【文档说明】上海交通大学附属中学2021-2022学年高一下学期3月线上测试数学试题 含解析.docx，共(22)页，1.284 MB，由小赞的店铺上传

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交大附中高一线上测试数学试卷一、选择题（本大题满分100分）1.若cos()2cos()2+=+，则sin2=（）A.25B.25−C.45D.45−【答案】C【解析】【分析】利用诱导公式化简已知条件，可求得tan的值，再将所求sin2利用二倍角正弦公式展开，然后

借助平方关系将其转化为分式齐次式，最后利用商数关系化简即可求解.【详解】解：∵cos()2cos()2+=+，∴sin2cos−=−，∴sintan2cos==，∴2222sincos2tan4sin22si

ncossincostan15====++，故选：C2.若sin23xm=+，且,66x−，则m的取值范围为（）A.11,22−B.51,42−−

C.75,44−−D.71,42−【答案】C【解析】【分析】先由,66x−求出sinx的范围，即可得23m+的范围，从而可得m的取值范围【详解】因为,66x−，所以11sin22x−，因sin

23xm=+，所以112322m−+，解得7544m−−，故选：C.为3.函数()sinyAxb=++在一个周期内的图象如图（其中0A，0，2），则函数的解析式为（）A.12sin123yx=++B.2sin213yx

=−+C.12sin123yx=−+D.2sin213yx=++【答案】B【解析】【分析】结合五点法求解析式．【详解】由图象，3(1)22A−−==，3(1)12b+−==，2236T

=−=，22==．22sin(2)113++=，4,3kkZ+=，又2，所以3=−，故选：B.4.已知非零向量,,abc，则“acbc=”是“ab=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分

条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【答案】B【解析】【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.【详解】如图所示，,,,OAaOBbOCcBAab====−,当ABOC⊥时，ab−与c垂直，，所以成立，此时ab，∴不是ab=的充

分条件，当ab=时，0ab−=，∴()00abcc−==rrrrr,∴成立，∴是ab=的必要条件，综上，“”是“”的必要不充分条件故选：B.5.在ABC中，D，E分别在线段AB，AC上，且23DBAB=，23AEAC=，点F是线段BE的中点，则DF=（）A.1163ABAC+B.1163A

BAC−C.1163ABAC−+D.1163ABAC−−【答案】A【解析】【分析】根据向量的运算法则计算即可得出答案.【详解】如图，因为23AEAC=，23BEAEABACAB=−=−.因为点F是线段BE的中点，所以111232BFBEACAB==−，因为23DBAB=，则1163DFDBBFA

BAC=+=+.所以选项B，C，D错误，选项A正确.故选：A.6.已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是（）A.2ab+B.2ab+C.2ab−D.2ab−【答案】D【解析】【分析】根据平面向量数量积的定义

、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可.【详解】由已知可得：11cos601122abab===.A：因为215(2)221022abbabb+=+=+=，所以本选项不符合题意；B：因为21(2)221202abbabb+

=+=+=，所以本选项不符合题意；C：因为213(2)221022abbabb−=−=−=−，所以本选项不符合题意；D：因为21(2)22102abbabb−=−=−=，所以本选项符合题意.故选：D.【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义和运算

性质，考查了两平面向量数量积为零则这两个平面向量互相垂直这一性质，考查了数学运算能力.7.平面向量a与b的夹角为60，1a=，2b=，则2ab−=（）A.3B.2C.4D.12【答案】B【解析】【分

析】根据向量模的公式直接计算结果.【详解】()2222244abababab−=−=+−21a=，24b=，cos601==abab，24442ab−=+−=.故选：B【点睛】本题考查向量数量积，向量的模，重点考查计算，属于基础题型,.8.已知向量a，b满足||5a=，||6b=

，6ab=−，则cos,=aab+（）A.3135−B.1935−C.1735D.1935【答案】D【解析】【分析】计算出()aab+、ab+的值，利用平面向量数量积可计算出cos,aab+的值.【详解】5a=，6b=，6ab=−，(

)225619aabaab+=+=−=.()22222526367ababaabb+=+=++=−+=，因此，()1919cos,5735aabaabaab++===+.故选：D.【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了

平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题.9.在边长为3的菱形ABCD中，3DAB=，2AMMB=，则DMDB=（）A.172B.1−C.152D.92【答案】C【解析】【分析】画出图形，根据条件得2,3DMABADDBABAD=−=

−，然后由2()()3DMDBABADABAD=−−，进行数量积的运算即可．【详解】解：如图，2AMMB=，23AMAB=，23DMAMADABAD=−=−，且DBABAD=−，又||||3,3ABADDAB

===，2()()3DMDBABADABAD=−−222533ABADABAD=+−2511599333322=+−=．故选：C．【点睛】本题考查了向量减法和数乘的几何意义，向量数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题．10.已知ABC中，2AB=，1AC=，1ABAC=，O为AB

C所在平面内一点，且满足230OAOBOC++=，则AOBC的值为（）.A.4−B.1−C.1D.4【答案】B【解析】【分析】利用平面向量线性运算得到1132AOABAC=+，再使用平面向量数量积运算法则进行计算.【详解

】∵230OAOBOC++=，∴2()3()0OAOAABOAAC++++=，∴1132AOABAC=+，∴2211111()()132236AOBCABACACABACABABAC=+−=−−=−，故选：B.11.已知平面向量,

,abc满足||2,||3,||1abc===，()10abcab??+=，则||ab−的最大值是（）A.231+B.5C.231−D.26【答案】A【解析】【分析】由已知可得()1abcab+=+，再结合向量的数量积的性质可求()212ab，最

后代入即可求出答案.【详解】设,,OAaOBbOCc===||1,()10cabcab=−++=得1()abcab+=+|1||()|||||||abcabcabab+=++=+„22|1|||abab++

„即2222()212,()12ababaabbab++++„222||2abaabb−=−+2||1343ab−+„,||231ab−+„故选：A12.已知函数()211sinsin(0)222xf

xx=+−，若()fx在区间(),2内有零点，则的取值范围是()A.155,,484+B.150,,148C.1155,,8484D.115,,848+

【答案】D【解析】【详解】将()fx化简可得2sin()24()fxx−=，由()0fx=得4xk−=，当(,2)x时，(,2)444x−−−，由题意知存在Zk，(,2)

44k−−，即11(,2)44k−−，所以111()244kk++，由0知0k，当0,1,2,k=时，1184，5584，9984，…，所以选D.点睛：本题主要考查了三角函数的化简，考查了三角函数的零点问题以及学生计算能力，难度一般

；考查其性质时，首先应将其化为三角函数的一般形式，在化简过程中应注意降幂公式及辅助角公式的熟练运用，易得4xk−=，由x的范围，可得4x−，即k的取值范围，解出，根据Zk可得结果.以下

均为多选题13.下列选项正确的是（）A.5sincos2παα+=B.7rad3154π=C.若终边上有一点()5,3P−，则3sin5=−D.若一扇形弧长为2，圆心角为90，则该扇形的面积为2【答案】AB【解析】【分析】根据诱导公式，弧度制与角度制的

转化公式，以及三角函数的定义，扇形面积公式，即可判断选项.【详解】51sinsincos22παπαα+=+=，故A正确；77rad18031544π==，故B正确；若终边上有一点()5,

3P−，则()223334sin3453α−==−+−，故C不正确；若一扇形弧长为2，圆心角为90，则该扇形的半径为4，面积为14422ππ=，故D不正确.故选：AB14.已知R，10sin2cos2

+=，那么tan的可能值为（）A.3−B.13−C.13D.3【答案】BD【解析】【分析】由条件，结合sin2α+cos2α=1，求得sin,cos，从而求得tan.【详解】解析：因为10sin2cos2+

=①，又sin2α+cos2α=1②，联立①②，解得310cos1010sin10==−或10cos10310sin10==，因为R，所以sin1tancos3==−或3.

故选：BD15.已知函数()sinfxx=，下列说法正确的是（）A.()fx为偶函数B.()fx的最小正周期为2C.所有的整数都是()fx的零点D.()fx在[]0,1上单调递增【答案】AC【解析】

【分析】作出函数的图象，即可判断.【详解】由()sinfxx=可知，定义域为R，且()sin()()fxxfx−=−=，∴()fx为偶函数，故A正确；又()fx的最小正周期为1，故B错误；∵()sin0,fkkkZ==，∴所有整数都是()fx的零点，故C正确；函数()sinfxx=的图象

如图所示，所以()fx在0,1上先增后减，故D错误.故选：AC．16.对于函数()cos3fxx=−有（）A.()yfx=图象关于点5,06对称B.()yfx=的图象过点31,2−C.()yfx=的图象

是由()()cosfxx=的图象向右平移3个单位长度得到的的的D.()yfx=的图象关于直线23x=−对称【答案】AD【解析】【详解】对选项A，55cos0663f=−=，()yfx=的图象关于点5,06

对称，A正确；对选项B，()11cos32f=−=−，B错误；对选项C，()()cosfxx=的图象向右平移3个单位长度，所得函数图象的表达式为()2coscos33fxxx

=−=−，C错误；对选项D，22cos1333f−=−−=−，()yfx=的图象关于直线23x=−对称，D正确．故选：AD17.下列命题中，正确的是（）A.若Rk，且0kb=，则0k=或0b=B.若0ab=，则0a=或0b=C.若不平

行的两个非零向量a，b，满足ab=rr，则()()0abab+−=D.若a与b平行，则abab=【答案】AC【解析】【分析】根据数乘运算的定义判断A；根据ab⊥时，0ab=判断B；根据向量加减法的几何意义判断C；根据a与b平行且反向时的结果判断D.【详解】解

：对于A选项，根据数乘运算的定义，A选项正确；对于B选项，当ab⊥时，0ab=亦成立，B选项错误；对于C选项，若不平行的两个非零向量a，b，满足ab=rr，则由向量加减法运算的几何意义得ab+与ab−是以非零向量a，b为邻边的菱形的对角线，故()()abab+⊥−

，即()()0abab+−=，故正确；对于D选项，当a与b平行且反向时，abab=−，故错误；故选：AC18.在ABC中，ABc=，BCa=，CAb=，则下列推导正确的是（）A.若0ab，则ABC是钝角三角形B.若0ab=，则AB

C是直角三角形C.若abbc=rrrr，则ABC是等腰三角形D.若abc=−，则ABC是直角三角形【答案】BCD【解析】【分析】由平面向量数量积的运算及余弦定理，逐一检验即可得解．【详解】解：在ABC中，,,ABcBCaCAb===，对于A：若

0ab，即()cos0abBCA−，则BCA为锐角，则ABC不一定为钝角三角形，故A错误；对于B：若0ab=，即()cos0abBCA−=则BCA是直角，ABC是直角三角形，故B正确；对于C：若abbc

=rrrr，则()0abbbcac−=−=，即()0CABCAB−=，()0CABCBA+=，取AC中点D，则2BCBABD+=，所以0CABD=，即CABD⊥，所以BABC=，即ABC为等腰三角形，故C正确；对于D：若abc=−，即()22abc=−，即2222ab

cbc=+−，即2222(cos)bcabcA+−=−，即coscosAA=−，cos0A=，2A=，ABC为直角三角形，故D正确，故选：BCD．19.点O在ABC所在的平面内，则以下说法正确的有（）A.若0OAOBOC+

+=，则点O是ABC的重心．B.若0||||||||ACABBCBAOAOBACABBCBA−=−=，则点O是ABC的内心．C.若()()0OAOBABOBOCBC+=+=，则点O是ABC的外心．D.若OAOBOBOCOCOA==，则点O是ABC的垂心．【

答案】ABCD【解析】【分析】对A，通过判断O为BC边上中线的三等分点可得；对B，通过判断点O在三角形各个角的平分线上可得；对C，通过判断||||||OAOBOC==可得；对D，通过判断OBCA⊥，,OABCOCAB⊥⊥可得.【详解】对A，设D为BC中点，由于()2OA

OBOCOD=−+=−，所以O为BC边上中线的三等分点（靠近点D），所以点O是ABC的重心，故A正确；对B，向量,||||ACABACAB分别表示在边AC和AB上的单位向量AC和AB，记它们的差为向量

BC，则当0||||ACABOAACAB−=时，即OABC⊥时，点O在BAC的平分线上，同理由0||||BCBAOBBCBA−=可得点O在ABC的平分线上，所以点O是ABC的内心，故B正确；对C，OAOB

+是以OAOB，为邻边的平行四边形的一条对角线，而AB是另一条对角线，则由()0OAOBAB+=可得该平行四边形为菱形，即||||OAOB=，同理由()0OBOCBC+=可得||OCOB=∣∣，所以点O是

ABC的外心，故C正确；对D，由OAOBOBOC=得0OAOBOBOC−=，则0OBCA=，所以OBCA⊥，同理可得,OABCOCAB⊥⊥，所以点O是ABC的垂心，故D正确.故选：ABCD.20.在平行四边

形ABCD中，若11,22AEABAFAD==，则（）A.12EFBD=B.0ADCDBE++=C.220ACDFBE++=D.若22,2ACBFABADBCCD⊥=−【答案】ACD【解析】【分析】利用向量的线性运算、向量数量积的运算性质结合条件逐项判断即得.【详解】∵在平行四边形A

BCD中，11,22AEABAFAD==，∴,EF分别为AB、AD的中点，∴12EFBD=，故A正确；因为11022ADCDBEADBABABADB++=++=+，故B错误；因为220ACDFBEAB

ADDABA++=+++=，故C正确；若ACBF⊥，则0ACBF=，又1,2ACABADBFAFABADAB=−+==−，∴()102ACBFABADADAB+==−，∴2211022ADADABAB−−=∴222222ABADADABBCCD−=

=−，故D正确.故选：ACD.21.ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为ABC的面积，且2a=，23ABACS=，下列选项正确的是（）A.3A=B.若3b=，则ABC有两解C.若ABC为锐角三角形，则b取值范围

是(23,4)D.若D为BC边上的中点，则AD的最大值为23+【答案】BCD【解析】【分析】由数量积的定义及面积公式求得A角，然后根据三角形的条件求解判断各ABC选项，利用1()2ADABAC=+，平方后应用基本不等式求得最大值，判断D．【详解】因为23ABACS=，所以

1cos2323sin2bcASbcA==，3tan3A=，又(0,)A，所以6A=，A错；若3b=，则sinbAab，三角形有两解，B正确；若ABC为锐角三角形，则02B，62AB

B+=+，所以32B，3sin12B，sinsinbaBA=，sin4sin(23,4)sinaBbBA==，C正确；若D为BC边上的中点，则1()2ADABAC=+，222222111()(2cos)(3)444ADABA

CcbcAbbcbc=+=++=++，又222222cos34abcbcAbcbc=+−=+−=，2243bcbc+=+，由基本不等式得224323(23)bcbcbcbcbc=+−−=−，44(23)23bc=+−

，当且仅当bc=时等号成立，所以213(43)3174342ADbcbcbc=++=++，所以23AD+，当且仅当bc=时等号成立，D正确．故选：BCD．【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形的应用，掌握正弦定理、余弦定理、

三角形面积公式是解题关键．在用正弦定理解三角形时可能会出现两解的情形，实际上不一定要死记结论，可以按正常情况求得sinB，然后根据,ab的大小关系判断B角是否有两种情况即可．22.如图，在直角三角形ABC中，90,5,25AABAC===，点P在以A为圆心且

与边BC相切的圆上，则（）A.点P所在圆的半径为2B.点P所在圆的半径为1C.PBPC的最大值为14D.PBPC的最大值为16【答案】AC【解析】【分析】RtABC斜边BC上的高即为圆的半径；把求PBPC的最大值通过向量加法的三角形法则转化为求42PAPM+的最大值，从而判断出P，M，A三

点共线，且P，M在点A的两侧时取最大值.【详解】设AB的中点为M，过A作AH垂直BC于点H，因为90,5,25AABAC===，所以5BC=，52AM=，所以由1122ABACBCAH=，得2ABACAHBC==，所以圆的半径为2，即点P所在圆的半径为2，所以选项A正

确，B错误；因为PBPAAB=+，PCPAAC=+，0ACAB=，所以()()2·PBPCPAABPAACPAPAACABPA=++=++()242ACAPAPAPABPM=++=+，所以当P，M，A三点共线

，且P，M在点A的两侧时，2PPAM取最大值，且最大值为()max52222102PAPPMAPM===，所以PBPC的最大值为41014+=，所以选项C正确，D错误.故选：AC.23.在ABC中，3ABAC=uuuruuur，26BC=，其中D，

E均为边BC上的点，分别满足：BDDC=，AEACAEABACAB=，则下列说法正确的是（）A.AD为定值3B.ABC面积的最大值为36C.AEuuur的取值范围是(1,3D.若F为AC中点，则BF不可能等于5【答案】ABD【解析】【分析】对于A:利用()1

2ADACAB=+和数量积的计算公式可求3AD=uuur；对于B：利用面积公式和基本不等式即可判断；对于C：先判断出coscosEACEAB=，结合的范围即可判断；对于D：利用()12BFBABC=+求出范围，即可判断.【详

解】设BAC=.对于A:因为BDDC=，所以D为BC的中点.因为26BCACAB=−=，所以()2226ACAB−=，即22224ACACABAB−+=，所以2230ACAB+=.因为()12ADACAB=+，所以()()222112

306944ADACACABAB=++=+=，所以3AD=uuur.故A正确；对于B：1133sinsintan22cos2ABCSABAC===，又223331cos30522ABACABAC===+，当且仅当“ABAC

="时,取“=”此时21tan=126cos−，所以3tan362ABCS=.故B正确；对于C：因为AEACAEABACAB=，所以coscosAEEACAEEAB=，所以coscosEACEAB=.当1c

os5=时，D、E重合，AEuuur取得最大值3.可知为锐角，当BAC→最大锐角时，AEuuur最大，但无法取到.故C错误；对于D：若F为AC中点，则()2211222BFBABCBABABCBC=+=++21226cos2452BA

BAB=++.故D正确.故选：ABD.24.三角形蕴涵大量迷人性质，例如校本第19页有这么一个性质：若点O在ABC内部，用AS、BS、CS分别代表OBC△、OCA、OAB的面积，则有0ABCSOASOBSOC++=，现在假设锐角三角形顶点A、B、C所

对的边长分别为a、b、c，H为其垂心，O为三角形外心，HA、HB、HC的单位向量分别为1e、2e、3e．则下列命题正确的有（）A.至少存在2022个三角形，使1230eee++=成立B.存在三角形，使2022OAOBOCOH++=C.对任意锐角三角形均有1230

aebece++=成立D.存在锐角三角形使得123aebeceAB++=【答案】ABC【解析】【分析】先根据三角形相似得到0HDHAHEHBHFHCk===，在结合已知条件证明出1230aebece++=，即可判断C、D；对于A：取等边三角形，

结合选项C的推导证明出1230eee++=，从而可以取2022个边长不等的正三角形，均符合1230eee++=.即可判断；对于B：在正三角形中，由外心、垂心合一，结合选项A的证明，可以证明出2022OAOBOCOH++=成立，即可判断.【详解】由0

ABCSOASOBSOC++=可得1231110222aHDHAebHEHBecHFHCe++=，因为,AHEBHDAEHBDH==，所以BHDAHE∽，可得=HDHBHEHA，即HDHAHEHB=，同理可得：HFHCHEHB=，所以0HDHAHEHBHFHCk=

==，所以()123102kaebece++=，所以1230aebece++=故C正确，D错误；对于A：取等边三角形，有0abc==，由上面的推导过程可知：1230aebece++=，所以()1230aeee++=，因为0a，

所以1230eee++=.所以可以取2022个边长不等的正三角形，均符合1230eee++=.故A正确；对于B：在正三角形中，外心、垂心重合，所以0OH=.而123OAOBOCeee++=++，由A的

推导可知，1230eee++=，所以2022OAOBOCOH++=成立.即在正三角形中，2022OAOBOCOH++=成立.故B正确；故选：ABC.25.已知()()212cos03fxx=−+，则下列判断中，错误的是（）A.若()11fx=，()21fx=−，

且12minxx−=，则2=B.存在()0,2，使得()fx的图像右移6个单位长度后得到的图像关于y轴对称C.若()fx在0,2上恰有7个零点，则的取值范围为4147,2424D.若

()fx在,64−上单调递增，则的取值范围为20,3【答案】ABC【解析】【分析】首先利用二倍角公式及诱导公式将函数解析式化简，再根据正弦函数的性质一一判断即可；【详解】解：22()cos2sin1

2cos3236fxxxx==−+=+−+，周期22T==．对于A：由条件知，周期为2，12=，故A错误；对于B：函数图象右移6个单位长度后得到的函数为sin236yx=−+，其图象关于y轴对称，则()3

62kkZ−+=+，13()kkZ=−−，故对任意整数k，(0,2)，故B错误；.对于C：由0,2x，所以24666x++，所以7486+，解得41472424„，故C不正确；对于D：因

为,64x−，所以236626x−+++，所以3622620−+−+…„，203„，故D正确．故选：ABC．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com