【文档说明】江西省南昌市三校2020-2021学年高二下学期期末联考数学（理）试题含答案.docx，共(11)页，622.622 KB，由小赞的店铺上传

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南昌市三校2020-2021学年度高二下学期期末联考（南昌一中、南昌十中、南昌市铁一中）数学试卷（理科）考试时长：120分钟试卷总分：150分第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12题，每小题5分，共计60分。在每小题

列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）1．已知集合2{|}Axxx=，{|22}xBx=，则AB=（）A．[0,1]B．(,1]−C．(,0]−D．R2．设复数31izi−=+，则z=（）A．12i−+B．12i+C．12i−

−D．12i−3．已知命题p：若xy，则sinsinxy；命题q：对任意,xyR，都有222xyxy+.则下列命题是假命题的是（）A．pqB．pqC．qD．p4．下列函数中，既是偶函数，又在(0,)+上单调

递增的是（）A．||yxx=B．4yxx=−C．||2xy=D．|1|yx=+5．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．73B．83C．83−D．73−6．已知a、b为两条不同直线，、为两个不

同的平面，给出以下四个命题：①若//ab，b，则//a；②若//a，b，则//ab；③若⊥，a，则a⊥；④若//，a，b，则//ab．其中真命题的个数是（）A．0B．1C．2D．37．将函数()yfx=的图象向右平移3个单位后得到一个

奇函数的图象，则该函数的解析式可能为（）A．()sin23fxx=+B．()sin6fxx=−C．()cos23fxx=−D．()cos26fxx=+8．函数()sinfxx

x=+的大致图象是（）A．B．C．D．9．已知()62211xax++的展开式中所有项的系数和为192，则展开式中的常数项为（）A．8B．6C．4D．210．若实数x，y满足约束条件0,30,20,xxyxy+−−，则()221zxy=

+−的最小值是（）A．4B．3C．2D．111．已知双曲线()2222:10,0xyCabab−=的左、右焦点分别为1F，2F，P是双曲线右支上一点，12PFPF⊥，直线2PF交y轴于点Q，且223FPPQ→→=，则双曲线C的离心率为（）．A．3B．3C．5D．152+12．设函数(

)()2ln,022,0xxfxxaxax=+++若方程()1fxax=+恰有2个实数解，则实数a的取值范围是（）A．(211,0,2e−B．)1,1,2−+C．()21,01,e−+D．

(211,0,2e−+第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共计20分。把答案填在答题纸的横线上）13．已知向量()()3,1,1,0,abcakb===+．若a

c⊥，则k=________．14．4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有______种．15．锐角ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且()12coscaB=+，则ba的取值范围是______．16．如图，用

一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆.在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面相切.椭圆截面与两球相切于椭圆的两个焦点1F，2F.过椭圆上一点P作圆锥的母线，分别与两个球相切于点,MN.由球和圆的几何性质可知，1P

NPF=，2PMPF=.已知两球半径分为别1和3，椭圆的离心率为22，则两球的球心距离为_______________.三、解答题（本大题共6题，共计70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）(一)必做部分17．（本小题满分12分）已知等差数列na满足242,4aa==，正项等比数列

nb满足首项为1，前3项和为7.（1）求na与nb的通项公式；（2）求nnab的前n项和nS.18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABCABC−中，ACBC⊥，12ACBCAA===.（1）求证：1ACBC⊥；

（2）求直线1AC和平面11ABBA所成角的大小.19．（本小题满分12分）目前，新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐，为了解新冠肺炎传播途径，采取有效防控措施，某医院组织专家统计了该地区500名患者新冠病毒潜伏期的相关信息，数据经过汇总整理得到如图

所示的频率分布直方图（用频率作为概率）.潜伏期不高于平均数的患者，称为“短潜伏者”，潜伏期高于平均数的患者，称为“长潜伏者”.（1）求这500名患者潜伏期的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），并计算出这500名患者中“长潜伏者”的人数；（2）为研究潜伏期与

患者年龄的关系，以潜伏期是否高于平均数为标准进行分层抽样，从上述500名患者中抽取300人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有97.5%的把握认为潜伏期长短与患者年龄有关：短潜伏者长潜伏者合计60岁及以上9060岁及以下140合计300（3）研究发现，有5种药物对新冠病毒有

一定的抑制作用，其中有2种特别有效，现在要通过逐一试验直到把这2种特别有效的药物找出来为止，每一次试验花费的费用是500元，设所需要的试验费用为X，求X的分布列与数学期望EX.附表及公式：22()()()()()nadbcKabcdacbd−=++++()20PKk0.150.10

0.050.0250.0100.0050.0010k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82820．（本小题满分12分）已知双曲线()222210,0xyabab−=的一条渐近

线方程为33yx=，点()23,1在双曲线上，抛物线()220ypxp=的焦点F与双曲线的右焦点重合．（1）求双曲线和抛物线的标准方程；（2）过点F做互相垂直的直线1l，2l，设1l与抛物线的交点为A

，B，2l与抛物线的交点为D，E，求ABDE+的最小值．21．（本小题满分12分）已知函数()1lnfaxaxxx+=+−，aR.（1）当1a=−时，求()()1,1f处的切线方程；（2）讨论()fx的单调性；（3）若0a，且()fx的最小值小于42

ln3−，求a的取值范围.(二)选做部分请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上。22．（本小题满分10分）在直角坐标系xOy

中，已知曲线C的参数方程是244xtyt==（t为参数），若以原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D的极坐标方程是22sin4=+．（1）求曲线C的普通方程和曲线D的直角坐标方程；（2）若射线l：3

=()0与曲线C和曲线D分别交于A，B两点，求AB．23．（本小题满分10分）已知()2121fxxx=−++.（1）解不等式()4fx；（2）设()fx的最小值为m，23++=abcm，求222abc++的最小值.南

昌市三校2020-2021学年度高二下学期期末联考（南昌一中、南昌十中、南昌市铁一中）数学（理科）答案一、选择题二、填空题题号123456789101112答案DCBCCADAACCD13.103−14.3615.23()

，16.72三、解答题17.（12分）解：（1）设等差数列na的公差为d，由242,4aa==，可得112,34adad+=+=，解得11ad==，则11nann=+−=；......................................

.............3分设正项等比数列nb的公比为q，q>0，由首项为1，前3项和为7，可得217qq++=，解得q=2，则12nnb−=；....................................

....................................6分（2）由（1）可得12nnnabn−=，所以01211222322nnSn−=++++，则232122232.2nnSn=++++，..........

.....................................9分两式相减可得12-1122.22nnnSn−=++++−=12212nnn−−−(1)21nn=−−，所以1(1)2nnSn=+−.............................

...................................12分18.（12分）（1）证明：在直三棱柱111ABCABC−中，易知1CC⊥平面ABC又BC平面ABC，所以1CCBC⊥，因为ACBC⊥，

1ACCCC=，所以BC⊥平面11ACCA，又1AC平面11ACCA，所以1ACBC⊥...............................................6分（2）解：以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，1CC为z轴，建立

空间直角坐标系，则()()()()()1112,0,0,0,2,0,0,0,2,2,0,2,0,2,2ABCAB，()()()112,0,2,220,0,0,2ACABAA=−=−=，，，设平面11ABBA的法向量(),,nxyz=，则122020ABnxyAAnz=−

+===，取1x=，得()1,1,0n=，..............................................9分设直线1AC和平面11ABBA所成角的大小为，则1121sin282ACnACn===，所以30

=．所以直线1AC和平面11ABBA所成角的大小为30°.........................................12分19.（12分）解：解：（1）平均数(0.0210.0830.1

550.1870.0390.03110.0113)26x=++++++=，........1分这500名患者中“长潜伏者”的频率为(0.180.030.030.01)20.5+++=，所以“长潜伏者”的

人数为5000.5250=人............................................2分（2）由题意补充后的列联表如下：短潜伏者长潜伏者合计60岁及以上907016060岁及以下6080140合计150150300...................

......4分则2K的观测值为2300(90806070)755.3575.02415015016014014k−==，经查表，得()25.0240.025PK，所以有97.5%的把握认为潜伏期

长短与年龄有关..........................................7分（3）由题意知，所需要的试验费用X所有可能的取值为1000，1500，2000，22251(1000)10APXA===，11232323353(1

500)10CCAAPXA+===，11212332453(2000)5CAACPXA===（或11223335363(2000)605CCAPXA====），...................10分所以X的分布列为X100015002000

P11031035数学期望133100015002000175010105EX=++=（元）...............................12分20.（12分）解：（1）由题意可得33ba=，即3ab=，所以双曲线方程为22233xyb−=，将点()23,1代入双曲线

方程，可得23b=，所以双曲线的标准方程为22193xy−=，...................................................2分22212cab=+=，所以232pc==，所以抛物线的方程为283yx=．.............

.............................................4分（2）由题意知()23,0F，1l，2l与坐标轴不平行，设直线1l的方程为()23ykx=−，()22383ykxyx=−=，整理可得()22224383120kxkxk−++=

，0恒成立，224383ABkxxk++=，因为直线1l，2l互相垂直，可设直线2l的方程为()123yxk=−−，同理可得28343DExxk+=+，.......................................

...............9分22243832834383ABDEkxxxxpkkABDE+=++++=++++22116383323kk=++．当且仅当1k=时取等号，所以ABDE+的最小值为323．.............................12分21.（1

2分）解：（1）当=1a−时，()=lnfxxx+，1()1fxx=+，(1)=1ln11f+=，，1(1)121f=+=，切线方程为1=2(1)yx−−，即=21yx−．.............................................2分（2）22221(1

)(1)[(1)]()1aaxaxaxxafxxxxx+−−++−+=−−==，(0)x，①当1a−„时，()0fx…恒成立，()fx在(0,)+上单调递增，②当1a−时，令()0fx，

则01xa+，令()0fx，则1xa+，()fx在(0,1)a+上单调递减，在(1,)a++上单调递增，综上：当1a−„时，()fx在(0,)+上单调递增，当1a−时，()fx在(0,1)a+上单调递减，在(1,)a++上单调递增．.............

.........6分（3）由（1）知()(1)11(1)minfxfaaalna=+=++−+，则(1)223aalnaln−+−，令()(1)gxxxlnx=−+，则1()1(1)(1)11xgxlnxln

xxx=−+−=−++++，令1()(1)1hxlnxx=−+++，211()01(1)hxxx=−−++，()hx在(1,)−+上单调递减，又(0)10h=，()11202hln=−，存在0(0,1)x，使得0()

0hx=，即0()0gx=，()gx在0(0,)x上单调递增，在0(x，)+上单调递减，......................10分又(0)0223gln=−，()2223gln=−，()2232galna−．a的取值范

围为(2,)+．.............................................................12分22.（10分）解：（1）由题可知曲线C的普通方程是24yx=，由题可知22sin2sin2cos4

=+=+，∴22sin2cos=+，∴2222xyxy+=+，∴曲线D的直角坐标方程是()()22112xy−+−=；.........................................5分（2）由题可知曲线C的极坐标方程是2sin4cos

=，当3=时，83A=，由曲线D的极坐标方程22sin4=+，当3=时，13B=+，所以533ABAB=−=−.............................................................10分23.（10分

）解：（1）12x，21224xx−++，34x≥，∴34x≥112x−，12224xx−++，无解1x−，12224xx−−−，54x−，∴54x−∴原来不等式解集为53,,44−−+；.............

...............................5分（2）()212221223xxxx−++−−+=，112x−时等式成立，∴3m=()()()222222123123abcabc++++++，∴222914abc++当

且仅当123abc==，即314a=，614b=，914c=时，等号成立.........................10分