【文档说明】湖北省华中师范大学第一附属中学2023-2024学年高三上学期期中数学试题（解析版）.docx，共(28)页，1.425 MB，由小赞的店铺上传

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华中师大一附中2023-2024学年度上学期高三期中检测数学试题命题人：余文抒徐聪王文莹审题人：王文莹试卷满分：150分考试时间：120分钟一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z满

足i2zz+=，则iz+的模为（）A.1B.2C.5D.5【答案】D【解析】【分析】先化简求出z,再根据共轭复数定义求出iz+,最后根据模长公式求解即可.【详解】()()()()()221i21i2i21+i2,1i1+i1i1i

1izzzz−−+======−−+−，,=1ii=1+i+i=1+2izz++，,22i=12i=1+2=5z++.故选:D.2.已知集合224,Zlog3xAxBxx==∣∣，则()RAB=ð（）A.()0,2B.(0,2C.1,2D.(1,2【答案】

C【解析】【分析】利用指数函数单调性求解集合A，从而求解RAð，利用对数函数单调性结合整数概念求解集合B，最后利用交集运算即可求解.【详解】因为集合242xAxxx==，所以R2Axx=ð，又32Zlog3Z021,2,3,4,5

,6,7Bxxxx===，所以()RAB=ð1,2.故选：C3.在ABC中，“π6A”是“1sin2A”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析

】结合正弦函数的性质由1sin2A，可得π5π66A，再根据充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】在ABC中，()0,πA，由1sin2A，可得π5π66A，所以“π6A”是“1sin2A”的必要不充分条件.故选：B.4.已知函数()s

in(0)fxx=的图象的一部分如图1，则图2中的函数图像对应的函数是（）A.122yfx=−B.122xyf=−C.12xyf=−D.()21yfx=−【答案】D【解析】【分析】根

据三角函数的平移伸缩可以得出函数关系.【详解】()sin(0)fxx=过点1,12得1sin=π2=，,()sinπfxx=,由图1和图2可知：函数的周期减半，就是()()2fxfx→,图1→图2说明图象向右平移

12单位，得到()21yfx=−的图象．故选:D.5.在边长为2的正六边形ABCDEF中，ACBF=（）A.6B.-6C.3D.-3【答案】B【解析】【分析】根据题意建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，设出,,,ACBF的坐标，求出ACBF即可得出答案．【详解】正六边形AB

CDEF中，每个内角都是120，30FEAFAE==，有EAAB⊥，以A为原点，AB为x轴，AE为y轴，，建立平面直角坐标系，如图所示：因为2==ABAF，1cos1202=−，3sin1202=，则有()1,3F−，所以(0,0)A，(2,0)B，()3,3C，(3,3)AC=

，()3,3BF=−，由平面向量数量积的运算可得()3333936ACBF=−+=−+=−.故选：B．6.在声学中，音量被定义为：020lgppLp=，其中pL是音量（单位为dB），0P是基准声压为5210Pa−，P是实际声音压强.人耳能听到的最小音量称为听觉下限阈值.经过研究表

明，人耳对于不同频率的声音有不同的听觉下限阈值，如下图所示，其中240Hz对应的听觉下限阈值为20dB，1000Hz对应的听觉下限阈值为0dB，则下列结论正确的是（）A.音量同为20dB的声音，30~100Hz的低频比1000~10000Hz的高频更容易被人们听到.B.听觉下

限阈值随声音频率的增大而减小.C.240Hz的听觉下限阈值的实际声压为0.002Pa.D.240Hz的听觉下限阈值的实际声压为1000Hz的听觉下限阈值实际声压的10倍.【答案】D【解析】【分析】对于选项A、B，可以直接观察图像得出听觉下限

阈值与声音频率的关系进行判断；对于C、D，通过所给函数关系020lgppLp=代入听觉下限阈值计算即可判断.【详解】对于A，30~100Hz的低频对应图像的听觉下限阈值高于20dB，1000~10000Hz的高频对应的听

觉下限阈值低于20dB，所以对比高频更容易被听到，故A错误；对于B，从图像上看，听觉下限阈值随声音频率的增大有减小也有增大，故B错误；对于C，240Hz对应的听觉下限阈值为20dB，50210PaP−=，令020lg20ppLp==，此时0100.0002pp=

==Pa，故C错误；对于D，1000Hz的听觉下限阈值为0dB，令020lg0ppLp==，此时0pp=，所以240Hz的听觉下限阈值的实际声压为1000Hz的听觉下限阈值实际声压的10倍，故D正确.故选：D.7.若实数,

,abc满足lnsin1aeabbcc+=+=+=，则,,abc的大小关系为（）A.acbB.abcC.cabD.bac【答案】A【解析】【分析】由切线放缩可求a，根据对数函数性质和正弦值域可判断b，由不等式的关系可判断bc.【详

解】因为0sin1<1，当0x时，设()e1xfxx=−−，则()e1xfx=−，易知当0x=时，()00e10f=−=，当0x时，()fx单调递增，所以e1xx+；()0x所以sin1=e10aaaaa+++；由

已知可得0b，因为0sin1<1，所以01b；ln0b，所以sin1lnbb=−；因为00cc，所以sin1ccb=−；故acb；故选：A8.已知函数()sin3cos(0)fxxx=+在区间ππ,62

上恰有两个极值点，且ππ062ff+=，则的值可以是（）A.6B.7C.8D.9【答案】C【解析】【分析】先根据辅助角公式计算化简函数，再结合选项得出矛盾判断A,B,D选项，再计算说明C选项正确即可.【详解】()πsin3

cos=2sin3fxxxx=++,当=6时,()π2sin63fxx=+()ππππ=2sinπ+2sin3π3306233ff+++=−+−,A选项错误;当=7时,()π2sin73fxx

=+()ππ7ππ7ππ=2sin+2sin210626323ff+++=−+−,B选项错误;当=9时,()π2sin93fxx=+ππ9ππ9ππ=2sin+2

sin110626323ff+++=−+=,πππ11π29π,,9,62366xx+,()π2sin93fxx=+恰有三个极值点，D选项错误;当=8时,()π2sin83fxx

=+ππ8ππ8ππ=2sin+2sin330626323ff+++=−+=,πππ5π13π,,8,62333xx+,()π2sin83fxx=+恰有

两个极值点，C选项正确;故选:C.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数()fx及其导函数()fx的部分图象如图所示，设函数()()xfx

gx=e，则()gx（）A.在区间(),ab上是减函数B.在区间(),ab上是增函数C.在xa=时取极小值D.在xb=时取极小值【答案】BC【解析】【详解】根据图象得到()()fxfx−的符号，即可

得到()gx的符号，进而得到()gx的单调性和极值.【分析】结合图像可知，当xa时()()0fxfx−，当axb时，()()0fxfx−，当xb时，()()0fxfx−，()()()exfxfxgx−=，因e0x，故当xa时，()()()0xfxfxgxe−=

，()gx在区间(),a−上单调递减，当axb时，()()()0exfxfxgx−=，()gx在区间(),ab上单调递增，当xb时，()()()0xfxfxgxe−=，()gx在区间(),b+

上单调递减，故()gx在xa=处取得极小值，在xb=处取得极大值，故选：BC10已知0,0,abab，且2ab+=，则（）A.112ab+B.22112ab+C.222ab+D.22loglog2ab+【答案】ABC【解析】【分析】根据基本不等式即可结合选项逐一求解.【详解】(

)11111112222222babaababababab+=++=+++=，当且仅当baab=，即ab=时取等号，由于ab¹，所以112ab+，A正确，由于212abab+=，22221111222ababab+=

，当且仅当2211ab=且ab=时，即ab=时取等号，由于ab¹，所以22112ab+，B正确，由2ab+=以及0,0,abab可得22222224ababab++==，当且仅当22ab=，即ab=时取等号，由于ab¹，所以2242ab+，故C正确，2222logloglo

glog10abab+==，当且仅当baab=，即ab=时取等号，由于ab¹，22loglog0ab+所以D错误，故选：ABC11.若函数()()sincostanfxxax=+在区间()0,πn有2024个零点，则整数n可以是（）A.2022B.2023C.2024D.2025【

答案】BCD.【解析】【分析】令()()sincostan0=+=fxxax，则()sincostan=−xax，将函数零点转化为两个函数()ygx=与tan=−yax的交点，结合函数性质以及函数图象分析判断.【详解】令()()sincostan0=+=fxxax，则()sincosta

n=−xax，对于函数()()sincosgxx=，由cos1,1x−，可知()()sincossin1,sin1=−gxx，因()()()()2πsincos2πsincos+=+==gxxxgx，且()()()()2πsinc

os2πsincos−=−==gxxxgx，()gx的周期为2π，且关于直线πx=对称，又因为()()coscossin=−gxxx，当0,πx，则cos1,1,sin0,1−xx，且()

coscos0x，可知()()coscossin0=−gxxx，则()gx在0,π上单调递减，可知()gx在π,2π上单调递增，若0a=时，因为tanyx=的定义域为π|π,2xxkk+Z，则cos0x，可知()()sincos0=fxx，无零点，不

合题意，若0a时，0a−，结合图象可知：()ygx=与tan=−yax在ππ0,,,π22轹骣麋?ê麋?麋?êë内各有一个交点，在3π3ππ,,,2π22内没有交点，为所以()()sincostanfxxax=+在()0,π内有2个零点，在()π,2π内没有零点（

区间端点均不是零点），因为()ygx=与tan=−yax的周期均为2π，则()fx周期为2π，结合周期可知：若数()()sincostanfxxax=+在区间()0,πn有2024个零点，则整数n可以是2023或2024，若0a时，0a−，结合图象可知

：()ygx=与tan=−yax在ππ0,,,π22轹骣麋?ê麋?麋?êë内没有交点，在3π3ππ,,,2π22内各有一个交点，所以()()sincostanfxxax=+在()0,π内没有零点，在()π,2π

内有2个零点（区间端点均不是零点），结合周期可知：若数()()sincostanfxxax=+在区间()0,πn有2024个零点，则整数n可以是2024或2025；综上所述：整数n可以是2023或20

24或2025.故选：BCD.【点睛】关键点睛：将函数()fx转为两个函数：()ygx=与tan=−yax的零点，结合函数性质分析判断，并注意讨论a的符号.12.已知定义在R上的函数()yfx=图象上任意一点(),x

y均满足20132013sinsineeeeyxxxyx−−−−=−，且对任意()0,x+，都有()()21eln0xfxafxx−−+恒成立，则下列说法正确的是（）A.()2023sinfxxx=−B.()fx是

奇函数C.()fx是增函数D.1ea【答案】BCD【解析】【分析】利用函数()=eexxgx−−的单调性可求()2013sinfxxx=+判断A，根据奇函数的定义判断B，根据导数符号判断函数的单调性判断C

，根据奇函数和单调性把不等式化为21lnexxxxa−+在()0,+上恒成立，构造函数求解最值即可判断D.【详解】20132013sinsineeeeyxxxyx−−−−=−，有()20132013sinsinee=eeyxyxxx−−−−−−，记()=eexxgx−−，则

()=ee0xxgx−+，所以()=eexxgx−−在R上单调递增，所以2013sinyxx−=，所以()2013sinfxxx=+，故选项A错误；因为()()()()()20132013sinsinfxxxxxfx−=−+−=−+=−且定义

域R关于原点对称，所以()fx是奇函数，故选项B正确；记()()2012cos2013hxfxxx=+=，)0,x+，则()2011sin20132012hxxx=−+，)0,x+，对

)0,x+，因为sinyxx=−，则cos10yx=−，即函数sinyxx=−在)0,+单调递减，又0x=时，0y=，则sin0xx−，即sinxx，根据幂函数性质知201120132012xx

，所以()2011sin20132012sin0hxxxxx=−+−，所以函数()()2012cos2013hxfxxx=+=在)0,+上单调递增，所以()()010fxf=，所以函数()2013sinfxxx=+在)0,+上单调递增，又(

)fx是奇函数，由奇函数性质知()fx是增函数，故选项C正确；因为对任意()0,x+，都有()()21eln0xfxafxx−−+恒成立，所以()()()21elnlnxfxafxxfxx−−−=−在()0,+上恒成立，所以21elnxxaxx−−−即21lnexxxxa−+在()

0,+上恒成立，记()1lnmxxx=−−，()0,x+，则1()1mxx=−，当()0mx=时，1x=，当()0mx时，1x，当()0mx时，01x，所以()1lnmxxx=−−在()1,+上单调递增，在()0,1

上单调递减，所以()1ln(1)0mxxxm=−−=，所以1lnxx+，所以22121lneexxxxxx−−+，()0,x+，记()221exxnx−=，()0,x+，则()()2121exxxnx−−=，当()0n

x=时，1x=，当()0nx时，01x，当()0nx时，1x，所以()221exxnx−=在()1,+上单调递减，在()0,1上单调递增，所以()()22111eexxnxn−==，所以21ln1exxxx−+，当且仅当1x=时等号成立，所以1ea，故选项D

正确.故选：BCD【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数取值时，一

般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别.三､填空题：本题共4小题，

每小题5分，满分20分13.若直线yxa=+与曲线1e1xyb−=−+相切，则ab+=__________.【答案】1【解析】【分析】求导，结合导数的几何意义分析求解.【详解】因为1e1xyb−=−+，则1exy−=，设切点坐

标为()00,xy，则00110e1e1xxbxa−−=−+=+，解得011xab=+=.故答案为：1.14.杭州第19届亚洲运动会，于2023年9月23日至10月8日在中国浙江省杭州市举行，本届亚运会的会徽名为“潮涌”，主体图形

由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图形六个元素组成（如图），其中扇面造型突出反映了江南的人文意蕴.已知该扇面呈扇环的形状，内环和外环均为圆周的一部分，若内环弧长是所在圆周长的13，内环所在圆的半径为1，径长（内环和外环所在圆的半径之差）为

1，则该扇面的面积为__________.的【答案】π【解析】【分析】根据题意求出内环圆弧所对的圆心角，并求出外环圆弧所在圆的半径，利用扇形的面积公式可求得该扇面的面积.【详解】设内环圆弧所对的圆心角为，因为内环弧长是所在圆周长的13，且内环所

在圆的半径为1，所以，112π13=，可得2π3=，因为径长（内环和外环所在圆的半径之差）为1，所以，外环圆弧所在圆的半径为112+=，因此，该扇面的面积为()2212π21π23−=.故答案为：π.15.一只钟表的时针OA与分针OB长度分

别为3和4，设0点为0时刻，则OAB的面积S关于时间t（单位：时）的函数解析式为__________，一昼夜内（即0,24t时），S取得最大值的次数为__________.【答案】①.11π6|sin|6St=（0t

，且6,N11ntn）②.44【解析】【分析】根据给定条件，求出AOB，再利用三角形面积公式列式即得；探求面积函数周期即可计算得解.【详解】OA旋转的角速度为πrad/h6−，OB旋转的角速度为2πrad/h−，11π2π6AOBtk=−或112ππ2π6

AOBtk=−+，Zk，111π34|sin|6|sin|26SAOBt==，而当6,N11ntn=时，不能构成三角形，所以11π6|sin|6St=（0t，且6,N11ntn）；显然函数11π6|sin|6St=的周期为611且每个周期仅出现一次最大值，而6244411=

，所以S取得最大值的次数为44.的故答案为：11π6|sin|6St=（0t，且6,N11ntn）；4416.如图，在四边形ABCD中，,4,2120ADCDBDADCABC====，则ABC面积的最大值为________

__.【答案】33【解析】【分析】通过证明ABC是等边三角形并得出边长，即可求出三角形面积的最大值.【详解】由题意，在四边形ABCD中，4,2120BDADCABC===，∴60,180ABCABCADC=

+=,∴四边形ABCD四点共圆，在ACD中，ADCD=，120ADC=,∴ACD是等腰三角形，30ACDCAD==，在ABC中，2120ABC=∴60ABC=，()22133sin248SABBCABCABBCABBC=

=+,当且仅当ABBC=时，等号成立，∵当ABBC=时，BD垂直平分AC,∴ACBD⊥,ABC是等边三角形，2ACAE=，∴1302ABDCBDABC===,1602ADECDEADC===∴18030

6090BADBCD==−−=,∴3,33AEDEBEAEDE===,∵44BDBEDEDE=+==,∴1,3,223DEAEACAE====∴ABC面积的最大值为()22max33233344SAC===,故答案为：33.四､

解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知()π2sinsin3fxxx=+（1）求()fx的单调递增区间与对称中心；（2）当0,xa时，()fx的取值范围为30,2，求实数a的取值范围.【答案】（1

）()πππ,π+Z63kkk−，()ππ1,Z2122kk+（2）π2π,33【解析】【分析】（1）先利用三角恒等变换将函数表达式化简，然后根据正弦的单调递增区间与对称中心的定义计算即可得解.（2）画出函数图象分析可知当且仅当12xa

x时，其中()13min0|2xxfx==，()2min0|0xxfx==，满足题意，从而计算即可得解.【小问1详解】由题意()π132sinsin2sinsincos322fxxxxxx=+=+

2311π1sin3sincossin2cos2sin222262xxxxxx=+=−+=−+，令()πππ2π22π+Z262kxkk−−,解得()ππππ+Z63kxkk−，令

()ππZ62kkx−=，解得()ππZ212kxk=+，所以()fx的单调递增区间与对称中心分别为()πππ,π+Z63kkk−，()ππ1,Z2122kk+.【小问2详解】

()π1sin262fxx=−+的函数图象如图所示，由题意当0,xa时，()fx的取值范围为30,2，故当且仅当12xax，其中()13min0|2xxfx==，()2min0|0xxfx==，令()π13sin2622fxx=

−+=，得πsin216x−=，即()ππ22πZ62xkk−=+，解得()ππZ3xkk=+，所以()13min0|min3|πππZ2,30xxfxxkxk=====+，

令()π1sin2062fxx=−+=，得π1sin262x−=−，即()ππ22πZ66xkk−=−+或()π7π22πZ66xkk−=+，解得()πZxkk=或()2ππZ3xkk=+，所以()132π2π

min0|min0|ππ,Z233xxfxxxkxkk=====+=或，综上所述：满足题意的实数a的取值范围为π2π,33.18.记ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，已知π2sin6+=+bcaC.（1）求A

的值；（2）若BAC的平分线与BC交于点,23DAD=，求ABC面积的最小值.【答案】（1）π3A=（2）43【解析】【分析】（1）根据题意，利用正弦定理和三角恒等变换化简得π1sin62A−=，再

结合正弦函数的性质分析求解；（2）根据题意得BADCAD=，结合ABCABDACDSSS=+，得到()2bcbc=+，结合基本不等式，即可求解.【小问1详解】因为π2sin6+=+bcaC，由正弦定理可得πsins

in2sinsin6+=+BCAC，则()sinsinsinsinsincoscossinsin+=++=++BCACCACACC，π312sinsin2sinsincos3sinsinsincos622+=+=+ACACCACAC，即sincosc

ossinsin3sinsinsincosACACCACAC++=+，可得3sinsincossinsinACACC−=，因为()0,πC，则sin0C，则3sincos1AA−=，整理得π1sin62A−=，又因为()0,πA，则ππ5π,666A

−−，可得ππ66A−=，所以π3A=.【小问2详解】因为AD平分BAC且22AD=，所以π6BADCAD==，由ABCABDACDSSS=+，可得1311112323222222=+bccb，整理得()24bcbcbc=+

，则16bc，当且仅当bc=时，等号成立，故ABC面积的最小值为13164322=．19.已知函数()3log(0afxxxa=−且1)a，（1）求函数()fx的单调区间；（2）若函数()fx有最大值122log333a−，求实数a的

值.【答案】（1）答案见解析（2）e【解析】【分析】（1）首先对()fx求导，然后分01a和1a讨论导函数的符号，从而即可得解.（2）结合（1）中分析可知，当且仅当1111,log33ln122log33

33lnaaaaa−=−，通过构造函数()1log3agxxx=−，说明()max23gxg=即可得解.【小问1详解】由题意()()2l,013nfxxxax=−，分以下两种情形来讨论函数()fx的单调区间，情形一：

当01a时，()()201ln0,3l0,nafxxxax−=，所以()fx的单调递减区间为()0,+，没有单调递增区间.情形二：当1a时，令()3201l1n0,n3lnln3lafxxxaxaxa−

=−==，解得3103lnxa=，当310,3lnxa时，()313ln0lnfxxaxa−=，当31,3lnxa+时，()313ln0lnfxxaxa−=，所以()fx的单调递增区间为310,3lna，单

调递减区间为31,3lna+.综上所述：当01a时，()fx的单调递减区间为()0,+，没有单调递增区间；当1a时，()fx的单调递增区间为310,3lna，单调递减区间为31,3lna+.【

小问2详解】由题意若函数()fx有最大值122log333a−，则由（1）可知当且仅当1a时，()fx有最大值()3max13lnfxfa=，因此3333111111log3ln3l122logln3ln33ln

33log33naaafaaaaa==−−−=，不妨令()1log3agxxx=−，求导得()()113ln1,0,13ln3lnxagxxaxaxa−=−=，令()13ln03lnxagxxa−

==，解得103lnxa=，当10,3lnxa时，()13ln03lnxagxxa−=，当1,3lnxa+时，()13ln03lnxagxxa−=，所以()1log3agxxx=−在10,3lna上单调递增，在1,

3lna+上单调递减，所以()max111log333l122llon3g33naagxaa=−=−，故只能13ln23a=，解得1ln,e12aa==符合题意；综上所

述，满足题意的实数a的值为e.20.某城市平面示意图为四边形ABCD（如图所示），其中ACD内的区域为居民区，ABC内的区域为工业区，为了生产和生活的方便，现需要在线段AB和线段AD上分别选一处位置，分别记

为点E和点F，修建一条贯穿两块区域的直线道路EF，线段EF与线段AC交于点G，EG段和GF段修建道路每公里的费用分别为10万元和20万元，已知线段AG长2公里，线段AB和线段AD长均为6公里，π,6⊥=ABACCAD，设AEG=.（1）求修建道路的总费用

y（单位：万元）与的关系式（不用求的范围）；（2）求修建道路的总费用y的最小值.【答案】（1）2020πsinsin3=+−y（2）80万元【解析】【分析】（1）根据题意结合正弦定理可得2sin=EG

，1πsin3=−GF，进而可得解析式；（2）利用三角恒等变换整理可得2π80sin3π4sin33+=+−y，换元令π3sin,132=+t，结合函数单调性求最值.【小问1详解】在RtAEG

△中，因为sin=AGAEGEG，可得2sinsin==AGEGAEG，在AFG中，可知π3=−AFG，由正弦定理sinsin=GFAGGAFAFG，可得sin1πsinsin3==−AGGAFGFAFG，所以202010

20πsinsin3=+=+−yEGGF.【小问2详解】由（1）可知：22020204020sin203cosπsinsin3cossin3sincossinsin3+=+=+=−−−y2ππ80sin8

0sin332ππ2cos214sin333++==−+−+−，因为π03，则ππ2π,333+，令π3sin,132=+

t，则280803434==−−tyttt，且34,==−ytyt在3,12上单调递增，可知34ytt=−在3,12上单调递增，所以280803434==−−tyttt在3,12上单调递减，当1t=，即π

6=时，修建道路的总费用y取到最小值80万元.21.已知函数()esinsin,π,0xfxxxxx=+−−（1）求()fx的零点个数；（2）若()40kfx−恒成立，求整数k的最大值.【答案】（1）2个（2）1−【解析】【分析】（1）

令()esinsin0xfxxxx=+−=可得esin1xxx=−，利用导数判断出函数()e1xgxx=−在π,0x−上的单调性，利用函数与方程的思想画出函数()e1xgxx=−与sinyx=在π,0−内的图象，根

据交点个数即可求得()fx的零点个数；（2）易知()e1xx+，sinxx在π,0x−上恒成立，则可得()()()e1sin11xfxxxxxx=+−++−，求出221yxx=−++在π,0x−上的最小值即可得2π2π14k−++

，便可知整数k的最大值为1−.【小问1详解】根据由题意可知，令()esinsin0xfxxxx=+−=，又π,0x−，整理可得esin1xxx=−；令()e,π,01xgxxx=−−，则()()()()()22ee112e1xxxxxxgxx=−−−−−=，显然当

π,0x−时，()()()2e012xxgxx−=−<恒成立，所以可得()e1xgxx=−在π,0−上单调递减，且()e01xxgx=−<在π,0x−上恒成立，易知函数sinyx=在ππ,2−−上单调递减，在π,02−上单调递增；且()()πesinπ0ππ

1g−−−=−=+>，()πsin1,sin00120g−=−=−=>画出函数()e,π,01xgxxx=−−和函数sin,π,0yxx=−在同一坐标系下的图象如下图所示：由图可知函数()e1x

gxx=−与sinyx=在区间π,0−上有两个交点，即可得函数()esinsin,π,0xfxxxxx=+−−有两个零点；【小问2详解】若()40kfx−恒成立，可得()4fxk，令()π,0s

in,hxxxx−−=，则()1cos0hxx=−在π,0−上恒成立，即可得()sinhxxx=−在π,0−上单调递增，所以()()sin00hxxxh=−=，所以sin0xx−在π,0−上恒成立，

即sinxx；令()()0e1,π,xxxx−=−+，则()e10xx=−在π,0−上恒成立，即()()e1xxx=−+在π,0−上单调递减，即()()()e100xxx=−+=，所以()e

1xx+在π,0−上恒成立，可得()()()2esinsine1sin1121xxfxxxxxxxxxxx=+−=+−++−=−++；易知函数221yxx=−++在π,0x−上单调递增，因此2minπ2π1y=−++，即只需2minπ

2π14yk=−++即可得2π2π14k−++，易知()2π2π12.57961,044−++−−，所以1k−；注意到，由（1）可知，由()fx有两个零点可知，必存在0π,0x−，使得()00f

x，所以当0k时，()()0040kfxfx−−，故()40kfx−不恒成立；综上，整数k的最大值为1−.22.已知函数()2e2lnxfxkxxx=−+有三个极值点123,,xxx，且123xxx.（1

）求实数k的取值范围；（2）若2是()fx的一个极大值点，证明：()()23131efxfxkkxx−−−.【答案】（1）22eee,,22+（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）利用函数极值点个数可得()()3

2exxfxkxx−−=在()0,+上至少有三个实数根，即可知exkx=在()0,+有两个不等于2的不相等的实数根；利用导数求出()()e,0,xgxxx=+的单调性并在同一坐标系下画出函数(

)gx与函数yk=的图象即可求得实数k的取值范围；（2）根据（1）中的结论可得22x=，将要证明的不等式化为131ekxx，利用分析法可得需证明311exx−，由()gx的单调性可知()()()3113exgxggx−=

，化简可得313e01lnxx−−−，构造函数()1e,11lnxhxxx−=−−>即可得出证明.【小问1详解】根据题意可知，函数()fx的定义域为()0,+，则()()()224332eee222221exxxxxfxkkxxxxx

xkxxxxx−−−−−=−−+=−=，由函数()fx有三个极值点123,,xxx可知()()3e02xxfxxkx−−==在()0,+上至少有三个实数根；显然()20f=，则需方程3e0xkxx−=，也即e0xkx−=有两个不等于2

不相等的实数根；由e0xkx−=可得exkx=，()0,x+，令()()e,0,xgxxx=+，则()()()2e1,0,xxgxxx−=+，显然当()0,1x时，()0gx，即()gx在()0,1上单调递减；当()1,x+时，

()0gx，即()gx在()1,+上单调递增；所以()()1egxg=，画出函数()()e,0,xgxxx=+与函数yk=在同一坐标系下的图象如下图所示：的由图可得ek且2e2k时，exkx=在()0,+上有两个不等于2的相异的实数根，经检验可知当22

eee,,22k+时，导函数()()32exxfxkxx−−=在123,,xxx左右符号不同，即123,,xxx均是()0fx=的变号零点，满足题意；因此实数k的取值范围时22eee,,22+

【小问2详解】根据题意结合（1）中的图象，由123xxx可知12x，若2是()fx的一个极大值点，易知函数()fx在()10,x上单调递减，可知22x=；因此13,xx是方程exkx=的两个不相等的实数根，即3113,eexxkxkx==所以()

33333233333e22lnlnl1nxkkfxkxkxkxxxxxx=−+=−−=−+，同理可得()111ln1fxkxx=−+，所以()()333313333131313113111111lnl11nlnln1l1nxxxkxkxkxx

kfxfxxxxxxxxxxxxxxxx−+++−+−−−+−−===−−−−由3113,eexxkxkx==可知3331111331eelnlnlnlneeexxxxxxxkxxxk−====−,所以()()13131111331313331

313131n1lxxxxxkkxxfxfxxxxxxkxxxxxxxx−−−+−+−−===−−−−又22eee,,22k+，要证()()23131efxfxkkxx−−−，即证21

311ekkkxx−−，也即13111ekxx−−，所以131ekxx；只需证13ekxx，即31eexx可得311exx−；由（1）可得1301,1xx>，所以可得310e1x−，且根据（1）中结论可知函数()exgxx=在()0,1上单调递减；所以要证

证311exx−，即证()()311exggx−，又3131eexxkxx==，即()()13gxgx=，即证()()313exggx−，即1333e13eeexxxx−−，可得13e3eexx−，即3131elnxx−−，

可得313e01lnxx−−−，令()1e,11lnxhxxx−=−−>，则()11e1e1xxxhxxx−−=−+−=，令()1e1,1xxxxu−−=>，则()()1e01xuxx−=−<，所以()ux在()1,+上单调递减，即()

()10uxu=，所以()0hx，即()hx在()1,+上单调递减；因此()()10hxh=，即可得证.【点睛】方法点睛：在处理函数极值点问题时，是将极值点转化成导函数的变号零点，利用函数与方程的思想转化为图像交点个数的问题；双变量问题一般是通过已

有的等量关系或者构造函数转化为单变量问题，利用单调性求解即可.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com