【文档说明】吉林省梅河口市第五中学2020届高三第六次模拟考试数学（理）试题【精准解析】.doc，共(27)页，2.273 MB，由小赞的店铺上传

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理科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．3．全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4．本试卷满分150分

，测试时间120分钟．5．考试范围：高考全部内容．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数()2zaiiai=+−−在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的最小正整数值为（）A.1B.2C.3D.4【答

案】C【解析】【分析】先将复数化简整理，然后利用复数在得平面内对应的点在第四象限，列不等式组，求出a的取值范围，可求得实数a的最小正整数值.【详解】解：()22(1))2(2aiazaiiaiiaaii=+−+=−++−=−−因为复数()2zaiiai=+−−在

复平面内对应的点在第四象限，所以1020aa−−，解得2a，所以实数a的最小正整数值为3故选:C【点睛】此题考查复数的运算和复数的几何意义，属于基础题.2.已知集合1203xAxx−=+，则RA=ð（）A.(1,3,2−−

+B.()1,3,2−−+C.13,2−D.13,2−【答案】C【解析】【分析】将分式不等式化为一元二次不等式，解得集合A，再根据补集的运算可得结果.【详解】由1203xx−+，得(21)(3)0xx−+，3

x−或12x，所以|3Axx=−或12x，所以RA=ð1|32xx−.故选：C.【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了补集的运算，属于基础题.3.已知等差数列{an}满足4a3＝3a2，则{a

n}中一定为零的项是（）A.a6B.a7C.a8D.a9【答案】A【解析】【分析】利用等差数列的通项公式即可得到结果.【详解】由4a3＝3a2得，4(a1+2d)=3(a1+d)，解得：a1+5d=0，所以，a6=a1+5d=0.故选：A.【点睛】本题考查

等差数列的通项公式，考查计算能力，属基础题.4.从数学内部看，推动几何学发展的矛盾有很多，比如“直与曲的矛盾”，随着几何学的发展，人们逐渐探究曲与直的相互转化，比如：“化圆为方”解决了曲、直两个图形可以等积的问题．如图，在等腰直角三角形ABC中，ABBC=，90ABC=，

以AC为直径作半圆，再以AB为直径作半圆AMB，那么可以探究月牙形面积（图中黑色阴影部分）与AOB面积（图中灰色阴影部分）之间的关系，在这种关系下，若向整个几何图形中随机投掷一点，那么该点落在图中阴影部分的概率为（）A.41+B.11+C.321+D.2

1+【答案】D【解析】【分析】月牙形面积等于半圆AMB面积减去弓形部分的面积，从而确定月牙形AMB面积和AOBS面积的关系，而AOBS面积可求，从而求出阴影部分的面积，再求出整个图形的面积，由几何概型的概

率计算公式求解即可.【详解】不妨设2ABa=，则22ACa=，则如图，月牙形的面积2211(2)24AMBAOBAOBSaaSS=−−=，所以月牙形的面积和三角形的面积相等，而()22122AOBSaa==.整个图形的面积()22212(1)2Sa

aa=+=+.阴影部分的面积为222AOBSa=，由几何概型的概率计算公式得：所求概率为21+.故选：D.【点睛】本题考查几何概型的概率公式，考查几何图形面积的求法，属于基础题.5.已知圆1C：228

70xxy−++=的圆心是双曲线2C：22221xyab−=（0a，0b）的一个焦点，且双曲线2C的渐近线与圆1C相切，则双曲线2C的虚轴长为（）A.3B.6C.7D.27【答案】B【解析】【分析】求得圆C的圆心和半径，双曲线的渐近线方程，运用直线和圆相切的条件：dr=，由4c=，

可得b，进而得到虚轴长2b．【详解】解：圆1C：22870xxy−++=即()2249xy−+=，圆心坐标为()4,0，半径3r=双曲线22221(0,0)xyabab−=的渐近线方程为byxa=，由直线和圆相切的条件：dr=，可

得2243bab=+，由题意可得4c=，由222cab=+，可得3b=，即有双曲线的虚轴长为26b=．故选：B【点睛】本题考查双曲线的虚轴长，注意运用直线和圆相切的条件：dr=，考查化简整理的运算能力，属于基础题．6.若执行如图所示

的程序框图，则输出S的值为（）A.0B.1−C.32−D.12【答案】D【解析】【分析】根据给定的程序框图，逐次计算，结合判断条件，即可求解.【详解】执行上述程序框图，可知：0,0Si==，第1次循环，11,0cos32iS==+=，不满足判断条件；第2次循环，122,cos

023iS==+=，不满足判断条件；第3次循环，3,01iScos==+=−，不满足判断条件；第4次循环，134,122iS==−−=−，不满足判断条件；第5次循环，315,122iS==−+=−，不满足判断条件；第6次循环，6,110iS==−+=，不满足判断

条件；第7次循环，117,022iS==+=，满足判断条件，输出12.故选：D.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出，其中解答中根据程序框图，逐次计算，结合判断条件求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.7.有如下四个函数图象：有四个函数①2si

nyx=，②2cosyx=，③2sinyx=，④2cosyx=，则图象与函数的对应顺序为（）A.①③②④B.①②④③C.④①②③D.④①③②【答案】D【解析】【分析】根据函数的值域以及自变量0的函数值进行

排除，可以得出答案.【详解】①2sin0yx=，排除图（1）和图（3），且0x=时，0y=，排除图（4），故其对应图（2），②2cos0yx=，排除图（1）和图（3），且0x=时，1y=，排除图（2），故其对应图（4），③2sinyx=[1,1]−，排除图（

2）和图（4），当0x=时，0y=，排除图（1），故其对应图（3），④2cosyx=[1,1]−，排除图（2）和图（4），且0x=时，1y=，排除图（3），故其对应图（1）.故选：D.【点睛】本题考查了函数的图象的识别，考查了正余弦函数

的值域，属于基础题.x+2y≥0，8.已知实数x，y满足2000xyxyyk+−，若2zxy=+的最大值为2019，则实数k的值为（）A.20192B.673C.504D.20195【答案】B

【解析】【分析】依题意画出可行域，数形结合判断目标函数何时取得最大值，代入求值即可；【详解】解：画出线性约束条件2000xyxyyk+−表示的可行域如图所示，目标函数2zxy=+，即2yxz=−+，显然当直线经过点(),Ckk时z取得最大值，又2zxy=

+的最大值为2019，所以22019kk+=，解得673k=故选：B【点睛】本题考查简单的线性规划问题，属于基础题.9.如图，是一块木料的三视图，将它经过切削，打磨成半径最大的球，则该木料最多加工出球的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】由题意，该

几何体为三棱柱，所以最大球的半径为侧视图直角三角形内切圆的半径r．然后判断球的个数．【详解】由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为侧视图直角三角形内切圆的半径r，则4﹣r+3﹣r＝5，∴r＝1．球的直径为2，两个球的直径

和为4，棱柱的高为5，所以则该木料最多加工出球的个数为2．故选B．【点睛】本题考查三视图，考查三棱柱的内切球，考查学生的计算能力，属于基础题．10.将函数()3sin23cos2fxxx=+的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6个单位长度

后，得到函数()gx的图像，已知()gx分别在1x，2x处取得最大值和最小值，则12xx+的最小值为（）A.3B.23C.D.43【答案】B【解析】【分析】利用三角恒等变换化简()fx的解析式，再利用函

数()sinyAx=+的图象变换规律求得()gx的解析式，根据正弦函数的最值条件求得12xx+的最小值．【详解】函数()313sin23cos223sin2cos223sin2226fxxxxxx=+=+=+，将()fx图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐

标不变)，可得23sin6yx=+的图象；再向左平移6个单位，得到函数()23sin3gxx=+的图象．已知()gx分别在1x，2x处取得最大值和最小值，1232xk+=+kZ，2232xn+=−nZ．则122223xxkn+=+

−，故当0kn+=时，12xx+取得最小值为23，故选B．【点睛】本题主要考查三角恒等变换，函数()sinyAx=+的图象变换规律，正弦函数的最值，属于中档题．三角函数的平移问题，首先保证三角函数同名，不是同名通过诱导公式化为同名，在平移中符合左加右减的原则，在写解析

式时保证要将x的系数提出来，针对x本身进行加减和伸缩.11.设抛物线24yx=的焦点为F，过点()5,0M的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于点C，3BF=，则BCF△与ACF面积的比BCFACFSS=（）A.34B.45C.56D.67【答案】D【解析】【分

析】根据BCFACFBCSSAC=，进而由两三角形相似，得出11BCBBACAA=，再由抛物线的定义求得11BBBFAAAF=，根据3BF=的值求得点B的坐标，进而利用两点式求得直线的方程，把24yx=代入，即可得点A的坐标，从而求得BFAF的值，则三角形的面积之比可得.【详解】

解：如图过A，B两点分别作准线:1lx=−的垂线，垂足分别为1A，1B，因为1BBC∽1AAC，所以11BCBBACAA=，由抛物线定义得，113BBBFAAAFAF==，因为BCFACFBCSSAC=，所以3BCFACFSSAF=，因为13BBBF==，所以2B

x=，22By=−，所以2252ABk=−，所以直线AB的方程为22(5)52yx=−−，将24yx=代入上式得，222(5)452yy=−−，解得10y=或22y=−，所以10Ay=，52Ax=，所以157122A

FAA==+=，所以36772BCFACFBFSSAF===，故选：D【点睛】此题考了抛物线的应用，抛物线的简单性质，考查了基础知识的综合运用和综合分析问题的能力，属于中档题.12.已知函数21log|2|

,1()(1)5,1axxfxxax+−=−+(0a，且1a)在区间(,)−+上为单调函数，若函数|()|2yfxx=−−有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A.13,55B.12,55C.1313,5520D.1213,5

520【答案】C【解析】【分析】通过增函数的定义和临界点先求出参数a的范围，再作出函数|()|yfx=的与2yx=+的图像，分类讨论在临界点处直线是位于|()|yfx=上方还是与|()|yfx=下方相切，进而求出答案【详解】因为函数()fx在

区间(,)−+上为单调函数，且()fx在(1,)+上为单调递增函数，所以()fx在(,1]−上也为单调递增函数，因为|2|yx=−在(,1]−上为单调递减函数，所以01a，且21log|12|

(11)5aa+−−+，即15a，所以115a，若函数|()|2yfxx=−−有两个不同的零点，则函数|()|yfx=的图像与直线2yx=+有两个不同的交点，作出函数|()|yfx=的图像与直线2

yx=+，如图：由图可知，当125a+，即1355a时，符合题意；当125a+，即35a时，直线2yx=+与抛物线2(1)5yxa=−+相切也满足，联立直线2yx=+与抛物线2(1)5yxa=−+，消去y得23510xxa−+−=，所以94(51)0a=−−=，解得1320a=，符

合.综上所述：实数a的取值范围是1313,5520.故选：C【点睛】本题考查由函数增减性求参数范围，数形结合求解函数零点问题，分类讨论思想，属于难题二、填空题．13.已知向量()2mx=,1，(),2nx=满

足mnmn=，则实数x的值为________．【答案】0或12【解析】【分析】根据向量的数量积和模的计算公式，发别求得,,mnmn，结合条件列出方程，即可求解.【详解】由题意，向量()2mx=,1，(),2nx=，则2322mnxxx=

+=+，421,4mxnx=+=+，因为mnmn=，可得423|124|xxx+++=，整理得2222(441)(21)0xxxxx−+=−=，解得0x=或12.故答案为：0或12.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算，以及向量的模的

计算及应用，其中解答中熟记向量的数量积和模的计算公式，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.14.已知()()()()52501252111xaaxaxax+=+++++++，则2a=______.【答案】10【

解析】【分析】将二项式等价变形为()()55211xx+=++，根据变形后的二项式展开式的通项公式，求得2a的值.【详解】()()55211xx+=++，其通项公式为()151rrrTCx+=+，故()22351TCx=+，所以22510aC==.故答案为10【

点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.15.已知球的直径4DC=，A，B是该球面上的两点，6ADCBDC==，则三棱锥ABCD−的体积最大值是______.【答案】2【解析】【分析】由直径所对圆周角为直角可求出2,

23ACBCADBD====，设h为点A到底面BCD的距离，分析可知当h最大时三棱锥ABCD−的体积最大，当平面ADC⊥平面BDC时h最大为CAD斜边上的高，等面积法求出h即可求得三棱锥ABCD−的体

积的最大值.【详解】如图所示，因为DC为球的直径，所以90DACDBC==，根据已知条件可得2,23ACBCADBD====，设h为点A到底面BCD的距离，则12333ABCDBCDVShh−==，故当h最大时，三棱锥ABCD−的体积最大，当平面ADC⊥平面BDC时，h最大为CAD斜边

上的高，因为球的直径4DC=,2,23ACAD==，所以11423222ADCSh==，解得3h=，此时三棱锥ABCD−的体积取最大值23323ABCDV−==.故答案为：2【点睛】本题考查三棱锥的外切球问题、三棱锥的体积，考查空间想象能力，属于中档题.16.已知数列na满足3a

，6a，9a，，3na，，是首项为1，公比为2的等比数列，32−na，31−na，3na是公比为12−的等比数列，则数列na的前20项的和为________．【答案】317【解析】【分析】由已知先求出3na，再由32−na，32−na，3na是

公比为12−的等比数列，求出32−na和32−na，然后利用分组求和求解.【详解】解：因为3a，6a，9a，，3na，，是首项为1，公比为2的等比数列，所以113122nnna−−==，因为32−na，31−na，3na是公比为12−的等比数列，

所以+1322nna−=，312nna−=−，所以14732,,,,,naaaa−是以4为首项，2为公比的等比数列，2531,,,,naaa−是以2−为首项，2为公比的等比数列，所以数列na的前20项的和为141925203618()()()aaaaaa

aaa+++++++++++7764(12)2(12)12121212−−−−=++−−−7764(21)2(21)21=−−−+−317=故答案为：317【点睛】此题考查等比数列的有关计算，考查分组求和，属于中档题.三、解答题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：17.在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且cossinaBbAc+=．（1）求角A的大小；（2）若2a=，ABC的面积为212−，

求bc+的值．【答案】(1)4A=.(2)2bc+=.【解析】分析：（1）利用正弦定和三角形内角和定理与三角恒等变换，即可求得A的值；（2）由三角形面积公式和余弦定理，即可求得bc+的值.详解：(1)由已知及正弦定理得：sincossinsinsinABBAC+=，()sinsinsinc

oscossinCABABAB=+=+sincossinBsinAAB=，sin0sincosBAA=()0,4AA=(2)1221sin22242ABCSbcAbcbc−====−又()()22222cos222abcbcAbcbc=+−=+−+所

以，()24,2.bcbc+=+=．点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系

求角，齐总利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.18.2019年的“金九银十”变成“铜九铁十”，国各地房价“跳水”严重，但某地二手房交易却“逆市”而行．如图是该地某小区2018年11月至2019年1月间，当月在售二手

房均价（单位：万元/平方米）的散点图．（图中月份代码1~13分别对应2018年11月~2019年11月）根据散点图选择yabx=+和lnycdx=+两个模型进行拟合，经过数据处理得到两个回归方程分别为0.

93690.0285yx=+和0.95540.0306lnyx=+，并得到以下一些统计量的值：0.93690.0285yx=+0.95540.0306lnyx=+()1321iiiyy=−0．0005910．000164

()1321iiyy=−0．006050（1）请利用相关指数2R判断哪个模型的拟合效果更好；（2）某位购房者拟于2020年4月购买这个小区(70160)mm平方米的二手房（欲购房为其家庭首套房）．若购房时该小区所有

住房的房产证均已满2但未满5年，请你利用（1）中拟合效果更好的模型解决以下问题：（i）估算该购房者应支付的购房金额；（购房金额=房款+税费，房屋均价精确到0．001万元/平方米）（ii）若该购房者拟用不超过100万元的资金购买该小区一套二手房，试估算其可购买的最大面积．（精确到1平方米）附注

：根据有关规定，二手房交易需要缴纳若干项税费，税费是按房屋的计税价格（计税价格=房款）进行征收的．房产证满2年但未满5年的征收方式如下：首套面积90平方米以内（含90平方米）为1%；首套面积90平方米以上且140平方米以内（含140平方米）1.5%；首套面积140

平方米以上或非首套为3%．参考数据：ln20.69，ln31.10，ln172.83，ln192.94，21.41，31.73，174.12，194.36．参考公式：相关指数()()221211niiiniiyyRyy==−=−−．【

答案】（1）模型二拟合效果好；（2）（i）2020年4月份二手房均价的预测值为1.044（万元/平方米）；（ii）最大面积为94平方米；【解析】【分析】（1）根据相关指数2R的意义，通过简单估算即可解决问题；（2）()i通过散点图确定2020年4月对应的x的取值，代

入（1）中拟合效果更好的模型，并利用参考数据求出二手房均价的预测值，通过阅读税收征收方式对应的图表信息，选择有用的信息，进行合理分类建立正确的函数模型，便能顺利求解；()ii先直观估算100万可购买的最大面积的大致范围

，再利用()i中相应的结论求解．【详解】解：（1）模型一中，ˆ0.93690.0285yx=+的残差平方和为0.000591，相关指数为0.00059110.9230.006050−；模型二中，ˆ0.95540.0306ylnx=+的残差平方和

为0.000164，相关指数为0.00016410.9730.006050−；相关指数较大的模型二拟合效果好些；（2）通过散点图确定2020年4月对应的18x=，代入（1）中拟合效果更好的模型二，代入计算0.95540.0306ˆ18yln=+0.95

540.0306(223)lnln=++0.95540.0306(0.6921.10)=++1.044（万元/平方米）；则2020年4月份二手房均价的预测值为1.044（万元/平方米）；()i设该购房者应支付的购房金额h万元，因为税费中买方只需缴纳契税，①当7090

m剟时，契税为计税价格的1%，故1.044(1%1)1.05444hmm=+=；②当90144m„时，契税为计税价格的1.5%，故1.044(1.5%1)1.05966hmm=+=；③当1441

60m„时，契税为计税价格的3%，故1.044(3%1)1.07532hmm=+=；1.05444,70901.05966,901441.07532,144160mmhmmmm=

剟„„；当7090m剟时购房金额为1.05444m万元，当90144m„时购房金额为1.05966m万元，当144160m„时购房金额为1.07532m万元；()ii设该购房者可购买该小区二手房的最大面积为t平方米，由()

i知，当7090m剟时，应支付的购房金额为1.05444t，又1.054441.0544490100t„；又因为房屋均价约为1.044万元/平方米，所以100t，所以90100t„，由1.05966100t„，解得1001.

05966t„，且10094.41.05966，所以该购房者可购买该小区二手房的最大面积为94平方米．【点睛】本题以购房问题为背景，以散点图、相关指数2R为载体，考查回归分析、数据处理能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识，属于中

档题．19.如图，在三棱锥ABCD−中，BCD是边长为4的正三角形，E为BC的中点，平面ADE⊥平面BCD，二面角ABCD−−的余弦值为77，三棱锥ABCD−的体积为46．（1）求证：平面ADE⊥平面ABC；（2）求二面角CADB−−的余弦

值．【答案】（1）见解析（2）1125【解析】【分析】（1）由面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理可以证明.（2）根据棱锥的特性可知ACDABD，过C作CF⊥AD于点F，连接BF，则BF⊥AD，所以BFC为二面角CADB−−的平面角

.由三棱锥的体积可求出顶点A到底面的距离，根据二面角ABCD−−的余弦值可计算出正弦值，进而计算AE的长，通过勾股定理可知边AC、AB的长，再通过三角形面积相等计算CF和BF的值，从而通过余弦定理计算所求.【详解】（1）BCD为等边三角形，E为BC的中点，所以有DEBC⊥，又平

面ADE⊥平面BCD，平面ADE平面BCDDE=，BCDE⊥，所以BC⊥平面ADE（面面垂直的性质定理），又BC平面ABC，所以平面ABC⊥平面ADE（线面垂直的判定定理），得证.（2）因为ABAC=

，BDCD=，ADAD=，所以ACDABD过C作CF⊥AD于点F，连接BF，则BF⊥AD，所以BFC为二面角CADB−−的平面角.即cosBFC即为所求.设三棱锥ABCD−的高为h，则有1131646334ABCDBCDVShh−==

=，得32h=.由（1）可知，AED为二面角ABCD−−的平面角，所以7cos7AED=，则42sin7AED=，则3221sin427hAEAED===，所以5ACAB==.由余弦定理可得：2222cos21ADDEAEDEAEAE

D=+−=，21AD=.在ACD△中，由余弦定理可知：2221cos22ACCDADACDACCD+−==，60ACD=则有11sin6022ACCDADCF=，所以1077CF=，同理1077B

F=，又4BC=，所以由余弦定理可知11cos25BFC=.【点睛】本题考查面面垂直的性质定理，考查线面垂直的判定定理，考查求二面角的平面角的余弦值以及已知二面角的平面角求相关量，考查三棱锥的体积公式，考查学生分析

问题和转化问题的能力，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.20.已知椭圆E：22221xyab+=（0ab）的离心率为22，1F，2F分别为E的左、右焦点，过E的右焦点2F作x轴的垂线交E于A，B两点，1FAB的

面积为2．（1）求椭圆E的方程；（2）是否存在与x轴不垂直的直线l与E交于C，D两点，且弦CD的垂直平分线过E的右焦点2F？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2212xy+=，（2）不存在，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据离心率得22ca

=，根据1FAB的面积为2．得212222bca=，从而解得221.2ba==，可得椭圆E的方程；（2）假设存在与x轴不垂直的直线l满足题意，设:(0)=+lykxmk，代入2212xy+=，设11(,)Cxy，22(,)Dxy，根据判别式可得2212km+，根据韦达定理得

弦CD的中点坐标，可求得弦CD的垂直平分线方程，将2F代入可得212kmk+=−，将其代入2212km+，得210k+无解，故不存在符合题意的直线l.【详解】（1）依题意22ca=，22||bABa=，所以212222bca

=，即21b=，所以2221acb−==，所以22112aa−=，所以22a=，所以椭圆E的方程为2212xy+=.（2）假设存在与x轴不垂直的直线l满足题意，设:(0)=+lykxmk，将其代入

2212xy+=，整理得222(12)4220kxkmxm+++−=，所以2222164(12)(22)0kmkm=−+−，所以2212km+，设11(,)Cxy，22(,)Dxy，则122412kmxxk+=−+，则1212yykxmkxm+=+++21

22242()221212kmmkxxmmkk=++=−+=++，所以CD的中点为M222(,)1212kmmkk−++，所以弦CD的垂直平分线方程为2212()1212mkmyxkkk−=−+++，因为弦CD的垂直平分线过E的右焦点2F(1,0)，所以22120(1)1212mkmkkk−

=−−++，所以212kmk+=−，将其代入2212km+，得2222(12)12kkk++，化简得210k+，此不等式不成立，所以不存在符合题意的直线l.【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，考查了直线与椭

圆的位置关系，考查了运算求解能力，属于中档题.21.已知函数()()e10xfxxx−=．（1）若函数()yfx=的图象与直线yxm=+相切，求m的值；（2）求证：对任意0x，()2ln2fxxe+恒成立．【答案】（1）2me=−；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1

）设出切点坐标，写出曲线在该点处的切线方程，与已知切线方程比对，列出方程组，即可解得m的值；（2）构造函数，首先证明()2fxxe+−，然后证明22ln()2xxee+−+，由不等式的传递性即可证明不等式.【详解】（1）由题意知21'()xxexfxx−+=，设切点坐标为00(,)xy，则

0000201'()xxexfxx−+=，0001()xefxx−=，所以函数()yfx=的图象在点00(,)xy处的切线方程为0000020011()xxxexeyxxxx−+−−=−，即000000200122xxxxexexey

xxx−+−−=+，所以0000020001122xxxxexxexemx−+=−−=，由0002011xxexx−+=，得002001xxxeex−+=，即000(1)(1)0xxex−−−=，令()1xgxex=−−，则'()1x

gxe=−，当0x时，'()0gx，所以()gx在(0,)+上单调递增，所以0x时，()0gx，即0010xex−−，故由000(1)(1)0xxex−−−=解得01x=，所以2me=−；（2）令()1(2)xhxe

xxe=−−+−，则'()22xhxexe=−+−，令()22xHxexe=−+−，则'()2xHxe=−，令'()0Hx，得ln2x，令'()0Hx，得ln2x，所以)'(hx在(0,ln2)上单调递减，在(ln2,)+上单调递增，因为'(0)

30he=−，'(ln2)22ln2242ln20hee=−+−=−−，所以存在0(0,ln2)x，使得0'()0hx=，又'(1)0h=，所以当00xx时，'()0hx，当01xx时，'()0hx，当1x时，'()0hx，即()hx在0(0,)x和(1,)+

上单调递增，在0(),1x上单调递减，又(0)0,(1)0hh==，所以当0x时，()0hx，当1x=时等号成立，即当0x时，1(2)0xexxe−−+−，12xexex−+−，于是()2fxxe+−，当1x=时等号成

立，令2()2[ln()](0)2xmxxeex=+−−+则()22ln(0)2xmxxx=−−，2'()(0)xmxxx−=，当02x时，'()0mx，当2x时，'()0mx，所以()mx在(0,2)上单调递减，在(2,)

+上单调递增，所以()(2)0mxm=，所以当0x时，有22[ln()]02xxee+−−+，即22ln()2xxee+−+，当2x=时等号成立，又因为()2fxxe+−，当1x=时等号成立，所以，对任意0x，()2ln2fxxe+恒成立.【点睛】该题考查函

数图象的切线以及函数的单调性，考查函数最值以及不等式的证明，考查学生分析问题与解决问题的能力，逻辑推理能力和运算求解能力，属于较难题目.（二）选考题．请考生在第22、23题中任选一题作答．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy中，直线1C的参数方程为15xtyt=

+=+（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为232cos2=+．（1）求1C的普通方程和2C的直角坐标方程；（2）求2C上的动点到1C距离的取值范围．【答案】（1）221240,:13yCxyCx−+=+=：.（2）[2,32]【

解析】【分析】（1）直线的参数方程消去参数t，能求出直线1C的普通方程；曲线2C的极坐标方程转化为222cos23+=，由此能求出曲线2C的直角坐标方程．（2）设(cos,3sin)M，则2|2sin()4||c

os3sin4|62d−+−+==，由此能求出曲线2C上的点到1C的距离的取值范围．【详解】（1）∵直线1C的参数方程为15xtyt=+=+（t为参数），∴消去参数t，能求出直线的普通方程为40xy−+=．∵曲线2C的极坐标方程为232cos2=+．∴222

cos23+=，即22222(cossin)3+−=∴曲线2C的直角坐标方程为22222()3xyxy++−=，即2213yx+=．（2）曲线2C的参数方程为cos3sinxy==，（θ为参数），设(cos,3sin)M，则2|2sin()4

||cos3sin4|62d−+−+==∵2sin()2,26−−，∴曲线2C上的点到1C的距离的最大值为32，最大值为2，所以取值范围为[2,32].【点睛】本题查直线的普通方程、曲线的直角坐标方

程的求法，考查曲线上的点到直线的距离的最大值的求法，考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()21fxxx=+−．（1）解不等式()0fx；（2）若存在xR，使得不等式()

2fxa成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）1(1,3−−−+，，（2）14a−…【解析】【分析】（1）由题意可得|21|||xx+…，再利用两边平方整理化成一元二次不等式即可解决问题；（2）先由()2f

xa得2|21|||axx+−…，令()|21|||gxxx=+−，下面求得()gx的最小值，从而所求实数a的范围．【详解】（1）由()0fx…得|21|||xx+…，两边平方整理得23410xx++

…，解得1x−„或13x−…，原不等式的解集为1(1,3−−−+，，（2）令()|21|||gxxx=+−，则11,21()31,021,0xxgxxxxx−−−=+−+„…，故11()()22min

gxg=−=−，从而所求实数a的范围为122a−…，即14a−…，∴实数a的取值范围是14a−….【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法、函数存在性问题．对于函数存在性问题，处理的方法是：利用分离参数法转化为求函数的最值问题解决．