【文档说明】重庆市西南大学附属中学校2022-2023学年高二下学期期末数学试题 含解析.docx，共(21)页，1.096 MB，由小赞的店铺上传

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西南大学附中2022—2023学年度下期期末考试高二数学试题（满分：150分；考试时间：120分钟）注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上.2.答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区

域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整.3.考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{32,

Mxxkk==−∣Z}，集合{61,Nxxkk==+∣Z}，则（）A.MN=B.MNC.NMD.MN=【答案】C【解析】【分析】利用集合之间基本关系来判断.【详解】对于集合N中的元素都有()3212xk=+−，其中21k+表示奇数，对于集合

M中的k能取所有的整数，集合N和集合M相比较，集合N少了代入偶数时所对应的x值，所以NM，故选：C.2.已知p：0x，q：12xx+，则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】先解不等式12xx+，

再由充分条件和必要条件的定义求解即可.【详解】由12xx+可得：120xx+−，即2120xxx+−，的即()210xx−，所以0x，故p是q的充要条件.故选：C.3.若不等式240xax−+在

1,3x上有实数解，则a的取值范围是（）A.(),4−B.(),5−C.13,3−D.()4,5【答案】B【解析】【分析】先分离参数得4axx+，因为不等式在1,3x上有实数解，所以max()afx<，进而求出max()fx即可.【详解】由不等式240xax−+在

1,3x上有实数解，知不等式4axx+在1,3x上有实数解.设4()fxxx=+，1,3x，则max()afx<.而22244()1xfxxx−=−=，令()0fx=得2x=.当)1,2x时，()0fx，当(2,3x时，()0f

x，所以()fx在)1,2上单调递减，在(2,3上单调递增.1313(1)5,(3),533ff==，max()5fx=.5a.故选：B.4.从装有3个红球和4个白球的袋子中不放回地随机取出3个球，若取出的球中有红球，则取出的球全是红球的概率为（）A.135B.13

1C.115D.17【答案】B【解析】【分析】利用古典概型结合条件概率公式即可判断.【详解】令事件A：取出的球中有红球，事件B：取出的球全是红球，()3437C1C3135PA=−=，()3337CC135PAB==，所以()()()1

35311|3135PABPBAPA===，B正确.故选：B.5.甲乙等五名学生参加数学、物理、化学、生物这四门学科竞赛，已知每人恰参加一门学科竞赛，每门学科竞赛都有人参加，且甲乙两人不参加同一学科竞赛，则一共有（）种不同的参加方法A.72B.144C.216D.240

【答案】C【解析】【分析】先不考虑甲乙两名同学，利用分组分配法求出安排总数，再减去甲乙参加同一学科的情况，即可得解.【详解】依题意将5名同学分成1、1、1、2四组，再分配到四门学科中有2454CA240=种，其中甲

乙两人恰好参加同一学科竞赛的有2424CA24=种，所以不同的参加方法有24024216−=种.故选：C6.函数()22ln1()1xxfxx+−=−的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用函数的奇偶性以及特殊值判断即可.【详解】由已知得函数定义域

为1xx，∵()()()()22222211lnln1111xxxxxxxxxfxx+++−+++−=−−−=()22ln11xxx+−=−−()fx=−，∴()fx为奇函数，令e1x=−，则()lnee1()2e1ef−−−=−，其中()()ee1ee10ee1

ee1−−+−−−=+−11ee1=+−，故()e01f−，排除AD,令12x=，()()()51512ln51lnln251133344512(4)2f−+−++===，其中20151+，故1()02f，排除

B,故选：C.7.已知函数2()ln(6)2fxaxax=+−+既没有最大值，也没有最小值，则a的取值范围是（）A.()218−,,+B.()2,18C.()0,218,+D.)0,218,+的【答案】D【解析】【分析

】根据二次函数的性质求出真数部分的范围，再结合对数函数的性质可得结果.【详解】由2(6)2yaxax=+−+，a不等于0时，()226422036aaaa=−−=−+,当20,20360aaa=−+得218a，二次函数2(6)2yaxax=+−+没有最大值

，有最小值，2()ln(6)2fxaxax=+−+没有最大值，有最小值，不合题意.当20,20360aaa=−+得18a，02a，二次函数2(6)2yaxax=+−+没有最大值，有最小值，2(6)20yaxax=+−+,2()ln(6)2fxaxax=+−+没有最

大值，没有最小值，()0,218,a+当20,20360aaa=−+得a<0，二次函数2(6)2yaxax=+−+有最大值，没有最小值，2(6)20yaxax=+−+,2()ln(6)2fxaxax=+−+有最大值，没有最小

值，不合题意.当20,20360aaa=−+无解.当0a=,2(6)262yaxaxx=+−+=−+既没有最大值，也没有最小值，2()ln(6)2fxaxax=+−+没有最大值，没有最小值，0a=.)0,218

,a+故选：D.8.已知0x，0y，1xy+=，则221xxxy−+的最小值为（）A.4B.143C.22+D.221+【答案】D【解析】【分析】由于1xy+=，所以222212()()xxxxxyxyxy

xy−+−+++=，化简后利用基本不等式可求出其最小值.【详解】因为0x，0y，1xy+=，所以原式222()()xxxyxyxy−+++=222xxyyxy++=21xyyx=++221221xyyx+=+，当且仅当2xyyx=，即21,22xy

=−=−时取等号，所以221xxxy−+的最小值为221+.故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选

错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.经验回归方程中b的含义是x每增加一个单位，y增加的单位数B.样本相关系数[]1,1r?，当0r=时，表明成对样本数据间没有任何相关关系C.决定系数2R可以作为衡量任何模型拟合效果的一个指标，它越大，拟合效果

越好D.经验回归方程31yx=+相对于点()2,6.5的残差为－0.5【答案】CD【解析】【分析】根据线性回归的相关概念求解.【详解】对于A，b表示的是根据回归方程，当x增加一个单位时，y的估计值增加的数量，并不是实际

值增加的数量，错误；对于B，当0r=时，表示两个变量之间的相关关系很小，并不是没有任何关系，错误；对于C，2R表示的是拟合的效果，越大效果越好，正确；对D，残差()6.52310.5−+=−，正确；故选：CD.10.已知e1()e1xx

fx+=−，则（）A.()fx为奇函数B.()fx在()(),00,−+U上单调递减C.()fx值域为()(),11,−−+D.()()ffx的定义域为0xx【答案】ACD【解析】【分析】对于A,利用奇函数的定义即可判断；对于

B,可以利用减函数的定义进行判断；对于C,可利用分离常数法进行求解；对于D,可利用定义域的性质进行求解.【详解】对于A,由e10x−，得0,x所以函数的定义域为0xx，又1ee11ee()(),1ee11eexxxxxxxxfxfx

−−+++−====−−−−所以()fx为奇函数，故A正确；对于B,设1212,,xxxx()(),00,−+U，则1212212112121212e1e1(e1)(e1)(e1)(e1)2(ee)()()e1e1(e1)(e1)(e1)(e1)xxxxxxxxxxxxxx

fxfx+++−−+−−−=−==−−−−−−，因为1212,,xxxx()(),00,−+U，所以当120,0xx时，21ee0,xx−21e10,e10,xx−−所以2112122(ee)()()0,(e1)(e1)xxxxfxfx−−=

−−则12()()fxfx，不符合单调递减函数的定义，故B错误；对于C,因为e12()1e1e1xxxfx+==+−−，又e11x−−且e10x−，所以1(,1)(0,)e1x−−+−，则2()1(,1)(1,)

e1xfx=+−−+−，故C正确；对于D,由以上项分析函数()fx的定义域为0xx且()0,fx，故()()ffx的定义域为0xx,故D正确；故选：ACD.11.已知2nxx+的二项展开式中第3项和第4项的二项式系数最大，则（）A.6n=B.展开

式的各项系数和为243C.展开式中奇数项的二项式系数和为16D.展开式中有理项一共有3项【答案】BCD【解析】【分析】A选项，根据二项式系数最大得到方程，求出5n=；B选项，赋值法得到各项系数和；C选项，先求出二项式系数和，

结合二项式系数的性质得到答案；D选项，写出展开式的通项公式，从而得到有理项的项数.【详解】A选项，二项展开式中第3项和第4项的二项式系数最大，即n为奇数，且112Cnn+−与12Cnn+最大，所以132n+=，解得5n=，A错误；B选项，52xx+中，令1x=得，5532

13241=+=，故展开式的各项系数和为243，B正确；C选项，展开式中的二项式系数和为5232=，其中奇数项和偶数项的二项式系数和相等，所以展开式中奇数项的二项式系数和为16，C正确；D选项，展开式通项公式为35522155C2C2rrrr

rrrrTxxx−−−+==，05r，且r为整数，当0r=时，3552r−=满足要求，当2r=时，3522r−=满足要求，当4r=时，3512r−=−满足要求，综上，展开式中有理项一共有3项，D正确.故选：BCD12.已知函数()fx满足()()20fxfx+

，且()01f=，则（）A.()fx不可能是偶函数B.若0x，则()0fxC.112efD.若0x，则()12fxx−【答案】BCD【解析】【分析】由题意构造函数2()e()=xgxfx，求导后可得()0gx，所以()gx在R上单增

，然后逐个分析判断即可.【详解】令2()e()=xgxfx，则2()e()2()0xgxfxfx=+，故()gx在R上单增.对于A，如()1fx=为常函数，此时()fx为偶函数，A错误;对于B，若0x，则2()e()=xgxfx(0)1,g=从而2()e0xfx−

，B正确；对于C，由011()e()(0)e(0)122gfgf===可得11()2fe，C正确；对于D，若0x，同B选项可知2()exfx−，令()e(1)xhxx=−+，则()e1xhx=−

，当0x时，()0hx，当0x时，()0hx，所以()hx在(,0)−上递减，在(0,)+上递增，所以()(0)0hxh=，所以e1xx+（当且仅当0x=时等号成立），故2e21xx−−+()0x，则()12fxx−，D正确.故选：BCD.【点睛

】关键点点睛：此题考查导数的综合问题，解题的关键是根据()()20fxfx+构造函数2()e()=xgxfx，求导后可判断函数的单调性即可，考查数学计算能力，属于较难题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20

分.13.已知随机变量1~5,3XB，则()31DX−=______.【答案】10【解析】【分析】利用二项分布的方差公式求出()DX，然后再利用其性质可求出()31DX−.【详解】因为随机变量1~5,3XB，所以1210()5339DX==，所以()210313

()9109DXDX−===，故答案为：1014.现有9名同学按照身高从高到低排成一排，体育老师决定让其中3人出列，要求相邻两人不能同时出列，则满足条件的出列方法有______种（用数字作答）.【答案】35【解析】【分析】将问题转化为插空问题，结合组合数求方法数.【详解】问题等

价于6个球所成排的7个空任选3个空插入3球的方法数，所以，共有37C35=种.故答案为：3515.已知函数()21fx+为偶函数，且()()2fxfx+=−，当01x时，()21xfx=−，则函数()lggxx=的图象与()fx的

图象一共有______个公共点.【答案】10【解析】【分析】根据题目条件得到函数的对称性，周期性，结合函数图象，数形结合得到答案.【详解】()21fx+为偶函数，故()()2+1=2+1fxfx−，故()fx关于

1x=对称，将12x代替x得()()11fxfx−+=+，再将1x+代替x得到()()2fxfx−=+，又()()2fxfx+=−，故()()fxfx−=−，所以()fx关于原点对称，因为()()2fxfx+=−，所以()()2fxfx=−−，得到()()22fxfx+=−，所以

()fx一个周期为4，当01x时，()21xfx=−，故当12x时，20,1x−，故()()2221xfxfx−=−=−，从而在同一坐标系内画出函数()lggxx=的图象与()fx的图象，如下：的可得到函数()lggxx=的图象与()fx的图象一共有10个公共点.故答案为：1

016.已知()exfx=，()lngxx=，直线l既和()fx的图象相切，又和()gx的图象相切，记直线l的斜率为()1kk，则k=______（其中x表示不超过x的最大整数）.【答案】4【解析

】【分析】设l与()fx交于()11,exAx，与()gx交于()22,lnBxx，然后根据导数的几何意义结合已知可求出1lnxk=，21xk=，再由斜率公式可求得()1ln10kkk−−−=，构造函数()hk=()1ln1kkk−−−()1k，利用导数结合零点存在性质可求得结果.【

详解】设l与()fx交于()11,exAx，与()gx交于()22,lnBxx，由题有()11exkfx===221()gxx=，故1lnxk=，21xk=，又12121lneln1lnxABkxkkkxxkk−−===−−，整理可得：()1ln10kkk−−−=，令()hk=()

1ln1kkk−−−()1k，则()1lnhkkk=−，令()1()lntkhkkk==−，则211()0(1)tkkkk=+所以()hk在(1,)+单调递增，又()()12110,2ln2lnln102ehh

=−=−==，故存在()01,2k使得()00fk=，故()fk在()01,k单减，()0,k+单增，又(1)20f=−，故()fk在()01,k无零点.又因为(4)3ln456ln250f=−=−，325(5)4ln562ln0ef=−=，所以由零点

存在定理知()fk在(4,5)内有零点，又()fk在()0,k+单增，故()fk在(4,5)内有唯一零点，故所求4k=.故答案为：4【点睛】关键点点睛：此题考查导数的几何意义的应用，考查利用导数解决函数零点问题，考查零点存在性定理的

应用，解题的关键是设出两切点坐标后，则得()11exkfx===221()gxx=，再结合1212elnxABxkkxx−==−，可得()1ln10kkk−−−=，然后构造函数利用导数求其零点的范围即可.四、解答题

：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合22{|(31)2(1)0},{|1}1xAxxaxaaBxx=−+++=−.（1）若1a=−，求AB；（2）若ABA=，求a的取值范围.【答案】（1）()2,1−（2）1,0

12−【解析】【分析】（1）根据不等式的解法，分别求得集合(2,0)A=−和[1,1)B=−，结合并集的概念及运算，即可求解；（2）由ABA=，得到AB，分A=和A，两种情况讨论，列出不等式，即可求解.【小问1详解】

解：若1a=−时，可得2{|20}(2,0)Axxx=+=−，由不等式211xx−，可得211011xxxx+−=−−，解得1<1x−，所以[1,1)B=−，所以(2,1)AB=−.【小问2详解】解：因为ABA=，可得AB，即){|(2)(1)0}1,1xxa

xa−−−−，①当A=时，可得21aa=+，解得1a=，此时AB成立，符合题意；②当A时，需满足21121111aaaa+−−+，解得102a−，综上可得，实数a的取值范围是1,012−.18.体育强则中国强.站在“两个一百年”奋斗目标交

汇的历史节点上，作为教育部直属重点大学附中，西南大学附中始终高度重视学校体育工作，构建德智体美劳全面培养的教育体系.现从该校随机抽取100名学生调查其运动习惯（称每周运动不少于3次的为运动达标，否则为运动不达标），得到如下数据：运动

达标运动不达标合计男2540女40合计（1）补全22列联表，根据小概率值0.005=的独立性检验，能否认为运动达标与性别有关联？（2）用样本估计总体，将频率视为概率，现从该校所有男生中随机抽取1名男生进行调查，从该校所有女生中随机抽取2名女生进行调查，抽取的学生运动是否达标相互独立，设随机变量

X表示这三人中运动达标的人数，求X的分布列与数学期望.附：()()()()()22nadbcabcdacbd−=++++0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910

.828【答案】（1）能认为运动达标与性别有关联；（2）分布列见解析，3124.【解析】【分析】（1）根据题意补全22列联表，再由独立性检验的计算公式化简计算即可；（2）分别计算出每名男生运动达标的概率和每名女生运动达标的概率，再由乘法概率公式计算，可得随机变量X的分

布列与数学期望.【小问1详解】列联表补充填写如右图：运动达标运动不达标合计男251540女204060合计455510022100(25402015)40604555−==24502978.2497.879故根据小

概率值0.005=的独立性检验，能认为运动达标与性别有关联；【小问2详解】由题意，每名男生运动达标的概率为255408=，每名女生运动达标的概率为201603=，随机变量X的所有可能取值是0,1,2,3()232121083726PX====，()212523213241C8

3833729PX==+==，()21231521232C8383372PX==+=，()251538372PX===，故X的分布列为：X0123P16492372572X的期望()423593311239

72727224EX=++==.19.已知()lnxfxx=.（1）求()fx单调区间；（2）点()()(),eAbfbb为()fx图象上一点，设函数()fx在点A处的切线为直线l，若直线l与x轴交于点(),0c，求c的最大值.【答案】（1）()fx的单增区间为()e

,+，单减区间为()0,1和()1,e（2）2e−.【解析】【分析】（1）求出()fx的定义域和导函数的根，列表判断即可求解；（2）先求出切线l的方程和c，再构造函数求最大值即可求解.【小问1详解】

由题：()fx定义域为()()0,11,+，()2ln1lnxfxx−=，令()0fx=得ex=，列表如图：x()0,1()1,e()e,+)fx（−−+()fx单减单减单增故()fx的单增区间为()e,+，单减区间为()0,1和

()1,e.【小问2详解】由题意：()2ln1lnbkfbb−==，故直线l方程为：()2ln1lnlnbbyxbbb−−=−将点(),0c代入l方程，得：()2ln1lnlnbbcbbb−−=−，化简得：ln1bcb−=−()eb，令()(e)ln1xgxxx−=−，即求()gx的最大值.

()2ln2()ln1xgxx−+=−，令()0gx=得2ex=，当()2e,ex时，()0gx，()gx单调递增；当()2e,+x时，()0gx，()gx单调递减.故()gx在2ex=处取得最大值，max()gx=22(e)eg=−.故c的最大值为2e−.20.某

医疗机构成立了一支研发小组负责某流感相关专题的研究.（1）该研发小组研制了一种退烧药，经过大量临床试验发现流感患者使用该退烧药一天后的体温（单位：C）近似服从正态分布()37.6,0.16N，流感患者甲服用了该退烧药，设一天后他的体温为X，求()37.2

38.4PX；（2）数据显示人群中每个人患有该流感的概率为1%，该医疗机构使用研发小组最新研制的试剂检测病人是否患有该流感，由于各种因素影响，该检测方法的准确率是80%，即一个患有该流感的病人有80%的可能检测结果为阳性，一个不患该流感的病人有80%的可能检测结果为阴性.（i）

若乙去该医疗机构检测是否患有该流感，求乙检测结果为阴性的概率；（ii）若丙在该医疗机构检测结果为阴性，求丙患有该流感的概率.附：()2~,XN，则()0.6827PX−+，()220.9545PX−+，()330.9973PX−+.

【答案】（1）0.8186（2）（i）397500；（ii）1397【解析】【分析】（1）由正态分布的对称性结合3原则求解即可；（2）（i）记A=“某人患有该流感”，B=“某人检测为阳性”，再由全概率公式求解即可；（ii）由条件概率公式求解即可；小问

1详解】由题：()37.6,0.16XN,37.6,0.4==，故()37.238.4PX()2PX=−+,()()222PXPX−++−+=0.68270.9545

0.81862+=.【小问2详解】记A=“某人患有该流感”，B=“某人检测为阳性”由题有：()1100PA=，()45PBA=，()45PBA=，则可得()15PBA=，()15PBA=，（i）()

()()()()PBPAPBAPAPBA=+=1199410051005+397500=，【（ii）()PAB()()PABPB=()()()1111005397397500PAPBAPB===.21.已知3()lnfxaxxx=−−.（1）若2a=，求()fx的极值；（

2）若1a=，2()2exgxx−=+，4()()1hxfxxx=+++，且()()hmgn=，其中m1，nR，求证：2enm.【答案】（1）极大值为2ln34−；()fx无极小值（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数法

求解；（2）易得()gx在)0,+单调递增，再由2enm，两边取对数得到2lnmn，则有()()2lngmgn，又()()gnhm=，且2()2exgxx−=+，1()ln1hxxx=++，进而

转化为212lnln1mmmm+++()1m证明.【小问1详解】解：由题：3()2lnfxxxx=−−，223()1fxxx=−+()()()2130xxxx−+−=，令()0fx=，解得3x=，列表如图:x(0,3)3

(3,)+()fx+0−()fx单调递增2ln34−单调递减故当3x=时，()fx取得极大值，极大值为2ln34−；()fx无极小值.【小问2详解】证明：若0n，则()2e11nmm，结论成立；若0n，()21exgx−=−，令()0gx=，得0x=，当0x时，(

)0gx，故()gx在)0,+单调递增.要证2enm，只需证2lnmn，又2ln0,0mn，且()gx在)0,+单调递增，故只需证明()()2lngmgn，又因为()()gnhm=，故只需证明()2ln()gm

hm，由2()2exgxx−=+，1()ln1hxxx=++，故只需证明：2112lnln1ln10mmmmmm++++−()1m，令()1ln1xxx=+−()1x，只需证()0x，()221110xxxxx−=−=，()x)1,+单

调递增，()()10x=.证毕.【点睛】思路点睛：本题第二问基本思路是利用()gx在)0,+单调递增，将证2enm，转化为2lnmn进而转化为证()()2lngmgn，再结合()()gnhm=，2()2exgxx−=+，1()ln1hxxx=++得到

212lnln1mmmm+++()1m而得证.22.12()e3xfxxx−=+−.（1）求()fx在,2tt+上的最小值；（2）32()6e47xgxxxax=−−−−，且1(0,)x+，2(0,2)x，()()12gxfx，求a的取值范围.【答案】（1）答

案见解析（2）6e11a−【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，再分21t+、12tt+、1t三种情况讨论，分别求出函数的最小值；（2）问题转化为()0,x+，326e46xxxax−−−恒成立，令()326e46()0xxxhxxx−−−=，

则在min()ahx，利用导数求出函数的最小值，即可得解.【小问1详解】1()e23xfxx−=+−，()fx在R上单调递增，又()01f=，故当1x时，()0fx，当1x时，()0fx¢>，故()fx在(),1−单调递减，()1,+单调递增①当21t+即

1t−时，()fx在,2tt+单调递减，故min()(2)fxft=+12e2ttt+=++−；②当12tt+即11t−时，()fx在,1t单调递减，1,2t+单调递增，故min()(1)1fxf==−；③当1t时，()fx在,

2tt+单增，故12min()()e3tfxfttt−==+−综上，当1t−时，12min()e2tfxtt+=++−；当11t−时，min()1fx=−；当1t时，12min()e3tfxtt−=+−.【小问2详解】由（1）知()fx在(

)0,1上单调递减，在(1,2)上单调递增，故min()(1)1fxf==−，故问题转化为对()0,x+，都有()1gx−326e471xxxax−−−−−326e46xxxax−−−，令()326e46()0xxxhxxx−−−=，则min()ahx，()()2322

6e386e46()xxxxxxxhxx−−−−−−=()3226e1246xxxxx−−−+=()()()226e12133xxxxxx−−−++=()()22213e33xxxxx−−−−=，令

()23e33xxxx=−−−，()3e23xxx=−−，令()()3e23xuxxx==−−，则()3e2xux=−03e210−=，故()ux在()0,+单调递增，()(0)0uxu=

，即()0x，从而()x在()0,+单调递增，故()()00=x，则()0101hxxx−，()0101hxxx−，从而()hx在()0,1单调递减，在()1,+单调递增，min()(1)6e11hxh==−，故6e11

a−.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue10

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