【文档说明】《精准解析》福建省龙岩市2022-2023学年高二上学期期末教学质量检查数学试题（解析版）.docx，共(24)页，1.010 MB，由小赞的店铺上传

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龙岩市2022～2023学年第一学期期末高二教学质量检查数学试题（考试时间：120分钟满分150分）注意事项：1．考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上．2．答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单项选择题：本大题共8小题，每

小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求．请把答案填涂在答题卡上．1.等差数列na的公差2d=−，且13539aaa++=，则此数列前6项和等于（）A.72B.74C.76D.78【答案】A【解析】【分析】先利用等

差数列的性质求出3a，再利用等差数列求和公式计算前6项和即可.【详解】由等差数列的性质得1353339aaaa++==，解得313a=，数列na前6项和为()()()()16343633232132722aaaaad+=+=+=

−=.故选：A.2.“直线230xay+−=与直线250axy++=相互平行”是“2a=”的（）A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】先通过直线平行的判断公式求

出a，再根据充分性和必要性的概念得答案.【详解】因为直线230xay+−=与直线250axy++=相互平行，则22aa=，解得2a=，又当2a=时，两直线均不重合，故2a=，所以“直线230xay+−=与直线250axy++=相互平行”是“2a=”

的必要不充分条件.故选：C.3.在中国农历中，一年有24个节气，“立春”居首．北京2022年冬奥会开幕正逢立春，开幕式上“二十四节气”的倒计时让全世界领略了中华智慧．容融同学要从24个节气中随机选取3个介绍给外国朋友，则这3个节气中含有“立春”的选法种数为（）A.2024B.1771

C.276D.253【答案】D【解析】【分析】题意即为从剩下的23个里面选2个，利用排列数计算即可.【详解】3个节气中含有“立春”，则从剩下的23个里面选2个即可，则选法种数为2232322C2532==

.故选：D.4.2000多年前，我国的思想家墨子给出圆的概念：“一中同长也”．意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等，这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下定义要早100年．已知O为原点，12OP=，若13,22M−，则线段PM长的最大值为（）A.32B.12C.34D.54【答案

】A【解析】【分析】P点圆上，点M在圆外，问题转化为圆上的点到圆外的点的最大距离.【详解】由12OP=，P点在以O为圆心12为半径的圆上，1OM=，点M在圆外，则线段PM长的最大值为13122+=.故选：A5.为弘扬我国古代的“六艺文化”，某校计划在社会实践中开设“礼”、“乐”、

“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每天开设一门，连续开设6天，则（）A.从六门课程中选两门的不同选法共有30种B.课程“书”不排在第三天的不同排法共有720种C.课程“礼”、“数”排在不相邻两天的不同排法共有288种D.课程“乐

”、“射”、“御”排在不都相邻的三天的不同排法共有576种【答案】D【解析】【分析】根据给定条件利用排列、组合知识，逐项分析计算判断作答．【详解】对于A，从六门课程中选两门的不同选法有2615C=(种)，A选项不正确；对于B，除第三天外的5天中任取1天

排“书”，再排其他五门体验课程共有555A600=(种)，B选项不正确；对于C，“礼”“数”排在不相邻两天，先排其余四门课程，再用插空法排入“礼”“数”则不同排法共有4245480AA=(种)，C选项不正确；对于D，六门课程

的全排列有66A720=(种)，“乐”、“射”、“御”排在都相邻的三天的不同排法有3434AA144=(种)，则“乐”、“射”、“御”排在不都相邻的三天的不同排法共有720144576−=(种)，D选项正确.故选：D6.设a

，且17a，若202252a+能被17整除，则a等于（）A.0B.1C.13D.16【答案】D【解析】【分析】将()2022202252511aa+=++利用二项式定理展开，通过51能被17整除可得1a+能被17整除，进而可得a的值.【详解】()20

22202252511aa+=++0202212021220202021202220222022202220222022C51C51C51C51Ca=++++++，202252a+能被17整除，且02022120

212202020212022202220222022C51C51C51C51++++能被17整除，故20222022C1aa+=+能被17整除，观察选项可得16a=.故选：D.7.已知双曲线()222210,0xyabab−=的

左焦点为F﹐过F且斜率为3ba的直线交双曲线于点()11,Axy，交双曲线的渐近线于点()22,Bxy，且120xx．若3FBFA=，则双曲线的离心率是（）A.364B.322C.6D.2【答案】B【解析】【分析

】直线与渐近线联立方程组，求得B点坐标，由3FBFA=求得A点坐标，代入双曲线方程即可求得离心率.【详解】过F且斜率为3ba的直线AB：()3byxca=+，渐近线2:blyxa=，如图所示，联立()

3byxcabyxa=+=，得,22cbcBa，由3FBFA=，得,26cbcAa−，而点A在双曲线上，于是有2222221436cbcaab−=，解得2292ca

=，所以离心率322cea==.故选：B.8.记nS是各项均为正数的数列na的前n项和，14a=．数列nb满足nnbS=，且()()122nnnabbn−=+则下列选项错误．．的是（）A.84nan=−B.11716nkkS=C

.数列1279nbna的最大项为6860729D.11114nkkkkaSS+=+【答案】C【解析】【分析】由已知条件结合na与nS的关系，解出数列,,nnnabS的通项

公式，再求选项中数列求和和最值问题.【详解】由1(2)nnnaSSn−=−与nnbS=，得221(2)nnnabbn−=−，又()()122nnnabbn−=+，所以22112()(2)nnnnbbbbn−−−=+，即1

11()()2()(2).nnnnnnbbbbbbn−−−+−=+因为0nS，所以10,nnbb−+，所以12(2)nnbbn−−=.又1112bSa===，所以数列nb是首项为2，公差为2的等差数列.则22(1)2nbnn=+−=，所以24nSn=．当2n时，184nnnaS

Sn−=−=−，14a=也符合.∴84nan=−，A选项正确；()()211331111111111144164141641nnnnkkkkkSkkkkk=====++=++−−−1111111117416424164216k=++−++=，B选项正确

；设()12778499nbnnncan==−，0nc，当()()11784789119847849nnnnnccnn+++==−−−时，解得4n，数列1279

nbna的最大项为45672286561cc==，C选项错误；()()()()12222222111118412111111114444441111nnnnkkkkkkkannSSkkkkkkk

+====+++===−=−++++，D选项正确.故选：C【点睛】关键点点睛：题中数列不等式涉及放缩，通项放缩技巧证明数列不等式的关键在于观察通项特征和所证结论，适当调整放缩幅度，做到放缩得恰到好处，同时还要做到放缩求和两兼顾.

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．请把答案填涂在答题卡上．9.下列说法正确的有（）A.直线()():1120lmxmym++−−=恒过定点()1,

1B.方程22220xyxym+−+−=表示圆C.圆2216xy+=与圆()()22344xy−+−=有两条公切线D.圆2216xy+=上有且只有三点到直线:220lxy−+=的距离等于2【答案】ACD【解析】【分析】对于A：依题意

可得()()20xymxy+−+−=，令200xyxy+−=−=，解得即可求出直线过定点坐标，对于B，将方程化为()()22112xym−++=+，再分20m+、20m+=、20m+三种情况讨论，对于C，求出两圆圆心坐标与半径，求出圆心距，即可判断两圆相交，对于D，求出圆

心到直线的距离，结合圆的半径，即可判断.【详解】解：对于A：直线()():1120lmxmym++−−=，即()()20xymxy+−+−=，令200xyxy+−=−=，解得11xy==，所以直线恒过定点()1,1，故

A正确；对于B：方程22220xyxym+−+−=，即()()22112xym−++=+，当20m+，即2m−时方程22220xyxym+−+−=表示圆，当20m+=，即2m=−时方程22220xyxym+−+−=表示点()1,1-，当20m+，即2m−时方程22220xyxym

+−+−=不表示任何图形，故B错误；对于C：圆2216xy+=的圆心坐标为()0,0O，半径14r=，圆()()22344xy−+−=的圆心坐标为()3,4A，半径22r=，又22345OA=+=，即1

212rrOArr−+，所以两圆相交，故两圆有两条公切线，故C正确；对于D：圆心()0,0O到直线:220lxy−+=的距离()2222211d==+−，又圆的半径14r=，所以圆上有且只有三点到直线l的距离等于2，故D正确；故选：

ACD10.在《增删算法统宗》中有如下问题：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，六朝才得到其关”，其意思是：“某人到某地需走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地”，则（）A.此人第二天走的路程占全程的1

4B.此人第三天走走了48里路C.此人第一天走的路程比第四天走的路程多144里D.此人第五天和第六天共走了18里路【答案】BD【解析】【分析】由题意，此人每天走路程构成等比数列，由已知条件求出首项和公比，就可以解决数列问题了.【详解】设此人第n天走了na里路，则

数列na是首项为1a，公比q为12的等比数列，因为166112378112aS−==−，解得1192a=，21192962a==，所以此人第二天走了96里路，9613784，A选项错误；31192484a==，所以此人第三天走了48里路，B选项正确；4811

9224a==，1419224168aa−=−=，此人第一天走的路程比第四天走的路程多168里，C选项错误；5611192181632aa+=+=，此人第五天和第六天共走了18里路，所以D选项正确.故选：BD.的11.已知O为坐标原点

，点()2,1A在抛物线()2:20Cxpyp=上，过点()0,1B−的直线交C于P，Q两点，则（）A.C的焦点为()0,2B.直线AB与C相切C.OPOQ为定值D.2BPBQBA【答案】BCD【解析】【分析】利用点在抛物线上

即可求出抛物线方程，从而可判断A；联立AB与抛物线的方程求得切点，从而可判断B；联立直线l与抛物线的方程，得到12xx，进而求得12yy，从而判断C；利用距离公式及弦长公式可判断D.【详解】对于A，将()2,1A代入抛物线()2:20Cxpyp=，得42p=，即2p=，所以抛

物线方程为24xy=，故抛物线的焦点为()0,1，故A错误；对于B，1(1)120ABk−−==−，所以直线AB的方程为1yx=−，联立214yxxy=−=，可得2440xx−+=，解得2x=，则1y=，所以直线AB与抛物线24xy=相切于()2

,1A，故B正确；对于C，设过B的直线为l，若直线l与y轴重合，则直线l与抛物线C只有一个交点，所以直线l的斜率存在，设其方程为1ykx=−，1122(,),(,)PxyQxy，联立214ykxxy=−=，得2440xkx−+=，则2Δ16160k=−

，则21k，所以12124,4xxkxx+==，则222121212()14416xxxxyy===，所以12125OPOQxxyy=+=，故C正确；对于D，因为21||1||BPkx=+，22||1||BQkx=+，所以()2212||||(1)||418BPBQ

kxxk=+=+，而()()222||20118BA=−++=，所以2BPBQBA，故D正确.故选：BCD.12.已知数列na满足22143nnaan−−=−，22141nnaan++=−，若数列na的前50项和

为1275，则（）A.122aa+=B.31a=C.13574547,,,aaaaaa+++是常数列D.24684648,,,aaaaaa+++是等差数列【答案】BCD【解析】【分析】根据题意分析可得21212nnaa−++=，222

8nnaan++=，对A：根据题意利用并项求和结合等差数列求和运算可得123aa+=；对B：由123aa+=，根据通过赋值运算求解；对C：根据21212nnaa−++=分析判断；对D：根据222141nnaan++−=+结合等差数列的定义分析判断.【详解

】∵22143nnaan−−=−，22141nnaan++=−，则21212nnaa−++=，又∵22141nnaan++=−，222141nnaan++−=+，∴2228nnaan++=，对A：可得：()()()()()()()1250123579474946894850aaaaaaaaaaaa

aaaaa++=+++++++++++++++LLL()()()()()1212121216192212163219224127212752aaaaaa+=++++++=+++=++=L，解得

123aa+=，A错误；对B：由22143nnaan−−=−，令1n=，则211aa−=，解得121,2aa==，由22141nnaan++=−，令1n=，则32323aaa+=+=，解得31a=，B正确；对C：∵212

12nnaa−++=，故135745472aaaaaa+=+==+=L，即13574547,,,aaaaaa+++是常数列，C正确；对D：∵2228nnaan++=，则()()()242622282816nnnnaaaann++++−+=+−=，故24684648,,

,aaaaaa+++是以公差为16的等差数列，D正确.故选：BCD.【点睛】方法点睛：根据题意分析可得21212nnaa−++=，2228nnaan++=，故分奇偶项讨论，把相邻的奇项（或偶项）合并为一项，组成一个新的

数列，再进行求和运算，同时注意对12aa+的处理.第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.若直线41axy+=与直线()11xay+−=−互相垂直，则=a________．【答

案】13−【解析】【分析】根据直线一般式方程下的两条直线垂直的公式计算即可.【详解】直线41axy+=与直线()11xay+−=−互相垂直则()410aa+−=，解得13a=−.故答案为：13−.14.在412nxx+的展开式中，前三项的系数成等

差数列，则展开式中含x项的系数为________．【答案】358【解析】【分析】先写出412nxx+的展开式的通项1rT+，然后利用前三项的系数成等差数列来列方程求得n，再令通项中的x的次数为1可求得r，进而可求出展开式中含

x项的系数.【详解】412nxx+的展开式通项为()43241CC1122nnrrrrrnrrnTxxx−−+==，根据前三项的系数成等差数列得2100212CC111222C

nnn=+，解得8n=或1n=（舍去）令3414r−=，得4r=，展开式中含x项的系数48435C812=.故答案为：358.15.在递增的等比数列na中，623a=，398aa+=，则20242021aa=________．【答案】3【解析】【分析】设等比数列na的公比

为q，1q，先通过条件得3q，再利用320242021aqa=得答案.【详解】设等比数列na的公比为q，1q，623a=，3363963323238aaaaqqqq+=+=+=，解得33q=或333q=（舍去），3202420213aqa==.故答案为：3.16.如图，已知椭圆22

112xy+=．设A，B是椭圆上异于()0,1P的两点，且点0,21Q在线段AB上，直线PA，PB分别交直线132yx=−+于C，D两点，点P到椭圆上点的距离的最大值为________；CD的最小值为________．【答案】①.121111②.655【解

析】【分析】①设两点间的距离公式表示PE，转化为二次函数求最值.②设直线AB的方程，联立直线与椭圆方程，韦达定理求出两根之和，两根之积，因此可以求出,CD两点的横坐标，进而表示出距离，根据二次函数的性质来求最值.【详解】①设点(,)Exy为椭圆上任意一点，则()

22221144111213111111PExyyyy=+−=−−+=−++，因此，当E点的坐标为12111(,)1111−时，PE取到最大值121111.②由题意，设AB直线方程为1122

1,(,),(,)2ykxAxyBxy=+，由直线方程与椭圆方程联立得22121212ykxxy=++=，则22(112)1290kxkx++−=，则121222129,112112kxxxxkk−−+==++，设(,),(,)CCDDCxyDxy

，由PA与CD的直线方程联立解得：114(21)1Cxxkx=+−，同理解得224(21)1Dxxkx=+−，则()22112121351611254212(21)()1231CDxxkCDxxkxxkxxk−+=+−==+−++++，当13k=−时，//PACD，或//PBCD，不符合题

意，；令31kt+=，则2352511616()292525CDt=−+，所以当316k=时，CD取得最小值，且最小值为655.故答案为：①121111；②655四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写

出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知圆C的圆心在x轴上，且经过()1,1A−和()3,3B两点．（1）求圆C的方程；（2）过点()7,5P的直线m被圆C截得的弦长为6，求直线m的斜率．【答案】（1）22460xyx+−−=（2）43k=或3

4k=【解析】【分析】（1）设出圆的方程，代入已知点，列方程组求解即可；（2）设出直线方程，利用垂径定理，列方程求出直线m的斜率.【小问1详解】由圆C的圆心在x轴上，设圆C的方程为220xyDxF+++=，1109930DFDF+−+=+++=，解得46DF=−

=−，所以圆C的方程为22460xyx+−−=；【小问2详解】由（1）得圆C的标准方程为()22210xy−+=，圆心()2,0C，半径10r=，设直线m的斜率为k，则直线m的方程为()75ykx=−+，即750kxyk−−+=，直线m被圆C截得的

弦长为6，则22262751021kkk−++=+，解得43k=或34k=.18.在①1425,,aaa成等比数列，②513Sa=，③数列nSn的前10项和为55这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题．已知等差数列na的前n项和为n

S，公差2d=，且__________（1）求数列na的通项公式；（2）求数列11nnaa+的前100项和．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）21nan=−（2）100201【解析】【分析】（1）若选①可得

24125aaa=，再根据等差数列通项公式求出1a，即可求出通项公式；若选②根据等差数列通项公式及求和公式求出1a，即可求出通项公式；若选③则11nSann=−+，再根据数列nSn的前10项和为55，求出1a，

即可求出通项公式；（2）由（1）可得1111122121nnaann+=−−+，利用裂项相消法计算可得.【小问1详解】解：若选①：由题意有24125aaa=，则2111(6)(48)aaa+=+，解得11a=，又2d=，所以1(1)

221nann=+−=−.若选②：由513Sa=得115452242aa+=+，解得11a=，又2d=，所以1(1)221nann=+−=−.若选③：11(1)221nnnnaSannn−+==−+，由题意得110(1)(12310)55a−+++++=，解得11a=，又2d=，那么1

(1)221nann=+−=−，所以数列{}na的通项公式21nan=−.【小问2详解】解：由（1）得111111(21)(21)22121nnaannnn+==−−+−+，所以1223341

001011111aaaaaaaa++++11111111[(1)()()()]233557199201=−+−+−++−1110012201201=−=.19.已知()()()()72701272111axaaxaxax−=+−+−++−，其

中0a，且3x的系数是22680−．（1）求a的值；（2）计算：（i）()()02461357aaaaaaaa++++++；（ⅱ）0127aaaa++++L（以上结果可保留幂的形式）【答案】（1）3（2）（i）()141134−；（ⅱ）2187【解析】【分析】（1）求出()72ax−的二项展开

式的通项1rT+，令3r=，可求出3x的系数，列方程可求a的值；（2）（i）令2x=和0x=得两个等式，利用两个等式整体计算可得()()02461357aaaaaaaa++++++；（ⅱ）令1xt−=，则1xt=+，可得()727012712

taatatat−=++++，通过展开式的通项可得()712t−各项展开式系数的正负，进而可得0127aaaa++++L的值.【小问1详解】()72ax−的二项展开式的通项为77177C(2)(2)CrrrrrrrrTaxax−−+=−−

=，令3r=，得337730(22682)Ca−=−−，29a=，又0a，3a=；【小问2详解】（i）由（1）得()()()()727012732111xaaxaxax−=+−+−++−，令2x=得()701273221aaaa++++=−=−①，令

0x=得701273aaaa−+−−=②，①+②得()70246213aaaa+++=−+，()702461132aaaa+++=−+，①−②得()71357213aaaa+++=−−，()713571132aaaa+++=−−，()()()()()77140246

1357111131313224aaaaaaaa++++++=−+−−=−;（ⅱ）令1xt−=，则1xt=+，()()7727012732112ttaatatat−+=−=++++，()712t−的

二项展开式的通项为177C(2)(2)CkkkkkkMtt+−−==，0246,,,aaaa为正数，1357,,,aaaa为负数，01277012732187aaaaaaaa=−+−−==++++L.20.在平面直角坐标系xOy中，已知点()()12121,0,

1,0,22FFMFMF−+=，点M的轨迹为C．（1）求C的方程；（2）是否存在过点1F的直线l与曲线C交于不同的两点A、B﹐满足23OABS=．若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2212xy+=（2）10xy++=或

10xy−+=【解析】【分析】（1）由轨迹特征可知是椭圆，待定系数法求C的方程；（2）设出直线方程，与椭圆联立方程组，由23OABS=结合韦达定理求解【小问1详解】因为122FF=，121222MFMFFF+=，所以C是以点12,F

F为左右焦点的椭圆，于是2a=，1c=，故1b=，因此C的方程为2212xy+=.【小问2详解】.直线l的斜率明显不为0，设:1lxmy=−，代人椭圆C的方程化简得22(2)210mymy+−−=，设1122(,),(,)AxyBxy，则12122221,,22myyyymm−

+==++则2221212122288()4(2)myyyyyym+−=+−=+，2122221||2myym+−=+，211221212||||223OABmSOFyym+=−==+，所以212m+=或2112m+=(舍)，解得1m=，所以直线l的方

程为10xy++=或10xy−+=21.“绿水青山就是金山银山”，治理垃圾是改善环境的重要举措之一．去年某地区产生的垃圾排放量为300万吨，通过扩大宣传、环保处理等一系列治理措施，预计从今年开始，连续6年，每年的垃圾排放量比上一年减少10万吨，从

第7年开始，每年的垃圾排放量为上一年的90%．（1）求该地区从今年开始的年垃圾排放量na关于治理年数()*Nnn的函数解析式；（2）该地区要实现“年垃圾排放量不高于150万吨”这一目标，那么至少要经

过多少年?（3）设nT为从今年开始n年内年平均垃圾排放量．如果年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势，则认为现有的治理措施是有显著效果的；否则，认为无显著效果，试判断现有的治理措施是否有显著效果，并说明理由．（参考数据：34560.90.729,0.90.6561,0.90.59049,

0.90.531441====）【答案】（1）610300,162400.9,7nnnnan−−+=，()*Nn（2）至少要经过11年（3）现有的治理措施是有显著效果的，理由见解析【解析】【分析】（1）设治理n年后，该地区的年垃圾排放量构成数列{}na，当6n，数列{}na是

首项为1290a=，公差为10−的等差数列，当7n时数列{}na是首项为760.9aa=，公比为0.9的等比数列，即可求出数列的通项公式，从而得解；（2）由（1）可得当7n时才有150na，令62400.9150n

na−=，结合所给数据求出n的取值范围，即可得解；的（3）设nS为数列{}na的前n项和，则nnSTn=，即可得到11121311()()()()(1)nnnnnnnaaaaaaaaTTnn+++

++−+−+−++−−=+，再结合数列的单调性判断出10nnTT+−，即可得解.【小问1详解】解：设治理n年后，该地区的年垃圾排放量构成数列{}na，当6n时，数列{}na是首项为130010290a=−=，公差为10−的等差数列，则1(1)290(1)(10)10300naa

ndnn=+−=+−−=−+；当7n时，数列{}na是首项为760.9aa=，公比为0.9的等比数列，则7672400.9nnnaaq−−==，因此，治理n年后，该地区的年垃圾排放量的表达式为610300,162400.9,7nnnnan−−+=，()*Nn.【

小问2详解】解：由（1）及题意得6240150a=，所以7n时才有150na，因此62400.9150nna−=，即60.90.625n−，又40.90.6561=，50.90.59049=，所

以64n−，即10n，min11n=，因而该地区要实现目标，那么至少要经过11年.【小问3详解】解：设nS为数列{}na的前n项和，则nnSTn=，由于1111(1)1(1)(1)nnnnnnnnSSnSnSnaSTTnnn

nnn++++−+−−=−==+++1112131()()()()(1)nnnnnaaaaaaaann++++−+−+−++−=+，由（1）知，16n时，10300nan=−+，则{}na递减数列，7n时，62400.9nna−=，则{}

na为递减数列，为且76aa，因此{}na为递减数列，于是110naa+−，120naa+−，130naa+−，…，10nnaa+−，因此10nnTT+−，所以数列{}nT为递减数列，即年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势，故认为现有的治理措施是有显著效果的.22.已知()4,0

F为双曲线()2222:10,0xyCabab−=的右焦点，点()()()11224,6,,,,APxyQxy在C上．（1）若直线AP，AQ的斜率之和为0，求直线PQ的斜率；（2）若1210,0xxy，过F的直线l与C的两条渐近线分别

交于M，N两点，//PQMN，过P且斜率为3−的直线与过Q且斜率为3的直线交于点G，若GMGN=，求证：G，M，N三点共线．【答案】（1）2k=−（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由双曲线过点(4,6)A及4c=，求出2a，即可得到双曲线方程，设11(,)

Pxy，22(,)Qxy，PQ：ykxm=+，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，根据0APAQkk+=，求出2k=−或64mk=−，即可得解；（2）设直线MN方程为(4)ykx=−，设00(,)Gxy，33(,)Mxy，44(,)Nxy，联立直线与2230xy−=，消元、列出

韦达定理，由GMGN=，可得222203030404()()()()xxyyxxyy−+−=−+−，从而得到2002163kxkyk+=−，再由直线PG的斜率为3−，直线QG的斜率为3，得到121203(2)yyxxx−=−+−，从而表示出直线PG的方程

，代入双曲线方程中求出P的横坐标1x，同理得到2x，即可得到00(4)ykx=−，从而得解.【小问1详解】解：因为点(4,6)A在双曲线C：2222116xyaa−=−上，所以221636116aa−=−，解得24a=，或264a=，又2160a−，则24a=，所

以双曲线C：221412xy−=．设11(,)Pxy，22(,)Qxy，易知直线PQ的斜率存在，设PQ：ykxm=+，联立221412ykxmxy=+−=可得222(3)2120kxmkxm−−−−=，所以12223mkxxk+=−，2122123mxxk−−=−，2222Δ44(

3)(12)0mkkm=+−+，化简得224120mk−+，且3k．由0APAQkk+=得121266044yyxx−−+=−−，即2112(4)(6)(4)(6)0xkxmxkxm−+−+−+−=，即12122(64)()8(6)0

kxxmkxxm+−−+−−=，所以2221222(64)8(6)033mmkkmkmkk−−+−−−−=−−，化简得22(26)(2)0kkmk+−++=，即(2)(46)0kkm+−+=，所以2k=−或64mk=−．当64mk=−时，直线PQ：(4)6ykxmkx=+=−+过点(4,6

)A，与题意不符，舍去，故2k=−．【小问2详解】解：由已知得直线PQ的斜率存在且不为零，//PQMN，故直线MN的斜率存在且不为零，设直线MN方程为(4)ykx=−，设00(,)Gxy，33(,)Mxy，44(,)Nxy，两渐近线的方程合并为2230xy−=，联立(4)ykx=−，消

去y并化简整理得2222(3)8160kxkxk−−+=，则234283kxxk+=−，3434224()83kyykxxkk+=+−=−．因为GMGN=，所以222203030404()()()()xxyyxxyy−+−=−+−，移项并利用平方差公式整理得：3403434034()[2

()]()[2()]0xxxxxyyyyy−−++−−+=，3403403434[2()][2()]0yyxxxyyyxx−−++−+=−，即200228242(2)033kkxkykk−+−=−−，即2002163kxkyk+=−.由题意知直线PG的

斜率为3−，直线QG的斜率为3，所以10103()yyxx−=−−，20203()yyxx−=−，可得121203(2)yyxxx−=−+−，因此直线PQ的斜率1201212123(2)xxxyykxxxx+−−==−−−，直线PG：003()yxxy=−−+，即

0033yyxx=+−，代入双曲线方程223120xy−−=即(3)(3)12xyxy+−=中，得0000(3)[23(3)]12yxxyx+−+=，解得P的横坐标10000112(3)233xyxyx=+++，同理20000112(3)233xyxyx=−+−−，可得01202

200121()33yxxyyx−=+−，0120022001223xxxxxyx+−=−−−，所以12001203(2)3xxxxkxxy+−=−=−，因2002163kxkyk+=−，解得20243kxk=−，02123kyk=−，所以0021243yxkk−==−，即00(4)y

kx=−，则点G在直线MN上，所以G，M，N三点共线.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,xy、()22,xy；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x

（或y）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；为（4）将所求问题或题中的关系转化为12xx+、12xx的形式；（5）代入韦达定理求解.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xia

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