【文档说明】陕西省宝鸡市金台区2020-2021学年高一上学期期末考试数学试卷 含解析.doc，共(16)页，1.253 MB，由小赞的店铺上传

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2020-2021学年度第一学期期末检测题高一数学（必修2）注意事项：1.答卷前，考生将答题卡有关项目填写清楚.2.全部答案在答题卡上作答，答在本试题上无效.一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若点A是点()1,2,3B关

于x轴对称的点，点C是点()2,2,5D−关于y轴对称的点，则AC等于（）A.5B.13C.10D.10————B分析：求出点A，C的坐标，利用空间两点距离公式求解．解答：点A是点()1,2,3B关于x轴对称的点，∴()1,2

,3A−−，同理()2,2,5C−−−．∴()()()22212223513AC=++−++−+=．点拨：本题主要考查了空间两点距离公式：111(,,)Axyz，222(,,)Bxyz，则()()()22

2121212ABxxyyzz=−+−+−．2.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如右图所示，则该几何体的左视图为（）A.B.C.D.————D答案：D左视图即是从正左方看，找特殊位置的可视点，连起来就可以得

到答案．3.到直线3x－4y＋1＝0的距离为3，且与此直线平行的直线方程是()A.3x－4y＋4＝0B.3x－4y＋4＝0或3x－4y－2＝0C.3x－4y＋16＝0D.3x－4y＋16＝0或3x－4y－14＝0————D在直线3x－4y＋1＝0上取点(1,1)．设与

直线3x－4y＋1＝0平行的直线方程为3x－4y＋m＝0，则22314133(4)m−+=+−，解得m＝16或m＝－14，即所求直线方程为3x－4y＋16＝0或3x－4y－14＝0.选D4.平面与平面平行

的条件可以是（）A.内有无穷多条直线与平行B直线a，a∥C.直线a，直线b，且a∥，bD.内的任何直线都与平行————D分析：根据面面平行的判定定理与性质，逐项判断，即可得出结果.解答：当内有无穷多条直线与平行时，与可

能平行，也可能相交，故不选A.当直线//,//aa时，与可能平行，也可能相交，故不选B.当直线a，直线b，且//,//ab时，与可能平行，也可能相交，故不选C.当内的任何直线都与平行时，由两个平面平行的判定定理可

得，这两个平面平行，故选D.点拨：本题主要考查判断面面平行的条件，熟记面面平行的判定定理即可，属于常考题型.5.已知过点(2,)Am−和点(,4)Bm的直线为1l，2:210lxy+−=，3:10lxny++=．若12ll//，23ll⊥，则mn+的值为（）A

.10−B.2−C.0D.8————A分析：利用直线平行垂直与斜率的关系即可得出．解答：∵l1∥l2，∴kAB＝42mm−+＝－2，解得m＝－8．又∵l2⊥l3，∴1n−×(－2)＝－1，解得n＝－2，∴m＋n＝－10．故选A．点拨：本题考查了直线平行垂直与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属

于基础题．6.已知、是平面，m、n是直线，下列命题中不正确的是（）A.若//m，n=，则//mnB.若//mn，m⊥，则n⊥C.若m⊥，m⊥，则//D.若m⊥，m，则⊥————A分析：根据已知条件判断直线m、n的位置关系，可判断A选项的正误；利用线

面垂直的性质可判断BC选项的正误；利用面面垂直的判定定理可判断D选项的正误.解答：对于A选项，若//m，则直线m与平面内的直线平行或异面，由于n=，则直线m、n平行或异面，A选项错误；对于B选项，若//mn，m⊥，则n⊥，B选项正确；对于C选项，若m⊥，m⊥，则//

，C选项正确；对于D选项，若m⊥，m，由面面垂直的判定定理可知⊥，D选项正确.故选：A.点拨：方法点睛：对于空间线面位置关系的组合判断题，解决的方法是“推理论证加反例推断”，即正确的结论需要根据空间线面位置关系的相关定理进行证明，错误的结论需要通过举出反例说明其错误，在解

题中可以以常见的空间几何体（如正方体、正四面体等）为模型进行推理或者反驳．7.已知,ab是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b（）A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线——

——C分析：解答：如图：设，为两个相交于直线的平面，其中，平面；，平面，且.A、D项，如图中满足题设条件，但与是相交直线，故A、D项错误；B项，如图中满足题设条件，但与是异面直线，故B项错误；C项，假设，则由可知，这与、异面矛盾，所以与不可能平行，故选C.8.如图，正方形OABC的边

长为1cm，它是水平放置的一个平面图形用斜二测画法得到的直观图，则原图形的周长是（）A.8cmB.6cmC.()213cm+D.()212cm+————A分析：将直观图还原为平面图形是平行四边形，然后计算．解答：解：将直观图还原为平面图形，如图所示.2OBOB=＝22，1OAOA=

=，所以221(22)3AB=+=，所以原图形的周长为8cm，故选：A.点拨：本题考查斜二测画法，掌握斜二测画法的定义是解题关键．根据斜二测画法的定义才能根据直观图中直线的位置关系确定原图形中直线的位置关系，从而解决原图

形中的问题．9.若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230xy−−=的距离为（）A.55B.255C.355D.455————B分析：由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为(),,0aaa，可得圆的半

径为a，写出圆的标准方程，利用点()2,1在圆上，求得实数a的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线230xy−−=的距离.解答：由于圆上的点()2,1在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在

第一象限，设圆心的坐标为(),aa，则圆的半径为a，圆的标准方程为()()222xayaa−+−=.由题意可得()()22221aaa−+−=，可得2650aa−+=，解得1a=或5a=，所以圆心的坐标为()1,1或

()5,5，圆心到直线的距离均为121132555d−−==；圆心到直线的距离均为225532555d−−==圆心到直线230xy−−=的距离均为22555d−==；所以，圆心到直线230xy−−=的距离为255.故选：B.点拨：本题考查

圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.10.如图，三棱柱111ABCABC−中，侧棱1AA⊥底面111ABC，底面三角形111ABC是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是（

）A.1CC与1BE是异面直线B.AC⊥平面11ABBAC.AE，11BC为异面直线，且11AEBC⊥D.11//AC平面1ABE————C分析：根据异面直线定义可判断A；由线面垂直的性质即可判断B；由异

面直线的位置关系并得11AEBC⊥可判断C；根据线面平行的判定定理可判断D.解答：对于A项，1CC与1BE在同一个侧面中，故不是异面直线，所以A错；对于B项，由题意知，上底面是一个正三角形，故AC⊥平面11ABBA

不可能，所以B错；对于C项，因为AE，11BC为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线，由底面111ABC是正三角形，E是BC中点，根据等腰三角形三线合一可知AEBC⊥，结合棱柱性质可知11//BCBC，则11AEBC⊥，所以C正确；对于D项，因为11AC所在的平面与平面1A

BE相交，且11AC与交线有公共点，故11//AC平面1ABE不正确，所以D项不正确.故选C.点拨：该题考查的是有关立体几何中空间关系的问题，在解题的过程中，需要对其相关的判定定理和性质定理的条件和结论熟练掌握，注意理清其关系，属于中档题11.若直线l：3ykx=−与直线2+36

0−=xy的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（）A.[,)63B.[,]62C.(,)32D.(,)62————D分析：联立两直线方程得到一个二元一次方程组，求出方程组的解集即可得到交点坐标，根据交点在第

一象限得到横纵坐标都大于0，联立得到关于k的不等式组，求出解集即可得到k的范围，然后根据直线的倾斜角的正切值等于k，根据正切函数得到倾斜角的范围.解答：联立两直线方程得：32360ykxxy=−+=−，得3362362323xkkyk+=+−=+，所以两直线

的交点坐标为336623,2323kkk+−++，因为两直线的交点在第一象限，所以得到336023623023kkk++−+，解得2333kk−，即33k，设直线l的倾斜角为，则3tan3，所以62

，，故选：D.点拨：求斜率可用k＝tanα(α≠90°)，其中α为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记：“斜率变化分两段，90°是分界，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”．12.已知(,)Pab为圆C:222440xyxy+−−+=上任意一点，则11ba−+的最大值为（）A.2B.

43−C.43D.0————C分析：首先确定圆的圆心和半径，然后结合斜率的几何意义求解11ba−+的最大值即可.解答：圆的方程即：()()22121xy−+−=，圆心坐标为()1,2，半径为1，代数式11ba−+表示圆上的点(),ab与定点

()1,1−连线的斜率，设过点()1,1−的直线方程为()11ykx−=+，与圆的方程联立可得：()()()2222122210kxkkxk++−−+−=，考虑临界条件，令()()()22222224110kkkk=−−−+−=可得：

1240,3kk==，则11ba−+的最大值为43.本题选择C选项.点拨：本题主要考查等价转化的数学思想，直线与圆的位置关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.1

3.当a为任意实数时，直线ax－y＋1－3a＝0恒过定点_____．————(3,1)分析：解答：将130−+−=axya化为1(3)yax−=−，即该直线恒过点(3,1).14.长方体的长，宽，高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为__________.————14

长方体的体对角线长为球的直径，则222232114R=++=，142R=，则球的表面积为2144()142=.15.一块正方形薄铁片的边长为4cm，以它的一个顶点为圆心，边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇

形（如图）.用这块扇形铁片围成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的容积等于______3cm.————153分析：设圆锥的底面圆的半径为r，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到r,然后根据勾股定理计算圆锥的高．即可求解几何体的体积．解答：由

题,设圆锥的底面圆的半径为r,因为圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,故4212rr==.又圆锥的母线长为4,故圆锥的高224115h=−=.故容积211511533V==.故答案为：153点拨：本题主要考查了圆锥的体积计算,需要

根据母线长与高和底面半径的勾股定理进行求解高,属于基础题型.16.两圆相交于两点(1,3)和(,1)m−，两圆圆心都在直线0xyc−+=上，且m、c均为实数，则mc+=__________．————3分析：设两圆交点为(1,3

)A和(,1)Bm−，根据题意可知：直线0xyc−+=是线段AB的垂直平分线，故可求得,AB所在直线斜率，进而求得m，在利用中点公式和m的值求出线段AB中点，代入0xyc−+=，即可求出c的值，即可得mc+的值

.解答：由题意可知：直线0xyc−+=时线段AB的垂直平分线，又直线0xyc−+=的斜率为1，则3(1)11m−−=−−，且131022mc+−−+=，解得52mc==−，，则523mc+=−=，故答案为：3三、解答题：本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过

程或演算步骤.17.已知圆C过点(0,1)，半径为2，且圆C关于直线10xy+−=对称，圆心在第二象限．（1）求圆C的方程.（2）已知不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴、y轴上的截距相等，求直线l的方程.————（1）()()22122xy++−=；（2）30xy+−=或

10xy++=．分析：（1）根据已知条件设圆的方程，及圆心坐标，根据题干列出方程，即可求解；（2）由截距相等且不过原点可设出直线的截距式，再根据与圆相切，圆心到直线距离等于半径，确定直线方程.解答：（1）设圆()22:()2Cxayb−+−=，圆心为(,)ab，且

0,0ab由题意有22(1)2ab+−=，且10ab+−=，解得12.ab=−=，，圆C的方程为()()22122xy++−=；（2）设:1xylmm+=，即0xym+−=．直线l与圆C相切，由1222md−+−==，

得3m=或1m=−．直线l的方程为30xy+−=或10xy++=．点拨：处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．18.如图，ABC中，22ACBCAB==，ABED是

边长为1的正方形，平面ABED⊥平面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点．（1）求证：//GF平面ABC；（2）求证：AC⊥平面EBC．————（1）证明见解析；（2）证明见解析.分析：（1）连接AE，可知F为AE的中点，利用中位线的性质可得出//FGAC，再利

用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）利用面面垂直的性质定理可得出BE⊥平面ABC，可得出ACBE⊥，再利用勾股定理可得出ACBC⊥，利用线面垂直的判定定理可证得结论成立.解答：（1）证明：连接AE．四边形ABED为正方形，F为BD的中点，F为AE的中点，又G为CE的中点，所以，/

/FGAC，FG平面ABC，AC平面ABC，//FG平面ABC；（2）证明：四边形ABED为正方形，BEAB⊥，因为平面ABED⊥平面ABC，平面ABED平面ABCAB=，BE平面ABED，BE⊥平面ABC，AC平面ABC，ACBE⊥，2

2ACBCAB==，由勾股定理可得222ACBCAB+=，ACBC⊥，BCBEB=QI，AC⊥平面BEC.点拨：方法点睛：证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面），

解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形（或给出线段长度，经计算满足勾股定理）、直角

梯形等等．19.如图，在三棱锥PABC−中，⊥PAAB，PABC⊥，ABBC⊥，2PAABBC===，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．（1）求证：平面BDE⊥平面PAC；（2）当//PA面BDE时，求三棱锥EBCD−的体积．————（1）证明见解析；（2）13．分析：（1）根据线面

垂直证明面面垂直，（2）由//PA面BDE，可知//PADE，故以ABC为底面，DE为高求三棱锥体积.解答：（1）证明：由ABBC=，D为线段AC的中点，可得BDAC⊥，由PAAB⊥，PABC⊥，ABBCB=，可得PA⊥平面ABC，又BD

平面ABC，可得PABD⊥，又PAACA=所以BD⊥平面PAC，BD平面BDE，所以平面BDE⊥平面PAC；（2）解：//PA平面BDE，PA平面PAC，且平面PAC平面BDEDE=，可得//P

ADE，又D为AC的中点，可得E为PC的中点，且112DEPA==，由PA⊥平面ABC，可得DE⊥平面ABC，可得111221222BDCABCSS===，则三棱锥EBCD−的体积V=11111333BDCDES==．20.已知点(0,5)A，

圆C：22412240xyxy++−+=.（1）若直线l过(0,5)A且被圆C截得的弦长为43，求直线l的方程；（2）点(1,0)M−，(0,1)N，点Q是圆C上的任一点，求Q点到直线MN的距离的最小值．————（1）0x=或34200

xy−+=；（2）7242−．分析：（1）求出圆的圆心坐标及半径，直线斜率不存在时直线方程为：0x=，利用勾股定理验证是否符合题意；当直线斜率存在时，设出直线方程并利用弦长及勾股定理求出斜率即可得解；（2）求

出直线MN的方程，求出圆心到直线的距离d，圆上点距直线的距离的最大值为dr+，最小值为dr−.解答：（1）圆C：22412240xyxy++−+=，即()()222616xy++−=，其圆心坐标为()26−，，半径为4r=，点()05A，，①当直

线斜率不存在时，直线方程为：0x=，此时圆心()26−，到y轴的距离d=2，由勾股定理可得，弦长为43，符合题意②当直线斜率存在时，设过A的直线方程为：5ykx=+，化为一般方程：50kxy−+=，圆心到直线的距离222652

111kkdkk−−++==++．又222(23)16dr+==，整理得414k+=，解得：34k=，所以34200xy−+=，综上可得直线l：0x=或34200xy−+=；（2）直线MN的方程为1xy−+=，即10xy

−+=．圆C：22412240xyxy++−+=，其圆心坐标为()26−，，半径为4r=，可得圆心()26−，到直线MN的距离为2617222d−−+==，圆上的点到直线距离的最小值为7242−．点拨：求圆上动点距圆外直

线距离的最值时：求出圆心距直线的距离d，圆上点距直线的距离的最大值为dr+，最小值为dr−.