【文档说明】上海市复兴高级中学2021-2022学年高一下学期期末线上自测数学试题 含解析.docx，共(11)页，775.447 KB，由小赞的店铺上传

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上海市复兴高级中学2021学年第二学期期末线上自测高一年级数学试卷一、填空题（每题8分，共80分）1.已知向量()33a=k,，()6,7bk=−−，ab⊥，k=______．【答案】75−【解析】【分析】由两个向量垂直坐标运算进行

计算即可.【详解】因为ab⊥，所以0ab=，所以183(7)0kk−+−=，解得75k=−．故答案为：75−2.已知复平面上有点A和点B，向量OA与向量AB所对应复数分别为12i−−与4i−，则点B的坐标为____________．【答案】(3,3)

−【解析】【分析】根据向量的线性运算结合复数的几何意义即可求解.【详解】解：因为12i4i33iOBOAAB=+=−−+−=−，所以点B坐标为(3,3)−.故答案为：(3,3)−.3.已知1(2,7)P，(3,9)P，122PPPP=，则点2P的坐标为________

____．【答案】7102，【解析】【分析】利用平面向量线性运算的坐标表示即可求解.【详解】解：设2(,)Pxy，因为1(2,7)P，(3,9)P，所以12(1,2),(3,9)PPPPxy==−−，又122PPPP=，所以()()123229xy=−=−，

解得7,102xy==，故点2P的坐标为7102，.故答案为：7102，.的的的4.已知等比数列na，首项15a=，公比为2q=，前n项和为nS；则6S=____________．【答案】315【解析】【分析】根据等比数列求和公式直接计算即可.【详解】由已知得()

()66161512315112Saqq−−===−−，故答案为：315.5.12,zzC，若24=z，则121216zzzz−=−____________．【答案】14【解析】【分析】根据共轭复数的定义及性质结合复数模的定义即可求解.【详解】解：因24=z，所以2216zz=，则

12221222116()zzzzzzzzz−=−=−，故12zz所以121212212221222111416zzzzzzzzzzzzzzzz−−−====−−−.故答案为：14.6.计算10cossin(232)33ii+−+的结果是________.【答

案】52i−【解析】【分析】把232i−+化为三角形式554cossin66i+，然后模相除，辐角相减得商的模和辐角，再化为代数形式．【详解】解析1：10cossin(232)33ii+−+5510cossin4cossin3366ii

=++为10555cossincossin43636222ii=−+−=−+−55(0)22ii=−=

−.解析2：原式131022(553)(232)405162232(232)(232)iiiiiiii++−−−====−−+−+−−.【点睛】本题考查复数的除法，解题时把所有复数化为三角形式，然后模相除，辐角相减得商

的模和辐角，再化为代数形式即可．当然也可以化为代数形式计算．7.已知向量a、b满足||1a=，||2b=，且()0aba+=，则向量b在a上的投影为____________．【答案】1−【解析】【分析】根据题意可求出向量a、b的夹角，再根据

向量b在a上的投影为cos,bab即可得解.【详解】解：因为||1a=，||2b=，且()0aba+=，所以212cos,0aabab+=+=，所以1cos,2ab=−，所以向量b在a上的投影为1cos,212bab=−=−.故答案为：1−.8

.已知数列{}na中，13a=，112(2)2nnaa+−=−，则通项公式=na____________．【答案】1122nna−=+【解析】【分析】根据题意可得数列2na−是等比数列，从而可求出数列2na−的通项，

即可得出答案.【详解】解：因为13a=，所以121a−=，因112(2)2nnaa+−=−，所以12122nnaa+−=−，为所以数列2na−是以1为首项，12为公比的等比数列，所以1122nna−−=，所以1122nna−=+.故答案为：1122nna−=+.9.若lg2，lg(2x－1)

，lg(2x＋3)成等差数列，则x的值是________.【答案】log25【解析】【分析】由题意得lg2+lg（2x+3）=2lg（2x﹣1），由对数的运算性质得lg[2•（2x+3）]=lg（2x﹣1）2，解可得2x的值，由指数的运算

性质可得答案．【详解】若lg2，lg（2x﹣1），lg（2x+3）成等差数列，则lg2+lg（2x+3）=2lg（2x﹣1），由对数的运算性质可得lg[2•（2x+3）]=lg（2x﹣1）2，解得2x=5或2x=﹣1

（不符合指数函数的性质，舍去）则x=log25故答案为log25【点睛】本题考查指数、对数的运算性质以及等差数列的性质，解题时注意结合指数函数的性质，否则容易产生增根．10.已知数列na的前n项和为nS，点,31nSnn+在直线12yx=上

．若()1nnnba=−，数列nb的前n项和为nT，则满足20nT的n的最大值为________．【答案】13【解析】【分析】由题设易得312nSnn=+，即可求na，进而得nb，讨论n为奇数、偶数

求nT，结合已知不等关系求n的最大值即可.【详解】由题意知：312nSnn=+，则232nnnS+=，当1n=时，112aS==；当2n时，131nnnaSSn−=−=−；而13112a=−=，∴31nan=−，*nN，∴()

1(1)(31)nnnnban=−=−−，∴25811...(1)(31)nnTn=−+−+−+−−，当n为奇数时，3(1)31(31)22nnnTn−+=−−=−，当n为偶数时，32nnT=，∴要使20nT，即31202n+或3202n，解得13n且

*nN.故答案为：13.【点睛】关键点点睛：由,nnaS的关系求通项公式，讨论n写出nT，进而由不等关系求n的最大值.二、选择题（每题8分，共16分）11.已知zC，“zz=”是“z为实数”的（）条件A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分也非必要【答

案】C【解析】【分析】化简zz=得到z是实数，再利用充分条件必要条件的定义判断.【详解】设(,)zxyixyR=+,因为zz=，所以,0,xyixyiyzxR+=−==,所以z是实数；当z是实数时，zz=.所以“zz=”是“z为实数”的充要条件.故选：C【点睛】方法

点睛：充分条件必要条件的定义的判断常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.要根据已知条件灵活选择方法求解.12.在直角ABC中，C是直角，CA=4，CB=3，ABC的内切圆交CA，CB于点D，E，

点P是图中阴影区域内的一点(不包含边界)．若CPxCDyCE=+，则xy+的值可以是（）A.1B.2C.4D.8【答案】B【解析】【分析】先由内切圆性质求出半径，再利用坐标法得到xy+的几何意义，最后利用线性规划方法数形结合可解.【详解】

在RtABC中，CA=4，CB=3，则AB=5，设内切圆半径为r，且2rCDCEACBCAB=+=+−，则12ACBCACr+−==，以C为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，则(0,1)CD=，(1,0)CE=.(0,

1)(1,0)(,)CPxCDyCExyyx=+=+=，令xyt+=，则点P在直线yxt=−+上(t为截距).又点P是图中阴影区域内的一点(不包含边界)．即直线与阴影区域(不包含边界)有公共点.由图可知，当04t且1t时，才满足题意，所以排除选项AC

D.故选：B.【点睛】解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义，依据可行域的情况数形结合决定参数取值．三、解答题（14+20+20=54分）13.已知a、b是两个单位向量．（1）若323ab−=，试求3ab+的值；（2）若a、b的夹角为60，试求向量2

mab=+与2nba=−的夹角的余弦值．【答案】（1）23（2）2114【解析】【分析】（1）平方后由数量积的运算律求解（2）由数量积的定义求解【小问1详解】|32|3ab−=，a，b是两个单位向量，2291249aabb−

+=，13ab=，2221(3)96106123abaabb+=++=+=；|3|1223ab+==．【小问2详解】||||1ab==，cosa，12b=，223(2)(2)32232mnabbaababab=+−=−+==，221|||2|44541172mabaa

bb=+=++=+=，22|||2|44523nbababa=−=−+=−=，cosm，3212||||1473mnnmn===．14.设方程20()xxkkR++=的两根为12,xx．（1）若121xx−=，求k的值；（2）若方程至少有一根的模为1，

求k的值．【答案】（1）0k=（2）k的值为-2，0，1【解析】【分析】（1）利用方程根与系数的关系得到12121,xxxxk+=−=，结合121xx−=即可得出结论；（2）讨论两根12,xx为实数根和虚数根的情况分别求解k的值.【小问1详解】解：因为方程20

()xxkkR++=的两根为12,xx，所以12121,xxxxk+=−=，212()1xx+=，又121xx−=，则212()1xx−=，所以120xxk==.故0k=.【小问2详解】解：①若12,xx为实数根，则140k=−，即1

4k，设11x=，则11x=，将1x=代入方程得110k++=，即2k=−（满足14k），将=1x−代入方程得110k−+=，即0k=（满足14k）；②若12,xx为共轭虚根，则Δ0，即14k，设11x=，则2121111xxxxxk====，故1k=（满足14k

）.综上，k的值为-2，0，1.15.首项为12的无穷等比数列{}na所有项的和为1，nS为{}na的前n项和，又25log(1)nnbSt+−=，常数*Nt，数列{}nc满足nnncab=.（1）求数列{}na的通项公式；（2）求数列{}nb的

通项公式；（3）若{}nc是严格减数列，求t的最小值.【答案】（1）12nna=（2）5nbnt=+（3）t的最小值为1【解析】【分析】（1）根据无穷等比数列na所有项的和为1，求出公比12q=，再根据等比数

列的通项公式可得；（2）求出nS,代入25log(1)nnbSt+−=可得nb；（3）求出1(5)2nncnt=+，然后根据数列递减可得10nncc+−恒成立，由不等式恒成立可得答案.【小问1详解】设无穷等

比数列na的公比为q，则111aq=−,所以1211q=−，解得12q=，所以111111222−−===nnnnaaq.【小问2详解】因为12nna=,所以11122112−=−nnS112n=−,所以215log112+−+=nnbt,所以5nbnt

=+.【小问3详解】12nna=,5nbnt=+,所以1(5)2nnnncabnt==+,因为nc是递减数列，所以1111(55)(5)22nnnnccntnt++−=++−+11(55102)2nntnt+=++−−+11(55)2nnt=−

−0恒成立，所以550nt−−恒成立，所以55tn−+恒成立，因为()55fnn=−+为递减函数，所以1n=时，()fn取得最大值(1)550f=−+=，所以0t,又因为*Nt，所以t的最小值为1.