4B，5，0)，(0C，3，0)，(2P，4，2)，(2PB=，1，2)−，(0AB=，5，0)，(4CB=，2，0)，设平面APB

的法向量为1(mx=，1y，1)z，平面PBC的法向量为2(nx=，2y，2)z，则00mPBmAB==，00nPBnCB==，111122050xyzy+−==，22

222220420xyzxy+−=+=，令11x=，21x=可得(1m=，0，1)，(1n=，2−，0)，110cos,1025mnmnmn===．由图形可知二面角APBC−−为锐二面角，二面角APBC−−的余弦值

为1010．【小问3详解】假设棱BC上存在点Q到面PBA的距离为1010，设(4CQCB==，2，0)(4=，2，0)，(4Q，23+，0)，(44AQ=−，23+，0)，点Q到平面PBA的距离|44|105|44|1052d−==−=，5120=−，

棱BC上存在点Q到面PBA的距离为1010，||51||20CQCB=−．