【文档说明】吉林省白山市2020-2021学年高二上学期期末考试数学（理科）试题 含答案.docx，共(11)页，924.326 KB，由小赞的店铺上传

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2020~2021学年白山市上学期期末考试高二数学试卷（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．椭圆221116xy+=上任意一点到两焦点的距离之和为（）A．26B．25C．211D．112．设命题:pnR，21

n+是奇数，则p为（）A．nR，21n+是偶数B．nR，21n+不是奇数C．nR，21n+是偶数D．nR，21n+不是奇数3．若直线3yx=+经过抛物线2ymx=的焦点，则m=（）A．6B．12C．6−D．12−4．圆2

21:9Cxy+=与圆222:(1)(2)36Cxy−++=的位置关系是（）A．相交B．相离C．内含D．内切5．在三棱柱111ABCABC−中，D是侧棱1CC1的中点，则BD=（）A．11112ACABAA−−B．11112ACABAA

−+C．11112ABACAA−+D．11112ABACAA−−6．双曲线22221sin40cos40xy−=的渐近线的斜率为（）A．tan50B．tan40C．sin50D．sin407．如图，某圆锥的顶点为A，底面圆的圆心为O，BC与DE为底面圆的两条互相垂直的直径

，F为母线AB的中点，且3AO=，2BO=，则异面直线AC与DF所成角的正切值为（）A．32B．103C．134D．413138．已知a，b表示两条不同的直线，，表示两个不同的平面，则下列命题为假命题的是（）A．若a⊥，⊥，则//B．若

⊥，a⊥，//ab，b，则//bC．若//ab，b⊥，则a⊥D．若//a，b，则//ab9．若点P是双曲线22114:12xyC−=上一点，1F，2F分别为C的左、右焦点，则“19PF=”是“25PF=”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C

．充要条件D．既不充分也不必要条件10．已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体外接球的表面积为32，则该几何体的高h为（）正视图侧视图俯视图A．3B．23C．4D．611．已知P是圆22:2410Cxyxy+−+−=外一点，过P作圆C的两条切

线，切点分别为A，B，则PAPB的最小值为（）A．12218−B．6318−C．12216−D．6316−12．已知斜率为k的直线l经过抛物线24yx=的焦点且与此抛物线交于()11,Axy，()22,Bxy两点

，||8AB．直线l与抛物线24yx=−交于M，N两点，且M，N两点在y轴的两侧，现有下列四个命题：①12yy为定值；②12yy+为定值；③k的取值范围为(,1)(1,4)−−；④存在实数k使得2||1313MNk=+．其中所有真命题的序号是（）A

．①③B②④C．①②③D．①③④第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．两平行直线820kxy++=与6810xy−+=之间的距离为．14．椭圆22173xy+=的离心率为．15

．若直线3yxm=+与函数24yyx=−的图象有公共点，则m的最小值为．16．在三棱锥PABC−中，PA，AB，AC两两垂直，D为棱PC上一动点，2PAAC==，3AB=．当BD与平面PAC所成角最大时，AD与平面PBC所成角

的正弦值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知m为正数，p：不等式23xm−对xR恒成立；q：函数22()(0)mfxxxx=+的最小值不小于2．（1）若q为真命题，求m的取值范围；（2）若pq为假命题，pq为真命题

，求m的取值范围．18．如图，在正三棱柱111ABCABC−中，12ABAA==，D为棱BC的中点．（1）证明：1//AC平面1ABD；（2）求点1A到平面1ABD的距离．19．已知直线l与抛物线2:2(0)Cypxp=交于A，B两点，且点(2,4)

−在C上．（1）求C的方程；（2）若l的斜率为3，且过点(1,1)，求||AB．20．已知动点M在圆2216xy+=上运动，它与定点(8,0)Q所连线段的中点为P．（1）求点P的轨迹方程；（2）若点P的轨迹的切线在两坐标

轴上有相等的截距，求此切线方程．21．如图，平面ABCDE⊥平面CEFG，四边形CEFG为正方形，点B在正方形ACDE的外部，且5ABBC==，4AC=．（1）证明：//CE平面BFG；（2）求平面BFG与平面ABCDE所成锐二面角的余弦值．22．已知椭圆2222:1

(0)xyCabab+=的左、右焦点分别为1F，2F，124FF=，且2ab=．（1）求C的方程；（2）若A，B为C上的两个动点，过2F且垂直x轴的直线平分2AFB，证明：直线AB过定点．2020~2021学年白山市上学期期末考

试高二数学试卷参考答案（理科）1．C因为211a=，所以椭圆221116xy+=上任意一点到两焦点的距离之和为2211a=．2．B:pnR，21n+不是奇数．3．D因为直线3yx=+与x轴的交点为(3,0)−，所以34m=−，即12m=−．4．C由题知1(0,0)

C，13r=，2(1,2)C−，26r=．2212(10)(20)5CC=−+−−=，因为213rr−=，所以1221CCrr−，所以圆1C和圆2C的位置关系是内含．5．B112BDBCCDACACCB=+=−+11112A

BAACA=−+．6．A因为22sin40a=，22cos40b=，所以cos40sin50tan50sin40cos50ba===．故所求渐近线的斜率为tan50．7．D因为AO⊥底面圆，所以AODE⊥，又DEBC⊥，AOBCO=，所以DE⊥平面ABC．连

接OF，则//OFAC，则OFD为异面直线AC与DF所成角，易知DOOF⊥，1322ABOF==，所以413tan13DOOFDOF==．8．D对于A选项，垂直于同一条直线的两个平面互相平行，所以A选项正确；对于B选项，因为⊥，a⊥，//ab，所以b

⊥，所以b或//b．又因为b，所以//b，所以B选项正确；对于C选项，由于//ab，b⊥，所以a⊥，所以C选项正确；对于D选项，a，b可能异面，所以D选项错误．9．B由题意可知，2a=，4124c=+=，12PFca−=，若25PF=，则1|

||5|4PF−=，19PF=或1（舍去），若19PF=，2|9|||4PF−=，25PF=或13，故“19PF=”是“25PF=”的必要不充分条件．10．C由三视图可知，该几何体是直三棱柱，且底面是顶角为120，底边长为23的等腰三角形，该

三角形外接圆的直径2324sin120r==，所以该几何体外接球的半径2221424hRrh=+=+，从而外接球的表面积()2241632sRh==+=，解得4h=．11．A圆C的标准方程为22(1)(2)6xy−++=，圆C的半径为6．设||PCd=，则2||||6PAPB

d==−，因为6sinAPCd=，所以22612cos121APBdd=−=−．所以()2222127261PAPBdddd=−−=+182721812218−−=−，当且仅当2272dd=，即2626d=时，

等号成立，故PAPB的最小值为12218−．12．D由题意可设l的方程为(1)(0)ykxk=−，联立24(1)yxykx==−，得2440kyyk−−=，则1244kyyk−==−为定值．又124yyk+=，12122422yyxxkk++=+=+，则

121224||248yyABxxpkk+=++=+=+，即21k．联立2(1)4ykxyx=−=−，得240xkxk−+−=，M，N两点在y轴的两侧，224(4)4160kkkk=−−=−+，且40k−，4k．由21k

及4k可得1k−或14k，故k的取值范围为(,1)(1,4)−−．设()33,Mxy，()44,Nxy，则34xxk+=，344xxk=−，则()223434||14MNkxxxx=++−221416kkk=+−+．假设存在实数k，则由2||1313

MNk=+，得241613kk−+=，解得1k=或3，故存在3k=满足题意．13．310因为直线820kxy++=与6810xy−+=平行，所以6k=−，将6820xy−++=化为6820xy−−=，所以两条

平行线之间的距离为22|21|31086−−=+．14．277223271177cbeaa==−=−=．15．6−由24yx=−，得224(0)xyy+=，则函数24yx=−的图象表示圆224xy+=在0y的部分．

当直线3yxm=+经过点(2,0)时，m取得最小值，且最小值为6−．16．31111易证AB⊥平面PAC，则BD与平面PAC所成角为ADB，3tanABADBADAD==，当AD取得最小值时，ADB取得最大值．在等腰RtP

AC△中，当D为PC的中点时，AD取得最小值．以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz−，则(0,0,0)A，(3,0,0)B，(0,2,0)C，(0,0,2)P，(0,1,1)D，则(0,1,1)

AD=，(0,2,2)PC=−，(3,2,0)BC=−．设平面PBC的法向量为(,,)nxyz=，则0nPCnBC==，即220320yzxy−=−+=，令3y=，得(2,3,3)n=．因为

33311cos,11222nAD+==，所以AD与平面PBC所成角的正弦值为31111．17．解：（1）因为m为正数，0x，所以22()2mfxxmx=+，当且仅当22mxx=，即4xm=时，等号成立．若q为

真命题，则22m，解得1m，即m的取值范围为[1,)+．（2）若p为真命题，则300mm−，解得03m．因为pq为假命题，pq为真命题，所以p，q一真一假．若p真q假，则01m；若q真p假，则3m．综上，

m的取值范围为(0,1)[3,)+．18．（1）证明：连接1AB交1AB于点O，连接OD．因为在正三棱柱111ABCABC−中，侧面11ABBA是平行四边形，所以O是1AB的中点．因为D是BC的中点，所以OD是1ABC△的中位线，所以1//ODAC．又因为1A

C平面1ABD，OD平面1ABD，所以1//AC平面1ABD．（2）解：因为1//AC平面1ABD，所以点1A到平面1ABD的距离即点C到平面1ABD的距离．因为12ABAA==，所以2212222AB=+=，221215BD=+=，2

2213AD=−=．因为22211BDADAB+=，所以1BDAD⊥．所以11153522ABDS==△，131322ACDS==△．设点C到平面1ABD的距离为h．由11CABDBACDVV−−=，得111133ACDABDShSBB=△△，即11

51323232h=，解得255h=．故点1A到平面1ABD的距离为255．19．解：（1）将(2,4)−代入22ypx=，得2(4)4p−=，解得4p=，故C的方程为28yx=．（2）因为l的斜率为3，且

过点(1,1)，所以l的方程为13(1)yx−=−，即32yx=−．联立2832yxyx==−，得292040xx−+=，2204360=−，设A，B两点的坐标分别为()11,xy，()22,xy，则12209xx+=，1

249xx=，故()221212||134ABxxxx=++−22041610104999=−=．20．解：（1）设(,)Pxy，()00,Mxy，根据中点公式得008202xxyy+=+=，

解得00282xxyy=−=．由220016xy+=，得22(28)(2)16xy−+=．故点P的轨迹方程是22(4)4xy−+=．（2）当切线在两坐标轴上截距均为0时，设切线方程为ykx=，由相切得2|4|21kk=+，解得33k=；当切线在两坐标轴上截距相等且不为0时

，设切线方程为(0)xyaa+=，由相切得|4|22a−=，解得422a=．综上，所求切线方程为33yx=或422yx=−+．21．（1）证明：因为四边形CEFG为正方形，所以//CEFG．又FG平面BFG，CE平面BFG，

所以//CE平面BFG．（2）解：以C为坐标原点，CD的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz−．因为5ABBC==，4AC=，所以点B到AC的距离为1，则(0,0,42)G，(4,4,42)F，(1,2,0)B−，所以(4,4,0)GF==，(1,2,42)BG==−．设

平面BFG的法向量为(,,)nxyz=，则0nGFnBG==，即442420xyxyz+=−+=，令42y=，得(42,42,3)n=−．易知(0,0,1)m=为平面ABCDE的一个法向量，所以3373cos,||||7373mnmnmn===，故平面BF

G与平面ABCDE所成锐二面角的余弦值为37373．22．（1）解：因为1242FFc==，所以2c=，所以224ab−=，又20ab=，所以28a=，24b=，故C的方程为22184xy+=．（2）证明：由题意可知直线

AB的斜率存在，2(2,0)F，设直线AB的方程为ykxm=+，设()11,Axy，()22,Bxy，由22184xyykxm+==+，得()222124280kxkmxm+++−=，则()()22221641228kmkm=−+−2

2648320km=−+，且122412kmxxk+=−+，21222812mxxk−=+．设直线2FA，2FB的倾斜角分别为，，则a=−，221212022FAFByykkxx+=+=−−，所以()()1221220yxyx−+−=，即()()()()1221220kxm

xkxmx+−++−=，所以()12122(2)40kxxmkxxm+−+−=，则2222842(2)401212mkmkkmmkk−+−−=++，化简可得4mk=−，所以直线AB的方程为4(4)ykxkkx=−=−，直线AB过定点(4,0)．