【文档说明】江西省赣州市十八县二十三校2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题（解析版）.docx，共(19)页，934.144 KB，由小赞的店铺上传

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2023年赣州市十八县（市、区）二十三校期中联考高二数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在空间直角坐标系中，向量()1,2,1a=−，()1,0,2b=，则ab−=（）A.()2,2,3−B.()2,2,3−−C

.()0,2,1D.()0,2,1−−【答案】D【解析】【分析】根据空间向量坐标运算求解.【详解】由题意可得：()()()1,2,11,0,20,2,1−=−−=−−rrab.故选：D.2.332i1i+=−（）A.51i22−B.51

i22+C.51i22−−D.51i22−+【答案】A【解析】【分析】利用复数的乘方及除法运算求解即得.【详解】332i32i(32i)(1i)5i51i1i1i(1i)(1i)222+++−−====−−

++−.故选：A3.已知椭圆22152yx+=上一点P到一个焦点的距离为1，则P到另一个焦点的距离为（）A.221−B.3C.251−D.9【答案】C【解析】【分析】根据椭圆的定义求解即可.的【详解】由椭圆的方程可知，25a=，所以225a=，由椭圆的定义知，P到另一个焦点的距离为251−.

故选：C4.在空间直角坐标系中，点()0,2,1A，()1,1,3B−，()1,1,0C，则（）A.()1,1,2AB=−B.()1,1,1AC=−C.23BC=D.2cos,3ABAC=−【答案】D【解析

】【分析】根据向量坐标表示判断AB，根据向量模的坐标运算判断C，根据向量夹角计算公式判断D.【详解】因为()0,2,1A，()1,1,3B−，()1,1,0C，所以()1,1,2AB=−−uuur，()1,1,1AC=−−，故AB错误；因为(2

,0,3)BC=−，所以22220(3)1323BC=++−=，故C错误；因为1122cos,363ABACABACABAC−+−===−，故D正确.故选：D5.已知直线l：0xmy+=的倾斜角的取值范围为,43，则直线1l：20xmy−−=的倾

斜角的取值范围为（）A.3π,π4B.π2π5π0,,236C.3π5π,46D.2π3π,34【答案】D【解析】【分析】根据两直线的斜率互

为相反数即可得到答案.【详解】显然当0m=时，直线l的倾斜角为2，不适合题意，则0m，则直线l的斜率为1m−，直线1l的斜率为1m，所以l与1l的斜率互为相反数,所以l与1l的倾斜角互补,得1l的倾斜角的取值范围为2π3π,34.故选：D.

6.已知圆1C：()()22125xya++−=与圆2C：()()2219xyb+++=内切，则ab的最大值为（）A.2B.1C.12D.14【答案】B【解析】【分析】根据两圆位置关系可得2ab+=，结合基本不等式运算求解.【详解】由题意可知：圆1C的圆心为()11,Ca−，半径15r

=，圆2C的圆心为()11,−−Cb，半径23r=，若圆1C与圆2C内切，则12212=−=CCrr，即2ab+=，可得2224bbaa++=，即2242abab+=−，因为222abab+，即422−abab，可得1ab，当且仅当1ab==时，等号成立，所以ab的最

大值为1.故选：B.7.石城永宁桥，省级文物保护单位，位于江西省赣州市石城县高田镇.永宁桥建筑风格独特，是一座楼阁式抛物线形石拱桥.当石拱桥拱顶离水面1.6m时，水面宽6.4m，当水面下降0.9m时，水面的宽度为（）A.7mB.7.5mC.8mD.8.5m【答案】C【解析】

【分析】建立平面直角坐标系，求出抛物线方程，利用点的纵坐标求解.【详解】以拱桥的顶点为原点建立平面直角坐标系，则拱桥所在抛物线如图，设抛物线的标准方程为22(0)xpyp=−，由题意知，点(3.2,1.6)−在抛物线上，代入抛物线方程可得23.22(1.6)p=−−

，解得3.2p=，所以抛物线方程为26.4xy=−，由题意，当水面下降0.9m时，点(,2.5)x−在抛物线上，代入抛物线方程可得26.4(2.5)16x=−−=，解得4x=，所以水面的宽度为4(4)8(m)−−=.故选：C8.对于角，甲、乙、丙、丁4人有4种不同的

判断，甲：的终边在直线()0ykxk=上，乙：5tan212=−，丙：π2tan43−=，丁：cos0，若甲、乙、丙、丁4人中只有1人判断错误，则判断错误的是（）A.甲B.乙C.丙D.丁【答案】D【解析

】【分析】根据题意根据象限角和三角恒等变换分析判断.【详解】对于甲：为第一象限角或第三象限角，则tan0；对于乙：因为22tan5tan21tan12==−−，整理得25tan24tan50−

−=，解得tan5=或1tan5=−；对于丙：因为πtan12tan41tan3−−==+，解得tan5=；对于丁：因为cos0，则ππ2π,2π,22−+kkkZ；若甲、乙、丙、丁4人中只有1人判断错误，可知：甲、乙、丙一定正确，此时tan5=，

为第一象限角或第三象限角，可知cos0或cos0，故丁错误.故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知1F，2F分别是双曲线C：2215yxmm−=−的上

、下焦点，点P在C上，且C的实轴长等于虚轴长的2倍，则（）A.2m=B.124PFPF−=C.C的离心率为52D.C的渐近线方程为2yx=【答案】BCD【解析】【分析】根据双曲线方程及焦点位置求m判断A，根据双曲线

定义判断B，求出离心率判断C，求出渐近线方程判断D.【详解】由题意，22,5ambm==−，且2ab=，所以4(5)mm=−，解得4m=，故A错误；因为24am==，由双曲线定义知1224PFPFa−==，故B正确；因为24a=，21b=，所以2

5c=，故离心率2252cea==，故C正确；因为双曲线的焦点在y轴上，所以渐近线方程为ayxb=，即2yx=，故D正确.故选：BCD10.把函数()πsin25fxx=−的图象向左平移3π10个单位长度后得到

()gx的图象，则（）A.()πsin210gxx=+B.()gx的图象关于直线π20x=对称C.()gx的图象关于点π,05−对称D.()gx在π0,10上单调递增【答案】BC【解析】【分析】利用三角函数图象变换及图象与性质一一判定即可.【详解】由函数

()πsin25fxx=−的图象向左平移3π10个单位长度后得到()3ππ2πsin2sin21055gxxx=+−=+，故A错误；当π20x=时，2ππ252x+=，即

π120g=，故B正确；当π5x=−时，2π205x+=，即π05g−=，故C正确；当π0,10x时，2π2π3π2,555x+，易知2π2ππ2,552x+时函数()gx单调

递增，故D错误.故选：BC11.在圆锥PO中，AB是底面圆O的直径，2AB=，且圆锥PO外接球的表面积为25π4，则该圆锥的侧面积可能为（）A.5πB.5π2C.6πD.6π2【答案】AB【解析】【分析】根据球的表面积求出球的半径，据此求出PO，再求出圆锥母线即可得解.【详解】设球心为O

，球半径为R，连接PO，OB，若O在线段PO上，如图，因为圆锥PO外接球的表面积为254，则225π4π4R=，解得54R=，则2222OOOBBRO=+=，解得34OO=，所以53244PO

POOOROO=+=+=+=，由222POOBPB+=可得5PB=，即1,5rOBlPB====，所以圆锥的侧面积π5πSrl==，若O在线段PO的延长线上，如图，同理，54POOBR===，在RtOOB△中，222OOOBOB=+,即225116OO+=，

解得34OO=，所以531442POROO=−=−=，所以2215142PBPOOB=+=+=，所以圆锥的侧面积5ππ2Srl==.故选：AB12.已知曲线C：()704ykxykx−−+=，圆M：()()22211xy−+−=，则（）A.当0k

或3512k时，曲线C与圆M没有公共点B.当34k=时，曲线C与圆M有1个公共点C.当304k时，曲线C与圆M有2个公共点D.当3443k时，曲线C与圆M有4个公共点【答案】ACD【解析】【分析】由()704yk

xykx−−+=得ykx=或74ykx=−，分类根据直线与圆的位置关系，判断交点个数即可.【详解】由()704ykxykx−−+=，得ykx=或74ykx=−，设1l：ykx=，2l：74ykx=

−，则1l过定点()0,0，2l过定点70,4−，圆M：()()22211xy−+−=的圆心坐标为()2,1，半径为1，当1l与圆M相切时，由22111kk−=+，得0k=或43，当2l与圆M相切时，由2112411kk−=+，得34k=或3512．当0k

或3512k时，1l与圆M相离，2l与圆M相离，则曲线C与圆M没有公共点．当304k时，1l与圆M相交，2l与圆M相离，则曲线C与圆M有2个公共点．当34k=时，1l与圆M相交，2l与圆M相切，则曲线C与圆M有3个公共点．当3443k时，1l与圆

M相交，2l与圆M相交，则曲线C与圆M有4个公共点．故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量()6,am=−，()2,3b=，且ab⊥，则m=_________.【答案】

4【解析】【分析】根据向量垂直的坐标表示求解.【详解】因为ab⊥，所以6230abm=−+=，解得4m=.故答案为：414.已知F是抛物线C：22xy=的焦点，A是C上的一点，若4AF=，则A的纵坐标为_________.【答案】72##3.5【解析】【分析】根据题意

结合抛物线的定义分析求解.【详解】由题意可知：10,2F，准线为12y=−，设A的纵坐标为Ay，由题意可知：142=+=AAFy，解得72=Ay，所以A的纵坐标为72.故答案为：72.15.中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“

羡除”的几何体，该几何体是三个面均为梯形，其他两面为三角形的五面体.现有一羡除ABCDEF，平面ABCD⊥平面CDEF，248EFCDAB===，四边形ABCD，CDEF均为等腰梯形，π3ADCDEF==，则该几何体ABCDEF的体积为_________.

【答案】6【解析】【分析】复杂的多面体一般可以分割成熟悉的棱锥棱柱求体积【详解】如图所示，过A作ANCD⊥交CD于N点，过B作BMCD⊥交CD于M点，过N作NIEF⊥交EF于I点，过M作MHEF⊥交EF于H点，连接,AIBH，因为平面ABCD⊥平面CDEF，且平面ABCD平面C

DEFCD=，AN平面ABCD，BM平面ABCD，且ANCD⊥，BMCD⊥，所以AN⊥平面CDEF，BM⊥平面CDEF，又2,4ABCD==且四边形ABCD为等腰梯形且π3ADC=，所以1DNC

M==，3ANBM==因为4,8CDEF==且四边形CDEF为等腰梯形且π3DEF=，所以2EIFH==，3NIMH==，又NIEF⊥，MHEF⊥，所以()113322ADNIEVANDNEINI−=+

=，()113322BCMHFVBMCMHFMH−=+=，又ANCD⊥，BMCD⊥且NIEF⊥，MHEF⊥，所以多面体ANIBMH−为直三棱柱，所以132ANIBMHVANNIMN−==，所以几何体ABCDEF的体积为6ADNIEBCMHFANIBMHVVVV−−−=

++=，故答案为：616.已知A，B为双曲线C：2214yx−=上的两点，且A，B关于直线l：113yx=−−对称，则线段AB中点的坐标为_________.【答案】41,3−−【解析】【分析】根据题意可知3ABk=，利用点差法求得43OMk=

，联立方程即可得结果.【详解】由题意可知：直线l：113yx=−−的斜率为13k=−，可知直线AB的斜率3ABk=，设()()1122,,,AxyBxy，则线段AB中点的坐标1212,22xxyyM++，可得1212AByykxx−=−，1212121222OMyyyykx

xxx++==++，因为A，B为双曲线C：2214yx−=上的两点，则221122221414yxyx−=−=，两式相减整理得22121212221212124−−+==−−+yyyyyyxxxxxx，即34==ABOMOMkkk，解得43OMk=，即直线4:3=

OMyx，联立方程43113yxyx==−，解得143xy=−=−，可知线段AB中点的坐标为41,3−−.故答案为：41,3−−.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演

算步骤.17.已知直线1l经过点()2,3A−.（1）若1l平行于直线70xy−−=，求1l的一般式方程；（2）若1l垂直于直线230xy++=，求1l在y轴上的截距，【答案】17.1:50lxy−−=18.4−【解析】【分析】

根据直线平行与垂直的充要条件和截距的定义计算即可.【小问1详解】由题意可设1:0lxym-+=，因为直线1l经过点()2,3A−，故()2305mm−−+==−，则1:50lxy−−=；【小问2详解】由题意可设1:20l

xyn−+=，因为直线1l经过点()2,3A−，故()22308nn−−+==−，则1:280lxy−−=,令04xy==−，所以1l在y轴上的截距为4−.18.在平行六面体1111ABCDABCD−中，13AB

ADAA===，111coscoscos3BADBAADAA===，E为线段1AC上更靠近A的三等分点（1）用向量AB，1AA，AD表示向量AE；（2）求AE；（3）求AEAC.【答案】（1）1111333ABADAA++（2）5（3）10【解析】【分

析】（1）根据向量的线性运算即可求解；（2）根据向量数量积的运算性质及数量积的定义运算即可；（3）根据向量的线性运算及向量的数量积的定义及运算性质求解.【小问1详解】如图，()1111111133333AEACABADAAABADAA==++=++.【小问2详解】()()22

2111211122299AAABADAAABADAABADABAAAEDAA++=+++++=22211113332332332339333=+++++()127185

9=+=,5AE=.小问3详解】()()113AABADAAABACDEA+++=()2211123ABADABADAAABAAAD=++++22113343333=++1303=10=19.已知圆M：()()22

3316xy−++=，直线l：()()1430mxmym+++−=.（1）证明：l过定点.（2）求l被圆M截得的最短弦长.【答案】（1）证明见解析（2）211【解析】【分析】（1）将直线l整理得()()340+−++=mxyxy，分析求解即可；（2）可知点()4,1P−在圆M内，结合圆的性质可知：

当直线MPl⊥时，l被圆M截得的最短弦长，进而可求弦长.【小问1详解】对于直线l：()()1430mxmym+++−=，即()()340+−++=mxyxy，令3040xyxy+−=+=，解得41xy==−，所以l过定点()4,1P−.【小问2详解】由题意可知：圆

M的圆心()3,3M−，半径4r=，因为()()22431354=−+−+==PMr，可知点()4,1P−在圆M内，【.由圆的性质可知：当直线MPl⊥时，l被圆M截得的最短弦长，此时l被圆M截得的弦

长为222211−=rPM.20.已知ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2coscoscos0cCaBbA++=.（1）求C；（2）若CD为C的角平分线，D在边AB上，且2CD=，求4ab+的最小值.【答案】20.2π321.18【解析】【分析】

（1）利用正弦定理结合三角恒等变换分析求解；（2）根据题意利用面积公式可得1121ab+=，结合基本不等式运算求解.【小问1详解】因为2coscoscos0cCaBbA++=，由正弦定理可得：()2sincossincos

sincos2sincossin2sincossin0CCABBACCABCCC++=++=+=，因为()0,πC，则sin0C，可得2cos10C+=，即1cos2C=−，所以2π3C=.【小问2详解】若CD为C的角

平分线，则1π23ACDBCDACB===，因为ABCACDBCDSSS=+，即13131322222222abab=+，整理得1121ab+=，则()1144424252521

8babaababababab+=++=+++=，当且仅当4baab=，即26ba==时，等号成立，所以4ab+的最小值18.的21.已知椭圆C：221124xy+=，直线

l与椭圆C交于,AB两点.（1）若,MN是椭圆C短轴顶点，,AB与,MN不重合，求四边形AMBN面积的最大值；（2）若直线l的方程为1xmy=+，求弦AB的长（结果用m表示）.【答案】（1）83；（2）42223415113mmm+++【解析】【分析

】（1）利用椭圆的性质结合三角形面积公式计算即可；（2）联立直线与椭圆方程利用韦达定理计算弦长即可.【小问1详解】设椭圆的半长轴、半短轴长分别为ab、，则1223,2ab===，4MN=，设,AB的横坐标分别为：,ABxx，则,23,23ABxx−易知四边形AMBN面积为122AMNB

MNABABSSSMNxxxx=+=−=−,显然max43ABxx−=，当,AB分别为椭圆左右顶点时取得最大值，此时四边形AMBN面积最大值为83；【小问2详解】设()()1122,,,AxyBxy，

将直线l方程与椭圆方程联立2211241xyxmy+==+，消x得()2232110mymy++−=，所以121222211,33myyyymm+=−=−++，由弦长公式可知()4222121222341511143mmABmyyyym+

+=++−=+.的22.已知F为抛物线C的焦点，过F的直线l交C于A，B两点，点D在C上，使得ABD△的重心G在x轴的正半轴上，直线AD，BD分别交x轴于Q，P两点.O为坐标原点，当ABOF⊥时，4

AB=.（1）求C的标准方程.（2）记P，G，Q的横坐标分别为Px，Gx，Qx，判断223PQGxxx+−是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）24yx=（2）1−【解析】【分析】（1）先判断焦点在x

轴，再根据抛物线的定义，结合4AB=即可.（2）设直线AB：12xky=+，设112233(,),(,),(,),(,0),(,0),(,0)GPQAxyBxyDxyGxPxQx，与抛物线联立，结合韦达定理，根据题意Px，Gx，Q

x用12,yy表示，计算即可.【小问1详解】依题ABD△的重心G在x轴的正半轴上，因为三角形的重心一定在三角形内，则抛物线的焦点在x轴上，设抛物线方程为：22(0)ypxp=，当ABOF⊥时，2ABpxx==，则2422AB

ppABxxp=+++==，则抛物线方程为：24yx=.【小问2详解】依题知直线AB的倾斜角不为0，则设直线AB：12xky=+，设112233(,),(,),(,),(,0),(,0),(,0)GPQAxyBxyDxyGxPxQx，由2124xkyyx=+=，得

2420ykx−−=，21212Δ168042kyykyy=++==−，则2123330,4,43yyyykxk++==−=，则2(4,4)Dkk−，因为,,ADQ三点共线，22231131

3131111(,)(,),(,)(,)44QQyyyADxxyyyyQAxxyxy−=−−=−=−=−，则//ADQD，222311131()()044Qyyyyyyx−−−−=，当13yy=时，重心G不会落在x轴上，所以13

yy，解得：314Qyyx=−，同理可得：324Pyyx=−，又2223122212312123()24442312Gyyyxxxyyyyyx+++++−+===2232481123kk++==，则223231312()8181332

2223223PQGyyyyxxxyyykk+++=−−−+=−−−24(4)8112kkk−=−−−=−，则该定值为1−获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com