【文档说明】陕西省渭南市大荔县2022-2023学年高二上学期期末理科数学试题 含解析.docx，共(19)页，2.073 MB，由小赞的店铺上传

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大荔县2022—2023学年度第一学期期末教学质量检测试题高二数学（理科）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．2．本试卷满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出

的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合2=+28<0Axxx−，4,2,0,2,4B=−−，则AB=（）A.2,0−B.4,2,0,2−−C.0,2D.2,0,2,4−【答案】A【解

析】【分析】解出集合A中的不等式，然后根据集合的交集运算可得答案.【详解】因为2=+28<0=4<<2Axxxxx−−，4,2,0,2,4B=−−，所以2,0AB=−.故选：A2.已知数列na是等差数列，6385

,15aaa=+=，则5a的值为（）．A.15B.15−C.10D.10−【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的性质即可求解5a.【详解】563815aaaa=+=+，且65a=，故可得：510a=.故选：C3.已知空间向量()1,2,3a=−−，()4,2,bm=，若()aba+⊥则m

=（）．A.3B.113C.133D.143【答案】D【解析】【分析】由已知可得()3,4,3mab=−+，然后根据已知可得()0aba+=，根据坐标运算即可得出m.【详解】由已知可得，()()()23,4,31,,34,2,mabm+=−−=−+.又()aba+⊥，所以(

)()()()3142333140abamm+=−++−−=−+=，所以，143m=.故选：D.4.在ABC中，60A=，1b=，其面积为3，则a等于（）A.4B.23C.13D.21【答案】C【解析】【分析】根据三角形面积公式可得c的值，再结合余弦定理即可求得a.【详解】由题意

知13sin324SbcAc===，则4c=由余弦定理得2222212cos14214132abcbcA=+−=+−=即13a=.故选:C.5.图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线，如图2，已知该卫星接收天线的口径ABa=米，深度MOb=米，信号处理中心F位于焦点处，以

顶点O为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，则该抛物线的方程为（）A.224ayxb=B.222ayxb=C.224bxya=D.222bxya=【答案】A【解析】【分析】设出抛物线的方程，根据A点坐标求得正

确答案.【详解】设抛物线方程为()220ypxp=，依题意,2aAb，代入()220ypxp=得222,244aapbpb==，所以抛物线方程为224ayxb=.故选：A6.已知命题:Rpx，ln10xx−+

，则p是（）A.Rx，ln10xx−+B.Rx，ln10xx−+C.Rx，ln10xx−+D.Rx，ln10xx−+【答案】D【解析】【分析】由全称命题的否定可得出结论.【详解】命题p为全称命题，该命题的否定为:pxR，ln

10xx−+，故选：D.7.阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：22221xyab+=（0ab）的面积为83π，且椭圆的离心率为12，则

椭圆C的标准方程是（）A.2211216xy+=B.2211612xy+=C.22143xy+=D.221168xy+=【答案】B【解析】【分析】根据题意列出方程组，求得,ab,即得答案.【详解】因为椭圆C的方程为：22221xyab+=（0ab

）,由题意可得2221283caababc===+，解得4,23ab==，故椭圆方程为：2211612xy+=，故选：B.8.用一段长为L的篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形

菜园，则菜园的最大面积为（）A.28LB.24LC.22LD.2L【答案】A【解析】【分析】设出长宽，表示出关系，利用基本不等式即可求出菜园的最大面积.【详解】由题意可设菜园的长为x(墙所对的边)，宽为y，则x+2y=L，面积Sxy=.因为222xyxy+

，所以2212228xyLxy+=，当且仅当22Lxy==，即2Lx=，4Ly=时，等号成立，所以菜园的最大面积为28L．故选：A．9.在长方体1111ABCDABCD−中，如果1ABBC==

，12AA=，那么A到直线1AC的距离为（）A.363B.362C.263D.233【答案】D【解析】【分析】由已知可得16AC=，2AC=，1AAAC⊥.根据等面积法，即可求出答案.【详解】如图，连结AC，1AC.因为1AC是长方体的体对角线，所以2221

16ACABBCAA=++=，222ACABBC=+=.由长方体的性质可知，1AA⊥平面ABCD，因为AC平面ABCD，所以1AAAC⊥.所以，11122AACSAAAC==V.设A到直线1AC的距离为d，则11116222AACSACdd===

V，所以，222336d==.故选：D.10.已知双曲线C：22221(0,0)xyabab−=的左、右焦点分别为1F，2F，离心率为2，P是双曲线上一点，1PFx⊥轴，则112PFFF的值为（）A.34B.45C.56D.23【答案】A【解析】【分析】由离心率可得2ca=，再根据22

2+=abc可得3ba=，即可整理双曲线方程为222213xyaa−=，代入xc=−可求P的坐标，即可求得答案【详解】由题意可得2cea==即2ca=，由22224abca+==可得223ba=即3ba=，所以双曲线方程222213xyaa−=，当xc=−时，解得3ya=，所以1

3PFa=，因为1224FFca==，所以11234PFFF=，故选：A11.设等比数列na的前n项和为nS，且1232347,14aaaaaa++=++=，则63SS−=（）A28B.42C.49D.56【答案】D【解析】【分析】先求得公比q，然后求得63S

S−.【详解】设等比数列na的公比为q，则()1232341231232aaaqaaaqqaaaaaa++++====++++，所以()3634561238756SSaaaqaaa−=++=++==．故选：D12.我们把离心率互为倒数且焦点相同的椭圆和双曲线称为一对

“优美曲线”.已知1F，2F是一对“优美曲线”的焦点，M是它们在第一象限的交点，当12π3FMF=时，这一对“优美曲线”中双曲线的离心率是（）A.2B.233C.2D.3为.【答案】D【解析】【分析】设1FMm=，2FMn=，122FFc=，由余弦定理2224cmnmn+=−，设1a是

椭圆的长半轴，2a为双曲线的实半轴，由椭圆以及双曲线的定义，可得12mna+=，22mna−=，由此能求出结果.【详解】设1FMm=，2FMn=，122FFc=，由余弦定理()22222cos60cm

nmn=+−，即2224cmnmn+=−，（1）设1a是椭圆的长半轴，2a为双曲线的实半轴，由椭圆以及双曲线的定义，可得12mna+=，22mna−=，12maa=+，12naa=−，代入（1）式，可得22221340aca−+=，又121ccaa=，即212caa=，

可得222121340aaaa−+=，解得123aa=，212122113ccceeaaa===，解得23e=.故选：D【点睛】本题考查了双曲线、椭圆的简单几何性质以及定义、余弦定理，考查了计算求解能力，属于中档题.第

Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若“xk”是“32x−”的必要不充分条件，则实数k的取值范围是______．【答案】(),3−−【解析】【分析】根据集合之间的包含

关系，列出不等式，即可求得结果.【详解】根据题意，)3,2−是(),k+的真子集，故可得3k−，即(),3k−−.故答案：(),3−−.14.在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．若60,2,1Acb=

==，则=a___________．【答案】3【解析】【分析】已知两边及夹角，由余弦定理直接求得结果.【详解】已知60,2,1Acb===，由余弦定理得2222212123abcbc=+−=+−=，

解得3a=.故答案为：3.15.“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆中心，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆C：()22101xyaaa+=+的蒙日圆方程为227xy+=，则椭圆C的离心率为______

__．【答案】12##0.5【解析】【分析】取椭圆的右顶点和上顶点作椭圆的两条切线，求出交点坐标()1,Caa+，又因为()1,Caa+在227xy+=，代入可求出a，再由离心率的公式即可得出答案.【详解】由椭圆C：()

22101xyaaa+=+知，椭圆的右顶点为()1,0Aa+，上顶点为()0,Ba，过,AB作椭圆的切线，则交点坐标为()1,Caa+，因为椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，所以()1,Caa+在227xy+=，所以17aa++=，解得：3

a=，则椭圆C的离心率为3111142aea=−=−=+.故答案为：12为16.在四棱锥SABCD−中，四边形ABCD为正方形，2,1ABDS==，平面ASD⊥平面ABCD，SDAD⊥，点E为DC上的动点，平面BSE与平面ASD所成的二面角为（为锐角），则当取最小值时，三棱锥

EASD−的体积为___.【答案】215【解析】【分析】由题知,,SDADCD两两垂直，进而建立空间直角坐标系，设,0,2DExx=，利用坐标法求解二面角得当25DE=时，平面BSE与平面ASD所成的二面角为取最小值，再计算几何体的体积即可得答案.【

详解】解：因为四边形ABCD为正方形，所以CDAD⊥，因为平面ASD⊥平面ABCD，平面ASD平面ABCDAD=，CD平面ABCD,所以CD⊥平面ASD，所以CDSD⊥，又因为SDAD⊥，所以,,SDADCD两两

垂直，故以D点为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设,0,2DExx=，则()2,0,0A，()2,0,2B，()0,0,2C，()0,0,0D，()0,1,0S，()0,0,Ex，所以()()2,0,2,0,1,EBxESx→→=−=−，设平面BSE法向量为()111,,nx

yz→=，则00nEBnES==，即()1111220xxzyxz+−==，令12z=，则()2,2,2nxx→=−，由题易知平面ASD的法向量为()0,0,1m→=，所以22225coscos354823

6555nmxxx→→===−+−+，，当且仅当25x=时等号成立，所以当25DE=时，平面BSE与平面ASD所成的二面角为取最小值，此时三棱锥EASD−的体积为11222132515V==.故答案为：215三、解答题：共70分．解答应写出

文字说明，证明过程或演算步骤．的17.（1）解不等式2111xx+−；（2）已知302x，求(32)yxx=−的最大值．【答案】（1）{|0xx或1}x；（2）98【解析】【分析】（1）先化简分式不等式，然后利用一元二次不等

式的解法求得不等式的解集；（2）用基本不等式求得函数的最大值．【详解】（1）因为2111xx+−，所以21101xx+−−，即301xx−，所以3(1)010xxx−−，所以(1)01xxx−，解得0x或1x，所以原不等式的解集为{|0xx或1}x.（

2）因为302x，所以320x−，所以2112329(32)2(32)2228xxxxxx+−−=−=，当且仅当232xx=−，即34x=时等号成立，所以(32)yxx=−的最大值为98.18.已知等差数列na满足32a=，前4项和4

7S=．（1）求na的通项公式；（2）设等比数列nb满足23ba=，415ba=，数列nb的通项公式．【答案】（1）1122nan=+（2）12nnb−=或()12nnb−=−−【解析】【分析】（1）设等差数列na的公差为d，根据已知条件列关于1a和d的方程组，解方程求

得1a和d的值，即可求解；（2）等比数列nb公比为q，由等比数列的通项公式列方程组，解方程求得1b和q的值，即可求解.【小问1详解】的设等差数列na首项为1a，公差为d．∵3427aS==

∴()1122441472adad+=−+=解得：1112ad==∴等差数列na通项公式()11111222nann=+−=+【小问2详解】设等比数列nb首项为1b，公比为q∵2341528baba====∴13128bqbq==解得：2

4q=即112bq==或112bq=−=−∴等比数列nb通项公式12nnb−=或()12nnb−=−−19.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知coscosaBbA=，23cb=．（1）求cosC的值；（2）D为边AC的中点，若11BD=，求ABC的面积．【

答案】（1）18−（2）3372【解析】【分析】（1）先利用正弦定理进行边化角并结合两角和的正弦公式化简可得AB=，即ab=，再利用余弦定理求cosC；（2）在BCD△中，由余弦定理可得288a=，再利用面积公式求ABC的面积.【小问

1详解】在ABC中，∵coscosaBbA=，由正弦定理得：sincoscossinABAB=，所以()sin0AB−=，因为()π,πAB−−，所以AB=，即ab=由余弦定理得：2222222312cos22

8bbbabcCabb+−+−===−.【小问2详解】在BCD△中，由余弦定理得：2222cosBDBCCDBCCDC=+−，即222111112228abab=+−−，解得288a=，因为()0,πC，所以237sin1

cos8CC=−=，所以ABC的面积1337sin22SabC==.20.已知椭圆的焦点为12(-6,0),(6,0)FF，该椭圆经过点P（5,2）（1）求椭圆的标准方程；（2）若椭圆上的点00(,)Mxy满足12MFMF⊥，求y0的值.【答案】（1）221459xy+=（2）032y=

【解析】【详解】试题分析：（1）根据椭圆定义得a，再根据c求b（2）由12MFMF⊥得2200360xy−+=,再与椭圆方程联立解得y0的值.试题解析：（1）依题意，设所求椭圆方程为22221(0),xyabab+=其半焦距c=6.因为点P（5,2）在椭圆上

，所以()()222212256256265aPFPF=+=+++−+=所以22235,9abac==−=从而故所求椭圆的标准方程是221459xy+=（2）由12MFMF⊥得()2212000000MFMF(6,)6,360xyxyxy=−−−−−=−+=即220036xy=−代入椭圆方

程得：2094y=故032y=21.如图，在长方体1111ABCDABCD−中，底面ABCD是边长为2的正方形，13AA=，M，N分别是AD，1BD的中点.（1）证明：MN∥平面11CCDD；（2）求平面1BDD与平面CMN夹角

的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）3214【解析】【分析】（1）取1CD的中点T，连接DT，TN，由三角形中位线定理结合已知条件可得四边形DMNT是平行四边形，则MN∥DT，再由线面平行的判定定理可证得结论；（2）以D为坐标原点，DA，DC，1DD的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所

示的空间直角坐标系，利用空间向量求解.【小问1详解】证明：取1CD的中点T，连接DT，TN，∵N，T分别是1BD，1CD的中点，∴NT∥BC，12NTBC=∵底面ABCD是矩形，M是AD的中点，∴DM∥BC∥NT，1122DMADBCNT

===∴四边形DMNT是平行四边形，∴MN∥DT，∵MN平面11CCDD，DT平面11CCDD，∴MN∥平面11CCDD.【小问2详解】解：以D为坐标原点，DA，DC，1DD的方向分别为x，y，z轴的

正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则()1,0,0M，31,1,2N，()2,0,0A，()0,2,0C，()10,0,3D，()2,2,0B，30,1,2MN=，()1,2

,0CM=−，设平面CMN的法向量为(),,nxyz=，则30220nMNyznCMxy=+==−=，令2z=−，得()6,3,2n=−.取平面1BDD的一个法向量()2,2,0mAC==−.设平面1BDD与平面CMN的夹角为，由图可

知为锐角，则632coscos,14227mnmnmn====故平面1BDD与平面CMN夹角的余弦值为3214.22.已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的离心率为3，双曲线C的左､右焦点分别为12,FF，点P在双曲线C的右支上，且124PFPF−=.（1）求

双曲线C的标准方程；（2）过点()4,0D的直线l交双曲线C于,AB两点，且以AB为直径的圆过原点O，求弦长AB.【答案】（1）22148xy−=（2）85【解析】【分析】（1）由双曲线定义得到2a=，结合离心率得到23c=，求出2228bca=−=，得到双曲线的标准方程；（2）先分

析得到直线l的斜率不为0，设出直线l的方程，与双曲线方程联立，得到两根之和，两根之积，根据AB为直径的圆过原点O，得到OAOB⊥，从而列出方程，代入两根之和，两根之积，得到21m=，再由弦长公式求出答案.【小问1详解】由双曲线的定义可得1224PFPF

a−==，解得：2a=.因为双曲线C的离心率为3，所以32cca==，解得23c=.因为222cab=+，所以2228bca=−=.故双曲线C的标准方程为22148xy−=【小问2详解】当直线l的斜率为0时，此时,AB两点为双曲线的顶点，故以AB为直径的圆

不过原点，不合题意，舍去；直线l的斜率不为0，则设直线()()1122:4,,,,lxmyAxyBxy=+，联立224,1,48xmyxy=+−=整理得()222116240mymy−++=，则1212221624,2

121myyyymm+=−=−−，故()()()21212121244416xxmymymyymyy=++=+++.因为以AB为直径的圆过原点O，所以OAOB⊥，所以12120,OAOBxxyy=+=所以()()2121214160myymyy++++=，即()2222

416141602121mmmmm++−+=−−，化简整理得2880m−=，即21m=，则()22121212416424410yyyyyy−=+−=−=，故2121241085ABmyy=+−==.【点睛】直线与圆锥曲线结合问题，通常要设出直线方程，

与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，再根据题目条件列出方程，或得到弦长或面积，本题中以AB为直径的圆过原点O，所以OAOB⊥，从而由向量数量积为0列出方程，注意考虑直线AB的斜率存在和不存在两种情况.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com