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1.4空间向量的应用1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系第1课时空间中点、直线和平面的向量表示及空间中直线、平面的平行A级必备知识基础练1.若A(-1,0,2),B(1,4,10)在直线l上,则直线l的一个方向向量为()A.(1,2,4)B.(1,4,2)C.(2,1,4)

D.(4,2,1)2.(多选题)若直线l的方向向量为m,平面α的法向量为n,则不可能使l∥α的是()A.m=(1,0,0),n=(-2,0,0)B.m=(1,3,5),n=(1,0,1)C.m=(0,2,1),n=

(-1,0,-1)D.m=(1,-1,3),n=(0,3,1)3.设a=(3,-2,-1)是直线l的方向向量,n=(1,2,-1)是平面α的法向量,则()A.l⊥αB.l∥αC.l∥α或l⊂αD.l⊥α或l⊂α4.

已知直线l∥平面ABC,且l的一个方向向量为a=(2,m,1),A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0),则实数m的值是.5.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求平面ACD1的一个法向量n.B级关键能力提升练6.(多选题)如图,在平行六面

体ABCD-A1B1C1D1中,点M,P,Q分别为棱AB,CD,BC的中点,平行六面体的各棱长均相等.下列结论中正确的是()A.A1M∥D1PB.A1M∥B1QC.A1M∥平面DCC1D1D.A1M∥平面D1PQB17.(多选题)下列命题是假命题的为()

A.若向量p=xa+yb,则p与a,b共面B.若p与a,b共面,则p=xa+ybC.若𝑀𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗=x𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗+y𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗,则P,M,A,B四点共面D.若P,M,A,B四点共面,则𝑀𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗=x

𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗+y𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗8.平面α的法向量u=(x,1,-2),平面β的法向量v=(-1,𝑦,12),已知α∥β,则x+y=.9.若A0,2,198,B1,-1,58,C-2,1,58是平面α内的三点,设平面α的法向量a

=(x,y,z),则x∶y∶z=.10.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=DD1=1,AB=√3,E,F,G分别是棱AB,BC,CC1的中点,P是底面ABCD(不含边界)内的动点,若直线D1P与平面EFG平行,求△BB1P的面积的最小值.C级学科素养创新练11.在棱长为1的正方体AB

CD-A1B1C1D1中,E为CC1的中点,P,Q是正方体表面上相异两点,满足BP⊥A1E,BQ⊥A1E.(1)若P,Q均在平面A1B1C1D1内,则PQ与BD的位置关系是;(2)在(1)的条件下,|𝐴1𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|的最小值为.第1课时空间中点

、直线和平面的向量表示及空间中直线、平面的平行1.A由已知得𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(1,4,10)-(-1,0,2)=(2,4,8)=2×(1,2,4),故选项A中的向量与𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗共线,故选A.2.ABC若l∥α,则需m⊥n

,即m·n=0,根据选项验证可知:A中,m·n=-2;B中,m·n=6;C中,m·n=-1;D中,m·n=0,故选ABC.3.C∵a·n=0,∴a⊥n,可知l∥α或l⊂α.4.-3∵直线l∥平面ABC,∴存在实数x,y,使a=x𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+y𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,

𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(1,0,-1),𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(0,1,-1),∴(2,m,1)=x(1,0,-1)+y(0,1,-1)=(x,y,-x-y),∴{2=𝑥,𝑚=𝑦,1=-𝑥-𝑦,∴m=-3.5.解如图,建立空间直角坐标

系,则A(1,0,0),C(0,1,0),D1(0,0,1).设平面ACD1的法向量n=(x,y,z).∵𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(-1,1,0),𝐴𝐷1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-1,0,1),∴{𝑛·𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0,𝑛·𝐴𝐷1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,

∴{(𝑥,𝑦,𝑧)·(-1,1,0)=0,(𝑥,𝑦,𝑧)·(-1,0,1)=0,化简,得{𝑥=𝑦,𝑥=𝑧.令x=1,得y=z=1.∴平面ACD1的一个法向量n=(1,1,1).6.ACD因为𝐴1𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=

𝐴1𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴1𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,𝐷1𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐷1𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴1𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12

𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,所以𝐴1𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗∥𝐷1𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,从而A1M∥D1P,易得ACD正确.又B1Q与D1P不平行,故B不正确.7.BD易知A,C为真命题;B中需满足a,b不共线;D中需满足M,A,B三点不共线.8.154因为α∥β,所以u∥v.则𝑥-1=1𝑦=-212,

即{𝑥=4,𝑦=-14,故x+y=154.9.2∶3∶(-4)因为𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=1,-3,-74,𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=-2,-1,-74,又因为a·𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=0,a·𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0,所以{𝑥-3𝑦-74𝑧=0,-2𝑥-𝑦-74𝑧=0,

解得{𝑥=23𝑦,𝑧=-43𝑦.所以x∶y∶z=23y∶y∶-43y=2∶3∶(-4).10.解如图,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,√3,0),C(0,√3,0),D1(0,0,1),C1(0,√3,1),∴

E1,√32,0,F12,√3,0,G0,√3,12,∴𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=-12,√32,0,𝐹𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=-12,0,12.设n=(x,y,z)是平面EFG的法向量,则{𝑛·𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=0,𝑛·𝐹𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=0,即{-12𝑥+√32𝑦=0,-12𝑥+1

2𝑧=0,令x=√3,则y=1,z=√3,∴平面EFG的一个法向量n=(√3,1,√3).设P(m,s,0)(0<m<1,0<s<√3),则𝐷1𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(m,s,-1),𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=(m-1,s-√3,0).

∵D1P∥平面EFG,∴n⊥𝐷1𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,∴n·𝐷1𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=√3m+s-√3=0,∴s=√3−√3m,易知BB1=1,∴𝑆△𝐵𝐵1𝑃=12BB1×BP=12×1×√(𝑚-1)2+(𝑠-√3)2=12√4𝑚2-2𝑚+1=12√4(�

�-14)2+34,当m=14时,𝑆△𝐵𝐵1𝑃取得最小值√34.11.(1)平行(2)3√24(1)以D为原点,以DA,DC,DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示,则A1(1,0,1),E(0,1

,12),B(1,1,0),若P,Q均在平面A1B1C1D1内,所以设P(a,b,1),Q(m,n,1),𝐴1𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-1,1,-12),𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=(a-1,b-1,1),𝐵𝑄⃗⃗⃗⃗⃗=(m-1,n-1,1).因为BP⊥A1E,BQ⊥A

1E,所以{𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴1𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=-(𝑎-1)+(𝑏-1)-12=0,𝐵𝑄⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴1𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=-(𝑚-1)+(𝑛-1)-12=0,解得{𝑏-𝑎=12,𝑛-𝑚=12,𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗=(m-

a,n-b,0)=(n-b,n-b,0),𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-1,-1,0),所以PQ与BD的位置关系是平行.(2)由(1)可知b-a=12,|𝐴1𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√(𝑎-1)2+𝑏2=√(𝑎-1)2+(𝑎+12)2=√2𝑎2-𝑎+54=√2(𝑎-1

4)2+98,