【文档说明】山东省枣庄市市中区2022-2023学年高二上学期期末数学试题 含解析.docx，共(21)页，1.789 MB，由小赞的店铺上传

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枣庄市市中区2022~2023学年度第一学期期末考试高二数学试题本试卷满分为150分，考试时间120分钟．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知向量()2,1,3a=，

(),2,1bxx=−，若ab⊥，则x=（）A.5−B.5C.4D.1−【答案】B【解析】【分析】根据ab⊥，利用0ab=求x.【详解】因为ab⊥，所以223(1)0abxx=++−=，得5x=.故选：B2.已

知数列1，3，5，7，3，11，…，21n−，…，则35是这个数列的（）A.第21项B.第23项C.第25项D.第27项【答案】B【解析】【分析】将35改写成21n−的形式，即可确定它是这个数列的第几项.【详解】

因为题中数列的第n项为21n−，而35452231==−，所以35是题中数列的第23项.故选：B.3.抛物线213yx=的焦点坐标是（）A.3,04B.1,06C.1,012

D.30,4【答案】D【解析】.【分析】先将抛物线213yx=化为标准方程，即可求出焦点坐标.【详解】由213yx=，所以抛物线的标准方程为：23xy=，即32p=，∴所以抛物线213yx=的焦点坐标为：304

，故选：D.4.已知直线1:70lxmy++=和2:(2)320lmxym−++=互相平行，则实数m=（）A.3−B.1−C.1−或3D.1或3−【答案】C【解析】【分析】根据题意，结合两直线的平行，得到13(2)0mm−−=

且2730m−，即可求解.【详解】由题意，直线1:70lxmy++=和2:(2)320lmxym−++=互相平行，可得13(2)0mm−−=且2730m−，即2230mm−−=且212m，解得1m=−或3m=故选：C.5.《周髀算经》是中国最古老的天

文学和数学著作，书中提到:冬至､小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列.若冬至､大寒､雨水的日影子长的和是40.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为（）A.6.5尺B.13.5尺C.14.5尺D.15.5尺【答案

】D【解析】【分析】根据题意转化为等差数列，求首项.【详解】设冬至的日影长为1a，雨水的日影长为13540.5aaa++=，根据等差数列的性质可知33340.513.5aa==，芒种的日影长为124.5a=，11213.5114.5adad+=+=，解得：115.5a=，1d=−，

.所以冬至的日影长为15.5尺.故选：D6.如图，在三棱柱111ABCABC-中，M为11AC的中点，若BAa=，BCb=，1BBc=，则下列向量与BM相等的是（）A.1122abc−−+B.1122+−abcC.1122−++abcD.1122abc++【答案】D【解析】【分析】根据空间

向量的运算，用,,abc为基底表示出BM，可得选项.【详解】11112BMBAAAAMBABBAC=++=++()11111222BABBBCBABABBBC=++−=++1122acb=++故选：D7.已知椭圆221369xy+=与x轴交于点A，B，把线段A

B分成6等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于点1P，2P，3P，4P，5P，F是椭圆C的右焦点，则12345PFPFPFPFPF++++=（）A.20B.153C.36D.30【答案】D【解析】【分析】由题意知1P与5P，2P与4P分别关于y轴对

称，设椭圆的左焦点为1F，从而15111||||||||2PFPFPFPFa+=+=，523||||2,||PFPFaPFa+==，利用12345||||||||||5PFPFPFPFPFa++++=即可求解．【详解】由题意，知1P与5P，2P与

4P分别关于y轴对称设椭圆的左焦点为1F，由已知a=6,则15111||||||||2PFPFPFPFa+=+=，同时523||||2,||PFPFaPFa+==∴12345||||||||||530PFPFP

FPFPFa++++==故选：D．8.已知圆O的半径为5，||3OP=，过点P的2021条弦的长度组成一个等差数列na，最短弦长为1a，最长弦长为2021a，则其公差为（）A.12020B.11010C.31010D.1505【答案】B【解析】【分析】可得过点P的最长弦长为直径，最短弦长

为过点P的与OP垂直的弦，分别求出即可得出公差.【详解】可得过点P的最长弦长为直径，202110a=，最短弦长为过点P的与OP垂直的弦，2212538a=−=，公差20211212021120201010aad−===−.故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，

每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知圆221:1Cxy+=和圆222:40Cxyx+−=的公共点为A，B，则（）A.12||2CC=B.直线AB的方

程是14x=C.12ACAC⊥D.15||2AB=【答案】ABD【解析】【分析】两圆相减就是直线AB的方程，再利用圆心距，判断C，利用弦长公式求AB.【详解】圆1C的圆心是()0,0，半径11r=，圆()222:24Cxy−+=，圆心()2,0，

22r=，122CC=，故A正确；两圆相减就是直线AB的方程，两圆相减得1414xx==，故B正确；11AC=，22AC=，122CC=，2221212ACACCC+，所以12ACAC⊥不正确，故C不正确；圆心()0,0到直线14x=的距离14d=，

22115221162ABrd=−=−=，故D正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：本题关键选项是B选项，当两圆相交，两圆相减后的二元一次方程就是相交弦所在直线方程.10.已知空间四点(0,0,0),(0,1,2),(2,0,1),(3,2,1)OABC−，则下列说法

正确的是（）A.2OAOB=−B.2cos,5OAOB=−C.点O到直线BC的距离为5D.O，A，B，C四点共面【答案】ABC【解析】【分析】计算数量积判断A，求向量夹角判断B，利用向量垂直判断C，根据空间向量共面定理判断D．【详解】(0,1,2),(2,0,1)

OAOB==−，02102(1)2OAOB=++−=−，A正确；22cos,555OAOBOAOBOAOB−===−，B正确；(1,2,2)BC=，2102(1)20OBBC=++−=，所以OBBC⊥，5OB=，所以点O到直线BC的距离为5，C正确；(3,

2,1)OC=，假设若O，A，B，C四点共面，则,,OAOBOC共面，设OCxOAyOB=+，则23221yxxy==−=，此方程组无解，所以O，A，B，C四点不共面，D错．故选：ABC．11.若数列nF满足11F=，21F=，)(123,nnnFFFnn

N−−=+，则称nF为斐波那契数列．记数列nF的前n项和为nS，则（）A.26571FFF=+B.681SF=−C.135910FFFFF++++=D.2222123678FFFFFF++++=【答案】BC【解析】【分析】由递推式分别求出3F，4F，，

10F，再逐个选项判断即可．【详解】因为11F=，21F=，*12(3,)nnnFFFnnN−−=+…，所以3212FFF=+=，4323FFF=+=，5435FFF=+=，6548FFF=+=，76513FFF=+=，

87621FFF=+=，98734FFF=+=，109855FFF=+=，所以2664F=，57166FF+=，26571FFF+，故A错误；611235820S=+++++=，8120F−=，681SF=−，故B正确；135910125

133455FFFFF++++=++++==，故C正确；2222123611492564104FFFF++++=+++++=，781321273FF==，所以2222123678FFFFFF++++，故D错误．故选：BC．12.已知常

数0a，点(,0),(,0)AaBa−，动点M(不与A，B重合)满足：直线AM与直线BM的斜率之积为(0)mm，动点M的轨迹与点A，B共同构成曲线C，则关于曲线C的下列说法正确的是（）A.当0m时，曲线C表示椭

圆B.当1m−时，曲线C表示焦点在y轴上的椭圆C.当0m时，曲线C表示双曲线，其渐近线方程为ymx=D.当1m−且0m时，曲线C的离心率是1m+【答案】BCD【解析】【分析】设(),Mxy，则yymxaxa?+-，即曲线C的方程

为22221xyama−=，然后利用椭圆和双曲线的知识逐一判断即可.【详解】设(),Mxy，则yymxaxa?+-，所以()222ymxa=−，即曲线C的方程为22221xyama−=当0m且1m−时，曲线C表示椭圆，故A错误当1m−时，22ma

a−，曲线C表示焦点在y轴上椭圆，故B正确当0m时，曲线C表示双曲线，其渐近线方程为ymx=，故C正确当0m时，曲线C表示双曲线，其离心率为2211mama+=+当10m−时，曲线C表示椭圆，其离心率为2211mama−−=+，故D正确故选

：BCD三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．的13.在直角坐标系中，直线330xy+−=的倾斜角是___.【答案】150【解析】【分析】求得直线的斜率，由此求得直线的倾斜角.【详解】直线的斜率为33−，所以倾斜角为150.故答案：1

5014.已知双曲线2222xyab−＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±3x，则它的离心率为________．【答案】2【解析】【详解】由题意，得e＝ca＝21()ba+＝13+＝2.15.已知正方形ABCD的边

长为2,,EF分别是边,ABCD的中点，沿EF将四边形AEFD折起，使二面角AEFB−−的大小为60，则,AC两点间的距离为__________．【答案】5.【解析】【分析】取BE的中点G，然后证明AEB是二面角AEFB−−的平面角，进而证明AGGC⊥，最后通过勾股定理求得答案.【详解】如图，取

BE的中点G，连接AG,CG，由题意,EFAEEFBE⊥⊥，则AEB是二面角AEFB−−的平面角，则=60AEB，又1AEBE==，则ABE是正三角形，于是3,2AGBEAG⊥=.根据,,EFAEEFBEAEBEE⊥⊥=可得：EF⊥平面ABE，而AG平面ABE，所

以EFAG⊥，为而,AGBEBEEFE⊥=，则AG⊥平面BCFE，又GC平面BCFE，于是，AGGC⊥，又222174GCBCBG=+=，所以22317544ACAGGC=+=+=.故答案为：5.16.

已知数列na的各项均为正数，其前n项和nS满足21nnSa=+，则na=__________；记x表示不超过x的最大整数，例如3,1.52=−=−，若110nnab=+，设nb的前n项和为nT，则22T=__________．【答案】①.21n−；②.60

.【解析】【分析】先根据1,1,,2nnnnSnaSSn−==−并结合等差数列的定义求出na；然后讨论n的取值范围，讨论出nb分别取1,2,3,4,5的情况，进而求出nT.【详解】由题意，()214nnaS

+=，n=1时，()2111114aaa+==，满足10a，2n时，()21114nnaS−−+=，于是，()()()()221111112044nnnnnnnnnaaaSSaaaa−−−−++=−=−+−−=，因为0na，所以11202nnnnaaaa−−−

−=−=.所以，na是1为首项，2为公差的等差数列，所以()12121nann=+−=−.若1112110102nann−，即15n时，1110nnab=+=，若1121121021201022nann

−，则610n时，1210nnab=+=，若2131232021301022nann−，则1115n时，1310nnab=+=，若3141343021401022nann

−，则1620n时，1410nnab=+=，若4151454021501022nann−，则21n=或22时，1510nnab=+=，于是，()22123455260T=++++=.故答案为：2n-1；60.四、解答题：

本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在三角形ABC中，已知点()4,0A，()3,4B−，()1,2C.（1）求BC边上中线所在的直线方程；（2）若某一直线过点B，且y轴上截距是x轴上截距的2

倍，求该直线的一般式方程.【答案】（1）35120xy+−=（2）430xy+=或220xy++=【解析】【分析】（1）求出中点，利用点斜式求方程即可；（2）直线过原点和不过原点利用截距式方程求解即可【详解】（1）∵()3,4B−，()1,2C，∴线段BC的中点D的坐标为()1,3−，

又BC边上的中线经过点()4,0A，∴()()03441yx−=−−−，即35120xy+−=，故BC边上中线所在的直线方程35120xy+−=（2）当直线在x轴和y轴上的截距均为0时，可设直线的方程为ykx=，代入点()3,4B−，则43k=−，解得43k=−，所以所求直线的

方程为43yx=−，即430xy+=；当直线在x轴和y轴上的截距均不为0时，可设直线的方程为12xymm+=，代入点()3,4B−，则3412mm−+=，解得1m=−，所以所求直线的方程为220xy++=，综上所述，该直线的一般式方程为43

0xy+=或220xy++=.18.已知数列na，若_________________．（1）求数列na的通项公式；（2）求数列11nnaa+的前n项和nT．从下列三个条件中任选一个补充在上面的横线上，然后对题目

进行求解．①2123naaaan++++=；②11a=，47a=，()*112,2nnnaaann−+=+N≥；③11a=，点(),nAna，()11,nBna++在斜率是2的直线上．【答案】答案见解析.【解析】【分

析】（1）若选①，根据通项公式与前n项和的关系求解通项公式即可；若选②，根据()*112,2nnnaaann−+=+N≥可得数列na为等差数列，利用基本量法求解通项公式即可；若选③，根据两点间的斜率公式可得1

2nnaa+−=，可得数列na为等差数列进而求得通项公式；（2）利用裂项相消求和即可【详解】解：（1）若选①，由2123naaaan++++=，所以当2n，()212311naaaan−++++=−，两式相减可得：()22121nannn=

−−=−，而在2123naaaan++++=中，令1n=可得：11a=，符合上式，故21nan=−．若选②，由112nnnaaa−+=+（N*n，2n）可得：数列na为等差数列，又因为11a=，47a=，所以413aad−=，

即2d=，所以()11221nann=+−=−．若选③，由点(),nAna，()11,nBna++在斜率是2的直线上得：()121nnaann+−=+−，即12nnaa+−=，所以数列na为等差数列

且()11221nann=+−=−．（2）由（1）知：()()111111212122121nnaannnn+==−−+−+，所以111111123352121nTnn=−+−++−−+L11122121nnn

=−=++．19.已知圆C与x轴相切，圆心在直线3yx=上，且到直线2yx=的距离为55．（1）求圆C的方程；（2）若圆C的圆心在第一象限，过点()1,0的直线l与C相交于A、B两点，且32AB=，求直线l

的方程．【答案】（1）()()22139xy−+−=或()()22139xy+++=（2）10xy−−=或10xy+−=【解析】【分析】（1）设圆心C的坐标为(),3aa，则该圆的半径长为3a，利用点到直线的距离公式可求得a的值，即可得出圆C的标准方程；（2）利用勾股定

理可求得圆心C到l的距离，分析可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为()1ykx=−，利用点到直线的距离公式可求得关于k的方程，解出k的值，即可得出直线l的方程.【小问1详解】解：设圆心C的坐标为(),3aa，则该圆的半径长为3a，因为圆心C到直线2yx=的距离为555a=，解得

1a=，所以圆心C的坐标为()1,3或()1,3−−，半径为3，因此，圆C的标准方程为()()22139xy−+−=或()()22139xy+++=.【小问2详解】解：若圆C的圆心在第一象限，则圆C的标准

方程为()()22139xy−+−=.因为32AB=，所以圆心到直线l的距离2232932222dr=−==.若直线l斜率不存在，则直线l的方程为1x=，此时圆心C到直线l的距离为2，不合乎题意；所以，直线l的斜率存在，可设直线l的方程为()1ykx=−，即kxyk

0−−=，由题意可得233221dk==+，解得1k=，所以，直线l的方程为1yx=−或1yx=−，即10xy−−=或10xy+−=.20.四棱锥PABCD−底面为平行四边形，且60,2,3ABCPAABAD====，PA⊥平面1,3ABCDBMBC=.（1）

在棱PD上是否存在点N，使得//PB平面AMN.若存在，确定N点位置；若不存在，说明理由.（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.【答案】（1）存在点N，且13PNND=，理由见解析；（2）325886.【解析】【分析】（1）连接AMBD、相交于点O，连接、PONO，

利用线面平行的性质可得//NOPB，根据//ADBM，13BMBC=可得答案；（2）以A为原点，分别以、、AMADAP所在的直线为xyz、、轴建立空间直角坐标系，求出平面PCD的法向量为，利用线面角的向量求法计算可得答案.【小问1详解】存在点N，且13PNND=时//

PB平面AMN，理由如下：连接AMBD、相交于点O，连接NO，则平面PBD平面=AMNNO，的若//PB平面AMN，NO平面AMN，PB平面AMN，所以//NOPB，因为//ADBM，1133==BMBCAD，所以13=BOOD，13=PNND，所以13PNND

=时//PB平面AMN；【小问2详解】因为113==BMBC，2AB=，60ABC=，由余弦定理可得2222cos603=+−=AMABBMABBM，由222ABAMBM=+可得AMBC⊥，AMAD⊥，又PA⊥平面ABCD，以A为原点，分别以、、AM

ADAP所在的直线为xyz、、轴建立空间直角坐标系，则()002P,,，()3,1,0B−，()3,2,0C，()0,3,0D，()3,1,2=−−PB，()0,3,2=−PD，()3,2,2=−PC，

设平面PCD的法向量为(),,nxyz=，所以00PCnPDn==，即3203220yzxyz−=+−=，令2y=，则233,3==zx，所以23,2,33=n，设直线PB与平面PCD所成角的为，所以2263258sincos,864314493−

−====++++PBnPBnPBn，所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为325886.21.设na是首项为1的等比数列，数列nb满足3nnnab=．已知1a，23a，39a成等差数列．（1）求

na和nb的通项公式；（2）记nS和nT分别为na和nb的前n项和．证明：2nnST．【答案】（1）11()3nna−=，3nnnb=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用等差数列的性

质及1a得到29610qq−+=，解方程即可；（2）利用公式法、错位相减法分别求出,nnST，再作差比较即可.【详解】（1）因为na是首项为1的等比数列且1a，23a，39a成等差数列，所以21369aaa=+，所以211169aqaaq=+，即29610qq−+=，解得13q=，所以11(

)3nna−=，所以33nnnnanb==.（2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和211213333nnnnnT−−=++++，012111111223333−=++++nnS，230121123111112333323333nnnnSnT−−=++++−++++=

012111012222333−−−++++111233−−−+nnnn．设0121111101212222Γ3333−−−−−−=++++nnn，⑧则1231111012112222Γ33333−−−−−=++++nnn．⑨由⑧-⑨得11211133121

11113322Γ13233332313−−−−−=−++++−=−+−−nnnnnnn．所以211312Γ432323−−−−=−−=−nnnnnn．因此10232323−−=−=−nnnnnSnnnT．故2nnST．[方法二]【最优解】：公

式法和错位相减求和法证明：由（1）可得11(1)313(1)12313nnnS−==−−，211213333nnnnnT−−=++++，①231112133333nnnnnT+−=++++，②①−②得23121111333333nnnnT+=

++++−1111(1)1133(1)1323313nnnnnn++−=−=−−−，所以31(1)4323nnnnT=−−，所以2nnST−=3131(1)(1)043234323nnnnnn−−−−=

−，所以2nnST.[方法三]：构造裂项法由（Ⅰ）知13=nnbn，令1()3=+nncn，且1+=−nnnbcc，即1111()[(1)]333+=+−++nnnnnn，通过等式

左右两边系数比对易得33,24==，所以331243nncn=+．则12113314423nnnnnTbbbcc+=+++=−=−+，下同方法二．[方法四]：导函数法设()231()1−=++++=−nnxxfxxxx

xx，由于()()()()()()1221'111'11(1)'1(1)1nnnnnxxxxxxxxnxnxxxx+−−−−−−+−+==−−−，则12121(1)()123(1)+−+−+=++++=

−nnnnxnxfxxxnxx．又1111333−==nnnbnn，所以2112311111233333nnnTbbbbn−=++++=++++=12111(1)11133333113nnnnf++−+

=−13113311(1)4334423nnnnnn+=+−+=−+，下同方法二．【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查

学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；方法二根据数列的不同特点，分别利

用公式法和错位相减法求得,nnST,然后证得结论,为最优解；方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造1()3=+nncn，使1+=−nnnbcc，求得nT的表达式，这是错位相减法的一种替代方法，方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减

求和法的一种方法.22.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左､右焦点分别为12,FF，且122FF=，直线l过2F与C交于,MN两点，1FMN△的周长为8．（1）求C的方程；（2）过1F作直线交C于,PQ两点，且向量PQ与MN方向相同，求四边形PQN

M面积的取值范围．【答案】（1）22143xy+=；（2）(0,6.【解析】【分析】(1)根据给定条件直接求出半焦距c，及长半轴长a即可作答.(2)根据给定条件结合椭圆的对称性可得四边形PQNM为平行四边形，设出直线l的方程，与椭

圆C的方程联立，借助韦达定理、对勾函数性质计算作答.【小问1详解】依题意，椭圆半焦距1c=，由椭圆定义知，1FMN△的周长48a=，解得2a=，2223bac=−=，因此椭圆C的方程为22143xy+=.【小问2详解】依题意，直

线l的斜率不为0，设直线l的方程为1xmy=+，()()1122,,,MxyNxy，由221143xmyxy=++=消去x并整理得：22(34)690mymy++−=，则122634myym+=−+，122934y

ym=−+，因PQ与MN方向相同，即//PQMN，又椭圆C是以原点O为对称中心的中心对称图形，于是得PQMN=，即四边形PQNM为平行四边形，其面积1121212222MNPMNFSSSFFyy===−，则()222

1212222636241242343434mmSyyyymmm+=+−=−+=+++，令21mt+=，则221,1tmt=−，则224241313tSttt==++，显然13ytt=+在)1,+上单调递增，则当1t=时

，min4y=，即)4,y+，从而可得(0,6S，所以四边形PQNM面积的取值范围为(0,6.【点睛】结论点睛：过定点(0,)Ab的直线l：y=kx+b交圆锥曲线于点11(,)Mxy，22(,)Nxy，则

OMN面积121||||2OMNSOAxx=−；过定点(,0)Aa直线l：x=ty+a交圆锥曲线于点11(,)Mxy，22(,)Nxy，则OMN面积121||||2OMNSOAyy=−.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com