【文档说明】北京市海淀区首都师范大学附属中学2019-2020学年八年级上学期期中数学试题（解析版）【精准解析】.doc，共(26)页，1.450 MB，由管理员店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-cf5daea7e4b8ffdaeabaf15668d987c5.html

以下为本文档部分文字说明：

北京市海淀区首都师范大学附属中学2019-2020学年八年级上学期期中数学试题一、选择题1.手机界面中有一些美观的图标，以下图标为轴对称的是（）.A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据轴对称图形的定义:如果一

个图形沿着一条直线对折后两端完全重合,这样的图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴,判断即可.【详解】A选项不是轴对称图形,故不选A;B选项不是轴对称图形,故不选B;C选项不是轴对称图形,故不选C;D选项是轴对称图形，故选D.故

选D.【点睛】此题考查的是轴对称图形的判定，利用轴对称图形的定义判断一个图形是否为轴对称图形是解决此题的关键.2.下列计算正确的是（）A.235aaa=gB.()325aa=C.224aaa+=D.235x

yxy+=【答案】A【解析】【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项法则即可逐一判断．【详解】解：A、235aaa=g，正确；B、()326aa=，故B错误；C、2222aaa+=，故C错误；2D、2x与3y不是同类项，不能合并，故D错

误．故答案为：A．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项法则，掌握上述运算的法则是解题的关键．3.将多项式265aa−−变为()xpq++2的形式，结果正确的是（）A.()2314a+−B.()2314a−−C.()234a++

D.()234a−+【答案】B【解析】【分析】根据完全平方公式即可得出答案．【详解】解：22265=6995(3)14aaaaa−−−+−−=−−，故选：B．【点睛】本题考查了完全平方公式，解题的关键是熟练掌握

完全平方公式的基本结构．4.下图的方格纸中有若干个点，若A、B两点关于过某点的直线对称，这个点可能是（）.A.P1B.P2C.P3D.P4【答案】C【解析】【分析】根据两点的对称轴即两点连线的垂直平分线，利用勾股定理分别求出选项中各点到A、B的距离

，再根据垂直平分线的性质即可判断.【详解】解：连接P1B，P2A，P3A，P3B，P4B，设正方形的边长为1，P4O=a，如下图所示3∵A、B两点关于过某点的直线对称∴此点在AB的垂直平分线上∴此点到A、B的距离相等由图可知：P1A=1根据勾股定理：P1B=222+1=5∴P1

A≠P1B，故A选项不符合题意；由图可知：P2B=2根据勾股定理：P2A=221+1=2∴P2B≠P2A，故B选项不符合题意；根据勾股定理：P3A=222+1=5P3B=222+1=5∴P3A=P3B，故C

选项符合题意；由图可知P4A=1+a根据勾股定理：P4B=22+1a当P4A＝P4B时，即1+a=22+1a解得：a=0（与图不符）∴P4A≠P4B，故D选项不符合题意.故选C.【点睛】此题考查的是垂直平分线的性质和勾股定理，掌握线段的对称轴：垂直平分线及性质和

利用勾股定理解直角三角形是解决此题的关键.5.下列说法正确的是（）.A.不论x取何值，（x-1）0=1B.2662的值比2432大C.多项式x2+x+1是完全平方式D.43100-399是11的倍数4【

答案】D【解析】【分析】根据一个数的0次幂有意义的条件、有理数的比较大小、完全平方公式和乘法分配律逐一判断即可.【详解】A.因为0的0次幂无意义，所以x－1≠0，故A错误；B.因为26636926416==，2439216=，所以22646322=，故B错误；C.

多项式x2+x+1中，一次项系数不符合首尾没平方之前的两倍，不是完全平方式，故C错误；D.43100-399=399×（4×3－1）=399×11∵399×11÷11=399∴43100-399是11的倍数，故D正确.故选D.【点睛】此题考查的是一个数的0次幂有

意义的条件、有理数的比较大小、完全平方公式和乘法分配律，掌握任何非0数的0次幂都等于1，完全平方公式的特征和乘法分配律是解决此题的关键.6.在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0,8），点B（6,8），若点P同时满足下列条件：①点P到A,B两点的距离相等；②点P到∠xOy的两边距离相等

.则点P的坐标为（）.A.（3,5）B.（6,6）C.（3,3）D.（3,6）【答案】C【解析】【分析】由点P到A、B两点的距离相等，故P在AB的中垂线上，再根据点P到∠xOy的两边距离相等，故点P在∠xOy的角平分线上，可在图中作出点P，然后根据A、B的坐标即可

求出P点坐标.【详解】解：∵点P到A,B两点的距离相等，点P到∠xOy的两边距离相等∴点P在AB的中垂线上，也在∠xOy的角平分线上5∵点P即为AB的中垂线与∠xOy的角平分线的交点，如下图所示，点P即为所求∵AB⊥y轴∴AB的中垂线∥y轴∴点P的横坐标与AB中点的横坐标相等，且AB中点横坐

标为：0632+=∴P点横坐标为3∵点P在∠xOy的角平分线上∴P点横坐标=P点纵坐标=3∴点P的坐标为（3,3）故选C.【点睛】此题考查的是垂直平分线的判定和角平分线的判定，利用垂直平分线的判定和角平

分线的判定确定P点位置，然后根据平面直角坐标系中点的坐标特征，求点的坐标是解决此题的关键.7.点（-2,3）关于x轴的对称点为（）.A.（-2,-3）B.（2,-3）C.（2,3）D.（3,-2）【答案】A【解析】【分析】根据关于x轴对称的两点的坐标规律：横坐标相同，纵坐标互为相反数，即可求出.【

详解】解：∵关于x轴对称的两点的坐标规律：横坐标相同，纵坐标互为相反数∴点（-2,3）关于x轴的对称点为：（-2,-3）故选A.【点睛】此题考查的是求一个点关于x轴对称的对称点的坐标，掌握关于x轴对称的两点的坐标规律：横坐标相同，纵坐标互为相反数，是解决此题的关键.8.已知

等边△ABC中AD⊥BC，AD=12,若点P在线段AD上运动，当12AP+BP的值最小时，AP的长为（）.6A.4B.8C.10D.12【答案】B【解析】【分析】过点P作PD⊥AC于D，过点B作BF⊥AC于F，根据等边三角形的性质可得：∠CAD=∠ABF=∠CBF=12∠BAC=30°，从而可得：

PD=12AP，故12AP+BP的最小值即为PD＋BP的最小值，根据垂线段最短的性质即可判断BF即为PD＋BP的最小值，再根据30°所对的直角边是斜边的一半求AP即可.【详解】解：过点P作PD⊥AC于D，过点B作BF⊥AC于F，如下图所示∵等边△ABC中AD⊥BC，∴∠C

AD=∠ABF=∠CBF=12∠BAC=30°，∴PD=12AP∴12AP+BP的最小值即为PD＋BP的最小值∵在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短∴BF即为PD＋BP的最小值∴BF与AD的交点即为P点，如下图所示7∵∠CAD=∠ABF=∠CBF=30°∴AP=BP，PD=12BP

=12AP∵AD=12∴AP＋PD=12∴AP＋12AP=12解得：AP=8故选B.【点睛】此题考查的是求线段和的最值问题和直角三角形的性质，掌握“胡不归问题”的作图方法和30°所对的直角边是斜边的一半是解决此

题的关键.二、填空题9.等腰三角形的一个外角是100°，则这个等腰三角形的底角为________．【答案】50°或80°【解析】①若100°的外角是此等腰三角形的顶角的邻角，则此顶角为：180°﹣100°=80°，则其底角为：（180°−80°）÷2=50°；②若100

°的外角是此等腰三角形的底角的邻角，则此底角为：180°﹣100°=80°；故这个等腰三角形的底角为：50°或80°．故答案为50°或80°．10.如图，已知AE平分∠BAC,点D是AE上一点，连接BD,CD.请你添加一个适当的条件，使△ABD≌△ACD.添加的条件是：____.（

写出一个即可）8【答案】AB=AC或∠B=∠C或∠BDA=∠CDA或∠BDE=∠CDE（四者选一即可）【解析】【分析】先找到证△ABD≌△ACD的已知条件，然后再根据全等三角形的判定定理添加条件即可.【详解】解：∵AE平分∠BAC

,∴∠BAD=∠CAD∵AD=AD再添加AB=AC,可用SAS证明△ABD≌△ACD；再添加∠B=∠C,可用AAS证明△ABD≌△ACD；再添加∠BDA=∠CDA,可用ASA证明△ABD≌△ACD；再添加∠BDE=∠CDE,根据等角的补角相等，可得：∠BDA=∠CD

A,可用ASA证明△ABD≌△ACD；故答案为AB=AC或∠B=∠C或∠BDA=∠CDA或∠BDE=∠CDE（四者选一即可）【点睛】此题考查的是全等三角形的判定，掌握全等三角形的各个判定定理是解决此题的关键.11.已知：12496xx=g，则x=________

__．【答案】6【解析】【分析】根据积的乘方、幂的乘方的逆运算化成同底数幂，再列出方程求解即可．【详解】解：2249(49)36(6)6xxxxxx====g，∴21266x=，∴212x=，解得：6x=，故答案为：6．【点睛】本题考查了积的乘方、幂

的乘方的逆运算，解题的关键是对等式进行变形，列出方程．12.已知2,3mnxx==，则mnx+=__________．9【答案】6【解析】【分析】根据同底数幂的乘法的逆运算即可．【详解】解：236mnmnxxx+===故答案为：6．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法的逆运算，解题的关

键是熟悉同底数幂的乘法的逆运算．13.如图，以等边△ABC的边AC为腰作等腰△CAD,使AC=AD,连接BD,若∠DBC=41°，∠CAD=________°.【答案】82°【解析】【分析】根据等边三角形的性质可得：AB=AC，∠ABC=∠BAC=60°，从而求出∠

ABD的度数，然后根据已知条件可得：AB=AD，根据等边对等角即可得：∠ADB=∠ABD，利用三角形的内角和即可求出∠BAD，从而求出∠CAD的度数.【详解】解：∵△ABC是等边三角形∴AB=AC，∠ABC=∠BAC=60°∵AC=AD，∠DB

C=41°∴AB=AD，∠ABD=∠ABC－∠DBC=19°∴∠ADB=∠ABD=19°∴∠BAD=180°－∠ADB－∠ABD=142°∴∠CAD=∠BAD－∠BAC=82°故答案为82°.【点睛】此题考查的是等边三角

形的性质和等腰三角形的性质，掌握等边三角形的内角都是60°和等边对等角是解决此题的关键.1014.有一个边长为a的大正方形和四个边长为b的全等的小正方形（其中a>2b）,按如图方式摆放，并顺次连接四个小正方形落入大正方形内部的顶点，得到四边形ABCD.下面有四种说法：①阴影部分周长为4a;

②阴影部分面积为（a+2b）（a-2b）;③四边形ABCD周长为8a-4b;④四边形ABCD的面积为a2−4ab+4b2.所有合理说法的序号是____.【答案】①②④.【解析】【分析】①利用平移法即可发现阴影部分的周长=大正方形的周长，计算大正方形的周长即可；②用大正方形的面积减去

四个小正方形的面积即可；③先证出四边形ABCD是正方形，然后计算出ABCD的边长，即可计算它的周长；④根据③中的边长求面积即可.【详解】解：①如下图所示：利用平移法可发现：阴影部分的周长=大正方形的周长=4a，故①正确；②阴影部分的面积=大正方形的面积－四个小正方形的面积=a2−b2=（a+

2b）（a-2b）故②正确；③由图可知：AB=a－2b，AD=a－2b，∠BAD=90°11∴四边形ABCD是正方形，∴四边形ABCD的周长为：4（a－2b）=4a－8b故③错误；④正方形ABCD的面积为：（a－2b）2=a2−4ab+4

b2故④正确.故答案为①②④.【点睛】此题考查的是整式的乘法，掌握数形结合的数学思想、平方差公式和完全平方公式是解决此题的关键.15.如图，在△ABC中，∠B=30°，AD⊥BC于点D，如果AB=8,BC=10,则△ABC的面积是____.【答案】20【解析】【分析】根据30°所对

的直角边是斜边的一半即可求出高AD，然后再根据面积公式求面积即可.【详解】解：∵∠B=30°，AD⊥BC于点D，AB=8∴AD=12AB=4∴S△ABC=12BC·AD=20故答案为20.【点睛】此题考查的是直角三角形的性质及面积公式，掌握30°所对的直角边是斜边的一半是解决此题的关键.1

6.如图，在ABC中，,30ABBCABCBD==，平分ABC交AC于点,DBC的垂直平分线EF交BC于点E，交BD于点F，若6BF=，则AC的长为__________．12【答案】6【解析】【分析】连接CF，

根据等腰三角形的性质，得到∠ABD=∠CBD=15°，BD⊥AC，AD=CD，再由垂直平分线的性质得到BF=CF=6，再根据三角形的外角的性质得到∠CFD=∠CBD+∠BCF=30°，由30°的直角三角形的性质得出CD，即可求出AC的长度．【详解】解：连接CF，∵ABBC=，BD是∠ABC的平分

线，30ABC=，∴∠ABD=∠CBD=15°，BD⊥AC，AD=CD∵EF垂直平分BC，∴BF=CF=6∴∠CBD=∠BCF=15°，∴∠CFD=∠CBD+∠BCF=30°，∴在Rt△CFD中，CD=132CF=，

∴AC=2CD=6，故答案为：6．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质、以及30°直角三角形的性质，解题的关键是综合运用已知条件进行推理求解．三、解答题17.计算：550527(3)(14)−

+−13【答案】0【解析】【分析】根据任何非0数的0次幂都等于1和逆用积的乘方计算即可.【详解】解：550527(3)(14)−+−=()55271(14)+−=5514114+−=()11+−=0【点睛】此题考查的是幂的性质，掌握任何非0数的0次幂

都等于1和逆用积的乘方是解决此题的关键.18.因式分解（1）x2−y2（2）ax2+4ax+4a【答案】（1）（x＋y）（x－y）；（2）a（x+2）2【解析】【分析】（1）利用平方差公式因式分解即可；（2）先提取公因式，再利用完全平方公式因式分解即可.【详解】解：（1）x2−y2=（x

＋y）（x－y）（2）ax2+4ax+4a=a（x2+4x+4）=a（x+2）2【点睛】此题考查的是因式分解，掌握提取公因式法因式分解和公式法因式分解是解决此题的关键.19.已知2246,21abab−=+=14（1）求2ab−的值（2）化简代数式()()22224abbababb++−−−+【答

案】（1）26ab−=；（2）20【解析】【分析】（1）根据平方差公式得到224(2)(2)6ababab−=+−=，代入21ab+=即可；（2）由（1）可解出a，b的值，再化简代数式计算即可．【详解】解：（1）224(2)(2)6ababab−=+−=又∵

21ab+=，∴26ab−=（2）由2126abab+=−=，解得7452ab==−∵()()22224abbababb++−−−+222222224ababbababb=++−−−++2424abbb=−+2(2)4babb

=−+∵26ab−=，52b=−∴原式512412488()202bbbbb=+=−+=−=−−=．【点睛】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，以及整式的化简求值问题，解题的关键是掌握运算法则．20.如图，在△ABC中，∠B=∠A

CB,D是边AB上一点，E是边AC的中点，作CF∥AB交DE的延长线于点F，DB=3,CF=7,求AE.15【答案】5【解析】【分析】先证△ADE≌△CFE，得到AD=CF=7，从而求出AB的长，再根据等角对等边即可得：AC=AB，最后根据AE=12AC，即可求

出AE.【详解】解：∵E是边AC的中点∴AE=EC=12AC∵CF∥AB∴∠A=∠FCE在△ADE和△CFE中AFCEAEECAEDCEF===∴△ADE≌△CFE∴AD=CF=7∴AB=AD+DB=10∵∠B=∠ACB∴AC=AB=10∴AE=12AC=5【点睛】此题考查的是全

等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理和等角对等边是解决此题的关键.21.先化简，再求值．()()()()223abababbba+−+−−+，其中2,1ab==−【答案】4ab−，8【解析】16【分

析】根据整式的乘法法则先化简代数式，再将a，b的值代入求解即可．【详解】解：原式=22222226aabbabbab++−+−−=4ab−∵2,1ab==−，∴原式=42(1)8−−=．【点睛】本题考查了整式乘法的化简求值问

题，解题的关键是掌握乘法公式的运算，熟悉运算法则．22.在△ABC的边AC上取一点，使得AB=AD,若点D恰好在BC的垂直平分线上，写出∠ABC与∠C的数量关系，并证明.【答案】∠ABC=3∠C，理由见解析.【解析】【分析】根据等边对等角即可

得：∠ABD=∠ADB，然后根据垂直平分线的性质可得：DB=DC，再根据等边对等角即可得：∠DBC=∠C，根据三角形外角的性质，可得∠ADB=∠DBC＋∠C=2∠C，从而得到∠ABD=2∠C，即可得到∠ABC与∠C的数量关系.【详解】解：∠ABC

=3∠C，理由如下：∵AB=AD∴∠ABD=∠ADB∵点D恰好在BC的垂直平分线上∴DB=DC∴∠DBC=∠C∴∠ADB=∠DBC＋∠C=2∠C17∴∠ABD=2∠C∴∠ABC=∠ABD＋∠CBD=2∠C＋∠C=3∠C【点睛】此

题考查的是等腰三角形的性质、垂直平分线的性质和外角的性质，掌握等边对等角、线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等和三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和是解决此题的关键.23.双十一购物节即将到来，某商场设计了两种的促销方案，并有以下两种销售量预期

.预期一：第1步，销售量扩大为原来的a倍.第2步，再扩大为第1步销售量的b倍.预期二：第1步，销售量扩大为原来的2ab+倍；第2步，再扩大为第1步销售量的2ab+倍；其中a,b为不相等的正数，请问两种预期中，哪

种销售量更多？试说明理由.【答案】当b－a＞0或b－a＜﹣2时，预期二的销售量更多；当﹣2＜b－a＜0时，预期一的销售量更多；b－a=﹣2时两者销售量一样多.【解析】【分析】分别表示出预期一和预期二的销售量，然后利用作差法比较大小即可.【详解】解：设原来的销售量为x依题意：预期一的销售量为

：ax＋abx；依题意：预期二的销售量为：2abx+＋22abx+；()222ababxxaxabx+++−+=222ababxaxxabx++−+−=22224baaa

bbxxab−+++−=22224baaabbxx−−++=()224babaxx−−+•=()42baxba−+−18①当b－a＞0时，∵x＞0，b－a＞0,2＋b－a＞0∴()420baxba−+−此时预期

二的销售量更多；②当﹣2＜b－a＜0时∵x＞0，b－a＜0,2＋b－a＞0∴()420baxba−+−此时预期一的销售量更多；③当b－a＜﹣2时∵x＞0，b－a＜0,2＋b－a＜0∴()420baxba−+−∴此时预期二的销售量更多；④当b－a=﹣2时∵x＞0，

b－a＜0,2＋b－a=0∴()420baxba−+−=此时两者销售量一样多综上所述：当b－a＞0或b－a＜﹣2时，预期二的销售量更多；当﹣2＜b－a＜0时，预期一的销售量更多；b－a=﹣2时两者销售量一样多..【点睛】此题考

查的是用代数式表示实际意义和比较大小，掌握用作差法比较大小和分类讨论的数学思想是解决此题的关键.24.如图，已知△ABC中，AB=AC,AD为中线，点P是AD上一点，点Q是AC上一点，且∠BPQ+∠BAQ=180°.（1）若∠ABP=α，求∠PQC

的度数（用含α的式子表示）；（2）求证：BP=PQ.19【答案】（1）α；（2）见解析.【解析】【分析】（1）由四边形的内角和即可求出∠AQP，从而求出∠PQC；（2）过点P分别作PE⊥AB于E，PF⊥A

C于F，证明△PEB≌△PFQ即可.【详解】解：（1）∵∠BPQ+∠BAQ=180°，∠ABP=α∴∠AQP=360°－∠BPQ－∠BAQ－∠ABP=180°－α∴∠PQC=180°－∠AQP=α（2）过点P分别作PE⊥AB于E，PF⊥AC于F∵AB=AC,AD为△ABC的中线∴AD平分∠B

AC∴PE=PF在△PEB和△PFQ中90=PEBPFQPBEPQFPEPF===∴△PEB≌△PFQ∴BP=PQ20【点睛】此题考查的是四边形的内角、等腰三角形的性质和全等三角形的判定，掌

握四边形的内角和等于360°、三线合一和用AAS判定两个三角形全等是解决此题的关键.25.对于多项式A=x2+bx+c（b、c为常数），作如下探究：（1）不论x取何值，A都是非负数，求b与c满足的条件；（2）若A是完全平方式，①当c=9时，b=;当b=3时，c=;②若多项式

B=x2−dx−c与A有公因式，求d的值.【答案】（1）240cb−；（2）①±6；94；②0.【解析】【分析】（1）根据完全平方的非负性配方即可；（2）①根据完全平方公式的特征即可求出；②根据A是完全平方

式，可设()22222Axbxcxyxxyy=++=+=++①，再根据多项式B=x2−dx−c与A有公因式，可设()()()22+y++z=Bxdxcxyxzxxyz=−−=++②，然后利用对应系数法可得

：2cy=，y+z=dcyz−=−，从而得出zy=−，即可求出d的值.【详解】解：（1）2Axbxc=++=22222bbxbxc++−+=2224bbxc+−+=22424bcbx−++∵20

2bx+，不论x取何值，A都是非负数∴2404cb−∴240cb−21（2）①当c=9时∵A是完全平方式，即x2+bx+9=x2+bx+32是完全平方式，∴b=±2×3=±6；当b=3时∵A是完全平方式即x2+3x+c是完全

平方式∴23924c==②∵A是完全平方式，设()22222Axbxcxyxxyy=++=+=++①∵B=x2−dx−c与A有公因式∴设()()()22+y++z=Bxdxcxyxzxxyz=−−=++②由①式可得：2cy=，由②式可得：y+z=dc

yz−=−，故zy=−∴+z0yd−==解得：0d=【点睛】此题考查的是整式的乘法和完全平方公式，掌握配方法、完全平方公式的特征和对应系数法是解决此题的关键.26.如图，△ABC中，AB=BC,∠ABC=120°，点E是AC上一点，连接BE，且∠BEC=50°，

D为点B关于直线AC的对称点，连接CD，将线段EB绕点E顺时针旋转40°得到线段EF，连接DF.（1）请你在下图中补全图形；（2）请写出∠EFD的大小，并说明理由；（3）连接CF,求证：DF=CF.【答案】（1）图见解析；（2）60°；理由见解析；（3）见解析.22【解析】【分析】（1）根

据题意补全图形即可；（2）连接ED，根据对称性质可得：ED=EB，∠BEC=∠DEC=50°，再根据旋转性质可得：BE=EF，∠BEF=40°，从而得出EF=ED，∠FED=∠BEC＋∠DEC－∠BEF=60°

，即可判定△EFD为等边三角形，从而求出∠EFD的大小；（3）连接BF并延长交DC于G，利用等边对等角求出∠BCA，根据对称的性质可得：CB=CD，∠BCG=2∠BAC=2∠DCA=60°,再求出∠CBG的度数，从而可判定BG⊥CD，再根据30°所对的直角边是斜边的一半

，即可证出G是CD的中点，从而得到BG垂直平分CD，根据垂直平分线的性质即可证DF=CF.【详解】补全图形如下所示：（2）连接ED，∵D为点B关于直线AC的对称点∴ED=EB，∠BEC=∠DEC=50°∵EB绕点E顺时针旋转40°得到线段EF∴BE=EF，∠BEF=40

°∴EF=ED，∠FED=∠BEC＋∠DEC－∠BEF=60°∴△EFD为等边三角形∴∠EFD=60°（3）连接BF并延长交DC于G23∵AB=AC，∠ABC=120°∴∠A=∠BCA=12（180°－∠ABC）=30°∵D为点B关于直线AC的对称点∴CB=CD，∠BCG=2∠

BAC=2∠DCA=60°∵BE=EF，∠BEF=40°∴∠EBF=∠EFB=12（180°－∠BEF）=70°∠EBC=180°－∠BEC－∠BCE=100°∴∠CBG=∠EBC－∠EBF=30°∴∠BGC=

180°－∠CBG－∠BCG=90°∴BG⊥CD，CG=12BC=12CD∴G为CD的中点∴BG垂直平分CD∴DF=CF.【点睛】此题考查的是等边三角形的判定、垂直平分线的判定及性质和直角三角形的判定及性质，掌握等边三角形的判定定理、垂直平分线的定义和性质和30°所对的

直角边是斜边的一半是解决此题的关键.27.在平面直角坐标系xOy中，对于点P与图形W，若点Q为图形W上任意一点，点Q关于第一、三象限角平分线的对称点为'Q，且线段'PQ的中点为(),0Mm，则称点P是图形W

关于点(),0Mm的“关联点”（1）如图1，若点P是点()0,5Q关于原点的关联点，则点P的坐标为（2）如图2，在ABC中，()()()2,2,2,0,0,2ABC−−①将线段AO向右平移()0dd个单位长度，若平移后的线段上存在两个ABC关于点()2,0的关联点，则d的取值范围是24②

已知点()2,0Sn+和点()4,0Tn+，若线段ST上存在ABC关于点(),0Nn的关联点，求n的取值范围．【答案】（1）()5,0−；（2）①23d；②02n或35n．【解析】【分析】（1）设点P坐标为（a，b），根据“关联点”的定义、中点的坐标公式和关于第一

、三象限角平分线对称的两点的坐标规律即可；（2）①先求出原AC与x轴的交点，然后根据△ABC是轴对称图形，且对称轴为第一、三象限角平分线和“关联点”的定义可得：“关联点”定义中的'Q为OA关于（2,0）的对称线段OA与△ABC边的交点，平移线段O

A可发现：当A在C的左侧，O过点（1,0）或（1,0）的右侧时符合题意，再列出不等式即可；②由S、T的坐标可知，线段ST是x轴的一部分，线段ST关于点N的对称线段ST也是x轴的一部分，从而判断

出定义中'Q是△ABC边与x轴的交点，由图可知：点'Q只有（-2,0）与（1,0）两种可能，再根据线段ST需要过点（-2,0）或（1,0）分类讨论并列出不等式即可．【详解】解：（1）设点P坐标为（a，b）∵点Q关于第一、三象限角平分线的对称点为'Q，∴()5,0Q，∵点P是点()0,5Q

关于原点的关联点，25∴PQ的中点为原点，∴502002ab+=+=，解得50ab=−=∴点P坐标为：()5,0−故答案为：()5,0−（2）①设原AC的解析式为y=kx+b，将()()2,2,0,2AC−代入得：222kbb=+−=，解

得：22kb==−∴原直线AC的解析式为：y=2x-2，当y=0时，解得：x=1，∴原AC与x轴的交点为（1,0）△ABC是轴对称图形，且对称轴为第一、三象限角平分线和“关联点”的定义可得：定义中的Q在△AB

C边上，∴'Q也在△ABC的边上，∵将线段AO向右平移d(d>0)个单位长度，若平移后的线段上存在两个△ABC关于点（2,0）的关联点，∴点'Q和线段OA上的点必关于点（2,0）对称，此时O点坐标为（d,0），A点坐标为（2+d,2），故作出OA关于（2,0）的对

称线段OA，其中()4,0Od−，()2,2Ad−−，Q也必在OA上，即点Q为OA与△ABC边的交点，∵平移后的线段上存在两个ABC关于点()2,0的关联点，∴OA与△ABC边必须有两个交点才满足题意，如图中蓝线所示，平移OA可发现，当A与C重合时，与△ABC边有一

个交点，继续向左平移即可有两个交点，当O过点（1,0）也有两个交点，继续向左平移就只有一个交点，故当A在C的左侧，O过点（1,0）或（1,0）的右侧时符合题意，2041dd−−，解得：23d．故答案为：23d26②∵点()2,0Sn

+和点()4,0Tn+∴线段ST是x轴的一部分∴线段ST上存在△ABC关于点N（n,0）的关联点，故S、T关于点N（n,0）的对称点S坐标为（n-2,0），T坐标为（n-4,0）定义中O在线段ST上，∴O即为△ABC边与x轴的交点，由图可知，点'Q只有（-2,0）与（

1,0）两种可能，∴线段ST需要过点（-2,0）或（1,0），当线段ST需要过点（-2,0）时，4222nn−−−−，解得02n当线段ST需要过点（1,0）时，4121nn−

−，解得35n，综上所述：02n或35n．【点睛】此题考查的是新定义类问题，难度较大，理解“关联点”的定义、掌握关于第一、三象限角平分线对称的点的坐标规律、待定系数法求一次函数解析式和分类讨论的数学思想是解题的关键．