【文档说明】浙江省杭嘉湖金四县区2022-2023学年高二下学期5月调研测试数学试题含答案.docx，共(18)页，91.393 KB，由小赞的店铺上传

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2023年5月浙江省杭嘉湖金四县区调研测试高二年级数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第I卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1

.已知𝑛∈𝑁∗，𝐶2𝑛5=𝐶2𝑛𝑛−1，则𝑛的值为()A.6B.4C.5或3D.4或62.设𝑆𝑛为等比数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和，8𝑎2+𝑎5=0，则𝑆5𝑆2等于()A.−11B.−8C.5D.113.设某项试验的成功率是失败率的2倍

，用随机变量𝑋去描述1次试验的成功次数，则𝑃(𝑋=0)等于()A.0B.13C.12D.234.已知函数𝑓(𝑥)=ln(2𝑥)+𝑥2，下列直线不可能．．．是曲线𝑦=𝑓(𝑥)的切线的是()A.(

2𝑒+𝑒)𝑥−𝑦−𝑒24=0B.12𝑥−4𝑦−5=0C.8𝑥−4𝑦−3=0D.3𝑥−𝑦−2+ln2=05.已知数列{𝑎𝑛}，𝑎1=2，𝑎𝑚+𝑛=𝑎𝑚+𝑎𝑛(𝑚,𝑛∈𝑁∗)，

若𝑎𝑘𝑎𝑘+1=1680，则正整数𝑘的值为()A.20B.21C.22D.236.学校以劳动周形式开展劳育工作创新实践，学校开设“民俗文化”“茶艺文化”“茶壶制作”“3𝐷打印”四种课程.甲、乙、丙3名同学每名同学至少从中选一种，每种课程都恰有1

人参加，记𝐴=“甲参加民俗文化”，𝐵=“甲参加茶艺文化”，𝐶=“乙参加茶艺文化”，则下列结论正确的是()A.事件𝐴与𝐵相互独立B.事件𝐴与𝐶互斥C.𝑃(𝐶|𝐴)=512D.𝑃(𝐵|𝐴)=5127.已知实数𝑥,𝑦满足𝑒𝑥=𝑦

ln𝑥+𝑦ln𝑦，则满足条件的𝑦的最小值为()A.1B.𝑒C.2𝑒D.𝑒28.现有𝑛(𝑛>2,𝑛∈𝑁∗)个相同的袋子，里面均装有𝑛个除颜色外其它无区别的小球，第𝑘(𝑘=1,2,3…�

�)个袋子中有𝑘个红球，𝑛−𝑘个白球.现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出三个球(每个取后不放回)，若第三次取出的球为白球的概率为716，则𝑛=()A.4B.8C.16D.32二

、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.已知在(√𝑥3−12√𝑥3)𝑛的二项展开式中，第6项为常数项，则()A.𝑛=10B.展开式中项数共有13项C.含𝑥2的项的系数为454D.展开式中有理项的项数为310.某兴趣小组研究光照时长𝑥(ℎ)和向日

葵种子发芽数量𝑦(颗)之间的关系，采集5组数据，作如图所示的散点图.若去掉𝐷(10,2)后，下列说法正确的是()A.相关系数𝑟的绝对值变小B.决定系数𝑅2变大C.残差平方和变大D.解释变量𝑥与响应变量𝑦的相关性变强11.设函数𝑓(𝑥)，𝑔(𝑥)定义域交集为𝐼，若存在�

�0∈𝐼，使得对任意𝑥∈𝐼都有(𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥))(𝑥−𝑥0)≥0，则称(𝑓(𝑥),𝑔(𝑥))构成“相关函数对”.则下列所给两个函数构成“相关函数对”的有()A.𝑓(𝑥)=𝑒𝑥(𝑥∈𝑅)

,𝑔(𝑥)=𝑥+1(𝑥∈𝑅)B.𝑓(𝑥)=ln𝑥(𝑥>0),𝑔(𝑥)=1𝑥(𝑥>0)C.𝑓(𝑥)=√𝑥(𝑥≥0),𝑔(𝑥)=(12)𝑥(𝑥∈𝑅)D.𝑓(𝑥)=𝑥(�

�∈𝑅),𝑔(𝑥)=𝑥2(𝑥∈𝑅)12.某种疾病在某地区人群中发病率为0.1%.现有一种检测方法能够检测人体是否患该病，但不是完全准确，其准确率如下：健康人群检测为阳性的概率为0.02，患病人群检测为阴性的概率为0.05

.设事件𝐴=“某人不患该病”，𝐵=“该人被检出阳性”，则()A.𝑃(𝐵|𝐴)=0.98B.𝑃(𝐵)=0.999C.该地区某人去检测是否患该病，检测为阳性的概率约为0.999D.某人在不清楚是否得病的情况下被检测出阳性，那么他真正患该病的概率约为0.045第II卷（

非选择题）三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设随机变量𝑋～𝐵(6,12)，则𝑃(𝑋=3)=．14.若(1−2𝑥)2023=𝑎0+𝑎1𝑥+𝑎2𝑥2+⋅⋅⋅+𝑎2023�

�2023(𝑥∈𝑅)，则∑𝑎𝑘2𝑘2023𝑘=1的值为．15.某公司销售某种业务保单，已知每份业务保单的利润现值随机变量𝑃𝑉𝑃可以用正态分布近似，且满足：𝐸(𝑃𝑉𝑃)=350，𝐷(𝑃𝑉𝑃)=10000.已知标准正态分布随机变量𝑍满足𝑃(𝑍>−1.645)=0

.95，那么该业务保单的利润现值可以以95%的概率大于．16.已知𝑥=𝑥1和𝑥=𝑥2分别是函数𝑓(𝑥)=2𝑎𝑥−𝑒𝑥2(𝑎>0且𝑎≠1)的极大值点和极小值点．若𝑥1<𝑥2，则𝑎的取值范围是

．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)已知函数𝑓(𝑥)=(𝑥+𝑎)⋅𝑒𝑥．(1)当𝑎=1时，求函数𝑓(𝑥)的单调区间；(2)过点𝑂(0,0)可作曲线𝑦=𝑓(𝑥)的两条切线

，求实数𝑎的取值范围．18.(本小题12.0分)数列{𝑎𝑛}满足𝑎1=1，数列{𝑎𝑛𝑛}前𝑛项和为𝑛2+𝑛2，𝑛∈𝑁∗．(1)求数列{𝑎𝑛}的通项公式；(2)设𝑏𝑛=3

𝑛⋅√𝑎𝑛，求数列{𝑏𝑛}的前𝑛项和𝑆𝑛．19.(本小题12.0分)某大学有𝐴，𝐵两个餐厅为学生提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位学生每天午餐和晚餐都在学校就餐，近100天选择餐厅就餐情况统计如下：选择

餐厅情况(午餐，晚餐)(𝐴,𝐴)(𝐴,𝐵)(𝐵,𝐴)(𝐵,𝐵)甲30天20天40天10天乙20天25天15天40天(1)假设甲、乙选择餐厅相互独立，用频率估计概率.计算某天甲同学午餐去𝐴餐厅用餐的情况下晚餐去𝐵餐厅用餐的概率；

(2)某天午餐，甲和乙两名同学准备去𝐴，𝐵这两个餐厅中某一个就餐.设事件𝑀=“甲选择𝐴餐厅就餐”，事件𝑁=“乙选择𝐴餐厅就餐”，𝑃(𝑀)>0，𝑃(𝑁)>0.若𝑃(𝑀|𝑁)=𝑃

(𝑀|𝑁)，证明：事件𝑀和𝑁相互独立．20.(本小题12.0分)过点𝑃(1,0)作曲线𝐶:𝑦=𝑥𝑘(𝑥∈(0,+∞),𝑘∈𝑁∗,𝑘>1)的切线，切点为𝑄1，设𝑄1在𝑥轴上的投影是点𝑃1；又过

点𝑃1作曲线𝐶的切线，切点为𝑄2，设𝑄2在𝑥轴上的投影是点𝑃2,⋯，依此下去，得到一系列点𝑄1,𝑄2,⋯,𝑄𝑛⋯，设点𝑄𝑛的横坐标是𝑎𝑛．(𝐼)求𝑎1，并求数列{𝑎𝑛}的

通项公式；(𝐼𝐼)求证：𝑎𝑛≥1+𝑛𝑘−1．21.(本小题12.0分)学习强国中有两项竞赛答题，一项为“双人对战”，另一项为“四人赛”.规则如下：一天内参与“双人对战”答题，仅首局比赛可获得积分，获胜得2分，失败得1分；一

天内参与“四人赛”答题，仅前两局比赛可获得积分，首局获胜得3分，次局获胜得2分，失败均得1分.已知李明参加“双人对战”答题时，每局比赛获胜的概率为12；参加“四人赛”答题时，第一局和第二局比赛获胜的概率分别为𝑝，13.李明周一到周五每天完成“双人对战”答题一局和“四人赛”答题两局

，各局答题互不影响．(𝐼)求李明这5天完成“双人对战”答题的总得分𝑋的分布列和数学期望；(𝐼𝐼)设李明在这5天的“四人赛”答题中，恰有3天每天得分不低于3分的概率为𝑓(𝑝).求𝑝为何值时，𝑓(𝑝)取得最大值．22.(

本小题12.0分)已知函数𝑓(𝑥)=𝑥𝑒𝑎𝑥，𝑔(𝑥)=ln𝑥−𝑎𝑥．(1)当𝑎=1时，求函数𝑔(𝑥)的最大值；(2)若关于𝑥的方程𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥)=1有两个不同的实根，求实数𝑎的取值范围．答案和解析1.【答案】𝐷【解析】【分析】本题考查组合数公式，属

于基础题．【解答】解：因为组合数公式得性质𝐶𝑛𝑚=𝐶𝑛𝑛−𝑚，而𝐶2𝑛5=𝐶2𝑛𝑛−1可得𝑛−1=5或𝑛−1+5=2𝑛，所以𝑛=6或𝑛=4．经验证𝑛=6或𝑛=4符合题意．2.【答案】𝐴【解析】【分

析】本题考查等比数列有关基本量的求解，为基础题．【解答】解：8𝑎2+𝑎5=0，则公比𝑞=−2，𝑆5𝑆2=𝑎1(1−𝑞5)1−𝑞𝑎1(1−𝑞2)1−𝑞=1−(−2)51−(−2)2=33−3=−11．3.【答案】𝐵【解析】【分析】根据某

项试验的成功率为失败率的2倍，写出随机变量的分布列，分布列中两个变量对应的概率，是含有𝑃的代数式，根据分布列概率的性质，写出关于𝑃的等式，解出结果．本题离散型随机变量的分布列的性质，是一个基础题，解题过程中用

到方程思想，通过解方程得到要求的概率．【解答】解：设𝑋的分布列为：𝑋01𝑃𝑝2𝑝即“𝑋=0”表示试验失败，“𝑋=1”表示试验成功，设失败的概率为𝑝，成功的概率为2𝑝，由𝑝+2𝑝=1，∴𝑝=13．故选B．4.【答案】𝐶【解析】【分析】本题考查利用导

数求曲线上的切线方程，属于中档题．【解答】解：𝑓(𝑥)=ln(2𝑥)+𝑥2的定义域为(0,+∞)，𝑓′(𝑥)=1𝑥+2𝑥，设曲线𝑦=𝑓(𝑥)上的切点为(𝑚,𝑛)验证𝐴，{𝑓′(𝑚)=1𝑚+2𝑚=2𝑒+𝑒(2𝑒+𝑒)𝑚−𝑛−𝑒24=0ln(2

𝑚)+𝑚2=𝑛，得𝑚=𝑒2,𝑛=1+𝑒24，验证𝐵、{𝑓′(𝑚)=1𝑚+2𝑚=312𝑚−4𝑛−5=0ln(2𝑚)+𝑚2=𝑛，得𝑚=12,𝑛=14验证𝐶：𝑓′(�

�)=1𝑚+2𝑚=2，即2𝑚2−2𝑚+1=0，∵𝛥=4−8<0，方程无解．验证𝐷、{𝑓′(𝑚)=1𝑚+2𝑚=33𝑚−𝑛−2+ln2=0ln(2𝑚)+𝑚2=𝑛，得𝑚=1,𝑛=1+ln2故选项C对应的直线

不可能是曲线𝑦=𝑓(𝑥)的切线．5.【答案】𝐴【解析】【分析】本题考查数列的递推关系式，考查等差数列的有关运算，为中档题．【解答】解：𝑎𝑚+𝑛=𝑎𝑚+𝑎𝑛(𝑚,𝑛∈𝑁∗)，可知𝑎𝑚+

𝑛+1=𝑎𝑚+𝑛+𝑎1=𝑎𝑚+𝑛+2，则可知{𝑎𝑛}为首项为2，公差为2的等差数列，有𝑎𝑛=2𝑛，𝑎𝑘𝑎𝑘+1=4𝑘(𝑘+1)=1680，则𝑘=20．6.【答案】𝐶【解析】【分析】本题考查相互独立事件的判断和条件概率，属于

中档题．分别求出𝑃(𝐴)，𝑃(𝐵)和𝑃(𝐶)，再利用互独立事件同时发生的概率和条件概率公式逐个判断即可．【解答】解：甲、乙、丙三名同学从四种课程中至少选一种，共有𝐶42𝐴33=36种基本事件，事件𝐴包含的基本事件数为：𝐴33+𝐶32𝐴22=12，则𝑃(𝐴)=1236=1

3，同理𝑃(𝐵)=𝑃(𝐶)=13，事件𝐴𝐵包含的基本事件数为：𝐴22=2，则𝑃(𝐴𝐵)=236=118，事件𝐴𝐶包含的基本事件数为：𝐶22+𝐶21𝐶21=5，则𝑃(𝐴𝐶)=536，因为𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)=1

9≠𝑃(𝐴𝐵)，故A错误;因为𝐴事件和𝐵事件不互斥，故B错误;因为𝑃(𝐶|𝐴)=𝑃(𝐶𝐴)𝑃(𝐴)=512，故C正确;因为𝑃(𝐵|𝐴)=𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐴)=16，故D错误．故选C．7.【答案】𝐵【解析】【分析】本题考查导数求函数单调性，导数求函数的最值，

属于综合题．【解答】解：由题意，𝑒𝑥=𝑦ln𝑥+𝑦ln𝑦，可化为𝑒𝑥=𝑦ln(𝑥𝑦)(𝑥>0,𝑦>0,𝑥𝑦>1)，即𝑥𝑒𝑥=𝑥𝑦ln(𝑥𝑦)=ln(𝑥𝑦)·𝑒ln(𝑥𝑦)

，构造函数𝑔(𝑥)=𝑥𝑒𝑥，(𝑥>0)，𝑔′(𝑥)=(𝑥+1)𝑒𝑥，当𝑥∈(0,+∞)时，𝑔′(𝑥)>0，𝑔(𝑥)单调递增，即𝑔(𝑥)=𝑔(ln(𝑥𝑦))，可以得到𝑥=ln(𝑥𝑦)，从而𝑦=𝑒𝑥𝑥，构造函数ℎ(𝑥)

=𝑒𝑥𝑥(𝑥>0)，ℎ′(𝑥)=𝑒𝑥(𝑥−1)𝑥2，令ℎ′(𝑥)=0可以得到𝑥=1，当𝑥∈(0,1)时，ℎ′(𝑥)<0，ℎ(𝑥)单调递减，当𝑥∈(1,+∞)时，ℎ′(𝑥)>0，ℎ(𝑥)单调递增，从而当𝑥=1时，ℎ(𝑥)取最小值ℎ

(1)=𝑒，即𝑦有最小值𝑒．8.【答案】𝐵【解析】【分析】本题主要考查古典概型，互斥事件及相互独立事件的概率求法问题，考查了逻辑分析能力和计算能力，属于较难题．设选出的是第𝑘个袋，连续三次取球的方法数为𝑛(𝑛−1)(𝑛−2)，再分四类求出第三

次取出白球的方法数(𝑛−1)(𝑛−2)(𝑛−𝑘)，进而求出第𝑘个袋子中第三次取出的是白球的概率𝑝𝑘=𝑛−𝑘𝑛，及选到第𝑘个袋子的概率为1𝑛，最后根据互斥事件及独立事件的概率即可求解．【

解答】解：设选出的是第𝑘个袋子，连续三次取球的方法数为𝑛(𝑛−1)(𝑛−2)，第三次取出的是白球的三次取球颜色有如下四种情形：(白，白，白)，取法数为(𝑛−𝑘)(𝑛−𝑘−1)(𝑛−𝑘−2)，(白，红，白)，取法数为𝑘(𝑛−𝑘)(𝑛−𝑘−1)，(红，白，白)，取法

数为𝑘(𝑛−𝑘)(𝑛−𝑘−1)，(红，红，白)，取法数为𝑘(𝑘−1)(𝑛−𝑘)，从而第三次取出的是白球的种数为：(𝑛−𝑘)(𝑛−𝑘−1)(𝑛−𝑘−2)+𝑘(𝑛−𝑘)(𝑛−𝑘−1)+𝑘(𝑛−𝑘)(𝑛−𝑘−1)+𝑘(𝑘−1)(𝑛

−𝑘)=(𝑛−1)(𝑛−2)(𝑛−𝑘)，则在第𝑘个袋子中第三次取出的是白球的概率𝑝𝑘=𝑛−𝑘𝑛，而选到第𝑘个袋子的概率为1𝑛，故对于任意的正整数𝑛(𝑛>2)，求第三次取出为白球的概率为：𝑃=∑𝑝�

�𝑛𝑘=1⋅1𝑛=∑𝑛−𝑘𝑛𝑛𝑘=1⋅1𝑛=1𝑛2∑(𝑛𝑘=1𝑛−𝑘)=1𝑛2∑𝑘𝑛−1𝑘=0=𝑛−12𝑛．所以𝑛−12𝑛=716，解得𝑛=8.故答案为8.9.【答案】𝐴𝐶𝐷【解析】【分析】本题考查二项式

定理的应用，二项展开式的特定项与特定项的系数，属于中档题．【解答】解：解：该二项式展开式的通项为𝑇𝑘+1=𝐶𝑛𝑘𝑥𝑛−𝑘3⋅(−12)𝑘𝑥−𝑘3=𝐶𝑛𝑘(−12)𝑘𝑥𝑛−2𝑘3．因为第6项为常数项，所以当𝑘=5时，𝑛−2×53=0，解得𝑛=10.所以通项

为𝑇𝑘+1=𝐶10𝑘(−12)𝑘⋅𝑥10−2𝑘3．展开式中项数共有11项，故A正确，B错误．含𝑥2的项得10−2𝑘3=2，即𝑘=2，所求的系数为𝐶102(−12)2=454，故C正确．根据通项公式，由题意得{10−2𝑘3∈𝑍0⩽𝑘⩽10𝑘∈𝑁，令10−2𝑘3=𝑑

，(𝑑∈𝑍)，则10−2𝑘=3𝑑，即𝑘=5−32𝑑，∵𝑘∈𝑁，∴𝑑应为偶数，∴𝑑可取2，0，−2，即𝑘可取2，5，8，∴第3项，第6项与第9项为有理项．故D正确．10.【答案】𝐵𝐷【解析】【分析

】本题考查利用散点图判断两个变量的关系，属于基础题．根据去掉𝐷点后变量𝑥与变量𝑦的线性相关性变强进行分析，即可得解．【解答】解：由散点图可知，散点大致分布在一条直线附近，变量𝑥和变量𝑦具有线性相关关系．𝐷离回归直线较远，去掉后变量�

�和变量𝑦的相关性变强，相关系数𝑟的绝对值变大，残差的平方和变小，决定系数𝑅2变大，各组数据对应的点到回归直线的距离的平方和变小，所求回归直线方程与实际更接近．11.【答案】𝐵𝐶【解析】【分析】本题主要考查了函数新

定义，考查函数的定义域和值域，考查不等式恒成立问题，考查利用导数研究函数的单调性，属于较难题．A.𝐼=𝑅，利用导数可得𝑒𝑥⩾𝑥+1，故不满足题意；B.𝐼=(0,+∞)，设ℎ(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥)=ln𝑥−1𝑥，易知ℎ(𝑥)在𝐼=(0,+∞)上单调递增，

存在𝑥1∈(1,2)，使得ℎ(𝑥1)=0，满足题意；C.𝐼=𝑅，由[𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥)](𝑥−𝑥0)≥0得𝑥(1−𝑥)(𝑥−𝑥0)⩾0，故不满足题意；D.𝐼=[0,+∞)，且ℎ(12)=0，故当𝑥0=12时，故满足题意．【解答】解：𝐴选项中

，易知𝐼=𝑅，设𝑚(𝑥)=𝑒𝑥−𝑥−1，则𝑚′(𝑥)=𝑒𝑥−1，当𝑥<0时，𝑚′(𝑥)<0，函数𝑚(𝑥)单调递减；当𝑥>0时，𝑚′(𝑥)>0，函数𝑚(𝑥)单调递增．故𝑚(𝑥)≥𝑚(0)=0，故不存在𝑥

0∈𝐼，使得对任意𝑥∈𝐼，不等式[𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥)](𝑥−𝑥0)≥0恒成立，故A不正确；𝐵选项中，𝐼=(0,+∞)，设ℎ(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥)=ln𝑥−1𝑥，易知ℎ(𝑥)在(0,+∞)上

单调递增，且ℎ(1)=−1，ℎ(2)=ln2−12>0，所以存在𝑥1∈(1,2)，使得ℎ(𝑥1)=0，所以当𝑥∈(0,𝑥1)时，ℎ(𝑥)<0;当𝑥∈(𝑥1,+∞)时，ℎ(𝑥)>0．故当𝑥0=𝑥1时，[𝑓

(𝑥)−𝑔(𝑥)](𝑥−𝑥0)⩾0对任意的𝑥∈(0,+∞)恒成立，故B正确；𝐶选项中，易知𝐼=[0,+∞),设ℎ(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥)=√𝑥−(12)𝑥，易知ℎ(𝑥)在[0,+∞)上单调递增，且ℎ(12

)=0，所以当𝑥∈[0,12)时，ℎ(𝑥)<0，;当𝑥∈(12,+∞)时，ℎ(𝑥)>0．故当𝑥0=12时，[𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥)](𝑥−𝑥0)⩾0对任意的𝑥∈[0,+∞)恒成立，故C正确．𝐷选项中，易知𝐼=𝑅，由[𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥)](𝑥−𝑥0)≥0

得(𝑥−𝑥2)(𝑥−𝑥0)⩾0，即𝑥(1−𝑥)(𝑥−𝑥0)⩾0，故不存在𝑥0∈𝐼，使得对任意𝑥∈𝐼，不等式[𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥)](𝑥−𝑥0)≥0恒成立，故D错误；故选BC．12.【答案】𝐴𝐷【

解析】【分析】本题主要考查条件概率和全概率公式综合，属于较难题．【解答】解：由题意可得，𝑃(𝐴)=1−0.1％=0.999𝑃(𝐵|𝐴)=0.02⇒𝑃(𝐵|𝐴)=0.98，𝑃(𝐵|𝐴)=0.05⇒𝑃(𝐵|𝐴)=0.95，可得A正确．则有𝑃(

𝐵)=𝑃(𝐵|𝐴)𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵|𝐴)𝑃(𝐴)=0.02×(1−0.1％)+0.95×0.1％=0.02093，故BC错误．𝑃(𝐴|𝐵)=𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐵)=𝑃(𝐵|𝐴)𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)=

0.95×0.1％0.02093≈0.045．故D正确．13.【答案】516【解析】【分析】本题考查𝑛次独立重复试验的概率计算，属于基础题．【解答】𝑃(𝑋=3)=𝐶63(12)3(12)3=51614.【答案】−1【解析】【分析】本题考查二项式定理有关的应用，为中档题．【解答】解：𝑎

𝑘=𝐶2023𝑘(−2)𝑘,(𝑘∈0,1,⋯,2023)，𝑎0=(1−2×0)2023=1，其中𝐶20230−𝐶20231+𝐶20232−⋯−𝐶20232023=(1−1)2023=0，∑𝑎𝑘2𝑘2023𝑘=1=∑𝐶2023𝑘(−2)𝑘2

𝑘2023𝑘=1=(−𝐶20231+𝐶20232−⋯−𝐶20232023)=0−1=−1．15.【答案】185.5【解析】【分析】本题主要考查正态分布，属于较易题.【解答】解:由题意可得Z~N(350

,1002)，设该业务保单的利润现值为x,则有Z=𝑥−𝜇𝜎=𝑥−350100>−1.645，解得x>185.5.16.【答案】(1,𝑒)【解析】【分析】本题考查利用导数的极值求解参数，考查转

化能力与运算求解能力，属于较难题．求导，转化为𝑓′(𝑥)=2(𝑎𝑥𝑙𝑛𝑎−𝑒𝑥)至少要有两个零点𝑥=𝑥1和𝑥=𝑥2，构造函数ℎ(𝑥)=𝑓′(𝑥)，分类讨论，判断单调性，进而求解范围．【解答】解：𝑓′(𝑥)=2(𝑎𝑥𝑙𝑛𝑎−𝑒𝑥

)至少要有两个变号零点𝑥=𝑥1和𝑥=𝑥2，构造函数ℎ(𝑥)=𝑓′(𝑥)=2(𝑎𝑥𝑙𝑛𝑎−𝑒𝑥)，对其求导，ℎ′(𝑥)=2𝑎𝑥(𝑙𝑛𝑎)2−2𝑒，(1)若0<𝑎<1，则ℎ′(𝑥)在𝑅上

单调递减，此时若ℎ′(𝑥0)=0，则𝑓′(𝑥)在(−∞,𝑥0)上单调递增，在(𝑥0,+∞)上单调递减，此时若有𝑥=𝑥1和𝑥=𝑥2分别是函数𝑓(𝑥)=2𝑎𝑥−𝑒𝑥2(𝑎>0且𝑎≠1)的极大值点和极小值点，则𝑥1>�

�2，不符合题意；(2)若𝑎>1，则ℎ′(𝑥)在𝑅上单调递增，此时若ℎ′(𝑥0)=0，则𝑓′(𝑥)在(−∞,𝑥0)上单调递减，在(𝑥0,+∞)上单调递增，令ℎ′(𝑥0)=0，则𝑎𝑥0=𝑒(ln𝑎)2，此时若有𝑥=𝑥1和𝑥=𝑥2分别是函数𝑓(𝑥)=2

𝑎𝑥−𝑒𝑥2(𝑎>0且𝑎≠1)的极大值点和极小值点，且𝑥1<𝑥2，则需满足𝑓′(𝑥0)<0，即𝑓′(𝑥0)=2𝑎𝑥0·ln𝑎−2𝑒·𝑥0=2(𝑒ln𝑎−𝑒𝑥0)<0,𝑥0>1ln𝑎,𝑥0ln𝑎>1,故𝑥0ln𝑎=ln𝑎

𝑥0=ln𝑒(ln𝑎)2>1，所以𝑎∈(1,𝑒)．17.【答案】解：(1)易知𝑓′(𝑥)=(𝑥+2)𝑒𝑥，故递减区间为(−∞,−2)，递增区间为(−2,+∞)．(2)设切点(𝑥0,𝑦0)

，则𝑘=(𝑥0+𝑎)𝑒𝑥0𝑥0=(𝑥0+𝑎+1)𝑒𝑥0，即𝑥⬚02+𝑎𝑥0−𝑎=0有两非零解，由𝛥=𝑎2+4𝑎>0可知𝑎>0或𝑎<−4．【解析】本题考查利用导数研究函数单调区间，曲线外一点做曲线的切线，已知切线条数有关问题求参，为中档题．18.【答

案】解：(1)由已知可得：当𝑛⩾2时，𝑎𝑛𝑛=𝑛2+𝑛2−(𝑛−1)2+(𝑛−1)2=𝑛，当𝑛=1时，𝑎1=1，符合，所以𝑎𝑛=𝑛2．(2)𝑏𝑛=𝑛·3𝑛．𝑆𝑛=1×31+2×32+3×33+⋯+𝑛·3𝑛，①

3𝑆𝑛=1×32+2×33+⋯+(𝑛−1)·3𝑛+𝑛·3𝑛+1，②①−②得，−2𝑆𝑛=31+32+⋯+3𝑛−𝑛·3𝑛+1=3·(1−3𝑛)1−3−𝑛·3𝑛+1=(1−2𝑛)·3𝑛+1−32，

所以𝑆𝑛=(2𝑛−1)·3𝑛+1+34．【解析】本题主要考查错位相减法求和，求数列的通项公式，属于中档题．19.【答案】解：(1)设事件𝐴为某天甲同学中午去𝐴餐厅用餐，事件𝐵为该天晚上去𝐵餐厅用餐，由题知𝑛(𝐴)=50，𝑛(𝐴𝐵)=20，𝑃(𝐵|𝐴)=

2050=0.4(2)由𝑃(𝑀|𝑁)=𝑃(𝑀|𝑁)可知𝑃(𝑀𝑁)𝑃(𝑁)=𝑃(𝑀𝑁)𝑃(𝑁)=𝑃(𝑀)−𝑃(𝑀𝑁)1−𝑃(𝑁)，化简得𝑃(𝑀𝑁)=𝑃(𝑀)�

�(𝑁)，可知𝑀与𝑁相互独立，即𝑀和𝑁相互独立．【解析】本题考查条件概率的计算，条件概率与独立性的关系，属于中档题．20.【答案】解：(1)𝑦′=𝑘𝑥𝑘−1，若切点是𝑄𝑛(𝑎𝑛,𝑎𝑛𝑘

)，则切线方程为𝑦−𝑎𝑛𝑘=𝑘𝑎𝑛𝑘−1(𝑥−𝑎𝑛)．当𝑛=1时，切线过点𝑃(1,0)，即0−𝑎1𝑘=𝑘𝑎1𝑘−1(1−𝑎1)，得𝑎1=𝑘𝑘−1．当𝑛>1时，切线

过点𝑃𝑛−1(𝑎𝑛−1,0)，即0−𝑎𝑛𝑘=𝑘𝑎𝑛𝑘−1(𝑎𝑛−1−𝑎𝑛)，得𝑎𝑛𝑎𝑛−1=𝑘𝑘−1．所以数列{𝑎𝑛}是首项为𝑘𝑘−1，公比为𝑘𝑘−1的等比数列，𝑎𝑛=(𝑘𝑘−1)𝑛(𝑛∈

𝑁∗)(2)𝑎𝑛=(𝑘𝑘−1)𝑛=(1+1𝑘−1)𝑛=𝐶𝑛0+𝐶𝑛11𝑘−1+𝐶𝑛2(1𝑘−1)2+⋯+𝐶𝑛𝑛(1𝑘−1)𝑛≥𝐶𝑛0+𝐶𝑛11𝑘−1=1+𝑛𝑘−1．【解析】本题考查曲线的切线方程的

应用，考查等比数列通项公式的求解，以及数列不等式的证明，为中档题．21.【答案】解：(𝐼)𝑋的取值范围是{5,6,7,8,9,10}，𝑃(𝑋=5)=(12)5=132，𝑃(𝑋=6)=𝐶51(12)1(12)4=532，𝑃(𝑋=7)=𝐶52(12)2(12)3=1032=516

，𝑃(𝑋=8)=𝐶53(12)3(12)2=1032=516，𝑃(𝑋=9)=𝐶54(12)4(12)1=532，𝑃(𝑋=10)=𝐶55(12)5=132．所以𝑋的分布列为𝑋5678910𝑃1325325165165321

32𝐸(𝑋)=5×132+6×532+7×516+8×516+9×532+10×132=24032=152．(Ⅱ)由题意知，设“每天得分不低于3分”为事件𝐴，则𝑃(𝐴)=𝑝+(1−𝑝)×13=1+2𝑝3所以5天中恰有3天每天得分不低于3分的概率�

�(𝑝)=𝐶53(2𝑝+13)3(1−2𝑝+13)2=40243(1+2𝑝)3(1−𝑝)2，0<𝑝<1，𝑓′(𝑝)=40243[6×(1+2𝑝)2(1−𝑝)2−2×(1+2𝑝)3(1−𝑝)]=40243(1+

2𝑝)2(1−𝑝)(4−10𝑝)，当𝑝∈(0,25)时，𝑓′(𝑝)>0，𝑓(𝑝)在(0,25)单增，当𝑝∈(25,1)时，𝑓′(𝑝)<0，𝑓(𝑝)在(25,1)单减，所以当𝑝=25时，𝑓(𝑝)取得最大值．【解析】本题考查概率和导数的综合应用，属于较难题．(Ⅰ)求

出𝑋的所有可能取值和对应概率，即可得分布列和期望．(Ⅱ)求出5天中恰有3天每天得分不低于3分的概率𝑓(𝑝)=40243(1+2𝑝)3(1−𝑝)2，利用导数即可求解．22.【答案】解：(1)易知𝑔′(𝑥)=1𝑥−1，即𝑦=𝑔(𝑥)在(0,1)时递增，

(1,+∞)时递减，故𝑔(𝑥)max=−1．(2)由𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥)=1可知𝑒ln𝑥−𝑎𝑥+ln𝑥−𝑎𝑥=1，令𝑡=ln𝑥−𝑎𝑥，即𝑒𝑡+𝑡=1，ℎ(𝑡)=�

�𝑡+𝑡递增，且ℎ(0)=1，故𝑡=ln𝑥−𝑎𝑥=0有两个不同的正数根，即𝑠(𝑥)=ln𝑥−𝑎𝑥，则𝑠′(𝑥)=1𝑥−𝑎=1−𝑎𝑥𝑥，若𝑎≤0，则𝑠′(𝑥)>0，即𝑠(𝑥)递增，最多只有一个零点，舍；若𝑎>0，则𝑠(𝑥)

在(0,1𝑎)上递增，(1𝑎,+∞)上递减，故𝑠(𝑥)max=𝑠(1𝑎)=−ln𝑎−1>0，即0<𝑎<1𝑒，此时𝑠(1𝑒)=−1−𝑎𝑒<0，𝑠(𝑥)在(1𝑒,1𝑎)上

有一个零点，同时𝑠(1𝑎2)=2ln1𝑎−1𝑎，设𝑡=1𝑎，则𝑡>𝑒，𝑢(𝑡)=2ln𝑡−𝑡有𝑢′(𝑡)=2𝑡−1<0，即𝑢(𝑡)在(𝑒,+∞)上递减，故𝑢(𝑡)<𝑢(𝑒)=2−𝑒<0，故𝑠(1𝑎2)<0，故𝑠(𝑥)在(1𝑎,+∞)只

有一个零点，综上：0<𝑎<1𝑒【解析】本题考查利用导数研究函数的最值，利用导数研究函数的零点，属于综合题．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com