【文档说明】2021-2022学年高中数学北师必修五教师用书：阶段提升课 第二课 解三角形 含解析【高考】.doc，共(12)页，575.500 KB，由小赞的店铺上传

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-1-温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。阶段提升课第二课解三角形思维导图·构建网络考点整合·素养提升题组训练一由正、余弦定理解三角形1.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsinA=

acos(B-).(1)求角B的大小;(2)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.【解析】(1)在△ABC中,由正弦定理=,可得bsinA=asinB.-2-又由bsinA=acos(B-),得asinB=acos(B-),即sinB=cos(B

-),sinB=cosBcos+sinBsin,得sinB=cosB,tanB=,又因为B∈(0,π),可得B=.(亦可由sinB=cos(B-),得cos(-B)=cos(B-),可得-B=B-,解得B=.)(2)在△ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=,

有b2=a2+c2-2accosB=7,故b=.由bsinA=acos(B-),可得sinA=.因为a<c,故cosA=.因此sin2A=2sinAcosA=,cos2A=2cos2A-1=.所以,sin(2A-B)=si

n2AcosB-cos2AsinB=×-×=.2.(2020·宜春高一检测)如图,在平面四边形ABCD中,∠ABC=,∠BAC=∠DAC,CD=2AB=4.-3-(1)若AC=2,求△ABC的面积;(2)若∠ADC=,求AC.【解析】(1)因为∠ABC=,AB

=2,AC=2,由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC,所以20=4+BC2+4×BC×,所以BC2+2BC-16=0,所以BC=2或BC=-4(舍去),S△ABC=AB·BC·sin∠ABC=×2×2×=2.(2)设∠BAC

=∠CAD=θ,则0<θ<,∠BCA=-θ,在△ABC中,=,即=,所以AC=.在△ACD中,=,即=,所以AC=.由=解得2sinθ=cosθ,又0<θ<,所以sinθ=,-4-所以AC==2.解三角形常见类型及解法在三角形的

六个元素中要知三个(除三角外)才能求解,常见类型及其解法见下表:已知条件应用定理一般解法一边和二角(如a,B,C)正弦定理由A+B+C=180°,求A;由正弦定理求出b与c两边和夹角(如a,b,C)余弦定理由余弦定理求第三边c;由正弦定理求出一边

所对的角,再由A+B+C=180°求出另一角三边(a,b,c)余弦定理由余弦定理求出A,B,再利用A+B+C=180°求出C两边和其中一边的对角(如a,b,A)正弦定理由正弦定理求出B,由A+B+C=180°求出C;再利用正弦定理求出c边题组训练二三角形中的最值或

取值范围1.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=bcosC+csinB.(1)求B;(2)若b=2,求△ABC的面积的最大值.【解析】(1)由正弦定理知,-5-a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,

得2RsinA=2RsinBcosC+2RsinCsinB,即sinA=sinBcosC+sinCsinB.又A=π-(B+C),所以sin[π-(B+C)]=sin(B+C)=sinBcosC+sinCcosB,即sinBcosC+cosBsinC=sinBco

sC+sinCsinB,所以cosBsinC=sinCsinB.因为sinC≠0,所以cosB=sinB,又B为三角形的内角,所以B=.(2)S△ABC=acsinB=ac,由正弦定理得a==·sinA=2sinA,同理得c=2sinC,所以S△

ABC=×2sinA×2sinC=2sinAsinC=2sinAsin=2sinA=2(sinAcosA+sin2A)=sin2A+1-cos2A-6-=sin+1,所以当2A-=,即A=时,S△ABC有最大值+1.2.(2020·开封高一检测

)在锐角三角形ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且a-2csinA=0.(1)求角C的大小;(2)若c=2,求a+b的取值范围.【解析】(1)由正弦定理得sinA-2sinCsinA=0,因为△ABC为锐

角三角形,所以A∈,C∈,所以sinA≠0,所以-2sinC=0,即sinC=,所以C=.(2)由正弦定理得====,所以a+b=(sinA+sinB)=[sinA+sin(A+C)]=(sinA+sinAcosC+

cosAsinC)==4sin.因为△ABC为锐角三角形,C=,-7-所以A∈,所以A+∈,所以sin∈,所以4sin∈(2,4],即a+b∈(2,4].三角形中最值与取值范围的解题技巧(1)利用正弦定理或余弦定理实现边角的转化,将问题转化为三角函数问题.(2)结合角的值或

范围,求三角函数的最大值、最小值或值域.(3)三角形中常用的等式或不等式:①A+B+C=π;0<A,B,C<π;②<a<b+c;③求三角形中最值和取值范围常用辅助角公式:asinθ+bcosθ=sin(θ+φ).其中tanφ=

(a≠0),且角φ的终边过点(a,b).题组训练三判断三角形的形状-8-1.(2020·枣庄高一检测)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,cos2=,则△ABC的形状一定是()A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.

等腰直角三角形【解析】选A.因为cos2=,所以=,化简得sinAcosC=sinB.因为B=π-(A+C),所以sinAcosC=sin(A+C),即cosAsinC=0.因为sinC≠0,所以cosA=0,即A=

90°,所以△ABC是直角三角形.2.(2020·南昌高一检测)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a+b=c·(cosA+cosB),则△ABC的形状是()A.等腰三角形B.直角三角形C.锐角三角形D

.不能判断【解析】选B.运用正弦定理,得到sinA+sinB=sinC·(cosA+cosB),因为sinA=sin(B+C),sinB=sin(A+C),-9-所以sin(B+C)+sin(A+C)=sinC·(cosA+cosB),即sinBcosC+

cosBsinC+sinAcosC+cosAsinC=sinC·(cosA+cosB),整理得cosC(sinA+sinB)=0,因为A,B为三角形内角,所以sinA>0,sinB>0,所以cosC=0,即C=,故该三角形为直角三角形.1.确定

三角形的形状主要的途径及方法途径一:化边为角途径二:化角为边主要方法(1)通过正弦定理实现边角互化(2)通过余弦定理实现边角互化(3)通过三角变换找出角之间的关系(4)通过三角函数值的符号的判断以及正、余弦函数有界性的讨论2.解三角形时的常用结论(1)在△ABC中,A

>B⇔a>b⇔sinA>sinB⇔cosA<cosB.(2)在△ABC中,A+B+C=π,A+B=π-C,=-,则cos(A+B)=-cosC,sin(A+B)=sinC,sin=cos.题组训练四解三角形的实际应用-10

-1.(2020·广州高一检测)如图,为了测量某湿地A,B两点之间的距离,观察者找到在同一条直线上的三点C,D,E.从D点测得∠ADC=67.5°,从C点测得∠ACD=45°,∠BCE=75°,从E点测得∠BEC

=60°.若测得DC=2,CE=(单位:百米),则A,B两点之间的距离为()A.百米B.2百米C.3百米D.2百米【解析】选C.在△ADC中,∠ACD=45°,∠ADC=67.5°,则∠DAC=180°-45°-67.5°=67.5°,所以AC=DC=2.在△BCE中,∠BCE=75°,

∠BEC=60°,则∠EBC=180°-75°-60°=45°,由正弦定理=得BC===.在△ABC中,AC=2,BC=,∠ACB=180°-∠ACD-∠BCE=60°,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BCc

os∠ACB=9,-11-所以AB=3.2.如图所示,某动物园要为刚入园的小老虎建造一间两面靠墙的三角形露天活动室,已知已有的两面墙的夹角为60°(即C=60°且两面墙的长度足够大),现有可供建造第三面

围墙的材料6米(即AB长为6米),记∠ABC=θ.当θ=105°时,求所建造的三角形露天活动室的面积.【解析】在△ABC中,==,化简得AC=4·sinθ(米),BC=4·sin(θ+60°)(米).当θ=105°时,AC=4·sinθ=4·sin105°=4cos15°(米),B

C=4·sin(θ+60°)=4sin165°=4sin15°(米),所以S△ABC=AC·BC·sin60°=3(平方米).应用正、余弦定理解三角形应用题的一般步骤(1)理解题意,分清已知与未知,画出示意图(一个或几个

三角形).(2)构建三角形,把实际问题中的长度、角度看作三角形相应的边和角,-12-把实际问题转化为数学问题.(3)应用正弦定理、余弦定理等数学知识解三角形.(4)对所解的数学问题得出结论,给出实际问题的答案.阶段综合测评,

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