【文档说明】湖北省武汉市东西湖区2025届新高三8月适应性考试数学试卷（解析版）.docx，共(22)页，1.117 MB，由小赞的店铺上传

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武汉市东西湖区2025届新高三8月适应性考试数学试卷本试题卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟.★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准

考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试

结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合(),|20Axyxy=+=，(),|10Bxyxmy=++=

.若AB=，则实数m=（）A.2−B.12−C.12D.2【答案】C【解析】【分析】根据集合,AB元素所表示的意义，以及集合,AB关系，即可求解.【详解】因为AB=，所以直线20xy+=与直线10xmy++=平行，所以12m=.故选:C.【点

睛】本题主要考查集合的概念与运算、解方程等基础知识，属于基础题.2.若复数z满足(2i)i54iz−−=+，则z=（）A.33i+B.33i−C.13i+D.13i−【答案】C【解析】【分析】由复数的除法法则求解．【详解】由(2i

)i54iz−−=+，得55i(55i)(2i)515i13i2i(2i)(2i)5z++++====+−−+.故选：C.3.若,ab是夹角为60的两个单位向量，ab+与32ab−+垂直，则=（）A.18B.14C.78D.74【答案】B【解析】【分析】由题意先分别算出22,,abab的

值，然后将“ab+与32ab−+垂直”等价转换为()()032abab−=++，从而即可求解.【详解】由题意有2222111,1,cos601122aabbabab=======，又因为ab+与32ab−+垂直，所以()

()()()221323232320322aabaabbb+=−+−+=−+=−−++，整理得1202−+=，解得14=.故选：B.4.已知π,0,2，()5cos6−=，1tantan

4=，则+=（）A.π3B.π4C.π6D.2π3【答案】A【解析】【分析】利用两角差的余弦公式及同角三角函数的基本关系得到方程组，即可求出sinsin、coscos，再求出()cos+即可.【详解】因为()5cos6−=，1tantan4

=，所以5coscossinsin6sinsin1coscos4+==，解得2coscos31sinsin6==，所以()1coscoscossinsin2+=−=，又π,0,2

，所以()0,π+，所以π3+=.故选：A5.已知圆锥的高为6，体积为高的43倍，用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的圆台高是3，则该圆台的体积为（）A.83B.113C.7D.9【答案】C【解析】【分析】根据题意利用等量关系可求得圆锥底面

圆半径为2πr=，代入计算可得圆台体积.【详解】如下图所示：易知圆锥的高6hOS==，圆台的高13OO=，设圆锥的底面圆半径为r，则112OAr=；所以214π633rh=，解得2πr=；可得圆台下底面圆面积为2π4r=，上底面圆面积为2π12r=

，所以该圆台的体积为()14141373V=++=.故选：C6.已知函数()2log,0223,2xxfxxx=−，若()()1210fafa+−−，则实数a的取值范围是（）A.(,2−B.)2,+C.2,6D.1,22【答案】D【解析】【分

析】先求解函数()fx的单调性，接着根据已知条件结合函数定义域和单调性即可求解.【详解】因为当(0,2x时，()2logfxx=是单调递增函数，此时()()21fxf=，当()2,x+时，()23fxx=−是单调递增函数，此时()()21fxf=，所以

()2log,0223,2xxfxxx=−是定义在()0,+上的单调递增函数，所以若()()1210fafa+−−即()()121fafa+−，则1210aa+−，122a，故选：D.7.已知函数()2sin()10,||2fxx

=++，其图象与直线y=3相邻两个交点的距离为23，若f(x)>1对任意,126x−恒成立，则φ的取值范围为（）A.,42B.,24−−C.,42D.0,4【答

案】A【解析】【分析】根据题意可得周期为23，根据周期公式可得3=.将不等式恒成立化为(,)126−是sin(3x+φ)>0的解集的子集可求得结果.【详解】∵函数f(x)=2sin(ωx+φ)+1(ω>0，|φ|<2)，其图象与直线

y=3相邻两个交点的距离为23，∴223=，∴ω=3.若f(x)>1对任意,126x−恒成立，则,126x−时，sin(3x+φ)>0恒成立，由sin(3x+φ)>0得232kxk++，Zk，

即223333kkx−−+，Zk，所以(,)(,)12633−−−，所以12363−−−，求得42，又||2，所以42，故选：A.【点睛

】关键点点睛：将不等式恒成立化为(,)126−是sin(3x+φ)>0解集的子集求解是解题关键.8.已知定义在R上的函数()fx满足()()()()()226fxyfxfyfxfy+=−−+，()14f=，则()()()1299

fff+++=（）A.992198+B.992196+C.1002198+D.1002196+【答案】D【解析】【分析】依次求出234(2)22,(3)22,(4)22,fff=+=+=+猜想99(99)

22f=+,再用等比数列求和.【详解】(1)422f==+,的(2)(11)(1)(1)2(1)2(1)6ffffff=+=−−+,24424246622=−−+==+,(3)(21)(2)(1)2(2)2(1)6ff

ffff=+=−−+364262461022=−−+==+,4(4)(22)36121261822ff=+=−−+==+,5(5)(32)60201263422ff=+=−−+==+,99(99)22f=+,(1)(2)(99)fff+++()()299(22)2

222=++++++()299222299=++++()9921219812−=+−100100221982196=−+=+故选：D【点睛】关键点点睛:本题关键是通过计算()fn观察得到()22nfn=+

,进而转化为等比数列求和.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.“杂交水稻之父”袁隆平一生

致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给作出了杰出贡献.某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：cm）近似服从正态分布()2100,

10N.已知()2~,XN时，有(||)0.6827PX−，(||2)0.9545PX−，(||3)0.9973PX−.下列说法正确的是（）A.该地水稻的平均株高约为100cmB.该地水稻株高的方差约为100C.该地株高超过110cm的水稻约占68.2

7％D.该地株高低于130cm的水稻约占99.87％【答案】ABD【解析】【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解.【详解】由题意可知，100=，2100=，故A，B正确；由题意得110+=，3130+=所以()()()()111

0.317315.87%22PXPX+=−−+=，故C错误；所以()()()()13113310.0013599.87%2PXPX+=−−−+−=，故D正确；故选：ABD.10.对于函数()lnxfxx=，下列说法正确的

是（）A.()fx在(1,)e上单调递增，在(),e+上单调递减B.若方程(||)fxk=有4个不等的实根，则ekC.当1201xx<<<时，1221lnlnxxxxD.设2()gxxa=+，若对1xR，2(1),x+，使得12()(

)gxfx=成立，则ae【答案】BD【解析】【分析】对函数()fx求导，利用导数探讨函数()fx的单调性、图象及性质即可判断选项A，B，C；求出函数()gx在R上的值域，()fx在(1,)+上的值域，借助值域

的包含关系即可判断作答.【详解】函数()lnxfxx=的定义域为(0,1)(1,)+，2ln1()(ln)xfxx−=，当01x或1ex时，()0fx，当xe时，()0fx，()fx在(0,1)，(1),e上都单调递

减，在(),e+上单调递增，A不正确；当(1,)x+时，()fx的图象在x轴上方，且在xe=时，min()fxe=，()fx在(0,1)上的图象在x轴下方，显然(||)fx是偶函数，在方程(||)fxk=中，0k或ke=时，方程有两个不等实根，0ke时，方程无实根，ek时，方程

有4个不等的实根，B正确；因1201xx<<<，则有21()()0fxfx，即21210lnlnxxxx，于是得2112lnlnxxxx，C不正确；当xR时，()gx的值域为[,)a+，当(1,

)x+时，()fx的值域为[),e+，因对1xR，2(1),x+，使得12()()gxfx=成立，从而得[,)[,)ae++，即得ae，D正确.故选：BD【点睛】结论点睛：已知函数(),,yfxxab=，

(),,ygxxcd=，若1,xab，2,xcd，有()()12fxgx=，则()fx的值域是()gx值域的子集,11.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为()322

22xyxy+=，则（）A.曲线C有两条对称轴B.曲线C上的点到原点的最大距离为12C.曲线C第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的图形面积最大值为18D.四叶草面积小于π4【答案】BCD【解

析】【分析】通过方程中的变换得新曲线的对称轴判断A，利用基本不等式及距离公式判断B，设出曲线中第一象限的点，利用基本不等式即可求出矩形面积最大值判断C，由该曲线在以原点为圆心，半径为的圆内，故面积小于

圆的面积判断D.【详解】对于A：当x变为x−时，()32222xyxy+=不变，所以四叶草图象关于y轴对称；当y变为y−时，()32222xyxy+=不变，所以四叶草图象关于x轴对称；当y变为x时，()32222xyxy+=不变，所以四叶草图象关于yx=轴对称；当y变为x−时，()

32222xyxy+=不变，所以四叶草图象关于yx=−轴对称；综上可知：有四条对称轴，错误；对于B：因为()32222xyxy+=，所以()222322222xyxyxy++=，所以221

4xy+，所以2212xy+，取等号时2218xy==，所以最大距离为12，正确；对于C：设任意一点()(,)0,0Pxyxy，所以围成的矩形面积为xy，因为()32222xyxy+=，所以()322223(2)xyxyxy=+，所以18xy，取等号时24xy==，所以围成

矩形面积的最大值为18，正确；对于D：由B可知2214xy+，所以四叶草包含在圆2214xy+=的内部，因为圆的面积为：1ππ44S==，所以四叶草的面积小于π4，正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知过原点的直线与双曲线()

222210,0xyabab−=交于M，N两点，点M在第一象限且与点Q关于x轴对称，43MEMQ=，直线NE与双曲线的右支交于点P，若PMMN⊥，则双曲线的离心率为______．【答案】233##233

【解析】【分析】先设出相关点坐标，利用43MEMQ=求得点E坐标，推理证明22PMPNbkka=（二阶结论），再利用1PMMNkk=−和13PNNEMNkkk==−整体代入即得,ab的齐次式，计算即得离心率.的【详解】如图

，设()()00,,,MxyPmn，则()()0000,,,QxyNxy−−−，(,)Exy,根据43MEMQ=可得:0004(,)(0,2)3xxyyy−−=−,故005,3Exy−，因点,PM均为双曲线上的点，则22220022221,1,mnxyabab−=−=由22

22022220002222000011PMPNxmbbaanynynykkmxmxmxmx−−−−+−===−+−−22222222222200222222200()()()()()bmbabxbabmxbamxamx

a−−−−===−−①因为PMMN⊥，所以1PMMNkk=−②，又000000511333PNNEMNyyykkkxxx−−−===−=−−−③，将②，③两式代入①式得：2211133PMPNMNMNbk

kkak==−−=．故双曲线的离心率2223e13ba=+=．故答案为：233.【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线的方程与几何性质以及关于双曲线的二阶结论22PMPNbkka=是否熟悉.关键在于能否建立四条直线,,,PMPNNEMN的斜率之间

的数量关系，通过代入消去未知量，得出,ab的齐次式.13.已知直线:lykx=是曲线()1exfx+=和()lngxxa=+的公切线，则实数a=______．【答案】3【解析】【分析】先设在()yfx=上的切点，然后求出切点和切线，然后再设在()ygx=上的切点，即可求出a的值.

【详解】设直线l与曲线()yfx=相切于点()00,xy，由()1exfx+=，得()010exkfx+==，因为l与曲线()1exfx+=相切，所以0010010e,e,xxyxy++==消去0y，得00110eexxx++=，解得01x=

．设l与曲线()ygx=相切于点()11,xy，由()1gxx=，得211ekx==，即21e1x=，因为()11,xy是l与曲线()lngxxa=+的公共点，所以21111e,ln,yxyxa==+消去1y，得211elnxxa=+，即

211lnea=+，解得3a=．故答案：3.14.著名数学家欧几里得的《几何原本》中曾谈到：任何一个大于1的整数要么是质数，要么可以写成一系列质数的积，例如602235=.已知12315naaa=，且123,,,,naaaa均为质数，若从12

3,,,,naaaa中任选2个构成两位数(ijaaij，且1,)ijn，则ijaa的十位数字ia与个位数字ja不相等的概率为__________.【答案】56【解析】【分析】求出413,,,aaaa根据ij，且1,

ijn可得ijaa，利用古典概型概率公式计算可得答案.【详解】3155733=，可得12437,3,5,3====aaaa，若从1234,,,aaaa中任选2个构成两位数，且数(ijaaij，且1,)ijn，则有121

31423243433,35,37,35,37,57======aaaaaaaaaaaa共6个，则十位数字与个位数字不相等的有35,37,35,37,57共5个，所以ijaa的十位数字ia与个位数字ja不相等的概率为56.故答案为：56.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、

证明过程或演算步骤.为15.记ABC的内角,,ABC的对边分别为a，b，c，ABC的面积为S，已知222433acbS+−=，2a=．（1）求角B；（2）若22coscos210AA+−=，求S的值．【答案】（

1）π3B=（2）332+【解析】【分析】（1）根据余弦定理和面积公式得到tan3B=，结合0πB得到答案；（2）根据半角公式得到cos20A=，得到π4A=，由正弦定理得到6b=，利用面积公式和正弦和角公式求出答案.【小问1详

解】因为222433acbS+−=，所以222431sin32acbacB+−=，所以222431sin3222acBacbacac+−=，即3cossin3BB=，于是tan3B=．又0πB，所以π3B=．【小问2详解】

22cos1cos2AA−=，因为22coscos210AA+−=，所以2cos20A=，故cos20A=，因为2π03A，所以π4A=．由正弦定理得2sinsin43ππb=，解得6b=．所以11ππππsin26sinπ6sin224343SabC==

−−=+ππππ2123336sincoscossin6434322222+=+=+=.16.已知椭圆22:184xyE+=，过左焦点F且斜率大于0的直线l交E于AB、两点，AB的中点为,GAB的垂直

平分线交x轴于点D.（1）若点G纵坐标为23，求直线GD的方程；（2）若1an2tBAD=，求ABD的面积.【答案】（1）3320xy++=或6320xy++=；（2）169.【解析】【分析】（1）设直线:2ABxm

y=−，与椭圆方程联立，求出韦达定理，又因为点G的纵坐标为23，解得：1m=或2m=，便得出直线GD的方程；（2）根据椭圆的弦长公式，分别求出AB和DG，由12ABDSABDG=求出ABD的面积.

【详解】设()()()()11223344,,,,,,,AxyBxyGxyDxy，由题意，可设直线:2ABxmy=−，（1）将直线AB方程代入椭圆方程22280xy+−=，得()222440mymy+−−=①，所以()()2221224,161623212myymmmm+==++=++，由

123222223yymym+===+，得2320mm−+=，解得：1m=或2m=.当1m=时，341,3DGkx=−=−，直线DG方程为3320xy++=，当2m=时，322,3DGkx=−=−，直线DG方程为6320xy++=，综

上所述，直线DG方程为3320xy++=或6320xy++=.（2）由11tan22DGBADAG==，得14DGAB=②，()2222222421421=1+1+222mmABmmmmm++==+++，222

322221121122mmmGDymmmm++=+−==++.代入②式得2114221m=+，解得1m=或1m=−（舍去），于是()421182123AB+==+，所以211111622489A

BDSABDGABABAB====.【点睛】本题考查直线与椭圆位置关系，涉及直线方程、直线与椭圆联立、韦达定理、弦长公式，同时考查数形结合思想以及转化与化归思想，还考查逻辑推理与数学运算素养.17.如图，在直三棱柱111ABCA

BC-中，E是1BA上的点，且1AE⊥平面11ABC．（1）求证：BC⊥平面11AABB；（2）若14,25,2,AAACABBCP===是棱AC上且靠近C的三等分点，求点A到平面1PBB的距离．【答案】（1）证明见解析（2）22．【解析】【分析】（1）由1AE⊥平面

11ABC，可得111AEBC⊥，再由直棱柱可证得111AABC⊥，从而可推得11BC⊥平面11AABB，再利用平行关系，即可证明BC⊥平面11AABB；（2）利用等体积法求点A到平面1PBB的距离，即11APBBBAPBVV−−=，然后通过已知的数据

，即可求出结果.【小问1详解】1AE⊥平面1111,ABCBC平面11ABC,111AEBC⊥,在直三棱柱111ABCABC-中，1AA⊥底面11111,ABCBC平面111ABC,111AABC⊥，又11111,AAAEAAAAE=，平面1AAE，11BC⊥平面1AA

E，即11BC⊥平面11AABB,11//BCBC,BC⊥平面11AABB．【小问2详解】由（1）知11BC⊥平面11AABB，又11AB在平面11AABB内，1111BCAB⊥，即BCAB⊥，又由直棱柱知1BB⊥平面,APBPB平面,APB1BBPB⊥，作PMAB⊥

于M，于是，AMP与ABC相似，14,25,2,AAACABBCBCAB===⊥，222ABBCAC+=，即225(25)20,2,4BCBCAB====，P是棱AC上且靠近C的三等分点，244,,2333PMPMMB===，得423PB=，设点A到平面1

PBB的距离为h，11APBBBAPBVV−−=，1142114444323323h=，得22h=，点A到平面1PBB的距离为22．18.已知函数22()2lnfxaxbxx=++−.（1）当0b=时，若()fx有两个零点，

求实数a的取值范围；（2）当0a=时，若()fx有两个极值点12,xx，求证:212exx；（3）若()fx在定义域上单调递增，求2ab+的最小值.【答案】（1）(242e,0e−（2）证明见解析（3）1−【解析】【分

析】（1）设22ln2()xagxx−==，利用导数判断出()gx的单调性求出极值可得答案；（2）（法一）设2ln()xhxx=，利用导数判断出()hx的单调性，要证212exx只要证()()2222erxhxhx

=−在()2e,x+上恒正即可，求导可得答案；（法二）2ln()xfxbx=−，可得2lnxbx=在,()0x+有两个不等的实根12,xx，即12122lnlnxxxxb==，利用对数均值不等式可得答案；（3）（法一）转化为2ln2()xbaxrxx−=恒成

立，设()rx的极大值点为0x，即0max002ln()2xbrxaxx=−，由()()()23000040ln14ln2xxxxx−+−=，利用导数判断出()0x的单调性求()0minx即可.（法二）即()0fx恒成立，2zab=+表

示以(,)ab为动点的抛物线，两者有公共点，联立方程可得Δ0恒成立，即22ln()xzxuxx−=，利用导数求出max()ux可得答案.【小问1详解】设22ln2()xagxx−==，则()32(ln1)(ln2)()0xxgxxx−+−=，()gx在10,e上单调递

减，21e,e上单调递增，()2e,+上单调递减，2242221ln21e2e0e1eg−==，2221ln21ee0e1eg−==−极小值，()()()2

22242lne22e0eeg−==，当2ex时，22ln2()0xgxx−=，所以()gx在10,e上、21e,e上各有一个零点，(242e,0ea−时有两个零点；【小问2详解】（法一）2l

n()xfxbx=−，设2ln()xhxx=，则22(1ln)()xhxx−=，()hx在()0,e上单调递增，在()e,+上单调递减，()2eeh=，1220e,e,0exxb，要证212exx，

只要证212exx，只要证()212ehxhx，只要证()()2222erxhxhx=−，在()2e,x+上恒正即可，而()()()22222222222ee112ln1erxhxhxxxx=+=−−()()()2

222222ln1ee0exxxx−+−=，()2rx在()e,+上递增，()()2212e0,erxrxx=成立；（法二）2()2lnfxbxx=+−，则2ln()xfxbx=−，由题意可得:2lnxbx=在,()0x+有两个不等的实根12,xx，

即12122lnlnxxxxb==，121212122lnlnlnlnxxxxbxxxx+−==+−，下证：对均不等式121212lnln2xxxxxx−+−，不妨设120xx，则121xx，令()121xtxt=，证121212lnln2xxxxxx−+−即证11

2212112lnxxxxxx−+，即证12ln01ttt−−+在1t成立，设()()12ln11tntttt−=−+，()()()()()()()()2221111112011tttttnttttt−+−+−−−=−=++，所以()nt在()

1,+上单调递减，可得()()10ntn=，即12ln01ttt−−+，可得121212lnln2xxxxxx−+−，由对均不等式可得：1212121212lnlnlnln2xxxxxxxxxx−++=−+，1212lnlnln2xxxx=+，故212ex

x；【小问3详解】（法一）2ln()20xfxaxbx=+−恒成立，2ln2()xbaxrxx−=恒成立，21ln()2xrxax−=−，当且仅当0a时，()rx有最大值（这时即为极大值），设()rx的极大值点为0x，则0201ln0xax−−=，0max002ln(

)2xbrxaxx=−，220002ln2xabaaxx++−()()()23000040ln14ln2xxxxx−+−==，而()()()3000050232lnln1xxxxx−+−=，()0x在(0,1)上减，在321,e上单

调递增，在32e,+上单调递减，()20min(1)1abx+==−，这时01,1,2xab===−；（法二）2ln()20xfxaxbx=+−恒成立，它表示以(,)ab为动点的直线及

其上方的点，2zab=+表示以(,)ab为动点的抛物线，两者有公共点，22ln20xaxbxzab+−==+，消去b得22ln20xaxazx−+−=，22lnΔ440xxzx=−−恒成立，()()()32221ln2ln,xxxz

xuxuxxx−−−==，()ux在(0,1)上单调递增，在(1,)+上单调递减，2max()(1)1zabuxu=+==−，当且仅当1,1,2xab===−时取等号.【点睛】方法点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导

数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．（4）利用导数证

明不等式或研究零点问题．19.有穷数列12,,,(2)naaan中，令()()*1,1,,ppqSpqaaapqnpq+=+++N，（1）已知数列3213,,,−−，写出所有的有序数对(),pq，且pq，使得(),0Spq；（2）已知整数列12,,,,naaan为偶数，若(),

11,2,,2nSinii−+=，满足：当i为奇数时，(),10Sini−+；当i为偶数时，(),10Sini−+.求12naaa+++的最小值；（3）已知数列12,,,naaa满足()1,0Sn，定义集合()1,0,1,2

,,1AiSinin=+=−.若()*12,,,kAiiik=N且非空集合，求证：()121,kiiiSnaaa+++.【答案】（1）()1,4、()2,3、()2,4、()3,4（2）n1−（3）证明见解析【解析】【分析

】（1）结合题意，逐个计算即可得；（2）由题意可得()1,0Sn，()2,10Sn−，可得当2ni时，有12iniaa−++，当2ni=时，1221nnaa++，结合11iniiniaaaa−+−+++，即可得解；

（3）将()()121,kiiiSnaaa−+++展开，从而得到证明mia与1mia+之间的项之和，1121iaaa−+++，112kkiinaaa−+++++都为正数，即可得证.【小问1详解】(),pq为()1,4时，()(),321310Sp

q=−++−+=，(),pq为()2,3时，()(),2110Spq=+−=，(),pq为()2,4时，()(),21340Spq=+−+=，(),pq为()3,4时，()(),1320Spq=−+=，故pq，且使得(),0Spq的有序数对有()1,4、

()2,3、()2,4、()3,4；【小问2详解】由题意可得()1,0Sn，()2,10Sn−，又na为整数，故()1,1Sn，()2,11Sn−−，则()()11,2,12nSnSnaa−−=+，为同理可得(

)()212,13,22nSnSnaa−−−−=+−，即有212naa−+，同理可得，当2ni时，有12iniaa−++，即当2ni时，有112iniiniaaaa−+−+++，当2ni=时，122,1122n

nnnSaa++=+，故()()12121122nnnnnaaaaaaaaa−++++=++++++()()121122nnnnaaaaaa−+++++++2211

2nn−=+=−；【小问3详解】对于数列12,,,naaa，12,,,kAiii=，不妨设12kiii，①首先考虑()1121,2,,,21mmkiimkiin−−=−的情况，由于()1,0Sin，()11

,0Sin+，故10ia，同理20ia，L，0kia，故()121,0kiiiSnaaa+++.②再考虑12,,,kiii中有连续一段是连续正整数的情况，此时1,piA−1,qiA+11,,1,,1),111mmiimppqpq

k+−==+−−−,因为()()121,,ppqpiiqiSinSinaaa++−+=+++，()()10,,pqSinSin−+，故这说明此连续的qp−项的和为负.同理，当含有多段的连续正整数的情况时，每段的和为负，再由①中结论，可得()121,0kiiiSnaaa

+++.③若在①②中1211,2,,,mmiiimiA+===，由于()1,0mSin+，此时去掉前m项，则可转化①②的情况，所以有()121,0kiiiSnaaa+++.④若()1,2,3,,1Ammn=−，则210mmnaaa+++

++，的所以此时有()121,kiiiSnaaa+++，综上，结论成立.【点睛】关键点点睛：本题最后一小问关键点在于将()()121,kiiiSnaaa−+++展开，从而得到证明mia与1mia+之间的项之和，1121

iaaa−+++，112kkiinaaa−+++++都为正数，即可得证.