【文档说明】黑龙江省哈尔滨市第三中学2021届高三下学期第三次模拟考试文科数学试卷 含解析【精准解析】.doc，共(19)页，1.063 MB，由小赞的店铺上传

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2021年黑龙江省哈尔滨三中高考数学三模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．）1．已集合A＝{x|x2﹣2x≤0}，B＝{x|0＜lgx≤1}，C＝{x|x＜}，若（A∪B）∩C＝{x|0≤x＜3}，则a的值为（）A．1B．3C．6D．82．

已知函数f（x）为奇函数，当x＞0时，f（x）＝log2（x+1）+ax，且f（﹣3）＝a，则a＝（）A．B．C．log23D．23．刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国最宝贵的文化遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率π，理论

上能把π的值计算到任意的精度．割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积．若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是（）A．B．C．D．4．三年前，为了让学生了解社会，拓宽视野，丰富知识，提高社会实践能力和综合素质，哈三中团委组织学生参加了抽测一批棉花的纤维长度（单

位：cm）的社会实践活动．利用所学习的数学知识，同学们作出了样本的频率分布直方图．现在，由于原始数据不全，只能通过直方图来估计这一批棉花的纤维长度的中位数．则估计的中位数为（）A．21.25B．22.75C．23.25D．20.25

5．“x＞y＞0”是“ln（x+1）＞ln（y+1）”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．已知，则＝（）A．B．C．D．7．一只蚂蚁从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1位置，则下列图形中可以

表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（）A．①②B．①③C．③④D．②④8．函数f（x）＝+1的大致图象为（）A．B．C．D．9．已知m为常数，在某个相同的闭区间上，若f（x）为单调递增函数，f（x+m）为单调递减函数，则称此区间为函数

f（x）的“m﹣LD”区间．若函数f（x）＝3sin（2x﹣），则此函数的“﹣LD”区间为（）A．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）B．[kπ+，kπ+]（k∈Z）C．[kπ+，kπ+]（k∈Z）D．[kπ+，kπ+]（k∈Z）10．已知直线y＝2x+m与圆x2+y2＝1相交于不同的两

点A、B，O为坐标原点，且，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）B．（﹣，﹣]∪[，）C．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）D．[，]11．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线的斜率为，点M为此渐近线上的一点，O为坐标原点．双曲线C的左、右顶点为A、B，焦距为2|OM|，则

∠AMB为（）A．B．C．D．12．复利是指一笔资金产生利息外，在下一个计息周期内，以前各计息周期内产生的利息也计算利总的计息方法．单利是指一笔资金只有本金计取利息，而以前各计息周期内产生的利息在下一个计息周期内不计算利息的计息方法

．小闯同学一月初在某网贷平台贷款10000元，约定月利率为1.5%，按复利计算，从一月开始每月月底等额本息还款，共还款12次，直到十二月月底还清贷款，把还款总额记为x元．如果前十一个月因故不还贷款，到十二月月底一次还清，则每月按照贷款

金额的1.525%，并且按照单利计算利息，这样，把还款总额记为y元，则y﹣x的值为（）（参考数据：1.01512≈1.2）A．﹣170B．1200C．1030D．900二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量，的夹角为120°

，||＝2，||＝1，若（+3）⊥（2+λ），则λ＝．14．在复平面内，已知复数z对应的点在曲线C：+y2＝1上，则|z﹣1|最大值是．15．双曲线﹣y2＝1的渐近线与直线x＝围成的图形绕y轴旋转360°，则

所得旋转体的体积为；表面积为．16．已知[x]表示不超过x的最大整数，例如：[2.3]＝2，[﹣1.5]＝﹣2，在数列{an}中，an＝[lgn]，n∈N+，记Tn为数列{an}的前n项和，则T2021＝．三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说

明，证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，

且满足（2b﹣c）cosA﹣acosC＝0．（1）求角A的大小；（2）求cosB+cosC的取值范围．18．在刚刚过去的寒假，由于新冠疫情的影响，哈尔滨市的A，B两所同类学校的高三学年分别采用甲，乙两种方案进行线上教学，为观测其教学效果，分别在两所学校各随机抽取60名学生，对每名学生进行综合测试

评分，记综合评分为80分及以上的学生为优秀学生．经统计得到两所学校抽取的学生中共有72名优秀学生，且A学校的优秀学生占该校抽取总人数的．（1）填写下面的列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.1的前提下认为学生综合测试评分优秀与教学方案有关．优秀学生非优秀学生

合计甲方案乙方案合计（2）在A学校的60名学生中依据综合测评是否优秀进行分层抽样，抽取容量为6的样本，在6名学生中随机抽取2名同学，求2名同学都是优秀学生的概率．附：P（K2≥k0）0.150.100.050.

0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d）19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1＝AB1＝AB＝BC，D为AC的中点，AB⊥B

1D，∠B1BC＝90°．（1）求证：平面ABB1A1⊥平面ABC；（2）求直线DB1与平面ABB1A1所成的角．20．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线与C交于A，B两点，△AOB（点

O为坐标原点）的面积为2．（1）求抛物线C的方程；（2）设不经过原点O的直线l与抛物线交于P、Q两点，设直线OP、OQ的倾斜角分别为α和β，证明：当α+β＝时，直线l恒过定点．21．已知函数f（x）＝lnx+mx2

﹣x的图象在点（1，f（1））处的切线为l．（1）当m＝1时，求直线l的方程；（2）若曲线y＝f（x）和直线l有且只有一个公共点，求实数m的最大值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、3题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程

]22．在平面直角坐标系中，P为曲线C1：（α为参数）上的动点，将P点纵坐标变为原来的2倍，横坐标变为原来的一半得到点Q，记点的轨迹为C2，以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）A，B是曲线C2上不同于O的两点，且A（ρ1，θ

）、B（）；求|OA|﹣的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝3﹣2x，g（x）＝2x﹣1．（1）若h（x）＝|f（x）|+|g（x）|，且h（x）≥a恒成立，求实数a的最大值；（2）若φ（x）＝+，求φ（x）的最大值．参考答

案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．）1．已集合A＝{x|x2﹣2x≤0}，B＝{x|0＜lgx≤1}，C＝{x|x＜}，若（A∪B）∩C＝{x|0≤x＜3}，则a的值为（）A．1B．3C．6D．8解：集合A

＝{x|x2﹣2x≤0}＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|0＜lgx≤1}＝{x|1＜x≤10}，∴A∪B＝{x|0≤x≤10}，∵C＝{x|x＜}，（A∪B）∩C＝{x|0≤x＜3}，∴，解得a＝6．故选：C．2．已知函数f（x）

为奇函数，当x＞0时，f（x）＝log2（x+1）+ax，且f（﹣3）＝a，则a＝（）A．B．C．log23D．2解：根据题意，函数f（x）为奇函数，且f（﹣3）＝a，则f（3）＝﹣f（﹣3）＝﹣a，又由当x＞

0时，f（x）＝log2（x+1）+ax，则f（3）＝log24+3a＝﹣a，即2+3a＝﹣a，解可得a＝﹣，故选：B．3．刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国最宝贵的文化遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算

到任意的精度．割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积．若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是（）A．B．C．D．解：如图所示，设圆的半径为R，则圆的面积为πR2，圆内接正六边形的边长为R，面积为

6××R2×sin＝；则所求的概率为P＝＝．故选：B．4．三年前，为了让学生了解社会，拓宽视野，丰富知识，提高社会实践能力和综合素质，哈三中团委组织学生参加了抽测一批棉花的纤维长度（单位：cm）的社会实践活动．利

用所学习的数学知识，同学们作出了样本的频率分布直方图．现在，由于原始数据不全，只能通过直方图来估计这一批棉花的纤维长度的中位数．则估计的中位数为（）A．21.25B．22.75C．23.25D．20.25解：由频率分布直方图可知数据落在[10，20）中的频率为（0.07+0.01）×5＝0.4，∴

中位数落在[20，25）内，数据落在[20，25）中的频率为0.08×5＝0.4，中位数为20+×5＝21.25．故选：A．5．“x＞y＞0”是“ln（x+1）＞ln（y+1）”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既

不充分也不必要条件解：由x＞y＞0，得x+1＞y+1＞0，则ln（x+1）＞ln（y+1），反之，由ln（x+1）＞ln（y+1），得，即x＞y＞﹣1．∴“x＞y＞0”是“ln（x+1）＞ln（y+1）”成立的充分不必要条件．故选：A．6．已知，则＝（）A．B．C．D．解：

因为+，所以＝cos[2（）﹣π]，＝﹣cos2（），＝2sin2（）﹣1，＝2×＝﹣．故选：D．7．一只蚂蚁从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行

路线的正视图是（）A．①②B．①③C．③④D．②④解：①中线段为虚线，②正确，③中线段为实线，④正确，故选：D．8．函数f（x）＝+1的大致图象为（）A．B．C．D．解：根据题意，设g（x）＝ex﹣x﹣1，其导数g′（x）＝ex﹣1，在区间（﹣∞，0）上，g′（x）＜0，则g（x）为减

函数，在区间（0，+∞）上，g′（x）＞0，则g（x）为增函数，则g（x）min＝g（0）＝0，故f（x）＝+1的定义域为{x|x≠0}，且f（x）＞1恒成立，其图像在y＝1上方，排除BCD，故选：A．9．已知m为常数，在某个相同的闭区间上，若f（x）为单调递增函数，f（x

+m）为单调递减函数，则称此区间为函数f（x）的“m﹣LD”区间．若函数f（x）＝3sin（2x﹣），则此函数的“﹣LD”区间为（）A．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）B．[kπ+，kπ+]（k∈Z）C．[kπ+，kπ+]（k

∈Z）D．[kπ+，kπ+]（k∈Z）解：由题意可知，函数f（x）在“﹣LD”区间单调递增，函数f（x+）在“﹣LD”区间单调递减，函数f（x）＝3sin（2x﹣），则令，解得，故f（x）的单调递增区间为，又f（x+）＝，令，解得，

故f（x+）的单调递减区间为，两个单调区间的公共区间为，所以此函数的“﹣LD”区间为．故选：C．10．已知直线y＝2x+m与圆x2+y2＝1相交于不同的两点A、B，O为坐标原点，且，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）B．（﹣，﹣]∪[，）C．（﹣∞，﹣]∪

[，+∞）D．[，]解：因为直线y＝2x+m与圆x2+y2＝1相交于不同的两点A、B，所以圆心到直线的距离，解得①，又，所以，即，解得或②，由①②得m∈（﹣，﹣]∪[，）．故选：B．11．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线的斜率为，点M为此渐近线上的一点，O为坐标原点

．双曲线C的左、右顶点为A、B，焦距为2|OM|，则∠AMB为（）A．B．C．D．解：由题意可得渐近线y＝x的斜率为，即有＝，设M（m，n），（m，n＞0），可得n＝m，①又|OM|＝c，即m2+n2＝c2，②由①②可

得m＝a，n＝b，即M（a，b），又A（﹣a，0），B（a，0），可得AB⊥MB，直线AM的斜率为tan∠MAB＝＝，可得∠MAB＝，所以∠AMB＝﹣＝．故选：C．12．复利是指一笔资金产生利息外，在下一个计息周期内，以前各计息周期内产生的利息也计算利总的计息方法．单利是指一笔

资金只有本金计取利息，而以前各计息周期内产生的利息在下一个计息周期内不计算利息的计息方法．小闯同学一月初在某网贷平台贷款10000元，约定月利率为1.5%，按复利计算，从一月开始每月月底等额本息还款，共还款12次，直到十二月月底还清贷款，把还款总额记为x元．如果前十一个月因故不还贷

款，到十二月月底一次还清，则每月按照贷款金额的1.525%，并且按照单利计算利息，这样，把还款总额记为y元，则y﹣x的值为（）（参考数据：1.01512≈1.2）A．﹣170B．1200C．1030D．900解：由题意可得：x＝10000×（1+1.5%）12＝100

00×1.01512≈12000，y＝10000+10000×1.525%×12＝11830，∴y﹣x＝11830﹣12000＝﹣170，故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量，的夹角为120°，||＝2，||＝1，若（+3）⊥（2+λ

），则λ＝﹣1．解：∵向量，的夹角为120°，||＝2，||＝1，若（+3）⊥（2+λ），则（+3）•（2+λ）＝2+（λ+6）+3λ＝2×4+（λ+6）×2×1×cos120°+3λ＝0，λ＝﹣1，故答案为：﹣1．14．

在复平面内，已知复数z对应的点在曲线C：+y2＝1上，则|z﹣1|最大值是．解：|z﹣1|为曲线C：+y2＝1上复数z对应的点到点（1，0）的距离，∵点（1，0）在实轴上，∴|z﹣1|最大值即为点（1，0）到椭圆左顶点的

距离+1，故答案为：．15．双曲线﹣y2＝1的渐近线与直线x＝围成的图形绕y轴旋转360°，则所得旋转体的体积为4π；表面积为8．解：由双曲线的方程可得渐近线的方程为：y＝x，与x＝联立可得y＝±1，双曲线﹣y2＝1的渐近线与直线x＝围成的图形绕y轴旋转36

0°可得几何体为一个圆柱去掉两个一个同底的圆锥，且圆柱与圆锥的底相等，且圆柱底的半径为，高为2，一个圆锥的高为1，所以V柱＝•2＝6π，V锥＝2•＝2π，所以旋转体的体积为：V柱﹣V锥＝6π﹣2π＝4π；表面积为圆柱的表面积去掉两个底面积加上两个圆锥的侧面积，圆锥和圆柱的底的半径为，圆锥

的高为1，所以母线长为＝2，所以圆锥的侧面积为：2＝4，圆柱的侧面积为：2•2＝4，所以旋转体的表面积为：4＝8，故答案分别为：4π，8，16．已知[x]表示不超过x的最大整数，例如：[2.3]＝2，[﹣1.5]＝﹣2，在数列{an}中，an＝[lgn]，n∈N+，记Tn

为数列{an}的前n项和，则T2021＝4956．解：根据对[x]的定义，当1≤n≤9时，an＝[lgn]＝0，当10≤n≤99时，an＝[lgn]＝1，该区间所有项的和为90，当100≤n≤999时，an

＝[lgn]＝2，该区间所有项的和为900×2＝1800，当1000≤n≤2021时，an＝[lgn]＝3，该区间所有项的和为1022×3＝3066，∴T2021＝90+1800+3066＝4956．故答案为：4956．三、解答题：共70分．解答应写出

必要的文字说明，证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2b﹣c）cosA﹣acosC＝0．（1）求角A的大小；（2）求cosB+

cosC的取值范围．解：（1）由正弦定理知，＝＝，∵（2b﹣c）cosA﹣acosC＝0，∴（2sinB﹣sinC）cosA﹣sinAcosC＝0，∴2sinBcosA﹣sinCcosA﹣sinAcosC＝2sinBcosA﹣

sin（A+C）＝2sinBcosA﹣sinB＝0，∵sinB≠0，∴cosA＝，∵A∈（0，），∴A＝．（2）由（1）知，B+C＝，∵锐角△ABC，∴，解得＜B＜，∴cosB+cosC＝cosB+cos（﹣B）＝cosB﹣cosB+sinB＝cosB+sinB＝sin（B+

），∵＜B＜，∴＜B+＜，∴sin（B+）∈（，1]，故cosB+cosC的取值范围为（，1]．18．在刚刚过去的寒假，由于新冠疫情的影响，哈尔滨市的A，B两所同类学校的高三学年分别采用甲，乙两种方案进行线上教学

，为观测其教学效果，分别在两所学校各随机抽取60名学生，对每名学生进行综合测试评分，记综合评分为80分及以上的学生为优秀学生．经统计得到两所学校抽取的学生中共有72名优秀学生，且A学校的优秀学生占该校抽取总人数的．（1）填写下面的列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.1的

前提下认为学生综合测试评分优秀与教学方案有关．优秀学生非优秀学生合计甲方案乙方案合计（2）在A学校的60名学生中依据综合测评是否优秀进行分层抽样，抽取容量为6的样本，在6名学生中随机抽取2名同学，求2名同学都是优秀学生的概率．附：P（K2≥k0）0.150.10

0.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d）解：（1）A学校的优秀学生人数为60×＝40人，补充完整的2×2的列联表如下，优秀学生非优秀学生合计甲方案4020

60乙方案322860合计7248120所以K2＝≈2.22＜2.706，故不能在犯错误概率不超过0.1的前提下认为学生综合测试评分优秀与教学方案有关．（2）设2名同学都是优秀学生为事件M，A学校抽取的6名同学中，优秀学生有4人

，记为A，B，C，D，非优秀学生记为E，F，从中选出2名同学，基本事件有：AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，共15种，其中事件M包含的基本事件有：AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6个，所以P（M）＝＝．19．如图，在三棱柱AB

C﹣A1B1C1中，BB1＝AB1＝AB＝BC，D为AC的中点，AB⊥B1D，∠B1BC＝90°．（1）求证：平面ABB1A1⊥平面ABC；（2）求直线DB1与平面ABB1A1所成的角．【解答】（1）证明：取AB的中点O，连结OD，OB1，在△ABA1中，B1B＝B1A，则OB

1⊥AB，因为AB⊥B1D，OB1∩B1D＝B1，OB1，B1D⊂平面B1OD，所以AB⊥平面B1OD，又OD⊂平面B1OD，故AB⊥OD，由已知，BC⊥BB1，又OD∥BC，所以OD⊥BB1，因为AB∩BB1＝B，AB，BB1⊂平面ABB1A1，所以OD⊥平面ABB1A1；（2）解：因为OD⊥

平面ABB1A1，则∠DB1O即为直线DB1与平面ABB1A1所成的角，因为，所以tan∠DB1O＝，又0°＜∠DB1O＜90°，所以∠DB1O＝30°，故直线DB1与平面ABB1A1所成的角为30°．20．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F且垂直于x轴

的直线与C交于A，B两点，△AOB（点O为坐标原点）的面积为2．（1）求抛物线C的方程；（2）设不经过原点O的直线l与抛物线交于P、Q两点，设直线OP、OQ的倾斜角分别为α和β，证明：当α+β＝时，直线l恒过定点．【解答】（1）解：根据题意可得焦点F（，0），因此可得，所以，

解之可得p＝2，故可得抛物线的方程为：y2＝4x．（2）证明：根据题意，设P（x1，y1），Q（x2，y2），易知直线l的斜率存在，假设直线l的方程为y＝kx+m，联立抛物线方程得，⇒ky2﹣4y+4m＝

0，由韦达定理可得，，则＝＝，，∴＝，＝，又因为kOP＝tanα，kOQ＝tanβ，所以，，所以当时，，解得m＝4k+4，所以直线l的方程即为：y＝kx+4k+4⇔y﹣4＝k（x+4），即得直线l恒过定点（﹣4，4）．

21．已知函数f（x）＝lnx+mx2﹣x的图象在点（1，f（1））处的切线为l．（1）当m＝1时，求直线l的方程；（2）若曲线y＝f（x）和直线l有且只有一个公共点，求实数m的最大值．解：（1）当m＝1时，f（x）＝lnx+x2

﹣x，f′（x）＝，f′（1）＝2，f（1）＝0，∴曲线l的方程为y﹣0＝2（x﹣1），即2x﹣y﹣2＝0；（2）由f（x）＝lnx+mx2﹣x，得f′（x）＝，∴f′（1）＝2m，又f（1）＝m﹣1，得直线l：y﹣m+1＝2m（x﹣1），即y

＝2mx﹣m﹣1．令g（x）＝lnx+mx2﹣（2m+1）x+m+1，g′（x）＝，当m＝时，g（x）在（0，+∞）上单调递增，g（1）＝0，则y＝f（x）和直线l有且只有一个公共点；当m＞时，g（x）在（0，）上单调递增，在（，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，又g（1）＝0，∴g

（）＞0，而g（e﹣6m）＜0，∴y＝f（x）和直线l有两个公共点．综上，实数m的最大值为．（二）选考题：共10分．请考生在第22、3题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系中，P为曲线C1：（

α为参数）上的动点，将P点纵坐标变为原来的2倍，横坐标变为原来的一半得到点Q，记点的轨迹为C2，以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）A，B是曲线C2上不同于O的两点，且A（ρ1，θ）、B（）；求|OA|﹣的取值范围．解：

（1）P为曲线C1：（α为参数）上的动点，设P（x′，y′），Q（x，y），则，消去x′和y′得到：（x﹣1）2+y2＝1．即x2+y2＝2x，根据，转换为极坐标方程为ρ＝2cosθ．（2）A，B是曲线C2上不同于O的两点，

且A（ρ1，θ）、B（）；由于，故，所以＝∈[﹣2，1）．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝3﹣2x，g（x）＝2x﹣1．（1）若h（x）＝|f（x）|+|g（x）|，且h（x）≥a恒成立，求实数a的最大值；（2）若φ（x）＝+，求φ（x

）的最大值．解：（1）∵f（x）＝3﹣2x，g（x）＝2x﹣1，∴h（x）＝|f（x）|+|g（x）|＝|3﹣2x|+|2x﹣1|≥|（2x﹣1）+（3﹣2x）|＝2，当且仅当时等号成立．∴h（x）min＝2，又h（x）≥a恒成

立，∴实数a的最大值为2；（2）φ（x）＝+＝，由柯西不等式可得，φ（x）＝＝．当且仅当，即x＝1时等号成立．∴φ（x）＝+的最大值为2．