【文档说明】湖北省武汉市第一中学2024-2025学年高一上学期10月考数学试卷 Word版含解析.docx，共(15)页，720.183 KB，由小赞的店铺上传

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2024-2025学年上学期武汉市第一中学10月月考高一数学试卷试卷满分：150分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合|41Axx

=−−N，则集合A真子集个数为（）A.7B.8C.15D.16【答案】C【解析】【分析】先解不等式得到0,1,2,3A=，从而求出真子集个数.【详解】33|0,1,2,Axx==N，共有4个元素，故集合A的真子集个

数为42115−=.故选：C2.已知集合1,0Ayyxxx==+，3Bxyx==−，则AB=（）A.[2,+∞)B.2,3C.(0,3D.)2,3【答案】B【解析】【分析】先分别求出集合A、B，再求AB.【详解】因

为函数1yxx=+在()0,1单减，在()1,+上单增，所以1,02Ayyxxyyx==+=，要使函数3=−yx有意义，只需30x−，解得3x，所以33Bxyxxx==−=，所以AB=2,33.集合|04,|02Axx

Byy==，下列不能表示从A到B函数的是（）的的A.1:2fxyx→=B.1:3fxyx→=C.2:3fxyx→=D.:fxyx→=【答案】C【解析】【分析】ABD选项，求出值域均为集合B的子集，且对每

一个x，有唯一确定的y与其对应；C选项，求出值域不是集合B的子集，故C不能表示从A到B的函数.【详解】A选项，12yx=，当04x时，02y，且对每一个x，有唯一确定的y与其对应，故A能表示从A到B

的函数；B选项，13yx=，当04x时，40,0,23y，且对每一个x，有唯一确定的y与其对应，故B能表示从A到B的函数；C选项，23yx=，当04x时，80,0,23y，故C不能表示从A到B的函数；D选项，yx=，当04x时，

0,2y，且对每一个x，有唯一确定y与其对应，故D能表示从A到B的函数；故选：C4.命题“对[1,2]x，20axxa−+”为真命题的一个充分不必要条件可以是（）A.12aB.12aC.1aD.25a【答案】C【解析】【分析】先求出命题为真命题时的充要条件，

然后再结合选项进行选择即可．【详解】因为[12]x，，20axxa−+等价于[12]x，，21xax+恒成立，设2()1xhxx=+，则()hx=21211152xxxx=++，．所以命题为真命题的充要条件为1

2a，的所以命题为真命题的一个充分不必要条件可以为𝑎≥1．故选C．【点睛】解题的关键是得到命题为真命题时的充要条件，由于求的是命题为真时的一个充分不必要条件，故所选的范围应是充要条件对应范围的真子集，考查对充分条件、必要条件概念的理解．5.一元二次

不等式2260kxxk−+的解集是空集，则实数k的取值范围是（）A.66k−或66kB.6666k−C.6666k−D.66k−【答案】D【解析】【分析】分析可知，一元二次不等式2260kxxk−+对任意xR恒成立，可得出关于实数k的不等式组

，由此可解得实数k的取值范围.【详解】由题意可知，一元二次不等式2260kxxk−+对任意的xR恒成立，所以，204240kk=−，解得66k−.故选：D.6.命题()0:0px+，使得20010xx−+成立，若p是假命题，

则实数的取值范围是（）A.(]2−，B.)2+，C.22−，D.()2[2)−−+，，【答案】A【解析】【分析】由p是假命题，则命题p的否定为真命题，写出命题p的否定，利用分离参数的方法求解即可．【详

解】命题()0:0,px+，使得20010xx−+成立，若p是假命题，则命题p的否定为：()0,x+，210xx−+成立，为真命题．所以1xx+在0x上恒成立，由1122xxxx+=，当且仅当1x=时取得等号，所以2.的故选

：A7.若正实数x、y满足1xy+=，且不等式241312mmxy+++有解，则实数m的取值范围是（）．A.3m−或32mB.32m−或3mC.332m−D.332m−【答案】A【解析】【分析】将代数式411xy++与()112xy++相乘，展开后利用基本

不等式可求得411xy++的最小值，可得出关于实数m的不等式，解之即可.【详解】因为正实数x、y满足1xy+=，则()12xy++=，即()1112xy++=，所以，()411411411419155212121212yxyxxyxyxyxyxy+++=

+++=+++=++++，当且仅当121xyxy+=+=时，即当1323xy==时，等号成立，即411xy++的最小值为92，因为不等式241312mmxy+++有解，则23922mm+，即22390mm

+−，即()()2330mm−+，解得3m−或32m.故选：A.8.设Rx，用x表示不超过x的最大整数，则yx=称为高斯函数.例如：3=，5.16−=−.已知函数22()1xfxx=+，则函数()yf

x=的值域为（）A.1−B.1,0−C.1D.1,0,1−【答案】D【解析】【分析】先根据基本不等式求得()1,1fx−，进而由高斯函数可得结果.【详解】因为对任意Rx，22112xxx+=+，则2211xx+，即()1,1fx−，所以函数

()yfx=的值域为1,0,1−.故选：D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法中正确的为（）A.集合2|20,AxaxxaxR=++=，若集合A有且仅

有2个子集，则a的值为1B.若一元二次不等式2680kxkxk−++的解集为R，则k的取值范围为01kC.设集合{1,2}M=，2Na=，则“1a=”是“NM”的充分不必要条件D.若正实数x，y，满足21xy+=，则218xy+【答案】B

CD【解析】【分析】根据各选项中的条件逐一分析，对于选项A，结合条件可知集合A中只有一个元素，分类讨论0a=和0a两种情况，求出a的值，即可判断A选项；对于选项B，一元二次不等式2680kxkxk−++的解集为R，可得00k，求出k的取值范围，即可判断B选项

；对于选项C，根据子集的含义和充分不必要条件的定义，即可判断C选项；对于选项D，根据基本不等式求和的最小值，即可判断选项D.【详解】解：对于A，因集合220,AxaxxaaR=++=有且仅有2个子集，则集合A中

只有一个元素，当0a=，{0}A=，符合题意；当0a，2440a=−=1a=，综上所述，可得0a=，1，故A选项不正确；对于B，因一元二次不等式2680kxkxk−++的解集为R，已知2680kxkxk−++为一元二次不等式，可知0k，可得0k且2(6)4(

8)001kkkk=−+，故B选项正确；对于C，当1a=时，1NM=，当NM时，21a=或22a=，则1a=或2a=，所以“1a=”是“NM”的充分不必要条件，故C选项正确；对于D，因正实数,xy满足2

1xy+=，则21214(2)()4xyxyxyxyyx+=++=++4428xyyx+=，当且仅当4xyyx=，即122xy==时取等号，故D选项正确.故选：BCD.10.已知不等式20(0)xaxba++的

解集是|xxd，则下列四个结论中正确的是（）A.24ab=B.214ab+C.若不等式20xaxb+−的解集为()12,xx，则120xxD.若不等式2xaxbc++<的解集为()12,xx，且124xx−=，则4c=【答案】ABD【解析

】【分析】由三个“二次”的关系可知，相应方程有两个相等的实根，结合韦达定理就可判断.【详解】由题意．240ab=−=，∴24ab=，所以A正确；对于B：2222214424aaabaa+=+=等号当且仅当224aa=，即2a=时成立，所以B正确；对于C：由

韦达定理，知21204axxb=−=−，所以C错误；对于D：由韦达定理，知21212,4axxaxxbcc+=−=−=−，则222121212||()44()244axxxxxxacc−=+−=−−==，解得4

c=，所以D正确；故选：ABD．11.下列选项中正确的是（）A.若0a，则4aa+最小值为4B.若0ab，则abba+的最大值为2−C.若xR，则22122xx+++的最小值为2D.若11,23xy，且31202131xy+=−−，则1

2xy+的最大值为7【答案】ABD【解析】【分析】A选项，直接使用基本不等式即可；B选项，变形后使用基本不等式；C选项，使用基本不等式，但不满足等号成立的条件，C错误；D选项，设310,02131stxy==

−−，则1213,31stxsyt==++，20st+=，从而得到12118631xyst+=−+++，利用基本不等式“1”的妙用求出1131st+++的最小值，从而得到12xy+的最大值.【详解】A选项，若0a，则40,0aa

，由基本不等式得4424aaaa+=，当且仅当4aa=，即2a=时，等号成立，故A正确；B选项，若0ab，则0,0abba，故22abababbababa+=−−+−−−−=−，当且仅当abba−=−

，即ab=−时，等号成立，B正确；C选项，由基本不等式得222211222222xxxx+++=++，当且仅当22122xx+=+时，等号成立，的但22122xx+=+无解，故最小值取不到，C错误；D选项，设310,02131stxy==−−，则1213,31stxsyt==++

，20st+=，则()()23661612261186313131ststxyststst+−+−+=+=+=−+++++++，因为20st+=，所以3112424st+++=，其中()()1111311133131242412

243241sttsststst+++++=++=++++++++()()11312122432416tsst+++=++，当且仅当()()13243241tsst++=++，即9,11st==时，等号成立，故1211186867316xyst

+=−+−=++，D正确.故选：ABD【点睛】利用基本不等式求解最值问题，方法灵活，式子不能直接使用基本不等式时，常常需要变形，比如凑项法，“1”的妙用，消元法，多次使用基本不等式等三、填空题，

本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知:210px−，:11(0)qmxmm−+，且p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________．【答案】03m【解析】【分析】利用

集合法，将p是q的必要不充分条件转化为两集合间真包含关系，列出关于m的不等式组，解不等式组即可得到答案．【详解】因为:210px−，:11(0)qmxmm−+，且p是q的必要不充分条件，所以{|1

1}xmxm−+是{|210}xx−的真子集，且{|11}xmxm−+不是空集.所以121100mmm−−+且等号不同时成立，解得03m，所以实数m的取值范围是03m，故答案

为:03m.【点睛】解决根据充分条件和必要条件条件求参数取值范围的问题：一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的包含、相等关系，列出关于参数的不等式(组)求解.13.若函数()1fx+的定义域为(2

3−，，则函数()21fx+的定义域为___________.【答案】3(1,]2−【解析】【分析】根据抽象函数的定义域，利用替换思想求解即可.【详解】因为()1fx+的定义域为(23−，，所以114x−+，所以1214x−+，解得312x−，所以函数()21fx+的定义

域为3(1,]2−.故答案为：3(1,]2−.14.已知存在[1,)x+，不等式2212axxx−+成立，则实数a的取值范围是__________.【答案】1[,)2+【解析】【分析】问题转化为22()2mi

nxaxx−+…即可，[1,)x+，由22211221xxxxx=−+−+，令221()1fxxx=−+，[1,)x+，问题转化为求()fx的最大值，根据二次函数的性质求出()fx的最大值，从而求出a的范围即可．【详解】若存在[1,)x+，

不等式2212axxx−+…成立，即22()2minxaxx−+…即可，[1,)x+，由22211221xxxxx=−+−+，令221()1fxxx=−+，[1,)x+，问题转化为求()fx的最大值，而2117()2()48fxx=−+，[1,)x+的最大值是2，故221(

)22minxxx=−+，故12a…，故答案为：1[,)2+【点睛】方法点睛：本题考查函数的有解问题，一般通过变量分离，将不等式有解问题转化为求函数的最值问题：1.()fxm有解max()fxm；2.()fxm有解min

()fxm.四、解答题，本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知集合603|xAxx+=−，集合2|16,|30BxxCxxm==+．（1）求()RABð；（2）若xC是xA的必要条件，求m的取值范围．【答案】（1）(

)R6ABxx=−ð或4x；（2）(,9−−【解析】【分析】（1）解不等式得到63Axx=−，|44Bxx=−，利用并集和补集的概念求出答案；（2）根据必要条件得到AC，从而得到不等式，求出m的取值范围.【小问1详解】603xx+−等价于(

)()63030xxx+−−，解得63x−，24|16|4Bxxxx==−，故63|4464ABxxxxxx=−−=−，则()R6ABxx=−ð或4x；

【小问2详解】xC是xA的必要条件，故AC，|30|3mCxxmxx=+=−，63Axx=−，故33m−，解得9m−，故m的取值范围是(,9−−16.（1）已知不等式220(2)xaxaa−+−的解集为(

)()12,,xx−+，求12121xxxx++的最小值．（2）设不等式2220xaxa−++的解集为A，若13|Axx，求实数a的取值范围．【答案】（1）4；（2）1115a−【解析】【分析】（1）12,xx为方程220xaxa−+−=的两个根，由韦达定理得到两根之和，两

根之积，再利用基本不等式求出最小值；（2）分A=与A两种情况，得到不等式，求出a的取值范围.【详解】（1）由题意得12,xx为方程220xaxa−+−=的两个根，由韦达定理得1212,2xxaxxa+==−，则1212112xxaxxa+

+=+−，因为2a，所以120,02aa−−，由基本不等式得()()121211122222422xxaaxxaa++=−++−+=−−，当且仅当122aa−=−，即3a=时，等号成立，故12121xxxx++的最小值为4；（

2）|13Axx，当A=时，()2Δ4420aa=−+，解得1a2−，当A时，要满足|13Axx，则2212203620Δ003aaaaa−++−++，解得1125a，故实

数a的取值范围是1115a−.17.2019年某开发区一家汽车生产企业计划引进一批新能源汽车制造设备，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元，生产x（百辆），需另投入成本()Cx万元，且210200,050()100006019000,5

0xxxCxxxx+=+−,由市场调研知，每辆车售价为6万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.（1）求出2019年的利润()Lx（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；（2）2019年年产量为多少百辆时，

企业所获利润最大？求出最大利润？【答案】（1）()2104003000,050100006000(),50xxxLxxxx−+−=−+；（2）产量为100百辆时，该企业所获利润最大，且最大利润为5800万元.【解析】【分析】（1）分050x与50x…两种情况分别求出()

Lx的表达式后，将其写成分段函数的形式即可．（2）当050x时，利用二次函数的性质求出()Lx的最大值，当50x…时，利用对勾函数的性质求出()Lx的最大值，再比较即可得到()Lx的最大值和相应的x的

取值．【详解】（1）当050x时，22()6100102003000104003000Lxxxxxx=−−−=−+−，当50x时，1000010000()6100601900030006000()Lxxxxxx=−−+−=−+.综上所述，()

2104003000,050100006000(),50xxxLxxxx−+−=−+．（2）当050x时，2()10(20)1000Lxx=−−+，所以当20x=时，max()(20)1000;LxL==当50x时，10

000()6000()Lxxx=−+，()Lx在()50100，上单调递增，在()100+，上单调递减；所以当100x=时，max()(100)58001000.LxL==所以当100x=，即2019年年产量为100百辆时，该企业所获利润最大，且最大利润为5800万元.18

.已知()()21311axbxyxx++−=−．（1）当1a=，2b=时，求y的取值范围；（2）当0a=，bR时，求1y时x的取值集合．【答案】（1）3y或7y；（2）答案见解析；【解析】【分析】（1）根

据分式的性质，利用分子常数化，转化为基本不等式进行求解即可．（2）将分式不等式等价转化为一元二次不等式，讨论参数b的取值范围进行求解即可．【详解】解：（1）当1a=，2b=时，23311511xxyxx

x+−==−++−−，(1)x，当1x时，即10x−，11152(1)525711yxxxx=−++−+=+=−−…，当且仅当111xx−=−，即2x=时取等号；当1x时，()10x−−，111155(1)2(1)5253111yxxxxxx

=−++=−−−−−−+=−+=−−−„，当且仅当1(1)1xx−−=−−，即0x=时取等号；所以y的取值范围为3y或7y（2）当0a=时，(1)311bxyx+−=−，即201bxx−−，(2)(1)010bxx

x−−−，①当0b=时，解集为{|1}xx；②当0b时，解集为{|1xx或2}xb；③当21b=，即2b=，解集为；④当21b，即02b时，解集为2|1xxb；⑤当201b，即2b时，解集为2|1xxb；19.已知实数

集12,,,(3)nAaaan=，定义(),,ijijAaaaaAij=．（1）若2,0,1,2A=−，求()A；（2）若()0,6,8,12,12,18,24A=−−−，求集合A；（3）若A中的元素个数为9，求()A的元素个数的最小值．【答案】（1）()

4,2,0,2A=−−（2）0,2,3,4,6A=−或者0,2,3,4,6A=−−−.（3）13【解析】【分析】（1）根据集合的新定义直接求解即可；（2）根据()0,6,8,12,12,18,24A=−−−可得0A，然后分A中4个非零

元素，符号为一负三正或者一正三负进行讨论即可；（3）分A中没有负数和A中至少有一个负数两种情况进行讨论即可求解.【小问1详解】()4,2,0,2A=−−;【小问2详解】首先，0A；其次A中有4个非零

元素，符号为一负三正或者一正三负.记0,,,,Aabcd=，不妨设0abcd或者0abcd--①当0abcd时，,,6,8,12,,,12,18,24abacadbcbdcd=−−−=，相乘可知372576bcdabcd==−，，从而

382aa=−=−，从而,,3,4,6bcd=，所以0,2,3,4,6A=−；②当0abcd时，与上面类似的方法可以得到382dd==进而,,3,4,6bcd=−−−，从而0,2,3,4,6A=−

−−所以0,2,3,4,6A=−或者0,2,3,4,6A=−−−.【小问3详解】估值+构造需要分类讨论A中非负元素个数.先证明()13A．考虑到将A中的所有元素均变为原来的相反数时，集合()

A不变，故不妨设A中正数个数不少于负数个数.接下来分类讨论：情况一：A中没有负数．不妨设1290aaa，则1223242939890aaaaaaaaaaaa上式从小到大共有1+7+6=14个数，它们都是()A

的元素，这表明()14.A情况二：A中至少有一个负数．设12,,,sbbb是A中的全部负元素，12,,,tccc是A中的全部非负元素.不妨设11120sstbbbccc−其中,st为正整

数，9,4,5stst+=．于是有1112120ttstbcbcbcbcbc以上是()A中的18st+−=个非正数元素：另外，注意到2324253545cccccccccc它们是()

A中的5个正数．这表明()13.A综上可知，总有()13.A-另一方面，当230,1,2,2,2A=时，()234560,1,2,2,2,2,2,2A=−−中恰有1

3个元素.综上所述，()A中元素个数的最小值为13.