【文档说明】山西省晋中市2021届高三下学期3月适应性考试（二模）数学（理）试题 含答案.docx，共(15)页，1.037 MB，由小赞的店铺上传

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绝密★启用前试卷类型：B晋中市2021年3月高三适应性调研考试数学（理科）（本试卷考试时间120分钟，满分150分）★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷指定位置上．2．全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效．3．回答选择题时

，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案用0.5毫米及以上黑色笔迹签字笔写在答题卡上．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．参考公式：锥体的体积公式：13VSh=（其中S为锥体的底面积，h为锥体的高）

．一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合2{|14},|230AxxBxxx==−−…，则AB等于（）A．(1,1]−B．[3,4)C．(,1][3,)−−+D．(,1](1

,)−−+2．已知复数z满足61zi=+，则||z=（）A．2B．22C．3D．323．已知向量(1,3),(,4)abm==，且(2)bab⊥−，则m的值为（）A．2−B．2C．4D．2−或44．魔方又叫

鲁比克方块（Rubk'sCube），是由匈牙利建筑学教授暨雕塑家鲁比克·艾尔内于1974年发明的机械益智玩具，与华容道、独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力游戏界的三大不可思议．三阶魔方可以看作是将一个各面上均涂有颜色的正

方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开所得，现将三阶魔方中1面有色的小正方体称为中心方块，2面有色的小正方体称为边缘方块，3面有色的小正方体称为边角方块，若从这些小正方体中任取一个，恰好抽到边缘方块的概率为

（）A．29B．827C．49D．125．如图，一个四棱柱形容器中盛有水，在底面ABCD中，//ABCD,3AB=，1CD=，侧棱14AA=，若侧面11AABB水平放置时，水面恰好过1111,,,ADBCBCAD的中点，那么当底面ABCD水平放置时，水面高为（）A．2B．52C．3D．726．

已知21sin222cossin2+=+，则tan2=（）A．34−B．43−C．34D．437．已知点F是抛物线2:2(0)Eypxp=的焦点，O为坐标原点，A，B是抛物线E上的两点，满足||||10,

0FAFBFAFBFO+=++=则p=（）A．1B．2C．3D．48．定义在(1,1)−上的函数()fx满足()()()2fxgxgx=−−+，对任意的1212,(1,1),xxxx−，恒有()()()12120fxfxxx−−，则关于x的不等式

(31)()4fxfx++的解集为（）A．1,4−+B．1,04−C．1,4−−D．2,03−9.已知长方体1111ABCDABCD−的底面是边长为2的正方形，高为4，E是1DD的中点，则

三棱锥11BCEC−的外接球的表面积为（）A．12B．20C．24D．3210．已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的右焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线的渐近线交于点A（A在第一象限内），以OA为直

径的圆与双曲线的另一条渐近线交于点B，若//BFOA，则双曲线C的离心率为（）A．233B．2C．3D．211．设()sin2cos2fxaxbx=+，其中0,0ab，若()6fxf„对任意的xR恒成立，则下列说

法正确的是（）A．7105ffB．对任意的xR有5()06fxfx+−=成立C．()fx的单调递增区间是2,()63kkk++ZD．存在经过点(,)ab的直线与函数()fx的图象不相交12．若存在实

数x，y满足ln3yyxxee−−++…，则xy+=（）A．1−B．0C．1D．e二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．设x，y满足0,21,22,xyxyxy+−−−…„…则xy−的最小值是_______，最大值是_________．14．曲线

lnyxax=+与直线21yx=−相切，则a=______．15．过点(2,3)P作圆22:20Cxyx+−=的两条切线，切点分别为A，B，则PAPB=_______．16．如图所示，在平面四边形ABCD中，,,,2ABBDABBDBCCDAD⊥===，在ABC中，角

A，B，C的对应边分别为a，b，c，若22coscabC=，则ACD的面积为__________．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为

选考题，考生根据要求作答）（一）必考题（共60分）17．（12分）设na是各项都为正的单调递增数列，已知14a=，且na满足关系式：1142nnnnaaaa+++=+，*nN．（1）求na的通项公式；（2）若11nnba=−，求数列nb的前n项和nS．18．（12分）现有

两个全等的等腰直角三角板，直角边长为2，将它们的一直角边重合，若将其中一个三角板沿直角边折起形成三棱锥ABCD−，如图所示，其中60ABD=，点E，F，G分别是,,ACBCAB的中点．（1）求证：EF⊥平面CDG；（2）求二面角FAED−−的余弦值．19．（12分）为

了促进电影市场快速回暖，各地纷纷出台各种优惠措施．某影院为回馈顾客，拟通过抽球兑奖的方式对观影卡充值满200元的顾客进行减免，规定每人在装有6个白球、2个红球的抽奖箱中有放回的抽球，每次抽取一个，最多抽取

3次．已知抽出1个白球减10元，抽出1个红球减30元，如果前两次减免之和超过30元即停止抽奖，否则抽取第三次．（1）求某顾客所获得的减免金额为40元的概率；（2）求某顾客所获得的减免金额X的分布列及数学期望．20．（12分）设椭圆2222

:1(0)xyCabab+=，O为原点，点(4,0)A是x轴上一定点，已知椭圆的长轴长等于||OA，离心率为32．（1）求椭圆的方程；（2）直线:lykxt=+与椭圆C交于两个不同点M，N，已知M关于y轴的对称点为M，N关于原点O的对称点为N，若,MN满足(1)O

AOMON=++=，求证：直线l经过定点．21．（12分）已知函数221()2()2xaxfxxxae=+−R（2.71828e=…是自然对数的底数）．（1）若()fx在(0.2)x内有两个极值点，求实数a的取值范围；（2）1a=时，计论关于x的方程2

11()2|ln|()2xfxxxbxbxe−++=R的根的个数．（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程

为22cos,2sinxy=+=（为参数）．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，直线l的极坐标方程为(sincos)1+=．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）点P的极

坐标为1,2，设直线l与曲线C的交点为A，B，且AB的中点为Q，求线段PQ的长．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数()||||(0)fxbxxaa=+−．（1）当1,2ba==时，解不等式()5fx„；（2）当2b=时，若不等式()3fx…对任意的xR

恒成立，求实数a的取值范围．2021年3月高三适应性调研考试数学（理科）答案题号123456789101112答案DDDCBADBBABC1．解析：由题意得集合2|230{1Bxxxxx=−−=−|厔或3}x…，又因为{|14}Axx=，所以{|1ABxx=−„或1}x，

故选D．答案：D2．解析：因为66(1)6(1)331(1)(1)2iziiiii−===−=−++−，所以||32z=．故选D．答案：D3．解析：根据题意，得2(2,2)abm−=−，由(2)bab⊥−，得(2)80mm−+=，解得2m=−或4m=．故选D．答案：A4．解析：沿等分线把正方体切

开得到同样大小的小正方体共有27个，其中有3个面涂色的小正方体共有8个，只有2个面涂色的小正方体共有12个，只有1个面涂色的小正方体共有6个，所以恰好抽到只有2个面有色的小正方体的概率为124279=．故选C．答案：C5．解析：设四棱柱的底面梯形的高为2,,aADBC的中点分别为

,FE，所求的水面高为h，则水的体积1(23)(13)2422ABEFABCDaaVSAAShh++====水四边形四边形・，所以52h=，故选B．6．解析：因为2221sin212sincos(sincos)sincos11tan22cossin22c

os2sincos2cos(sincos)2cos22++++====+=+++，所以tan3=，从而可得22tan63tan21tan194===−−−，故选A

．答案：A7．解析：设()()1122,,,AxyBxy，则1212||||1022ppFAFBxxxxp+=+++=++=，①由0FAFBFO++=，知12123,02pFAFBFOxxyy++=+−+=，所以1232pxx+=，②联立①②解

得4p=，故选D．答案：D8．解析：设()()2()()hxfxgxgx=−=−−，则()hx为奇函数，且在(1,1)−上为增函数，所以不等式(31)()4fxfx++等价于(31)2()20fxfx+−+−，即(31)()0hxhx++，亦

即(31)()()hxhxhx+−=−，可得1311,11,31,xxxx−+−+−，解得104x−，故选B．答案：B9．解析：如图，因为在三棱锥11BCEC−中，11BC⊥平面1CEC且1CEC为直角三角形，所以外接球球心是1BC

的中点，不妨设球的半径为R，则241620R=+=，所以球的表面积2420SR==.故选B．答案：B10．解析：如图，因为AFOF⊥，所以点F在圆上，又//BFOA，所以AOFOFB=，而AOFBOF=

，所以OBF是等腰三角形，所以30AOF=，所以3tan303ba==，所以22313bea=+=，故选A．答案：A11．解析：2222()sin2cos2sin(2)tanbfxaxbxabxaba=+=+

++=„，又31sincos63322fabab=+=+，由题意()6fxf„对任意的xR恒成立，且0,0ab，所以223122abab++„对任意的xR恒成立，即2222313442ababab+++„22323abab

+„恒成立，由基本不等式可知22323abab+=，所以22323abab+…，此时30ab=，所以()3sin2cos22sin26fxbxbxbx=+=+．对于A选项，747132sin2sin103030fbb==，17132sin2sin

53030fbb==，所以7105ff=，故A错误；对于B选顼，因为()2sin26fxbx=+，所以不妨令2,6xkk+=Z，解得,122kxk=−+Z，

当1k=时，512x=，所以5,012是()fx的对称中心，故B正确；对于C选项，由222,262kxkk−++Z剟，知,36kxkk−+Z剟，故C不正确；对于D选项，由题知30ab=，要使经过点(,)ab的直线与函数()fx的图象不相交，则此直线与横

轴平行，又()fx的振幅为2bb，所以直线必与()fx的图象有交点，故D不正确．答案：B12．解析：令()ln3fxxx=−+，则11()1xfxxx−=−=，所以()fx在(0,1)上单调递增，在(1,)+上单调递减，所以max()(1)ln1132f

xf==−+=．令()yygyee−=+，则2yyee−+…，当且仅当0y=时取等号，又ln3yyxxee−−++…，所以ln32yyxxee−−+=+=，所以1,0,1xyxy==+=．答案：C13．解析：如图所示，不等式组满足的平面区域为阴影部分所示区域，设zxy=−，当yxz=−经过

点22,33A−时，zxy=−取到最小值43−；当yxz=−经过点11,33B−时，zxy=−取到最大值23．答案：4233−14．解析：设切点为()00,Pxy，则00000ln,

21yxaxyx=+=−，切线的斜率()0012kfxax==+=，解得01,1xa==．答案：115．解析：由2220xyx+−=得22(1)1xy−+=，所以圆心(1,0)C，半径为1，所以||2,||||3,60PCPAPBAPB====，所以3||||cos602PAPB

PAPB==．答案：3216．解析：∵,ABBDABBD=⊥，∴在等腰直角ABD中22ADABc==，在ABC中，由余弦定理得2222cosababCc+−=，又已知22coscabC=，∴2222abc+=，又∵,,2aBCCDbACADc====，∴222ACCDAD+=，

∴ACCD⊥，作CFBD⊥分别交,BDAD于点F，E（图略），∵BCCD=，E，F分别为线段,ADBD的中点，∴45,1CEDCEED===，∴1222sin4522ACDECDSSECED===．答案：2217．解：（1）因为

*1142,nnnnaaaan+++=+N，所以1124nnnnaaaa+++−=，即()214nnaa+−=，又na是各项为正的单调递增数列，所以12nnaa+−=，3分所以na是首项为2，公差为2的等差数列，所以22(1)2nann=+−=，所以24nan=．6分（2）21

11111141(21)(21)22121nnbannnnn====−−−−+−+，8分所以12nnSbbb=+++1111111112323522121nn=−+−++−−+10分

11122121nnn=−=++．12分18．解：（1）证明：根据已知得ADBD=，又G为AB的中点，所以DGAB⊥，1分因为ACBC=，G为AB的中点，所以CGAB⊥，2分又DGCGG=，所以AB

⊥平面CDG．3分又因为//ABEF，所以EF⊥平面CDG．4分（2）因为,CDADCDBD⊥⊥，所以CD⊥平面ABD，取BD中点H，连接,AHFH，则AH⊥平面BDC，又HFBD⊥，所以以H为原点，以,

,HBHFHA所在直线分别为,,xyz轴建立如图所示的空间直角坐标系，5分则13(0,0,3),(0,1,0),(1,2,0),,1,,(1,0,0)22AFCED−−−，所以13,1,,(0,1,

3),(1,0,3)22AEAFAD=−−=−=−−．6分设平面AEF的法向量为()1111,,nxyz=，则110,0,nAEnAF==即11111130,2230,xyzyz−+−=−=令11z=，得1(3,3,1)n=．8分设平

面AED的法向量为()2222,,nxyz=，则220,0,nAEnAD==即22222130,2230,xyzxz−+−=−−=令21z=−，得2(3,0,1)n=−．10分所以12317cos,727nn−==，所以二面角FAED−−的余弦值为77．12分

19．解：（1）若顾客所获得的减免金额为40元，则第一次抽白球、第二次抽红球或第一次抽红球、第二次抽白球．2分求得顾客所获得的减免金额为40元的概率为62262438888648P=+==．5分（2）某顾客所获得的减免金额X可能为30,40,50,60．6分66

627(30)88864PX===，7分6226243(40)8888648PX==+==，8分6629(50)88864PX===，9分221(60)8816PX===．10分所以X的分布列为X30405060P27643896411611分27391615()3

0405060648641616EX=+++=．所以某顾客所获得的减免金额的数学期望为61516．12分20．解：（1）由题意得，2,3ac==，所以2221bac=−=．3分所以椭圆C的方程为2214xy+=．4分（2）证明：设()()11

22,,,MxyNxy，则()()1122,,,MxyNxy−−−，1212,44AMANyykkxx==−−+．所以()()()()12211212124404444yxyxyyxxxx++++==++++，整理得()12122(4

)80kxxtkxxt++++=．①7分由22,1,4ykxtxy=++=得()222148440kxktxt+++−=，8分则2121222844,1414kttxxxxkk−+=−=++．9分代入①整理得tk=，11分所以直线l的方程为ykxk=+，即

直线l恒过定点(1,0)−．12分21．解：（1）由题意可求得()()22(2)()2xxxaxxxeaxfxxee−−−=+−=，因为()fx在(0,2)x内有两个极值点，所以()0fx=在(0,2)x内有两个不相等的变号根，即0xeax−=在(0,2

)x上有两个不相等的变号根．1分设()xgxeax=−，则()xgxea=−，①当0a„时，(0,2),()0xxgxea=−，所以()gx在(0,2)上单调递增，不符合条件．2分②当0a时，令()0xgxea=−=得lnxa=，当ln2a…，即

2ae…时，(0,2),()0xxgxea=−，所以()gx在(0,2)上单调递减，不符合条件；3分当ln0a„，即01a„时，(0,2),()0xxgxea=−，所以()gx在(0,2)上单调递增，不符合条

件；4分当0ln2a，即21ae时，()gx在(0,ln)a上单调递减，(ln,2)a上单调递增，若要0xeax−=在(0,2)x上有两个不相等的变号根，则(0)0,(2)0,(ln)0,0ln2,

gggaa，解得22eea．5分综上所述，22eea．6分（2）设2211()|ln|()2|ln|,(0,)2xxxhxxfxxxbxbxxee=−−+−=−−+，令2xxye=，则212xxye−=，所以2

xxye=在10,2上单调递增，在1,2+上单调递减．（ⅰ）当(1,)x+时，ln0x，则2()lnxxhxxbe=−−，所以22()21xxehxexx−=+−．因为2210,0xexx−，所以()0hx，因此()hx在(

1,)+上单调递增．7分（ⅱ）当(0,1)x时，ln0x，则2()lnxxhxxbe=−−−，所以22()21xxehxexx−=−+−．因为()2221,,10,211xxeeexx−，所以22()210xxehxexx

−=−+−，因此()hx在(0,1)上单调递减．8分综合（ⅰ）（ⅱ）可知，当(0,)x+时，2()(1)hxheb−=−−…，当2(1)0heb−=−−，即2be−−时，()hx没有零点，故关于x的方程根的个数为0，9分当2(1)0he

b−=−−=，即2be−=−时，()hx只有一个零点，故关于x的方程根的个数为1，10分当2(1)0heb−=−−，即2be−−时，①当(1,)x+时，121()lnlnln12xxhxxbxebxbe−=−−−+−−，要使()

0hx，可令ln10xb−−，即()1,bxe++；②当(0,1)x时，121()lnlnln12xxhxxbxebxbe−=−−−−−+−−−…，要使()0hx，可令ln10xb

−−−，即()10,bxe−−，所以当2be−−时，()hx有两个零点，故关于x的方程根的个数为2．11分综上所述：当2be−=−时，关于x的方程根的个数为0，当2be−=−时，关于x的方程根的个数为1，当b2be−−时，关于x的方程根的个数为2

．12分22．解：（1）由题意可知在曲线C中，22cos,2sinxy−==，则2222(2)4cos4sin4xy−+=+=，得曲线C的直角坐标方程为22(2)4xy−+=；2分因为cos,sinxy==，可得直线l的直角坐标方程为10xy+−=．4分（2）已知

点P的直角坐标为(0,1)，设直线l的参数方程为2,221,2xtyt=−=+代入曲线C的普通方程得23210tt++=，6分设A，B对应参数为12,tt，则Q对应的参数为122tt+，8分故1232||22ttPQ+==∣．10分23．解：（1）当1,2ba

==时，不等式()5fx„即为|||2|5xx+−„，1分法一：当2x…时，可得(2)5xx+−„，解得72x„，则722x剟；2分当02x时，可得(2)5xx−−„，即25„，所以02x；3分当0x„时，可得(2)5xx−−−„，解得32x−…，则302x−剟．4

分综上可得，原不等式的解集为37,22−．5分法二：根据绝对值的几何意义可得不等式的解集为37,22−．5分（2）当2b=时，若不等式()3fx…对任意的xR恒成立，即为min()

3fx…，又3,,(),0,3,0,xaxafxxaxaaxx−=+−…„6分当xa…时，()()2fxfaa=…；7分当0xa时，()2afxa；8分当0x„时，()fxa…．9分故min()fxa=，则3a…，即a的取值范围

是[3,)+．10分