【文档说明】广东省汕头市金山中学2021-2022学年高一下学期期中考试 数学参考答案.docx，共(10)页，121.167 KB，由小赞的店铺上传

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2021级高一第二学期期中考试参考答案BCCABBDBADABABDBCD13418𝜋[12,√33)8.如图，在△ABC中，𝑀，𝑁分别是AB，AC的中点，𝐷，𝐸是线段BC上两个动点，且AD⃗⃗⃗⃗⃗+AE⃗⃗⃗⃗⃗=𝑥AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑦AN⃗

⃗⃗⃗⃗，则1𝑥+4𝑦的最小值为()A.3B.94C.95D.92解：由𝐵，𝐷，𝐶三点共线，𝐸，𝐵，𝐶三点共线可得，存在实数𝑚，𝑛，𝜆，𝜇，使得𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑚𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝑛𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，�

�𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝜆𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝜇𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，∵12𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗，12𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗，由𝐵，𝐷，𝐸，𝐶共线，∴𝑚+𝑛=1，𝜆+𝜇=1，𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝑥𝐴

𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑦𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑚𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗+2𝑛𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗+2𝜆𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗+2𝜇𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗，可得2𝑚+2𝜆=𝑥，2𝑛+2𝜇=𝑦，所以𝑥+𝑦=4，即𝑥

4+𝑦4=1，点𝐷，𝐸是线段𝐵𝐶上两个动点，∴𝑥>0，𝑦>0，那么(1𝑥+4𝑦)(𝑥4+𝑦4)=14+1+𝑥𝑦+𝑦4𝑥≥2√14+54=94，当且仅当𝑦=2𝑥=83时取等号，则1𝑥+4𝑦的最小值为94．故选

：𝐵．12.关于函数𝑓(𝑥)={2cos𝜋𝑥,0≤𝑥≤2−𝑙𝑜𝑔2𝑥+2,𝑥>2，下列说法正确的有()A.函数𝑓(𝑥)是周期为2的周期函数B.𝑓(2)=2C.不等式𝑓(𝑥)>1的解集

是[0,13)∪(53,2]D.若存在实数𝑎,𝑏,𝑐(𝑎<𝑏<𝑐)满足𝑓(𝑎)=𝑓(𝑏)=𝑓(𝑐)，则𝑎+𝑏+𝑐+16𝑐的取值范围是[10,19)解：函数𝑓(𝑥)={2𝑐𝑜𝑠𝜋𝑥,0≤𝑥≤2−𝑙𝑜𝑔2𝑥+2,𝑥>2，作

出图象如图所示，根据𝑓(𝑥)的图象可知，函数𝑓(𝑥)不是周期函数，故选项A错误；𝑓(2)=2cos2𝜋=2，故选项B正确；当0⩽𝑥⩽2时，若𝑓(𝑥)=1，则2cos𝜋𝑥=1，即cos𝜋𝑥=12，解得𝑥=13或𝑥=53，当𝑥>2时，若𝑓(𝑥)=1

，则−log2𝑥+2=1，即log2𝑥=1，解得𝑥=2，结合𝑓(𝑥)的图象可得，不等式𝑓(𝑥)>1的解集是[0,13)∪(53,2]，故选项C正确；设存在实数𝑎,𝑏,𝑐(𝑎<𝑏<𝑐)满足𝑓(𝑎)=𝑓(𝑏)=𝑓(

𝑐)=𝑚，则函数𝑓(𝑥)与𝑦=𝑚的图象有三个不同的交点，其中𝑎和𝑏关于𝑓(𝑥)=2cos𝜋𝑥的对称轴𝑥=1对称，故𝑎+𝑏=2，当−log2𝑥+2=−2时，𝑥=16，故𝑐的取值范围是2<𝑐<1

6，所以𝑎+𝑏+𝑐+16𝑐=2+𝑐+16𝑐≥2+2√𝑐⋅16𝑐=10，当且仅当𝑐=16𝑐，即𝑐=4时取等号，所以𝑎+𝑏+𝑐+16𝑐的最小值为10，当𝑐=2时，𝑎+𝑏+𝑐+16𝑐的值为12，当𝑐=16时，𝑎+𝑏+𝑐+16𝑐的值为19，故𝑎+𝑏+

𝑐+16𝑐的取值范围为[10,19)，故选项D正确．故选：𝐵𝐶𝐷．16.已知锐角的内角𝐴,𝐵,𝐶所对的边分别为𝑎,𝑏,𝑐，若𝑎2+𝑏2=2𝑐2，则cos𝐶的取值范围为．解：由题意可得，𝑎2+𝑏2=2𝑐2，且由余弦定理可得cos

𝐶=𝑎2+𝑏2−𝑐22𝑎𝑏=12(𝑎2+𝑏2)2𝑎𝑏≥14×2𝑎𝑏𝑎𝑏=12当且仅当𝑎=𝑏时，等号成立，所以cos𝐶的最小值为12，又因为𝛥𝐴𝐵𝐶为锐角三角形，所以{cos𝐴>0cos𝐶>0cos𝐵>0，

即{𝑏2+𝑐2>𝑎2𝑎2+𝑏2>𝑐2𝑎2+𝑐2>𝑏2,结合𝑎2+𝑏2=2𝑐2可得{𝑎2+𝑎2+𝑏22>𝑏2𝑏2+𝑎2+𝑏22>𝑎2，解得√33<𝑏𝑎<√3，所以cos𝐶=𝑎2+𝑏2−𝑐22𝑎𝑏=12(𝑎2+𝑏2)2𝑎�

�=14(𝑏𝑎+𝑎𝑏)设𝑡=𝑏𝑎,√33<𝑡<√3，cos𝐶=14(𝑏𝑎+𝑎𝑏)=14(𝑡+1𝑡)，根据对勾函数的性质可得，当𝑡=√33或𝑡=√3，cos𝐶有最大值

√33，综上所述，cos𝐶的取值范围为[12,√33)，故答案为[12,√33)．17.在①𝑎=√3𝑐𝑠𝑖𝑛𝐴−𝑎𝑐𝑜𝑠𝐶，②(2𝑎−𝑏)𝑠𝑖𝑛𝐴+(2𝑏−𝑎)𝑠𝑖�

�𝐵=2𝑐𝑠𝑖𝑛𝐶这两个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．已知𝐴𝐵𝐶的角𝐴，𝐵，𝐶对边分别为𝑎，𝑏，𝑐，𝑐=√3，而且________．(1)求∠𝐶；(2)求

三角形𝐴𝐵𝐶面积的最大值．解：(1)选①因为𝑎=√3𝑐sin𝐴−𝑎cos𝐶，所以𝑠𝑖𝑛𝐴=√3𝑠𝑖𝑛𝐶𝑠𝑖𝑛𝐴−𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐶，因为𝑠𝑖𝑛𝐴≠0，所以√3sin𝐶−cos𝐶=1，即，又因为0

<𝐶<𝜋，所以，所以，∴𝐶=𝜋3；选②，∵△𝐴𝐵𝐶中，角𝐴，𝐵，𝐶的对边分别是𝑎，𝑏，𝑐，(2𝑎−𝑏)𝑠𝑖𝑛𝐴+(2𝑏−𝑎)𝑠𝑖𝑛𝐵=2𝑐𝑠𝑖𝑛𝐶，∴由正弦定理得𝑎(2𝑎−𝑏)+𝑏(2𝑏−𝑎)=2𝑐2，即𝑎2+

𝑏2−𝑐2=𝑎𝑏，∴cos𝐶=𝑎2+𝑏2−𝑐22𝑎𝑏=12，由0<𝐶<𝜋，∴𝐶=𝜋3；(2)由(1)知𝐶=𝜋3，∵𝑐=√3，在三角形𝐴𝐵𝐶中，由余弦定理得𝑎2+𝑏2−2𝑎𝑏𝑐𝑜𝑠𝐶=3即𝑎2+𝑏2−𝑎𝑏=3≥ababab=−2，

当且仅当𝑎=𝑏=3时等号成立．4332332121==CabSABCsin∴△𝐴𝐵𝐶面积的最大值为．18.如图，在正三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，𝐴𝐴1=1，𝐴𝐵=3，点𝐷为𝐵𝐶的中点．(1)求证：𝐴1𝐵//平面𝐴𝐶1

𝐷．433(2)求三棱锥𝐵−𝐴𝐶1𝐷的体积．(1)证明：连接𝐴1𝐶交𝐴𝐶1于点𝑂，连接𝑂𝐷，三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，侧面𝐴𝐶𝐶1𝐴1是平行四边形，∴𝑂是𝐴1𝐶中点，∵𝐷是𝐵𝐶中点，∴𝐴1𝐵/

/𝑂𝐷，又平面𝐴𝐶1𝐷，𝑂𝐷⊂平面𝐴𝐶1𝐷，∴𝐴1𝐵//平面𝐴𝐶1D.(2)△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，边长为3，∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=√34×32=9√34，∴𝑆△𝐴𝐵𝐷=12𝑆△𝐴𝐵𝐶=9√38．∴𝑉

𝐶1−𝐴𝐵𝐷=13𝑆△𝐴𝐵𝐷×𝐶𝐶1=13×9√38×1=3√38，则三棱锥𝐵−𝐴𝐶1𝐷的体积𝑉𝐵−𝐴𝐶1𝐷=𝑉𝐶1−𝐴𝐵𝐷=3√38．19.已知函数𝑓(𝑥)=2sin𝑥cos

𝑥+2√3cos2𝑥−√3．(1)求函数𝑓(𝑥)的单调减区间；(2)将函数𝑦=𝑓(𝑥)的图象向左平移𝜋6个单位，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数𝑦=𝑔(𝑥)的图象，求𝑦=𝑔(𝑥)在(−𝜋12,𝜋8)上的值域．解：(1)函数�

�(𝑥)=2sin𝑥cos𝑥+2√3𝑐𝑜𝑠2𝑥−√3=𝑠𝑖𝑛2𝑥+√3𝑐𝑜𝑠2𝑥=2𝑠𝑖𝑛(2𝑥+𝜋3)，∴当2𝑘𝜋+𝜋2≤2𝑥+𝜋3≤3𝜋2+2𝑘𝜋,𝑘∈𝑍，解得：𝑘𝜋+𝜋12≤𝑥≤7𝜋12+𝑘𝜋,𝑘∈𝑍，因此，函

数𝑓(𝑥)的单调减区间为[𝑘𝜋+𝜋12,7𝜋12+𝑘𝜋](𝑘∈𝑍)；(2)将函数𝑦=𝑓(𝑥)的图象向左平移𝜋6个单位，得𝑦=2𝑠𝑖𝑛(2𝑥+𝜋3+𝜋3)的图象，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标

不变，得到函数𝑔(𝑥)=2𝑠𝑖𝑛(4𝑥+2𝜋3)的图象，∵𝑥∈(−𝜋12,𝜋8)，∴4𝑥+2𝜋3∈(𝜋3,7𝜋6)，∴sin(4𝑥+2𝜋3)∈(−12,1],故𝑔(𝑥)的值域为(−1,2]．20.已知函数𝑓(𝑥)=𝑥2−(𝑚+2)𝑥+2�

�，𝑚∈R．(1)若𝑓(𝑥)≥0对任意的𝑥∈R恒成立，求实数𝑚的取值范围；(2)若𝑓(𝑥)在(−∞,3)上单调递减，求实数𝑚的取值范围；(3)解不等式𝑓(𝑥)>0．解：(1)因为𝑓(𝑥

)≥0对任意的𝑥∈R恒成立，则判别式𝛥=(𝑚+2)2−8𝑚≤0，即𝛥=𝑚2−4𝑚+4=(𝑚−2)2≤0所以𝑚=2．(2)因为函数𝑓(𝑥)=𝑥2−(𝑚+2)𝑥+2𝑚的图象为开口向上的抛物线，其对称轴为直线𝑥=𝑚+22，因为𝑓(𝑥)在

(−∞,3)上单调递减，所以𝑚+22≥3，所以4m(2)由𝑓(𝑥)=𝑥2−(𝑚+2)𝑥+2𝑚>0得：(𝑥−𝑚)(𝑥−2)>0，由(𝑥−𝑚)(𝑥−2)=0得𝑥=𝑚或𝑥=2①当(2,4)时，不等式的解集是{𝑥|𝑥≠2};②当𝑚>2时，不等式的解集是；③当

𝑚<2时，不等式的解集是．综上，①当(2,4)时，不等式的解集是{𝑥|𝑥≠2}；②当𝑚>2时，不等式的解集是；③当𝑚<2时，不等式的解集是21.随着二胎开放，儿童数量渐增，某市决定充分利用城市空间修建口袋儿童乐园，如图所示：在直径为20𝑚的半圆𝑂空

地上，设置扇形区域𝑂𝑀𝐵作为大人休息区，规划两个三角形区域做成小喷泉区(△𝑂𝐴𝐵区域)和沙坑滑梯区(△𝐴𝐵𝐶区域)，其中𝐴为直径𝑀𝑁延长线上一点，且𝑂𝐴=20𝑚，𝐵为半圆周上一动点，以𝐴𝐵

为边作等边△𝐴𝐵𝐶．(1)若等边△𝐴𝐵𝐶的边长为𝑎，∠𝐴𝑀𝐵=𝜃，试写出𝑎关于𝜃的函数关系式；(2)问∠𝐴𝑀𝐵为多少时，儿童游玩区𝑂𝐴𝐶𝐵的面积最大？这个最大面积为多少？解：(1)

在△𝐴𝑂𝐵中，𝑂𝐵=10，𝑂𝐴=20，∠𝐴𝑀𝐵=𝜃，∠𝐴𝑂𝐵=2𝜃，所以𝐴𝐵2=𝑂𝐵2+𝑂𝐴2−2𝑂𝐵⋅𝑂𝐴⋅𝑐𝑜𝑠2𝜃=100+400−400𝑐𝑜𝑠2𝜃=5

00−400𝑐𝑜𝑠2𝜃，则𝑎=√500−400𝑐𝑜𝑠2𝜃，𝜃∈(0,𝜋2)；(2)因为𝑆△𝐴𝑂𝐵=12⋅𝑂𝐵⋅𝑂𝐴⋅𝑠𝑖𝑛2𝜃=100𝑠𝑖𝑛2𝜃，𝑆△𝐴𝐵𝐶=12⋅𝐴𝐵⋅𝐵𝐶⋅𝑠𝑖𝑛60°=

√34𝐴𝐵2=√34(500−400𝑐𝑜𝑠2𝜃)，所以𝑆𝐴𝑂𝐵𝐶=𝑆△𝐴𝑂𝐵+𝑆△𝐴𝐵𝐶=500√34+100𝑠𝑖𝑛2𝜃−100√3𝑐𝑜𝑠2𝜃=500√34+2

00𝑠𝑖𝑛(2𝜃−𝜋3)，因为2𝜃∈(0,𝜋)，所以2𝜃−𝜋3∈(−𝜋3,2𝜋3)，故当2𝜃−𝜋3=𝜋2，即𝜃=5𝜋12时，𝑆𝐴𝑂𝐵𝐶取得最大值为(500√34+200)𝑚2．所以当∠𝐴𝑀𝐵为5𝜋12时，儿童游玩区𝑂𝐴𝐶𝐵的面积最大为(

500√34+200)𝑚2．22.已知二次函数𝑓(𝑥)=𝑥2−16𝑥+𝑞+3：(1)若函数在区间[−1,1]上存在零点，求实数𝑞的取值范围；(2)问：是否存在常数𝑡(𝑡≥0)，当𝑥∈[𝑡

,10]时，𝑓(𝑥)的值域为区间𝐷，且𝐷的长度为12−𝑡．解：(1)∵二次函数𝑓(𝑥)=𝑥2−16𝑥+𝑞+3的对称轴是𝑥=8，∴函数𝑓(𝑥)在区间[−1,1]上单调递减，∴要使函数𝑓(𝑥)在区间[−1,1]上存在零点

，须满足𝑓(−1)⋅𝑓(1)≤0，即(1+16+𝑞+3)⋅(1−16+𝑞+3)≤0，解得−20≤𝑞≤12，所以使函数𝑓(𝑥)在区间[−1,1]上存在零点的实数𝑞的取值范围是[−20,12]．(2)当{𝑡<88−𝑡≥10−8�

�≥0时，即0≤𝑡≤6时，𝑓(𝑥)的值域为：[𝑓(8),𝑓(𝑡)]，即[𝑞−61,𝑡2−16𝑡+𝑞+3]，∴𝑡2−16𝑡+𝑞+3−(𝑞−61)=𝑡2−16𝑡+64=12−𝑡，∴𝑡2−15𝑡+52=0，∴

𝑡=15±√172，经检验𝑡=15+√172不合题意，舍去，故𝑡=15−√172，当{𝑡<88−𝑡<10−8𝑡≥0时，即6<𝑡<8时，𝑓(𝑥)的值域为：[𝑓(8),𝑓(10)]，即[𝑞−6

1,𝑞−57]，∴𝑞−57−(𝑞−61)=4=12−𝑡，∴𝑡=8，舍去，当10>𝑡≥8时，𝑓(𝑥)的值域为：[𝑓(𝑡),𝑓(10)]，即[𝑡2−16𝑡+𝑞+3,𝑞−57]，∴𝑞−57−(𝑡2−16𝑡+𝑞+3)=−𝑡2+16�

�−60=12−𝑡，∴𝑡2−17𝑡+72=0，∴𝑡=8或𝑡=9，经检验𝑡=8或𝑡=9满足题意，所以存在𝑡=15−√172或𝑡=8或𝑡=9，𝑓(𝑥)的值域为区间𝐷，且𝐷的长度为12−𝑡．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100

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