【文档说明】浙江省杭嘉湖金四县区2022-2023学年高二下学期5月调研测试数学试题 Word版含解析.docx，共(22)页，923.328 KB，由小赞的店铺上传

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绝密★考试结束前2023年5月杭嘉湖金四县区调研测试高二年级数学学科试题考生须知：1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟。2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效

。4．考试结束后，只需上交答题纸。选择题部分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知Nn，5122CCnnn−=，则n的值为（）A.6B.4C.5或3D.4或6【答案】D【解析】【分析

】运用组合数性质可求得结果.【详解】因为5122CCnnn−=，所以51n=−或512nn+−=，解得：6n=或4n=故选：D.2.设nS为等比数列na的前n项和，2580aa+=，则52SS=A.

11B.5C.8−D.11−【答案】D【解析】【详解】试题分析：设公比为，由2580aa+=，得，解得，所以．故选D．.考点：等比数列的前项和.3.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量去表示1次试验的成功次数，则()0

P=等于（）A.0B.12C.13D.23【答案】C【解析】【分析】由题意得出关于()0P=和()1P=的方程组，即可解得()0P=的值.【详解】由题意知，()()120PP===且()()101P

P=+==，()103P==.故选：C.【点睛】本题考查概率的求解，根据题意建立方程组是解答的关键，考查运算求解能力，属于基础题.4.已知函数()()2ln2fxxx=+，下列直线不可能．．．是曲线()yfx=的切线的是（）A.22ee0e4xy

+−−=B.12450xy−−=C.8430xy−−=D.32ln20xy−−+=【答案】C【解析】【分析】求得()1222fxxx=+，根据斜率的范围求确定C不成立，对ACD都可以找到相应的切点满足所给定的切线方程.【详解】()(

)2ln2fxxx=+，0x，()1222fxxx=+，所以()yfx=的切线斜率的最小值为22，对A：在点ee,22f处的切线方程的斜率为2ee+，切点为2ee,124+，切线方程为22ee0e4xy

+−−=，故A满足；对B：在点11,()22f处的切线方程的斜率为3，切点为11,24，切线方程为12450xy−−=，故B满足；对C：直线8430xy−−=的斜率为222，故C不可能为()yfx=的切线.对D：在点()(

)1,1f处的切线方程的斜率为3，切点为()1,1ln2+，切线方程为32ln20xy−−+=，故D满足；故选：C5.已知数列na，12a=，()*,mnmnaaamnN+=+，若11680kkaa+=，则正整数k值为（）A.20B.21C.22D.23【答案】A

【解析】【分析】根据数列特点赋值证明是等差数列，从而求出通项公式代入求解二次方程即可得解.【详解】因为()*,mnmnaaamnN+=+，令1m=，所以11nnaaa+=+，所以12nnaa+=+，所以12nnaa+−=，所以数列na为首项是2，公差为2的等差数列，所以2

(1)22nann=+−=，2kak=，()12122kakk+=+=+，所以212(22)441680kkaakkkk+=+=+=，所以2420kk+=，所以()()2120420kk+−=，所以20k

=或21k=−，故选：A.6.学校以劳动周形式开展劳育工作创新实践,学校开设“民俗文化”“茶艺文化”“茶壶制作”“3D打印”四种课程.甲、乙、丙3名同学每名同学至少从中选一种,每种课程都恰有1人参加，记A=“甲参加民俗文化”,B=“甲参加茶艺文化”,C=“乙参加茶艺文化”,则下列结

论正确的是（）的A.事件A与B相互独立B.事件A与C互斥C.()5|12PCA=D.()5|12PBA=【答案】C【解析】【分析】根据排列组合结合古典概型求相应概率，再根据独立事件、互斥事件以及条件概率逐项分析判断.【详解】由题意可知：甲、乙、丙3名同学中有且

仅有一名同学选择了两种课程，故不同的排法有122342CCA36=种，可得()()()311323AC1363CPAPBPC+====.对于选项A：因为()221361A8PAB==，则()()()PABPAPB，所以事件A与B不独立，故A错误；对于选

项B：甲参加民俗文化的同时乙可以参加茶艺文化，即事件A与事件B可以同时发生，所以事件A与C不互斥，故B错误；对于选项C：因为()212222CCA53636PAC=+=，则()()()55|361123PACPCAPA===，故C正确；对于选项D：因()()()11

|86113PABPBAPA===，故D错误；故选：C.7.已知实数,xy满足nlnelxyxyy=+，则满足条件的y的最小值为（）A.1B.eC.2eD.2e【答案】B【解析】【分析】同构函数()exfxx=，运用导数研究其单调性可得lnxxy=，进而可得exyx=，运用导数研究其在(0,)

+上的最小值即可.【详解】因为nlnelxyxyy=+，的为所以elnxyxy=，所以elnxxxyxy=，即：lne(ln)exxyxxy=，（0x，0y，1xy>），设()exfxx=，（0

x），则()(ln)fxfxy=，所以()e(1)0xfxx=+，（0x），所以()fx在(0,)+上单调递增，所以lnxxy=，即：exyx=，0x，令()xehxx=，0x，则2(1)()xexhxx−=，()01hxx，()001hxx

，所以()hx在(0,1)上单调递减，在(1,)+上单调递增，所以min()(1)hxhe==，故y的最小值为e.故选：B.【点睛】同构法的三种基本模式方法点睛：①乘积型，如elnaabb可以同构成lne(ln)eabab，进而构造函数()exfxx=；②比商型，如elnabab可以

同构成elnelnaabb，进而构造函数()lnxfxx=；③和差型，如elnaabb，同构后可以构造函数()exfxx=或()lnfxxx=.8.现有n（n>2,*Nn）个相同的袋子，里面均装有n个除

颜色外其它无区别的小球，第k（k=1,2,3…n）个袋子中有k个红球，nk−个白球.现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出三个球（每个取后不放回），若第三次取出的球为白球的概率为716，则n=（）A.4B.8C.16D.32【答案】B【解析】【分析】根据古典概型性质，先计

算出某一情况下取球方法数的总数，在列举出第三次取球为白球的情形以及对应的取法数，根据古典概型计算概率，最后逐一将所有情况累加即可得出总概率，最后即可得到答案.【详解】设选出的是第k个袋，连续三次取球的方法数为(1)(2)nnn−−，第三次取出的是白球的取

法有如下四种情形：白白白，取法数为：()(1)(2)nknknk−−−−−红白白，取法数为：()(1)knknk−−−白红白，取法数为：()(1)nkknk−−−红红白：取法数为：(1)()kknk−−所以第三次取出的是白球

的总情形数为：()(1)(2)2()(1)(1)()(1)(2)()nknknkknknkkknknnnk−−−−−+−−−+−−=−−−则在第k个袋子中连取三次球第三次取出的球是白球的概率为：(1)(2)()(1)(2)knnnknkPnnn

n−−−−==−−，因为选取第k个袋的概率为1n，故任选袋子取第三个球是白球的概率为：()()221110111122nnnkkkknnknknPPnknnnnnn===+−−−===−==当17216nPn−==

时，8n=.故选：B.二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知在3312nxx−的二项展开式中，第6项为常数项，

则（）A.10n=B.展开式中项数共有13项C.含2x的项的系数为454D.展开式中有理项的项数为3【答案】ACD【解析】【分析】利用二项式定理及二项展开式的通项公式，结合展开式中的特定项的求法即可求解.【详解】依题意，3312nxx−展开式的通项公式为()2331311

CC22rrnrnrrrrnnTxxx−−+=−=−，因为第6项为常数项，所以=5r时，有203nr−=，解得10n=，故A正确；由10n=，得103312xx−展开式中项数共有10111+=项，故B错

误；令223nr−=，得()()116106222rn=−=−=，所求含2x项的系数为2210145C24−=.故C正确；由102Z3010Nrrr−,令1023rk−=，()kZ,则1023rk−=，即352

rk=−，因为Nr，所以k应为偶数，所以k可取2,0,2−，即r可以取2,5,8，所以第3项，第6项，第9项为有理项，即展开式中有理项的项数为3，故D.故选：ACD.10.某兴趣小组研究光照时长(h)x

和向日葵种子发芽数量(y颗)之间的关系，采集5组数据，作如图所示的散点图.若去掉()10,2D后，下列说法正确的是（）A.相关系数r的绝对值变小B.决定系数2R变大C.残差平方和变大D.解释变量x与响应变量y的相关性变强【答案】BD【解析】

【分析】由图可知：()10,2D较其他的点偏离直线最大，所以去掉()10,2D后，回归效果更好.结合相关系数、决定系数、残差平方和以及相关性逐项分析判断.【详解】由图可知：()10,2D较其他的点偏离直线最大，所

以去掉()10,2D后，回归效果更好.对于选项A：相关系数r越接近于1，线性相关性越强，所以去掉()10,2D后，相关系数r的绝对值变大，故A错误；对于选项B：决定系数2R越接近于1，拟合效果越好，所以去掉

()10,2D后，决定系数2R变大，故B正确；对于选项C：残差平方和变大，拟合效果越差，所以去掉()10,2D后，残差平方和变小，故C错误对于选项D：由选项A可知：去掉()10,2D后，相关系数r的绝对值变大，所以解释变量x与响应变量y的相关性变强，故

D正确；故选：BD.11.设函数()fx，()gx定义域交集为I，若存在0xI，使得对任意xI都有()()()()00fxgxxx−−，则称()()(),fxgx构成“相关函数对”.则下列所给两个函数构成“相关函数

对”的有（）A.()()()()eR,1Rxfxxgxxx==+B.()()()()1ln0,0fxxxgxxx==C.()()()()10,R2xfxxxgxx==D.()()()()2R,Rfxxxgxxx

==【答案】BC【解析】【分析】根据函数新定义，可得两个函数图象有且只有一个交点0x，且在0xx=的右侧图象中()fx的图象高于()gx的图象，在0xx=的左侧图象中()fx的图象低于()gx的图象，结合导数研究函数

单调性及零点存在性定理，逐项判断即可.【详解】根据“相关函数对”的定义，可得两个函数的图象有且只有一个交点0x，且在0xx=的右侧图象中()fx的图象高于()gx的图象，在0xx=的左侧图象中()fx的图象低于()gx的图象.对于A项，令()()()e1xhxfxgxx=−=−

−，则()e1xhx=−，()00hxx，()00hxx，所以()hx在(,0)−上单调递减，在(0,)+上单调递增，所以()(0)0hxh=，即()()fxgx恒成立，所以不符合题意，故A项不成立；对于B项，令1(

)()()lnxfxgxxx=−=−，0x，则211()0xxx=+，所以()x在(0,)+上单调递增，又因为(1)ln1110=−=−，1(e)lne0e=−，所以由零点存在性定理知，存在

唯一0(1,e)x，使得0()0x=，则对任意,()0x+，不等式0[()()]()0fxgxxx−−恒成立，符合题意，故B项正确；对于C项，1()()()()2xmxfxgxx=−=−，则1211

()()ln2022xmxx−=+，所以()mx在[0,)+单调递增，又因为(0)10m=−，1(1)02m=，所以由零点存在性定理知，存在唯一0(0,1)x，使得0()0mx=，则对任意[0,

)x+，不等式0[()()]()0fxgxxx−−恒成立，符合题意，故C项正确；对于D项，因为()()fxgx=，解得：0x=或1x=，所以()fx图象与()gx图象有两个交点，不符合题意，故D项不成立.故选：BC.12.某种疾病在某地区人群中发病率为0.1%.现有一种检测方法能够检测人体是

否患该病，但不是完全准确，其准确率如下：健康人群检测为阳性的概率为0.02，患病人群检测为阴性的概率为0.05.设事件A=“某人不患该病”，B=“该人被检出阳性”，则（）A.()|0.98PBA=B.()0.999PB=C.该

地区某人去检测是否患该病，检测为阳性的概率约为0.999D.某人在不清楚是否得病的情况下被检测出阳性，那么他真正患该病的概率约为0.045【答案】AD【解析】【分析】根据条件概率公式和概率的乘法公式即可求解.【详解】因为健康人群检测为阳性的概率为0.02，所以某人不患该病的条件

下，该人被检出阳性的概率为0.02，即某人不患该病的条件下，该人被检出阴性的概率为0.98，所以()|0.98PBA=，故选项A正确；因为()|0.98PBA=，所以()()0.98PBAPA=,所以()()0.980.9899.9%0.97902PBA

PA===，又患病人群检测为阴性的概率为0.05，所以()()()|0.05PBAPBAPA==,所以()()0.0510.050.1%0.00005PBAPA=−==，所以()()()0.979020.00005=0.97907PBP

BAPBA=+=+，故()()110.97907=0.02093PBPB=−=−，故选项B错误；因为()0.02093PB=，所以该地区某人去检测是否患该病，检测为阳性的概率约为0.02093.故选项C错误；()()()|PABPABPB=()()()|PAPBAPB=()()()|PAPBAP

B=()()()1|PAPBAPB−=0.00110.050.0450.02093−=.故答案D正确；故选：AD.非选择题部分三、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）13.设随机变量～162B

，，则()3Px==_____【答案】【解析】【详解】试题分析：因为1(6,)2XB，满足二项分布，所以3336115(3)()()2216PXC===考点：1．二项分布公式；14.若()

()202322023012202312Rxaaxaxaxx−=++++，则202312kkka=的值为________．【答案】1−【解析】【分析】赋值法解得01a=，20230102kkkaa

=+=，得到202312kkka=的值.【详解】令12x=得()2023202301112kkkaa=−=+，即20230102kkkaa=+=，令0x=得()20230101a=−=，故20230112kkkaa=

=−=−.故答案为：1−15.某公司销售某种业务保单，已知每份业务保单的利润现值随机变量PVP可以用正态分布近似，且满足：()350EPVP=,()10000DPVP=.已知标准正态分布随机变量Z满足()1.6450.95PZ−=,那么该业务保单的利润现值可以以

95%的概率大于________．【答案】185.5##3712【解析】【分析】由题意知()4350,10PVPN，转化为标准正态分布求出PVP的范围.详解】由题意知()4350,10PVPN，则()23500,110PVPZN−=，因为()1.6450.95PZ−=，所以235

01.64510PVP−−，所以185.5PVP，所以该业务保单的利润现值可以以95%的概率大于185.5.故答案为：185.516.已知1xx=和2xx=分别是函数2()2exfxax=−（0a且1a）的极小值点和极大值点．若12xx，则a的取值范围是

____________．【答案】1,1e【解析】【分析】法一：依题可知，方程2ln2e0xaax−=的两个根为12,xx，即函数lnxyaa=与函数eyx=的图象有两个不同的交点，构

造函数()lnxgxaa=，利用指数函数的图象和图象变换得到()gx的图象，利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案.【详解】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点因为()2ln2

exfxaax=−，所以方程2ln2e0xaax−=的两个根为12,xx，即方程lnexaax=的两个根为12,xx，即函数lnxyaa=与函数eyx=的图象有两个不同的交点，因为12,xx分别是函数()22exfxax=−的极小值

点和极大值点，所以函数()fx在()1,x−和()2,x+上递减，在()12,xx上递增，所以当时()1,x−()2,x+，()0fx，即eyx=图象在lnxyaa=上方当()12,xxx时，()0fx¢>，即eyx=图象在lnxyaa=

下方【1a，图象显然不符合题意，所以01a．令()lnxgxaa=，则()2ln,01xgxaaa=，设过原点且与函数()ygx=的图象相切的直线的切点为()00,lnxxaa，则切线的斜率为()020lnxgxaa=，故切线方程为()0020

lnlnxxyaaaaxx−=−，则有0020lnlnxxaaxaa−=−，解得01lnxa=，则切线的斜率为122lnlnelnaaaa=，因为函数lnxyaa=与函数eyx=的图象有两个不同的交点，所以2elne

a，解得1eea，又01a，所以11ea，综上所述，a的取值范围为1,1e．[方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导()2ln2exfxaax=−=0的两个根为12,xx因为12,xx分别是函数()22exfxax=−的极小值点和极大值点，所以

函数()fx在()1,x−和()2,x+上递减，在()12,xx上递增，设函数()()()g2lnxxfxaaex==−，则()()2g2ln2xxaae=−，若1a，则()gx在R上单调递增，此

时若()0g0x=，则()fx在()0-,x上单调递减，在()0,x+上单调递增，此时若有1xx=和2xx=分别是函数()22(0xfxaexa=−且1)a的极小值点和极大值点，则12xx，不符合题意；若01a

，则()gx在R上单调递减，此时若()0g0x=，则()fx在()0,x−上单调递增，在()0,x+上单调递减，令()0g0x=，则02(ln)xeaa=，此时若有1xx=和2xx=分别是函数

()22(0xfxaexa=−且1)a的极小值点和极大值点，且12xx，则需满足()00fx，()()00002ln20lnxefxaaexexa=−=−，即001ln1lnxxaa，故()002lnlnln1lnxeaxaa==，所以

11ea.【整体点评】法一：利用函数的零点与两函数图象交点的关系，由数形结合解出，突出“小题小做”，是该题的最优解；法二：通过构造新函数，多次求导判断单调性，根据极值点的大小关系得出不等式，解出即可，该法属于通性通法．四、解答题（本题共6小

题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知函数()()exfxxa=+.（1）当1a=时，求函数()fx的单调区间；（2）过点()0,0O可作曲线()yfx=的两条切线，求实数a的取值范围.【答案】（1）递减区间为(),2−−，递增区间为()2,−+（2）0a或

4a<-【解析】【分析】（1）求出导函数，解不等式即可求得函数的单调区间；（2）设切点坐标，利用导数几何意义及两点式斜率公式建立方程，利用判别式法即可求解.【小问1详解】因为()()1exfxx=+，所以()()2exfxx=+，令()0fx¢>得2x

−，令()0fx得<2x−，故函数()fx的单调递减区间为(),2−−，单调递增区间为()2,−+；【小问2详解】因为()()exfxxa=+，所以()()1exfxxa+=+，设切点()00,xy，则()()000

00e01e0xxxakxax+−==++−，即2000xaxa+−=有两非零解，由240aa=+可知0a或4a<-.18.数列na满足11a=，数列nan前n项和为22nn+，*Nn.（1）求数列na的通项公式；（

2）设3nnnba=，求数列nb的前n项和nS.【答案】（1）2nan=（2）()121334nnnS+−+=【解析】【分析】（1）利用项与前n项和的关系即可求解；（2）根据（1）的结论，求出nb，利用错位相减法即可求出数列nb的前n项和.【小问1详解】由已知可得，当2

n时，()()221122nnnannnn−+−+=−=，即2nan=，当1n=时，2111a==，此式也满足1a，所以数列na的通项公式为2nan=.【小问2详解】由（1）知，2nan=，所以2333nnnnnban

n===.1231323333nnSn=++++，①()23131323133nnnSnn+=+++−+，②由①－②得，()1111123133313222333333nnnnnnnSnnn+−=++−=−−=−+−+−＋＋＋，所以()121334nnnS+−+

=.19.某大学有A，B两个餐厅为学生提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位学生每天午餐和晚餐都在学校就餐，近100天选择餐厅就餐情况统计如下：选择餐厅情况(午餐，晚餐)(,)AA(,)AB(,)BA(,)BB甲30天20天40天10天乙20天25天15天40天（1）假设甲、乙选择

餐厅相互独立，用频率估计概率.计算某天甲同学午餐去A餐厅用餐的情况下晚餐去B餐厅用餐的概率；（2）某天午餐，甲和乙两名同学准备去A，B这两个餐厅中某一个就餐.设事件M=“甲选择A餐厅就餐”，事件N=“乙选择A餐厅就餐”，()0PM,()0PN.若()()||PM

NPMN=，证明：事件M和N相互独立.【答案】（1）0.4（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意设出事件，用表格数据直接求解；（2）用条件概率公式和全概率公式化简原式得到()()()PMNPMPN=，进一步化简得到()()()PMNPMPN=即可

证明事件M和N相互独立.【小问1详解】设“某天中午甲去A餐厅用餐”为事件A，“该天中午甲去B餐厅用餐”为事件B，由题知()50nA=，()20nAB=，()20|0.450PBA==.所以某天甲同学午餐去A餐厅用餐的情况下晚餐去B餐厅用餐的概率为0.4【小问2详解】由()(

)||PMNPMN=可知()()()()()()()1PMNPMNPMPMNPNPNPN−==−，所以()()()()()()()PMNPMNPNPMPNPMNPN−=−即()()()PMNPMPN=，所以()()()()1PNPMNPMPN−=−，得()()()

PMNPMPN=，即M和N相互独立得证.20.过点(1,0)P作曲线()*:(0,,N,1)kCyxxkk=+的切线，切点为1Q，设1Q在x轴上的投影是点1P；又过点1P作曲线C的切线，切点为2

Q，设2Q在x轴上的投影是点2,P，依此下去，得到一系列点12,,,nQQQ，设点nQ的横坐标是na.（1）求1a,并求数列na的通项公式；（2）求证：11nnak+−.【答案】（1）11kak=−，()*N1nnkank=−（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据导

数的几何意义和数列的递推关系即可求解；（2）根据二项式定理放缩即可求解.【小问1详解】1kykx−=，若切点是(),knnnQaa，则切线方程为1()kknnnyakaxa−−=−.①当1n=时，切线过点(1,0

)P，即11110()kkakaxa−−=−，得11kak=−.②当1n时，切线过点11(,0)nnPa−−，即110()kknnnnakaaa−−−=−，得11nnakak−=−.所以数列na是首项为1kk−，公比为1kk−的等比数列，所以()*N1nnkank

=−.【小问2详解】201211111CCCC11111nnnnnnnnnkakkkkk==+=++++−−−−−011CC111nnnkk+=+−−.21.学习强国

中有两项竞赛答题活动，一项为“双人对战”，另一项为“四人赛”．活动规则如下：一天内参与“双人对战”活动，仅首局比赛可获得积分，获胜得2分，失败得1分；一天内参与“四人赛”活动，仅前两局比赛可获得积分，首局获胜得3分，次

局获胜得2分，失败均得1分．已知李明参加“双人对战”活动时，每局比赛获胜的概率为12；参加“四人赛”活动（每天两局）时，第一局和第二局比赛获胜的概率分别为p，13．李明周一到周五每天都参加了“双人对战”活动和“四人赛”活动（每天

两局），各局比赛互不影响．（1）求李明这5天参加“双人对战”活动的总得分X的分布列和数学期望；（2）设李明在这5天的“四人赛”活动（每天两局）中，恰有3天每天得分不低于3分的概率为()fp．求p为何值时，()fp取得最大值．【答案】（1）分布列见解析，()7.5EX=（分）（2

）25p=【解析】【分析】（1）X可取5，6，7，8，9，10，求出对应随机变量的概率，从而可求出分布列，再根据期望公式求出数学期望即可；（2）先求出一天得分不低于3分的概率，再求出恰有3天每天得分不低于3

分的概率为()fp，再根据导出求出函数()fp的单调区间，即可得出答案.【小问1详解】解：X可取5，6，7，8，9，10，()505115?232PXC===，()41511562232PXC==

=，()23251157?2216PXC===，()32351158?2216PXC===，()4451159?2232PXC===，()555

1110?232PXC===，分布列如下：X5678910P132532516516532132所以()15555156789107.5323216163232EX=+++++=（分）；【小问2详解】解：设一天得分不低于3分为事件A，则

()()()122111111333pPApp+=−−−=−−=，则恰有3天每天得分不低于3分的概率()()()323235212140121133243ppfpCpp++=−=+−，01p则()(

)()()()223404062112211243243fppppp=+−−+−()()()240211410243ppp=+−−，当205p时，()0fp，当215p时，()0fp，所以函数()fp在20,5上递增，在2,15

上递减，所以当25p=时，()fp取得最大值.22.已知函数()()lneaxxfxgxxax==−，.（1）当1a=时，求函数()fx的最大值；（2）若关于x的方()()fxgx+=1有两个不同的实根

，求实数a的取值范围.【答案】（1）1e；（2）10ea【解析】【分析】（1）求出函数的导数，讨论其单调性后可得函数的最大值.（2）利用同构可将原方程转化为ln0xax−=有两个不同的正数根，利用导数结合零点存在定理可求参数的取值范围.

【小问1详解】当1a=时，()exxfx=，故()1exxfx−=，当1x时，()0fx¢>，故()fx在(),1−上为增函数，当1x时，()0fx，故()fx在()1,+上为减函数，故()max1efx=.【小问2详解】方程()()1fxgx+=即为ln1eaxxx

ax+−=，整理得到：lneln1xaxxax−+−=，令lntxax=−，故e1tt+=，因为e,tyyt==均为R上的增函数，故()ethtt=+为R上的增函数，而()00e01h=+=，故e1tt+=的解为0=t，因为方程()()1fxgx+=有两个

不同的实数根，故ln0xax−=有两个不同的正数根，设()lnsxxax=−，则()11axsxaxx−=−=，若0a，则()0sx，故()sx在()0,+上为增函数，()sx在()0,+上至多一个零点，与题设矛盾；若0a，则10xa时，()0sx；1xa时，(

)0sx，故()sx在10,a上为增函数，在1,a+上为减函数，由()sx有两个不同的零点可得()max11ln10sxsaa==−，故10ea.当10ea时，1e

a，而110eeas=−−，故()sx在11,ea有且只有一个零点，又21112lnsaaa=−，设1eta=，令()2lnuttt=−，te，则()210utt=−

，故()ut在()e,+上为减函数，故()()e2e0utu=−，故210sa，故()sx在1,a+有且只有一个零点，综上10ea.【点睛】思路点睛：导数背景下

的函数的零点问题，注意根据解析式的同构特征合理构建新函数，后者可利用导数讨论其单调性，并结合零点存在定理检验零点的存在性.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com