【文档说明】四川省仪陇中学校2022-2023学年高一下学期第一次月考（4月）数学试题 含解析.docx，共(20)页，1.401 MB，由小赞的店铺上传

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仪陇中学2022-2023学年度下期第一次月考高一数学试卷满分：150分考试时间：120分钟第I卷（选择题）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合0,1,2,4A=，|2,NnBxxn==，则AB=（）A.

1,2B.1,4C.2,4D.1,2,4【答案】D【解析】【分析】先求出集合B，再求AB.【详解】|2,N1,2,4,8,16nBxxn===.因为0,1,2,4A=，所以AB=1,2,4.故选：D2.sin150的值为（）A.32−B.12−C.12D.32

【答案】C【解析】【分析】根据诱导公式及特殊三角函数值求解即可.【详解】()1sin150sin18030sin302=−==.故选：C.3.命题“00x，200560xx−+”的否定是（）A.0x，2560xx−+B.

0x，2560xx−+C.0xR，200560xx−+D.00x，200560xx−+【答案】B【解析】【分析】根据存在量词命题的否定的知识确定正确答案.【详解】原命题是存在量词命题，其否定是全称量

词命题，注意到是否定结论，而不是否定条件，所以命题00x，200560xx−+的否定是0x，2560xx−+,故选：B4.设lg2a=，cos2b=，0.22c=，则（）A.b<c<aB.cbaC.bacD.abc【答案】C【解析】【分析】分别利

用指数函数、对数函数、三角函数单调性，限定,,abc的取值范围即可得出结论.【详解】根据对数函数lgyx=在定义域内为单调递增可知0lg1lg2lg101==，即()0,1a；由三角函数cosyx=单调性可知πc

os2cos02b==<；利用指数函数2xy=为单调递增可得0.20221c==；所以bac.故选：C5.如图，梯形ABCD中，//ABCD，且2ABCD=，对角线,ACDB相交于点O，,ADaABb==，则OC=uuur（）

A.36ab−B.36ab+C.236ab+D.236ab−【答案】B【解析】【分析】由已知可得3ACOC=、22ABbDC==，再根据ACADDC=+、3ACOC=求OC即可.【详解】由题设知：12CDOCABOA==，得2OAOC=，即3ACOC=，又22ABbDC==，∴由2bACADD

Ca=+=+，可得336ACabOC==+.故选：B6.函数esinxyx=在区间2,2−上的图象大致是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由奇偶性排除AC；由()esin0xfxx==的解判断BD.【详解】令()esinxfxx=，()esin()x

fxxfx−==，即函数()esinxfxx=为偶函数，图象关于y轴对称，故AC错误；令()esin0xfxx==，即sin0x=，解得0,π,2πx=，即该函数在区间2,2−上由5个零点，

故B正确，D错误；故选：B7.已知第二象限角满足()2sinπ3+=−，则()()sin22sincos−+−的值为（）A.19−B.459−C.19D.459【答案】D【解析】【分析】由诱导公式和同角三角函数的基本关系求出2sin3=5cos3=−，，再

由两角和的正弦公式代入化简所求表达式可得()()sin22sincos2sincos−+−=−，即可得出答案.【详解】因为2sin3=，且为第二象限角，所以225cos133=−−=−，于是()()()()()()s

in22sincossin2sincos−+−=+−−−+−()()()()sincoscossinsin22sincos=−+−++−=−=−25452339=−

−=.故选：D.8.设函数π()sin,(0,5π)6fxxx=+，方程2[()]1fx=恰有5个实数解，则正实数的取值范围是（）A.1316,1515B.1316,1515C.297,306D.1319,66【答案】B

【解析】【分析】当05πx时，得到πππ5π666x++.若方程2[()]1fx=恰有5个实数解，只需函数π()sin6fxx=+在区间(0,5π)上恰好有5个()fx，使得()1fx=，从而确定()fx在(0,

5π)上恰有5条对称轴．结合正弦函数的图象可建立9ππ11π5π262+求解即可.【详解】当05πx时，πππ5π666x++，因为函数π()sin6fxx=+在区间(0,5π)上恰好有5个()fx，使得()1fx=，故()fx在(0,5π)上恰有5条对称轴

．令π6xt+=ππ(5π)66t+，则sinyt=在ππ(,5π)66+上恰有5条对称轴，如图：所以9ππ11π5π262+，解得1316,1515．故选：B．二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5

分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列选项正确的是（）A.5cosπsin2+=B.5πrad2254=C.若终边上有一点()5,12P−，则12sin13=−D.若一扇形弧长为2，圆心角为90，则该扇形的面积为2【答案】BC【解析】【分

析】利用诱导公式判断A，根据弧度与角度的关系判断B，根据三角形函数的定义判断C，由扇形的弧长与面积公式判断D.【详解】对于A：5ππcosπcos2πcossin222+=++=+=−，故A错；对于B：55180πradπ22544π==，

故B正确；对于C：若终边上有一点()5,3P−，则221212sin135(12)−==−+−，故C正确；对于D：若一扇形弧长为2，圆心角为90，则该扇形的半径24ππ2r==，所以扇形的面积1144222ππSlr===，故D不正确.故选：BC10

.若函数cos2yx=与函数()sin2yx=+在π0,4上的单调性相同，则的一个值为（）A.π6B.3π4C.4π3−D.4π3【答案】BC【解析】【分析】根据函数单调性列出不等式求出的取值范围即可求解.【详解】因为π0,4x，所以π

20,2x，所以根据余弦函数的性质可得函数cos2yx=在π0,4上的单调递减，由于函数cos2yx=与函数()sin2yx=+在π0,4上的单调性相同，所以函数()sin2yx

=+在π0,4上单调递减，所以π2π2,Zπ3π22π42kkk+++解得π2ππ2π,Z2kkk++，当0k=时，ππ2，B满足，当1k=−时，3ππ2−−

，C满足，故选:BC.11.已知函数()yfx=的定义域为R，且对任意Rab，，都有()()()fabfafb+=+，且当0x时，()0fx恒成立，则（）A.函数()fx是R上的减函数B.函数()fx是奇函数C.若()=22f−，则|()|1

fx的解集为(1,1)−D.函数f(x)+2x为偶函数【答案】ABC【解析】【分析】利用单调性定义结合121222()()()()fxfxfxxxfx−=−+−12()fxx=−可判断A；利用特殊值求出(0)0f=，从而证明()()fxfx−=−可判断B，根据条件求出

()()1111ff−==−，，进而利用单调性的解不等式可判断C，利用奇偶性的定义可判断D.【详解】设12xx，且1Rx，2Rx，则120xx−，而()()()fabfafb+=+121222()()()()fxfxfxxxfx−=−+−1222()()()fxxf

xfx=−+−12()fxx=−，又当0x时，()0fx恒成立，即12()0fxx−，12()()fxfx，函数()yfx=是R上的减函数，A正确；由()()()fabfafb+=+，令0ab==可得(

0)(0)(0)fff=+，解得(0)0f=，令,==−axbx可得()()()fxxfxfx−=+−，即()()(0)fxfxf+−=，而(0)0f=，()()fxfx−=−，而函数()yfx=的定义域为R，故函数()

yfx=是奇函数，B正确；令1ab==−可得(2)(1)(1)2fff−=−+−=，解得()11f−=，因为函数()yfx=是奇函数，所以(1)1f=−，由|()|1fx，可得1()1fx−，因为函数()yfx=是R上的减函数，所以11x−，C正确；令2(

)()gxfxx=+，易知定义域为R，因为22()()()()()2()gxgxfxxfxxfx−−=+−−−−=，显然()()0gxgx−−=不恒成立，所以2()()gxfxx=+不是偶函数，D错误.故选：ABC.12.ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列命题正确的是（）．A

.若PAPBPBPCPCPA==，则P是ABC的垂心B.若ABACAPABAC=+，则直线AP必过ABC的外心C.若ABACABAC+=−，则ABC为直角三角形D.若()3ABACCB−⊥，则角A最大值为

30【答案】ACD【解析】【分析】推导出PBAC⊥，同理可得PABC⊥，PCAB⊥，可判断A选项；利用设ABAEAB=，ACAFAC=，则1AEAF==，以AE、AF为邻边作平行四边形AEQF，利用菱形的几何性质可判断B选

项；由ABACABAC+=−可得()()22ABACABAC+=−，利用平面向量垂直的数量积表示可判断C选项；分析可知()30ABACCB−=，利用平面向量数量积的运算性质结合基本不等式可求得cosA的最小值，

结合角A的取值范围可判断D选项.【详解】对于A选项，由题意可得()0PAPBPBPCPBPAPCPBCA−=−==，所以，PBAC⊥，同理可得PABC⊥，PCAB⊥，故P为ABC的垂心，A对；对于B选项，设AB

AEAB=，ACAFAC=，则1AEAF==，以AE、AF为邻边作平行四边形AEQF，则平行四边形AEQF为菱形，则ABACAQAEAFABAC=+=+，所以，ABACAPAQABAC=+=，又因为AQ平分BAC，故AP必经过ABC的内心，B错；对于C选项

，由ABACABAC+=−可得()()22ABACABAC+=−，整理可得0ABAC=，即ABAC⊥，故ABC为直角三角形，C对；对于D选项，()3ABACCB−⊥，则()()()33ABACCBABACABAC−=−−的2222434cos30AB

ABACACccbAb=−+=−+=，所以，223334cos223cbcbcbAbcbcbc+==+=，即3cos2A，当且仅当3=cb时，等号成立，又因为0180A，故030A，即角A的最大值为30，D对.故选：ACD.第II卷（非选

择题）三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.1322sin15sin75−=______．【答案】32−【解析】【分析】根据诱导公式、倍角公式运算求解.【详解】由题意可得：()2222223sin15s

in75sin15sin9015cos15sin15cos302−−=−−=−=−=−.故答案为：32−.14.已知3a=，=4b，且a与b不共线，若)()akbakb+⊥−（，则k=____.【答案】34【解析】【分析】根据两个向量垂直，则它们

的数量积为零列方程，解方程求得k的值.【详解】因为)()akbakb+⊥−（，所以222222)()0akbakbakbakb+−=−=−=（，又因为3a=，4b=，所以239160,.4kk−==【点睛】本小题主要考查向量数量积运算，考查两个向量垂直的表示，考

查方程的思想，所以基础题.15.已知关于x的函数2yxm=−与()21yxmxm=−++−的图象有2个交点，则m的取值范围是___________.【答案】0m或m>2.【解析】【分析】先分析并作出两函数的图像，结合图像可得12mm或12mm

，从而得解.【详解】对于函数()2yfxxm==−，当2mx时，()2fxxm=−，显然()fx在,2m+上单调递增；当2mx<时，()2fxxm=−+，显然()fx在,2m−上单调递减；当2mx=时，()20fxxm=−=，函数

()()()()211ygxxmxmxxm==−++−=−−−，显然()gx的图象开口向下，且与x轴交于点()1,0，()0m,，作出()fx与()gx的图像如下，结合图像可知当点,02m

在点()1,0和点()0m,之间时，()fx与()gx的图象有2个交点，当1m时，12mm，解得0m；当1m时，12mm，解得m>2；综上所述，m的取值范围是：0m或m>2.故答案为：0m或m>2.

16.设a为实常数，()yfx=是定义在R上的奇函数，当0x时，()246afxxx=++，若()1fxa+对一切0x成立，则a的取值范围为______.【答案】7(,]5−−【解析】【分析】根据奇函数的性质，结合基本不等式分类讨论进行求解

即可.【详解】当0x时，()()224646aafxfxxxxx=−−=−−−+=+−，由()21461afxaxax++−+，当0x时，224624646aaxxaxx+−−=−，当且仅当24axx=时取等号，即2ax=时取等号，要想()1

fxa+恒成立，只需461aa−+成立，则有0461aaa−+，或0461aaa−−+，解得73a，或75a−，当0x=时，由奇函数的性质可知()00f=，所以要想()01101faaa++−，综上所述：a取值范围为7(,]5−−，故答案为：

7(,]5−−四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知12aba==，，与b的夹角为45．（1）求()aba+的值；（2）求2ab−的值【答案】（1）2（2）2【解析】【分析】（1）先求2,aab，再根据运算法则展开计算即可

；（2）先计算2b，再平方，进而开方即可.【小问1详解】因为22||1,||||cos4512122aaabab=====的所以2()112abaaab++==+=【小问2详解】因为22||2bb==，所以2222|2|(2)444242abababab−=−=+

=+−−=所以2|2|ab−=.18.如图，以Ox为始边作角与()0，它们的终边分别与单位圆相交于点P、Q，已知点P的坐标为34,55−．（1）求sin2cos211tan+++的值；（2）已知OPOQ⊥，

求()tan+．【答案】（1）1825（2）724−【解析】【分析】（1）由三角函数的定义首先求得sin,cos的值，然后结合二倍角公式和同角三角函数基本关系化简求解三角函数式的值即可；（2）由题意可得2

−=，然后利用诱导公式求出34sin,cos55==，分别求出tan,tan的值，然后再利用两角和的正切公式即可得解.【小问1详解】由三角函数定义得3cos5=−，4sin5=，∴原式2222sincos2cos

2cos(sincos)3182cos2sinsincos5251coscos++====−=++【小问2详解】由OPOQ⊥，得ππ,22−==−，3sinsincos25π=−=−

=，π4coscossin25=−==，所以sintans43co==−，sin3tancos4==∴43tantan734tan()431tantan241()34

−+++===−−−−．19.已知函数2πππ1()sin3sincos1212122fxxxx=−+−−−．（1）求()fx的最小正周期及单调递增区间；（2）求()fx在π0,2

上的最值及取最值时相应的x值．【答案】（1）πT=，单调递增区间为π5ππ,π1212kk−++，kZ（2）0x=时，()fx最小值为32−；5π12x=时，()fx最大值为1【解析】【分析】

（1）使用三角恒等变换将()fx化简后求解即可；（2）由正弦（型）函数的性质进行求解即可.【小问1详解】由已知，2πππ1()sin3sincos1212122fxxxx=−+−−−π1cos23π16sin

22262xx−−=+−−3π1πsin2cos22626xx=−−−ππsin266x=−−πsin23x=−，∴()πsin23fxx=−的最小正周期2ππ2T=

=，由πππ2π22π232kxk−+−+，kZ，解得π5πππ1212kxk−++，kZ，∴()fx的单调递增区间为π5ππ,π1212kk−++，kZ.【小问2详解】由（1）知，()πsin23fxx=−，当π02x时，ππ2π2333x−−，∴

由正弦函数的性质知当233x−=−ππ，即0x=时，()πsin23fxx=−取最小值，最小值为()π30sin32f=−=−，当ππ232x−=，即5π12x=时，()πsi

n23fxx=−取最大值，最大值为5ππsin1122f==.20.已知点G为ABC的重心．（1）求GAGBGC++；（2）过G作直线与AB、AC两条边分别交于点M、N，设AMxAB=uuu

ruuur，ANyAC=uuuruuur，求11xy+的值．【答案】（1）0（2）3【解析】【分析】（1）根据已知得出GAGBGC、、与三边所在向量关系，即可根据向量的运算得出答案；的（2）根据已知得出()13AGABAC=+，结合AMxAB=uuuru

uur，ANyAC=uuuruuur，根据M、N、G三点共线，结合向量运算与向量相等的定义列式整理，即可得出答案.【小问1详解】点G为ABC的重心，()13GABACA=+，()13GBABCB=+，()13GCACBC=+

，()110033BACAABCBACBGAGBGCC++++===+++，【小问2详解】点G为ABC的重心，()13AGABAC=+，MGAGAM=−，()13ABACxAB=+−，1133xABAC=−+，GNANAG=−，()13yACABAC=−+，1133AByAC

=−+−，MG与GN共线，存在实数，使得MGGN=，则11113333xABACAByAC−+=−+−，根据向量相等的定义可得11331133xy−=−=−，消去可得30xyxy+−=，两边同除xy，

整理得113xy+=.21.某城市2023年1月1日的空气质量指数（简称AQI））与时间x（单位：小时）的关系()yfx=满足下图连续曲线，并测得当天AQI的最大值为103．当0,14x时，曲线是二次函数图像的部分；当(14,

24x时，曲线是函数()2102log13yx=−−图像的一部分．根据规定，空气质量指数AQI的值大于或等于100时，空气就属于污染状态．（1）求当0,14x时，函数()yfx=的表达式；（2）该城市2023年1月1日这一天哪

个时间段的空气属于污染状态？并说明理由．【答案】（1）()()2112103,0,144fxxx=−−+（2）1223,17−，理由见详解【解析】【分析】（1）根据图象结合二次函数运算求解；（2）由（1）可得()()()(22112103,0,144102log13,14,24

xxfxxx−−+=−−，分类讨论解不等式()100fx即可得结果.【小问1详解】当0,14x时，有图像可得：二次函数开口向下，顶点坐标为()12,103，且过()()10,102,14,102，可设()()212103,0fxaxa=−+，

代入点()10,102可得()21012103102a−+=，解得14a=−，故当0,14x时，()()21121034fxx=−−+.【小问2详解】由（1）可得：()()()(22112103,0,144102log13,14,24xxfxxx−−+=−−，当0

,14x时，令()()21121031004fxx=−−+，解得122314x−；当(14,24x时，令()()2102log11003fxx=−−，解得1417x；综上所述：当1223,17x

−时，空气属于污染状态.22.已知函数()245fxxax=−+，其中a为常数.（1）若对1,22x，()121fx恒成立，求实数a的取值范围；（2）若方程()2sin0fx=在5π0,6内有且只有三个互异实数解，求实数

a的取值范围.【答案】（1）0,8（2）2192a【解析】【分析】（1）参变分离得到16444xaxxx−+对1,22x恒成立，由函数单调性和基本不等式求出()164gxxx=−和()44hxxx=+的最值，得到实数a的取值范围；（2）解法一：换元后得到2

450tat−+=，问题等价于11t=且212t；或101t且212t；或112t且22t=，分三种情况数形结合得到实数a的取值范围；解法二：换元后得到2450tat−+=，问题等价于11t=且212t；或101t且212t；或112t

且22t=，先考虑11t=和22t=，再考虑101t，212t，得到实数a的取值范围.【小问1详解】1,22x，()121fx恒成立，即16444xaxxx−+对1,22x恒成立，因为()164gxxx=−在1,2

2x上单调递增，所以()()max20gxg==，今()44hxxx=+，由基本不等式可知448xx+，当且仅当1x=时取等号，所以()min8hx=，所以08a，即实数a的取值范围是0,8.【小问2详解】解法一：今2

sintx=，则方程()2sin0fx=即2450tat−+=，设1t，()212ttt是方程2450tat−+=的两根，则方程()2sin0fx=在5π0,6内有且只有三个实数解等价于11t=且212t；

或101t且212t；或112t且22t=今()245mttat=−+，对称轴为8at=，且1254tt=，①当11t=且212t时，()()219022120128Δ800mamaaa=−==−=−，解得9a=；②当1

01t且212t时，()()()0519022120mmama==−=−，解得2192a；③当112t且22t=时，与1254tt=相矛盾，不合题意；综上，实数a的取值范围为2192a.解法二：今2sintx=，则方程()2sin0fx=即2450t

at−+=，设1t，()212ttt是方程2450tat−+=的两根，令()245mttat=−+.若11t=，则9a=，254t=，当5π0,6x时，2sin1x=有一个实数解，52sin4x=有两个实数解，则方程()2sin0fx=在5π0,6x

有两个实数解；若22t=，则212a=，158t=，当5π0,6x时，2sin2x=有一个实数解，52sin8x=有一个实数解，则方程()2sin0fx=在5π0,6x有两个实数解，不合题意；此外，要使方程()2sin0fx=在5π0,6x

有三个实数解，只需101t，212t，则()()()0519022120mmama==−=−，解得2192a；综上，实数a的取值范围为2192a.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue10

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