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第四章数列4.1数列的概念第1课时数列的概念与简单表示必备知识基础练1.(2022福建泉州高二期末)数列{an}中,若an=𝑛√16-2𝑛,则a4=()A.12B.√2C.2√2D.82.已知数列-1

,14,-19,…,(-1)n1𝑛2,…,它的第5项的值为()A.15B.-15C.125D.-1253.已知数列的通项公式an={3𝑛+1,𝑛为奇数,2𝑛-2,𝑛为偶数,则a2a3等于()A.70B.28C.20D.84

.(2021河南八市重点高中高二联考)数列2,-5,8,-11,…,(-1)n-1(3n-1),(-1)n(3n+2)的第2n项为()A.6n-1B.-6n+1C.6n+2D.-6n-25.数列0,1,0,

-1,0,1,0,-1,…的一个通项公式是()A.(-1)𝑛+12B.cos𝑛π2C.cos(𝑛+1)π2D.cos(𝑛+2)π26.(多选题)已知数列的通项公式为an=n2-8n+15,则3可以是()A.数列{an}中的第1项B.数列

{an}中的第2项C.数列{an}中的第4项D.数列{an}中的第6项7.(多选题)下面四个数列中,既是无穷数列又是递增数列的是()A.1,12,13,14,…,1𝑛,…B.sinπ7,sin2π7,sin3π7,…,sin𝑛π7,…C.-1,-12,-14,-18,

…,-12𝑛-1,…D.1,√2,√3,…,√𝑛,…8.(多选题)数列{an}的通项公式为an=n+𝑎𝑛,则()A.当a=2时,数列{an}的最小值是a1=a2=3B.当a=-1时,数列{an}的最小值是a1=0

C.当0<a<4时,a不是数列{an}中的项D.当a<2时,{an}为递增数列9.已知数列{an}的通项公式为an=2021-3n,则使an>0成立的正整数n的最大值为.10.写出以下各数列的一个通项公式.(1)1,-

12,14,-18,….(2)10,9,8,7,6,….(3)2,5,10,17,26,….(4)12,16,112,120,130,….(5)3,33,333,3333,….11.已知数列{an},an=n2

-pn+q,且a1=0,a2=-4.(1)求a5.(2)150是不是该数列中的项?若是,是第几项?关键能力提升练12.下列图案关于星星的数量构成一个数列,该数列的一个通项公式是()A.an=n2-n+

1B.an=𝑛(𝑛-1)2C.an=𝑛(𝑛+1)2D.an=𝑛(𝑛+2)213.设an=1𝑛+1𝑛+1+1𝑛+2+1𝑛+3+…+1𝑛2(n∈N*),则a2等于()A.14B.12+13C.1

2+13+14D.12+13+14+1514.(2021河北石家庄月考)数列12,-16,112,-120,130,…的一个通项公式为()A.(-1)𝑛𝑛(𝑛+1)B.(-1)𝑛+1𝑛(𝑛+1)C.(-1)𝑛(𝑛+1)(𝑛+2)D.(-1)𝑛+1(𝑛+1)(𝑛+2)15.(

2022广西南宁二中高二月考)若数列{an}的通项公式为an=-2n2+25n,则数列{an}的各项中最大项是()A.第4项B.第5项C.第6项D.第7项16.(多选题)已知数列{an}的前4项依次为2,0,2,0,则数列{an}的通项公式可以是()A.an={2,𝑛为

奇数,0,𝑛为偶数B.an=1+(-1)n+1C.an=2sin𝑛π2D.an=21-(-1)𝑛217.(2021辽宁锦州义县高二月考)已知数列{an}的通项公式为an=3𝑛+𝑘2𝑛,若数列{an}为递减数列,则实数

k的取值范围为.18.函数f(x)=x2-2x+n(n∈N*)的最小值记为an,设bn=f(an),则数列{an},{bn}的通项公式分别是an=,bn=.19.已知数列{an}的通项公式为an=𝑛2-21𝑛2(n∈N*).(1)0和1是不是数列{an}中的项?

如果是,那么是第几项?(2)数列{an}中是否存在连续且相等的两项?若存在,分别是第几项?学科素养创新练20.如图1是第七届国际数学教育大会的会徽图案,会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的,其中

OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1,如果把图2中的直角三角形继续作下去,记OA1,OA2,…,OAn,…的长度构成数列{an},则此数列的通项公式为()图1图2A.an=n,n∈N*B.an=√𝑛+1,

n∈N*C.an=√𝑛,n∈N*D.an=n2,n∈N*21.(2021浙江金丽衢十二校高三联考)若数列{an}的通项公式为an=𝑛𝑛2+2020(n∈N*),则这个数列中的最大项是()A.第43项B.第44项C.第45项D.第46项22.在数列{an}中,

an=𝑛2𝑛2+1.(1)求数列的第7项.(2)求证:此数列的各项都在区间(0,1)内.(3)区间(13,23)内有没有数列中的项?若有,有几项?参考答案4.1数列的概念第1课时数列的概念与简单表示1.B由an=𝑛√16-2𝑛可知16

-2n>0,即n<8,所以a4=4√16-8=√2.2.D第5项为(-1)5×152=-125.3.C由an={3𝑛+1,𝑛为奇数,2𝑛-2,𝑛为偶数,得a2a3=2×10=20.4.B由数列可知奇数项为正数,偶数项为负数,即可表示为(-1)n-1

,又首项为2,故数列的通项公式为an=(-1)n-1(3n-1),所以第2n项为a2n=(-1)2n-1(6n-1)=-(6n-1)=-6n+1.5.D当n=1时,C不成立;当n=2时,B不成立;当n=4时,A不成立.故选D.6.BD令n2-8n+15

=3,解得n=2或n=6,因此3是数列{an}中的第2项和第6项,故选BD.7.CD选项C,D既是无穷数列又是递增数列.8.ABCD当a=2时,an=n+2𝑛,由f(x)=x+2𝑥的单调性及a1=3,a2=3,可知A正确;当a=-1时,an=n-1𝑛,显然

是递增数列,故最小值为a1=0,B正确;令an=n+𝑎𝑛=a,得n2-na+a=0,当0<a<4时,Δ=a2-4a<0,故方程无解,所以a不是数列{an}中的项,C正确;若{an}是递增数列,则an+1>an,即n+1+𝑎𝑛+1>n+𝑎𝑛,得a<n2+n,又n2+n≥2,

所以a<2,D正确.9.673由an=2021-3n>0,得n<20213=67323,又因为n∈N*,所以正整数n的最大值为673.10.解(1)an=(-1)n+112𝑛-1;(2)an=11-n;(3)an=n

2+1;(4)an=1𝑛(𝑛+1);(5)an=13(10n-1).11.解(1)由已知,得{1-𝑝+𝑞=0,4-2𝑝+𝑞=-4,解得{𝑝=7,𝑞=6,所以an=n2-7n+6,所以a5

=52-7×5+6=-4.(2)令an=n2-7n+6=150,解得n=16(n=-9舍去),所以150是该数列中的项,并且是第16项.12.C由图形可知,当n=1时,有1个,排除BD;当n=3时,有6个,

排除A.故选C.13.C∵an=1𝑛+1𝑛+1+1𝑛+2+1𝑛+3+…+1𝑛2(n∈N*),∴a2=12+13+14.14.B数列12,-16,112,-120,130,…可以写成11×2,-12×3,13×4,-14×5,15×6,…,故这个数列的一个通项公式为an=(-1)𝑛+

1𝑛(𝑛+1).故选B.15.C因为an=-2n2+25n=-2n-2542+6258,且n∈N*,所以当n=6时,an的值最大,即最大项是第6项.16.ABC∵an={2,𝑛为奇数,0,𝑛为偶数,∴a1=2,a2=0,a3=2

,a4=0,故A正确;∵an=1+(-1)n+1,∴a1=1+(-1)2=2,a2=1+(-1)3=0,a3=1+(-1)4=2,a4=1+(-1)5=0,故B正确;∵an=2sin𝑛π2,∴a1=2|sinπ2|=2,a2=2|sin2π2|=0,a3=2|sin3π2|=2,a4=2|s

in4π2|=0,故C正确;∵an=21-(-1)𝑛2,∴a1=21-(-1)12=2,a2=21-(-1)22=1,a3=21-(-1)32=2,a4=21-(-1)42=1,故D错误.故选ABC.17.(0,+∞)由数列{an}为递减数列可知an+1<an对n∈N*恒成立,即3(�

�+1)+𝑘2𝑛+1<3𝑛+𝑘2𝑛,因此3(𝑛+1)+𝑘2𝑛+1−3𝑛+𝑘2𝑛=3(𝑛+1)+𝑘-6𝑛-2𝑘2𝑛+1=3-𝑘-3𝑛2𝑛+1<0,即k>3-3n,因为n∈N*,所以3-3n≤0(n=1时等号成立),即3-3n

的最大值为0,所以k>0.18.n-1n2-3n+3当x=1时,f(x)min=f(1)=1-2+n=n-1,即an=n-1;将x=n-1代入f(x)得,bn=f(n-1)=(n-1)2-2(n-1)+n=n2-3n+3.19.解(1)令an=0,得n2-21n=0,∴n=21或n=0

(舍去),∴0是数列{an}中的第21项.令an=1,得𝑛2-21𝑛2=1,而该方程无正整数解,∴1不是数列{an}中的项.(2)假设存在连续且相等的两项是an,an+1,则有an=an+1,即𝑛2

-21𝑛2=(𝑛+1)2-21(𝑛+1)2.解得n=10,所以存在连续且相等的两项,它们分别是第10项和第11项.20.C∵OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1,∴OA2=√2,OA3=√3,…,OAn=√𝑛,…

,∴a1=1,a2=√2,a3=√3,…,an=√𝑛,….21.C设f(x)=𝑥𝑥2+2020(x>0),则f(x)=1𝑥+2020𝑥,又由x+2020𝑥≥2√2020,当且仅当x=√2020时,等号成立,则当x=√2020时,x+20

20𝑥取得最小值,此时f(x)取得最大值,而44<√2020<45,a44=44442+2020<a45=45452+2020,则数列中的最大项是第45项.22.(1)解a7=7272+1=4950.(2)证明∵an=𝑛2𝑛2+1=1-1𝑛2+1

,∴0<an<1,故数列的各项都在区间(0,1)内.(3)解令13<𝑛2𝑛2+1<23,则12<n2<2,n∈N*,故n=1,即在区间(13,23)内有且只有1项a1.