【文档说明】湖北省应城一中2020-2021学年高二下学期周测数学试题（6） 含答案.docx，共(25)页，110.075 KB，由小赞的店铺上传

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高二下学期数学周测（6）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.下列等式不正确的是()A.𝐶𝑛𝑚=𝑚+1𝑛+1𝐶𝑛+1𝑚B.𝐴𝑛+1𝑚+1−𝐴𝑛𝑚=𝑛2𝐴𝑛−1𝑚−1C.𝐴𝑛𝑚=𝑛𝐴𝑛−1�

�−1D.𝑛𝐶𝑛𝑘=(𝑘+1)𝐶𝑛𝑘+1+𝑘𝐶𝑛𝑘2.“𝑎≤−1”是“函数𝑓(𝑥)=ln𝑥+𝑎𝑥+1𝑥在[1,+∞)上是单调函数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.(9

𝑥−13√𝑥)6的展开式中常数项为()A.30B.15C.−15D.304.圆周上有8个等分圆周的点，以这些等分点为顶点的锐角三角形或钝角三角形的个数是()A.16B.24C.32D.485.若离散型随机变量X的分布列为𝑃(𝑋=𝑘)=𝑚⋅2𝑘(2𝑘+

1−1)(2𝑘−1)(1≤𝑘≤5,𝑘∈𝑍)，则𝑃(32<𝑋<52)的值为()A.631B.6162C.2531D.62636.已知F是双曲线𝐶：𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)的右焦点，P是C左支上一点，𝐴(0,𝑏)，若△𝐴𝑃𝐹周长的最小值是

6a，则C的离心率是()A.2B.√5C.√62D.√1027.椭圆425𝑥2+𝑦25=1过右焦点有n条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首项𝑎1，最大弦长为𝑎𝑛，若公差为𝑑∈[16,13],那么n的取值集合为()A.{

4，5，6，7}B.{4，5，6}C.{3，4，5，6}D.{3，4，5，6，7}8.已知函数𝑓(𝑥)=𝑥3−3𝑥−1，若对于区间[−3,2]上的任意𝑥1，𝑥2，都有|𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)|≤𝑡，则实数t的最小值是()A.20B.18C.3D.0二

、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.下列说法正确的是()A.若|𝑧|=2，则𝑧⋅𝑧=4B.若复数𝑧1，𝑧2满足|𝑧1+𝑧2|=|𝑧1−𝑧2|，则𝑧1𝑧2=0C.若复数z的平方是纯虚数，则复数z的实部和虚部相等

D.“𝑎≠1”是“复数𝑧=(𝑎−1)+(𝑎2−1)𝑖(𝑎∈𝑅)是虚数”的必要不充分条件10.下面结论正确的是()A.若𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)=1，则事件A与B是互为对立事件B.若𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)，则事件A与B是相互独立事件C.若事件A与B是互斥事件

，则A与𝐵也是互斥事件D.若事件A与B是相互独立事件，则A与𝐵也是相互独立事件11.用数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的四位数，则下列说法正确的是()A.可组成360个不重复的四位数B.可组成156个不重复的四位偶数C.可组成96个能被3整除的不重复四位数D.若将组成

的不重复的四位数按从小到大的顺序排成一个数列，则第85项为231012.我们通常称离心率为√5−12的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆𝐶:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)，𝐴1，𝐴2，𝐵1，𝐵2为顶点，

𝐹1，𝐹2为焦点，P为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆C为“黄金椭圆”的有()A.|𝐴1𝐹1|，|𝐹1𝐹2|，|𝐹2𝐴2|为等比数列B.∠𝐹1𝐵1𝐴2=90°C.𝑃𝐹1⊥𝑥轴，且𝑃𝑂//𝐴2𝐵1D.四边形𝐴1𝐵2�

�2𝐵1的内切圆过焦点𝐹1，𝐹2三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若函数𝑓(𝑥)=13𝑥3−𝑎𝑥2+𝑥−5无极值点，则实数a的取值范围是______．14.已知𝐴(4,0)、𝐵(2,2)是椭圆𝑥22

5+𝑦29=1内的点，M是椭圆上的动点，则|𝑀𝐴|+|𝑀𝐵|的最大值为(1)；最小值为(2)．15.在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、

近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处，那么不同的搜寻方案有______种

．(以数字作答)16.设𝐹1，𝐹2为椭圆𝐶1:𝑥2𝑎12+𝑦2𝑏1=1(𝑎1>𝑏1>0)与双曲线𝐶2的公共左、右焦点，椭圆𝐶1与双曲线𝐶2在第一象限内交于点M，𝛥𝑀𝐹1�

�2是以线段𝑀𝐹1为底边的等腰三角形，且|𝑀𝐹1|=2。若椭圆𝐶1的离心率𝑒1∈[514,25]，则双曲线𝐶2的离心率𝑒2的取值范围是．四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.如图𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1

𝐷1为正方体，一只青蛙开始在顶点A处，它每次可随意跳到相邻三顶点之一，若在五次内跳到𝐶1点，则停止跳动；若5次内不能跳到𝐶1点，跳完五次也停止跳动，求：(1)5次以内能到𝐶1点的跳法有多少种？(2)从开始到停止，可能出现的跳法有多少种？1

8.据调查，目前对于已经近视的小学生，有两种配戴眼镜的选择，一种是佩戴传统的框架眼镜；另一种是佩戴角膜塑形镜，这种眼镜是晚上睡觉时佩戴的一种特殊的隐形眼镜(因其在一定程度上可以减缓近视的发展速度越来越多的小学生家长选择角膜塑形镜控制孩子的近视发展)，A市从该地区小学生中随机抽取容量为100的样

本，其中因近视佩戴眼镜的有24人(其中佩戴角膜塑形镜的有8人，其中2名是男生，6名是女生)．(1)若从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，那么，他戴的是角膜塑形镜的概率是多大？(2)从这8名戴角膜塑形镜的学生中，选出3个人，求其中男生人数X的分布列；(

3)若将样本的频率当做估计总体的概率，请问，从A市的小学生中，随机选出20位小学生，求佩戴角膜塑形镜的人数Y的期望和方差．19.如图在四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，底面ABCD是菱形，∠𝐵𝐴𝐷=60°，平面𝑃𝐴𝐷⊥平面ABCD，𝑃𝐴=𝑃𝐷=4，𝐴𝐷=2，Q为AD的中点

，M是棱PC上的一点，且𝑃𝑀=13𝑃𝐶．(1)求证：𝑃𝐴//平面BMQ；(2)求二面角𝑀−𝐵𝑄−𝑃的余弦值．20.已知点P是平面直角坐标系xOy内异于O的任意一点，过点P作直线𝑙1：𝑦=√32𝑥及𝑙2：𝑦=−√32𝑥的平行线，分别

交x轴于M，N两点，且|𝑂𝑀|2+|𝑂𝑁|2=8．(1)求点P的轨迹C的方程；(2)在x轴正半轴上取两点𝐴(𝑚,0)，𝐵(𝑛,0)，且𝑚𝑛=4，过点A作直线l与轨迹C交于E，F两点，证明：sin∠𝐸𝐵

𝐴=sin∠𝐹𝐵𝐴．21.某企业拥有3条相同的生产线，每条生产线每月至多出现一次故障．各条生产线是否出现故障相互独立，且出现故障的概率为13．(1)求该企业每月有且只有1条生产线出现故障的概率；(

2)为提高生产效益，该企业决定招聘n名维修工人及时对出现故障的生产线进行维修．已知每名维修工人每月只有及时维修1条生产线的能力，且每月固定工资为1万元．此外，统计表明，每月在不出现故障的情况下，每条生产线创造12万元

的利润；如果出现故障能及时维修，每条生产线创造8万元的利润；如果出现故障不能及时维修，该生产线将不创造利润．以该企业每月实际获利的期望值为决策依据，在𝑛=1与𝑛=2之中选其一，应选用哪个？(实际获利=生产线创造利润−维修工人工资)2

2.已知函数𝑓(𝑥)=𝑒𝑥𝑥．(1)求曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点(2,𝑓(2))处的切线方程；(2)设𝐺(𝑥)=𝑥𝑓(𝑥)−ln𝑥−2𝑥，证明𝐺(𝑥)>−ln2−32．高二下学期数学周测（6）命题人：华瑛审题人：肖润秀一、单选题（本大题共8小题，共4

0.0分）23.下列等式不正确的是()A.𝐶𝑛𝑚=𝑚+1𝑛+1𝐶𝑛+1𝑚B.𝐴𝑛+1𝑚+1−𝐴𝑛𝑚=𝑛2𝐴𝑛−1𝑚−1C.𝐴𝑛𝑚=𝑛𝐴𝑛−1𝑚−1D.

𝑛𝐶𝑛𝑘=(𝑘+1)𝐶𝑛𝑘+1+𝑘𝐶𝑛𝑘【答案】A【解析】解：因为𝑚+1𝑛+1𝐶𝑛+1𝑚=𝑚+1𝑛+1(𝑛+1)!𝑚!⋅(𝑛+1−𝑚)!=𝑚+1𝑛+1−𝑚𝐶

𝑛𝑚≠𝐶𝑛𝑚，所以A错，因为𝑛𝐴𝑛−1𝑚−1=𝑛(𝑛−1)!(𝑛−𝑚)!=𝑛!(𝑛−𝑚)!=𝐴𝑛𝑚，所以C正确，因为𝐴𝑛+1𝑚+1−𝐴𝑛𝑚=(𝑛+1

)𝐴𝑛𝑚−𝐴𝑛𝑚=𝑛𝐴𝑛𝑚=𝑛2𝐴𝑛−1𝑚−1，所以B正确．因为(𝑘+1)𝐶𝑛𝑘+1+𝑘𝐶𝑛𝑘=(𝑘+1)𝑛!(𝑘+1)!(𝑛−𝑘−1)!+𝑘𝐶𝑛𝑘=𝑛!(𝑛−𝑘)

𝑘!(𝑛−𝑘)!+𝑘𝐶𝑛𝑘=(𝑛−𝑘)𝐶𝑛𝑘+𝑘𝐶𝑛𝑘=𝑛𝐶𝑛𝑘，所以D正确．故选：A．由排列组合数公式化简可得D，C正确，利用C的结论可检验B正确，排列组合数公式检验A是错误的．本题主要考查排列组合数公式的化简应用，属于基础题．24

.“𝑎≤−1”是“函数𝑓(𝑥)=ln𝑥+𝑎𝑥+1𝑥在[1,+∞)上是单调函数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：若函数𝑓(𝑥)=𝑙𝑛𝑥+𝑎𝑥+1𝑥在[1,+∞)上是单调函数，则𝑓′(𝑥

)≤0或𝑓′(𝑥)≥0在[1,+∞)上恒成立，∵𝑓′(𝑥)=1𝑥+𝑎−1𝑥2，∴若函数𝑓(𝑥)单调递减，则𝑓′(𝑥)=1𝑥+𝑎−1𝑥2≤0，即𝑎≤−1𝑥+1𝑥2=(1𝑥−12

)2−14恒成立，设𝑔(𝑥)=(1𝑥−12)2−14，∵𝑥≥1，∴0<1𝑥≤1，则当1𝑥=12时，𝑔(𝑥)取得最小值−14，此时𝑎≤−14，∴若函数𝑓(𝑥)单调递增，则𝑓′(𝑥)=1

𝑥+𝑎−1𝑥2≥0，即𝑎≥−1𝑥+1𝑥2=(1𝑥−12)2−14恒成立，设𝑔(𝑥)=(1𝑥−12)2−14，∵𝑥≥1，∴0<1𝑥≤1，则−14≤𝑔(𝑥)≤0，此时𝑎≥0，综上若函数𝑓(

𝑥)=𝑙𝑛𝑥+𝑎𝑥+1𝑥在[1,+∞)上是单调函数，则𝑎≥0或𝑎≤−14，则“𝑎≤−1”是“函数𝑓(𝑥)=𝑙𝑛𝑥+𝑎𝑥+1𝑥在[1,+∞)上是单调函数”的充分不必要条件，故选：A．本题主要考查充分条件和必要条件的判断以及函数单调性和导数之间的关系，要求熟练

掌握导数的应用．根据充分条件和必要条件的定义结合函数单调性的性质进行判断即可．25.(9𝑥−13√𝑥)6的展开式中常数项为()A.30B.15C.−15D.30【答案】B【解析】解：展开式的通项为：𝑇𝑘+1=𝐶6𝑘(9𝑥)6−𝑘(−13√𝑥)𝑘=(−1)𝑘×96

−𝑘×3−𝑘×𝐶6𝑘𝑥6−3𝑘2．令𝑘=4，可得常数项为𝑇5=(−1)4×92×3−4×𝐶64=15．故选：B．写出通项，然后令x的指数为0，即可求出常数项．本题考查二项式定理，通项法研究展

开式中特定项的问题，属于基础题．26.圆周上有8个等分圆周的点，以这些等分点为顶点的锐角三角形或钝角三角形的个数是()A.16B.24C.32D.48【答案】C【解析】【分析】本题主要考查组合的综合应用，属于基础题．因为任意三点都能构成三角

形共有𝐶83个，一共产生4条直径共构成𝐶41·𝐶61个直角三角形，相减可得斜三角形个数．【解答】解：圆周上8个等分点共可构成4条直径，而直径所对的圆周角是直角，又每条直径对应着6个直角三角形，共有𝐶41𝐶61=24个直角三角形．斜三角形的个数为𝐶83−𝐶41𝐶6

1=32个．故选C．27.若离散型随机变量X的分布列为𝑃(𝑋=𝑘)=𝑚⋅2𝑘(2𝑘+1−1)(2𝑘−1)(1≤𝑘≤5,𝑘∈𝑍)，则𝑃(32<𝑋<52)的值为()A.631B.6162C.2531D.6263【答案】A【解析】【分析】

本题考查概率的求法，考查离散型随机变量X的分布列等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．由离散型随机变量X的分布列为𝑃(𝑋=𝑘)=𝑚(12𝑘−1−12𝑘+1−1)(1≤𝑘≤5,𝑘∈𝑍)，求出𝑚=6362，从而�

�(32<𝑋<52)=𝑃(𝑋=2)，由此能求出结果．【解答】解：由题可知𝑃(𝑋=𝑘)=𝑚(12𝑘−1−12𝑘+1−1)(1≤𝑘≤5,𝑘∈𝑍)，则由离散型随机变量分布列的性质可得𝑃(𝑋=1)+𝑃(𝑋=2)+⋯+𝑃(𝑋=5)=𝑚(121−1−122−1+1

22−1−123−1+⋯+125−1−126−1)=𝑚(1−126−1)=1，解得𝑚=6362，故𝑃(32<𝑋<52)=𝑃(𝑋=2)=6362×(122−1−123−1)=631．故选A．28.已知F是双曲线𝐶：𝑥2𝑎2−

𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)的右焦点，P是C左支上一点，𝐴(0,𝑏)，若△𝐴𝑃𝐹周长的最小值是6a，则C的离心率是()A.2B.√5C.√62D.√102【答案】D【解析】【分析】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和转化为三点共线取得最小值，考查运算能力，

属于中档题．由题意求得A，F的坐标，设出𝐹′，运用双曲线的定义可得|𝑃𝐹|=|𝑃𝐹′|+2𝑎，则△𝐴𝑃𝐹的周长为|𝑃𝐴|+|𝑃𝐹|+|𝐴𝐹|=|𝑃𝐴|+|𝑃𝐹′|+2𝑎+|𝐴𝐹′|，运用三点共线取得

最小值，可得a，b，c的关系，结合离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：由题意可得𝐴(0,𝑏)，𝐹(𝑐,0)，设𝐹′(−𝑐,0)，由双曲线的定义可得|𝑃𝐹|−|𝑃𝐹′|=2𝑎，|𝑃𝐹|=|𝑃𝐹′|+2𝑎，|𝐴𝐹|=|𝐴𝐹′|

=√𝑏2+𝑐2，则△𝐴𝑃𝐹的周长为|𝑃𝐴|+|𝑃𝐹|+|𝐴𝐹||=|𝑃𝐴|+|𝑃𝐹′|+2𝑎+|𝐴𝐹′|≥2|𝐴𝐹′|+2𝑎，当且仅当A，P，𝐹′共线，取得最小值，且为2𝑎+2√𝑏2+𝑐2，由题意可得6𝑎=2𝑎+2√𝑏2

+𝑐2，即2𝑐2=5𝑎2，则𝑒=𝑐𝑎=√102，故选：D．29.椭圆425𝑥2+𝑦25=1过右焦点有n条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首项𝑎1，最大弦长为𝑎𝑛，若公差为𝑑∈[16,13],那么n的取值集合

为()A.{4,5，6，7}B.{4,5，6}C.{3,4，5，6}D.{3,4，5，6，7}【答案】A【解析】【分析】本题考查椭圆的方程和性质，以及等差数列的通项公式等知识，为中档题．先求出椭圆的a，b，c，根

据椭圆方程求得过右焦点的最短弦长和最长弦长，即等差数列的第一项和第n项，再根据等差数列的公差𝑑∈[16,13]，求出n的取值集合．【解答】解：椭圆425𝑥2+𝑦25=1中，𝑎=52，𝑏=√5，𝑐=√𝑎2−𝑏

2=√52，则右焦点为(√52,0)，令𝑥=√52，代入椭圆方程得𝑦=±√5×√1−425×54=±2，则过右焦点的最短弦的弦长为𝑎1=4，最长弦长为椭圆长轴长𝑎𝑛=2𝑎=5，∴4+(𝑛

−1)𝑑=5，即𝑑=1𝑛−1，∵𝑑∈[16,13]，∴16≤1𝑛−1≤13，∴4≤𝑛≤7，𝑛∈N，故选：A．30.已知函数𝑓(𝑥)=𝑥3−3𝑥−1，若对于区间[−3,2]上的任意𝑥1，𝑥2，都有|𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)|≤𝑡，则实数t的最小值是()A.20B.

18C.3D.0【答案】A【解析】【分析】本题主要考查导数中的恒成立问题，利用导数研究函数的单调性和最值问题，属于中档题．对于区间[−3,2]上的任意𝑥1，𝑥2都有|𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)|≤𝑡，等价于对于区间[−3,2]上的任

意x，都有𝑓(𝑥)𝑚𝑎𝑥−𝑓(𝑥)𝑚𝑖𝑛≤𝑡，利用导数确定函数的单调性再求出最值，即可得出结论．【解答】解：对于区间[−3,2]上的任意𝑥1，𝑥2，都有|𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)|≤𝑡，等价于在区间[−3,2]上，𝑓(𝑥)𝑚𝑎𝑥−�

�(𝑥)𝑚𝑖𝑛≤𝑡，因为𝑓(𝑥)=𝑥3−3𝑥−1，所以𝑓′(𝑥)=3𝑥2−3=3(𝑥−1)(𝑥+1)，令𝑓′(𝑥)>0，解得𝑥<−1或𝑥>1，令𝑓′(𝑥)<0，解得−1<𝑥<1，又因为𝑥∈[−3,2]，所以函数𝑓(𝑥

)在[−3,−1)，(1,2]上单调递增，在(−1,1)上单调递减，所以𝑓(𝑥)𝑚𝑎𝑥=𝑓(2)=𝑓(−1)=1，𝑓(𝑥)𝑚𝑖𝑛=𝑓(−3)=−19，所以𝑓(𝑥)𝑚𝑎𝑥−𝑓(𝑥)𝑚𝑖𝑛=20，所以𝑡≥20，即实数t的最小值是20．故选

A．二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）31.下列说法正确的是()A.若|𝑧|=2，则𝑧⋅𝑧=4B.若复数𝑧1，𝑧2满足|𝑧1+𝑧2|=|𝑧1−𝑧2|，则𝑧1𝑧2=0C.若复数z的平方是纯虚数，则复数z的实部和虚

部相等D.“𝑎≠1”是“复数𝑧=(𝑎−1)+(𝑎2−1)𝑖(𝑎∈𝑅)是虚数”的必要不充分条件【答案】AD【解析】【分析】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法

及其几何意义，考查复数模的求法，是基础题．由|𝑧|求得𝑧⋅𝑧判断A；设出𝑧1，𝑧2，证明在满足|𝑧1+𝑧2|=|𝑧1−𝑧2|时，不一定有𝑧1𝑧2=0判断B；举例说明C错误；由充分必要条件的判定说明D正确．【解答】解：�

�.若|𝑧|=2，则𝑧⋅𝑧=|𝑧|2=4，故A正确；B.设𝑧1=𝑎1+𝑏1𝑖(𝑎1,𝑏1∈𝑅)，𝑧2=𝑎2+𝑏2𝑖(𝑎2,𝑏2∈𝑅)．由|𝑧1+𝑧2|=|𝑧1

−𝑧2|，得|𝑧1+𝑧2|2=(𝑎1+𝑎2)2+(𝑏1+𝑏2)2=|𝑧1−𝑧2|2=(𝑎1−𝑎2)2+(𝑏1−𝑏2)2，则𝑎1𝑎2+𝑏1𝑏2=0，而𝑧1⋅𝑧2=(𝑎1+𝑏1𝑖)(�

�2+𝑏2𝑖)=𝑎1𝑎2−𝑏1𝑏2=2𝑎1𝑎2不一定等于0，故B错误；C.𝑧=1−𝑖，𝑧2=(1−𝑖)2=−2𝑖为纯虚数，其实部与虚部不等，故C错误；D.复数𝑧=(𝑎−1)+(𝑎2−1)𝑖(𝑎∈

𝑅)是虚数则𝑎2−1≠0，即𝑎≠±1，故“𝑎≠1”是“复数𝑧=(𝑎−1)+(𝑎2−1)𝑖(𝑎∈𝑅)是虚数”的必要不充分条件，故D正确．故选：AD．32.下面结论正确的是()A.若𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)=1，则事件A与B是互为对立事件B.若𝑃(𝐴

𝐵)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)，则事件A与B是相互独立事件C.若事件A与B是互斥事件，则A与𝐵也是互斥事件D.若事件A与B是相互独立事件，则A与𝐵也是相互独立事件【答案】BD【解析】【分析】本题考查了考查相互独立事件

，考查对立事件，互斥事件，是基础题．根据对立事件、互斥事件、相互独立事件定义逐一进行判断即可【解答】解：对于A：例如a，b，c，d四个球，选中每个球的概率一样，𝑃(𝐴)为选中a、b两个球的概率：0.5，𝑃(𝐵)为选中b，c两个球的概率：0.5，𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)=1

，但A，B不是对立事件．故A错误；对于B，若𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)，则事件A与B是相互独立事件，故B正确；对于C，假设一个随机事件由A、B、C、D这4个彼此互斥的基本事件构成，则事件𝐴中含有事件B、C、D，事件𝐵中含有事件A、C、D，则A与𝐵不互斥，故C错误；对于D

，若A与B相互独立，则A与𝐵，B与𝐴，𝐴与𝐵都是相互独立事件，故D正确，故选：BD．33.用数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的四位数，则下列说法正确的是()A.可组成360个不重复的四位数B

.可组成156个不重复的四位偶数C.可组成96个能被3整除的不重复四位数D.若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排成一个数列，则第85项为2310【答案】BC【解析】【分析】本题主要考查了排列组合的综合应用，属于较难题.可组成360个不重复的四位数有𝐶51𝐴

53=300个，可判断A，可组成156个不重复的四位偶数分为两类：0在末位和0不在末位，有𝐶21𝐶41𝐴42+𝐴53=156种，可判断B，可组成96个能被3整除的不重复四位数共有：4𝐶31⋅𝐴33+𝐴44=96种，可

判断C，第85个数字前共有𝐴53+𝐴42+𝐴42=84个，可判断D．【解答】解：A选项，有𝐶51𝐴53=300个，错；B选项，分为两类：0在末位，则有𝐴53=60种，0不在末位，则有𝐶21𝐶41𝐴42=96种，∴共

有60+96=156种，对；C选项，先把四个相加能被3整除的四个数从小到大列举出来，即先选：(0,1,2,3)，(0,1,3,5)、(0,2,3,4)、(0,3,4,5)、(1,2,4,5)，它们排列出来的数一

定可以被3整除，∴共有：4𝐶31⋅𝐴33+𝐴44=96种，对；D选项，首位为1的有𝐴53=60个，前两位为20的有𝐴42=12个，前两位为21的有𝐴42=12个，此时共有60+12+12=84个，因而第85个数字是前两位为23的最小数

，即为2301，错．故选：BC．34.我们通常称离心率为√5−12的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆𝐶:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)，𝐴1，𝐴2，𝐵1，𝐵2为顶点，𝐹1，𝐹2为焦点，P为椭圆上一点，满足下列条件能使椭

圆C为“黄金椭圆”的有()A.|𝐴1𝐹1|，|𝐹1𝐹2|，|𝐹2𝐴2|为等比数列B.∠𝐹1𝐵1𝐴2=90⬚∘C.𝑃𝐹1⊥𝑥轴，且𝑃𝑂//𝐴2𝐵1D.四边形𝐴1𝐵2𝐴2𝐵

1的内切圆过焦点𝐹1，𝐹2【答案】BD【解析】【试题解析】【分析】本题考查椭圆的方程和性质，注意运用离心率的公式，同时考查四边形的内切圆的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．分别求出每一个选项的离心率，与√5−12进行比较即可．【解答】解：因为𝐶:�

�2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)，所以𝐴1(−𝑎,0)，𝐴2(𝑎,0)，𝐵1(0,𝑏)，𝐵2(0,−𝑏)，𝐹1(−𝑐,0)，𝐹2(𝑐,0)，对于A，若|𝐴1𝐹1|，|

𝐹1𝐹2|，|𝐹2𝐴2|为等比数列，则(2𝑐)2=(𝑎−𝑐)2，即3𝑒2+2𝑒−1=0，则𝑒=13(负值舍去)，而“黄金椭圆”的离心率𝑒=√5−12，故A错误；对于B，因为∠𝐹1𝐵1𝐴2=90°，所以|𝐴2𝐹1|2=|𝐹

1𝐵1|2+|𝐵1𝐴2|2，(𝑎+𝑐)2=𝑎2+𝑎2+𝑏2，即𝑐2+𝑎𝑐−𝑎2=0，即𝑒2+𝑒−1=0解得𝑒=√5−12(负值舍去)，故B正确；对于C，轴，且𝑃𝑂//𝐴2𝐵1，得𝑃(−𝑐,𝑏2𝑎)，则𝑘𝑃𝑂=−�

�2𝑎𝑐，𝑘𝐴2𝐵1=−𝑏𝑎，若𝑃𝑂//𝐴2𝐵1,即可得𝑘𝑃𝑂=−𝑏2𝑎𝑐=𝑘𝐴2𝐵1=−𝑏𝑎，则𝑏=𝑐，此时𝑒=√22，故C错误；对于𝐷:四边形𝐴1𝐵2𝐴2𝐵1的内切圆过焦点𝐹1，𝐹2，即四边形𝐴1𝐵2𝐴2𝐵1的内切圆的半径

为c，∴𝑎𝑏=𝑐√𝑎2+𝑏2，∴𝑐4−3𝑎2𝑐2+𝑎4=0，即𝑒4−3𝑒2+1=0，∵0<𝑒<1，即𝑒=√5−12，故D正确．故选BD．三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）35.若函数

𝑓(𝑥)=13𝑥3−𝑎𝑥2+𝑥−5无极值点，则实数a的取值范围是______．【答案】[−1,1]【解析】解：𝑓(𝑥)=13𝑥3−𝑎𝑥2+𝑥−5，𝑓′(𝑥)=𝑥2−2𝑎𝑥+1，若函数𝑓(𝑥)在R上无极值点，即𝑓′(𝑥)=0最多1个实数根，故△=4𝑎

2−4≤0，解得：−1≤𝑎≤1，故答案为：[−1,1]．求出函数的导数，问题转化为𝑓′(𝑥)=0最多1个实数根，根据二次函数的性质求出a的范围即可．本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应

用，是一道基础题．36.已知𝐴(4,0)、𝐵(2,2)是椭圆𝑥225+𝑦29=1内的点，M是椭圆上的动点，则|𝑀𝐴|+|𝑀𝐵|的最大值为(1)；最小值为(2)．【答案】10+2√1010−2√10【解析】解：A为椭圆右焦点，设

左焦点为𝐹(−4,0)，B在椭圆内，则由椭圆定义|𝑀𝐴|+|𝑀𝐹|=2𝑎=10，于是|𝑀𝐴|+|𝑀𝐵|=10+|𝑀𝐵|−|𝑀𝐹|．当M不在直线BF与椭圆交点上时，M、F、B三点构成三角

形，于是|𝑀𝐵|−|𝑀𝐹|<|𝐵𝐹|，而当M在直线BF与椭圆交点上时，在第一象限交点时，有|𝑀𝐵|−|𝑀𝐹|=−|𝐵𝐹|，在第三象限交点时有|𝑀𝐵|−|𝑀𝐹|=|𝐵𝐹|．显然当M在直线BF与椭圆第一象限交点

时，|𝑀𝐴|+|𝑀𝐵|有最小值，其最小值为|𝑀𝐴|+|𝑀𝐵|=10+|𝑀𝐵|−|𝑀𝐹|=10−|𝐵𝐹|=10−√(2+4)2+(2−0)2=10−2√10；当M在直线BF与椭圆第三象限交点时，|𝑀𝐴|+|𝑀�

�|有最大值，其最大值为|𝑀𝐴|+|𝑀𝐵|=10+|𝑀𝐵|−|𝑀𝐹|=10+|𝐵𝐹|=10+√(2+4)2+(2−0)2=10+2√10．故答案为：10+2√10，10−2√10．由椭圆的定义可知，𝑀𝐴+𝑀𝐵=10

+|𝑀𝐵|−|𝑀𝐹|.当M在直线BF与椭圆交点上时，在第一象限交点时有|𝑀𝐵|−|𝑀𝐹|=−|𝐵𝐹|，在第三象限交点时有|𝑀𝐵|−|𝑀𝐹|=|𝐵𝐹|.显然当M在直线BF与椭圆第一象限交点时，|𝑀𝐴|+|𝑀

𝐵|有最小值，当M在直线BF与椭圆第三象限交点时|𝑀𝐴|+|𝑀𝐵|有最大值，由两点间的距离公式能够求出𝑀𝐴+𝑀𝐵的最值．本题考查椭圆的定义及最值的求法，注意转化思想，以及三点共线求最值的方法，解题时要熟练掌握定义法

的运用．37.在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近

处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处，那么不同的搜寻方案有______种．(以数字作答)【答案】40【解析】解：根据题意，分2种情况讨论：①、Grace不参与该项任务，在其余5人

中，任选1人在大本营陪同，有𝐶51=5种情况，剩余4人，平均分成2组，有𝐶42𝐶22𝐴22=3种分组方法，在将2组对应2个地点，有𝐴22=2种情况，此时一共有5×3×2=30种方案；②、Grace参与该

项任务，在其余5人中，任选2人与Grace一起搜寻近处投掷点的食物，有𝐶52=10种情况，而剩余3人搜寻远处投掷点的食物，有1种情况，则此时一共有10×1=10种方案；则一共有30+10=40种符合题意的分配方案；故答案为：40．根

据题意，分2种情况讨论：①、Grace不参与该项任务，需一位小孩在大本营陪同，则其余4人被均分成两组，一组去远处，一组去近处；②、Grace参与该项任务，则从其余5人中选2人去近处，剩余3人搜寻远处，分别求出每种情

况的方案数目；由分类计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的运用，要先认真分析题意，注意2种方案参与的人数不同．38.设𝐹1，𝐹2为椭圆𝐶1:𝑥2𝑎12+𝑦2𝑏1=1(𝑎1>𝑏1>0)与双曲线𝐶2的公

共左、右焦点，椭圆𝐶1与双曲线𝐶2在第一象限内交于点M，𝛥𝑀𝐹1𝐹2是以线段𝑀𝐹1为底边的等腰三角形，且|𝑀𝐹1|=2。若椭圆𝐶1的离心率𝑒1∈[514,25]，则双曲线𝐶2的离心率𝑒2的取值范围是．【答案】[54,2]．【解析】【分析】本题考查椭圆和双曲线

的定义和标准方程，考查计算能力，属中档题．借助椭圆和双曲线的定义及其共同焦点建立等量关系进行求解．【解答】解：设双曲线𝐶2的方程为𝑥2𝑎22−𝑦2𝑏22=1(𝑎2>0,𝑏2>0)，由题意知|𝑀𝐹1|=2,|𝐹1𝐹2|=|𝑀𝐹2|=2𝑐，其中𝑐2

=𝑎22+𝑏22=𝑎12−𝑏12，又根据椭圆与双曲线的定义得{|𝑀𝐹1|+|𝑀𝐹2|=2𝑎1|𝑀𝐹1|−|𝑀𝐹2|=2𝑎2，则{2+2𝑐=2𝑎12−2𝑐=2𝑎2,即𝑎1−𝑎2=2𝑐，其中2𝑎1,2𝑎2分别为椭圆的长轴长和双曲线的实轴长．所以

1𝑒1−1𝑒2=2，又椭圆的离心率𝑒1∈[514,25]，所以1𝑒2=1𝑒1−2∈[12,45]所以𝑒2∈[54,2]，即双曲线𝐶2的离心率的取值范围是[54,2]．故答案为[54,2]．四、解答题（

本大题共6小题，共72.0分）39.如图𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1为正方体，一只青蛙开始在顶点A处，它每次可随意跳到相邻三顶点之一，若在五次内跳到𝐶1点，则停止跳动；若5次内不能跳到𝐶1

点，跳完五次也停止跳动，求：(1)5次以内能到𝐶1点的跳法有多少种？(2)从开始到停止，可能出现的跳法有多少种？【答案】解：(1)如果不回跳，那么只能是跳三次可到达𝐶1点，第一跳有3种；第二跳有2种

；第三跳有1种，共有𝑁1=3×2×1=6种．(2)由条件青蛙的跳法只可能出现两种情况，其一，跳三次到达𝐶1点，有6种跳法，其二，跳五次停止(前三次不到𝐶1点)，有(33−6)⋅32=189，故共有6

+189=195种不同的跳法．【解析】本题考查两个原理的基本应用，是基础题．(1)只能是跳三次可到达𝐶1点，由分步乘法计数原理可得答案；(2)由条件青蛙的跳法只可能出现两种情况：其一，跳三次到达𝐶1点，其二，跳五次停止(前三次不到𝐶1点)，由分类加法计数原理可

得答案．18.据调查，目前对于已经近视的小学生，有两种配戴眼镜的选择，一种是佩戴传统的框架眼镜；另一种是佩戴角膜塑形镜，这种眼镜是晚上睡觉时佩戴的一种特殊的隐形眼镜(因其在一定程度上可以减缓近视的发展速度越来越多的小学生家长选择角膜塑形镜控

制孩子的近视发展)，A市从该地区小学生中随机抽取容量为100的样本，其中因近视佩戴眼镜的有24人(其中佩戴角膜塑形镜的有8人，其中2名是男生，6名是女生)．(1)若从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，那么，他戴的是角膜塑形镜的概率是多大？(2)从这8名戴角膜

塑形镜的学生中，选出3个人，求其中男生人数X的分布列；(3)若将样本的频率当做估计总体的概率，请问，从A市的小学生中，随机选出20位小学生，求佩戴角膜塑形镜的人数Y的期望和方差．【答案】解：(1)根据题中样本数据，设“这位小学生佩戴眼镜”为事件A，

则𝑃(𝐴)=24100=0.24，“这位小学生佩戴的眼镜是角膜塑形镜”为事件B，则“这位小学生佩戴眼镜，且眼镜是角膜塑形镜”为事件AB，则𝑃(𝐴𝐵)=8100=0.08，故所求的概率为：𝑃(𝐵|𝐴)=

𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐴)=0.080.24=13，所以从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，则他戴的是角膜塑形镜的概率是13．(2)依题意，佩戴角膜塑形镜的有8人，其中2名是男生，6名是女生，故从中抽3人，男生人数X的所有可能取值分别为0，1，2，其中：

𝑃(𝑋=0)=𝐶63𝐶83=6×5×468×7×66=2056=514；𝑃(𝑋=1)=𝐶21𝐶62𝐶83=2×6×528×7×66=3056=1528；𝑃(𝑋=2)=𝐶22𝐶61𝐶83=68×7×66=656=328.所以男生人数X的分布列为：X0

12P5141528328(3)由已知可得：，则𝐸(𝑌)=𝑛×𝑝=20×0.08=1.6，𝐷(𝑌)=𝑛𝑝(1−𝑝)=20×0.08×0.92=1.472．则佩戴角膜塑形镜的人数Y的期望是1.6，方差是1.472．【解析】本题主要考查古典概型的概率计算，条件概率，离散型随

机变量的分布列，期望与方差的计算，属于中档题．(1)利用古典概型计算出这位小学生佩戴眼镜的概率及这位小学生佩戴眼镜，且眼镜是角膜塑形镜的概率，根据条件概率可得；(2)写出8人中选取3人，男生人数X的所有可能取值，进而计算取每个值时的概率，可得分布列

；(3)由已知可得：，根据二项分布的性质计算期望和方差可得．19.如图在四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，底面ABCD是菱形，∠𝐵𝐴𝐷=60°，平面𝑃𝐴𝐷⊥平面ABCD，𝑃𝐴=𝑃𝐷=4，𝐴𝐷=2，Q为AD的中点，M是棱

PC上的一点，且𝑃𝑀=13𝑃𝐶．(1)求证：𝑃𝐴//平面BMQ；(2)求二面角𝑀−𝐵𝑄−𝑃的余弦值．【答案】证明：(1)连接AC，交BQ于N，连接MN，∵底面ABCD是菱形，∴𝐴𝑄

//𝐵𝐶，∴△𝐴𝑁𝑄∽△𝐶𝑁𝐵，𝐴𝑄𝐵𝐶=𝐴𝑁𝑁𝐶=12，∴𝐴𝐶𝐴𝑁=3，又𝑃𝑀𝑃𝐶=13，∴𝑃𝑀𝑃𝐶=𝐴𝑁𝐴𝐶=13，∴𝑀𝑁//𝑃𝐴，又𝑀𝑁⊂平面BMQ，𝑃𝐴⊄平面BMQ，∴𝑃𝐴//平面BMQ．解：(2)连结BD

，∵底面ABCD是菱形，∠𝐵𝐴𝐷=60°，∴△𝐴𝐵𝐷是正三角形，∴𝐵𝑄⊥𝐴𝐷,由已知𝑃𝐴=𝑃𝐷，Q为AD的中点，∴𝑃𝑄⊥𝐴𝐷，又∵平面𝑃𝐴𝐷⊥平面ABCD，且平面

𝑃𝐴𝐷∩平面𝐴𝐵𝐶𝐷=𝐴𝐷，𝑃𝑄⊂面PAD，∴𝑃𝑄⊥平面ABCD，∵𝐵𝑄⊂平面ABCD，∴𝑃𝑄⊥𝐵𝑄，以Q为坐标原点，以QA、QB、QP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则𝑄(0,0，0)，𝐴(1,0，0)，𝐵

(0,√3,0)，𝑃(0,0，√15)，𝑄𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,√3,0)，𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=(1,0,−√15)，设平面BMQ的法向量𝑛1⃗⃗⃗⃗=(𝑥,y，𝑧)，∴{𝑛1⃗⃗⃗⃗⋅𝑄𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0𝑛1⃗⃗⃗⃗⋅𝑀

𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，由(1)知𝑀𝑁//𝑃𝐴，∴{𝑛1⃗⃗⃗⃗⋅𝑄𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0𝑛1⃗⃗⃗⃗⋅𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=0，∴{√3𝑦=0𝑥−√15𝑧=0，取𝑧=1，得𝑛1⃗⃗⃗⃗=(√15,0，1)，平面BQP的一个法向量𝑛2⃗⃗⃗⃗=(1,0，0

)，设二面角𝑀−𝐵𝑄−𝑃的平面角为𝜃，则|cos𝜃|=|𝑛1⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑛2⃗⃗⃗⃗⃗||𝑛1⃗⃗⃗⃗⃗|⋅|𝑛2⃗⃗⃗⃗⃗|=√154，依图知，二面角𝑀−𝐵𝑄−𝑃为锐角，∴二面角𝑀−𝐵𝑄−𝑃的余弦值为√154．【解析】本题考查线面平行的证明，考查

二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．(1)连接AC，交BQ于N，连接MN，则𝐴𝑄//𝐵𝐶，推导出𝑀𝑁//𝑃𝐴，由此能证明𝑃𝐴//平面

BMQ．(2)连结BD，以Q为坐标原点，以QA、QB、QP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角𝑀−𝐵𝑄−𝑃的余弦值．20.已知点P是平面直角坐标系xOy内异于O的任意一点，过点P作直线𝑙1：𝑦=√32𝑥及𝑙2：𝑦=−√32�

�的平行线，分别交x轴于M，N两点，且|𝑂𝑀|2+|𝑂𝑁|2=8．(1)求点P的轨迹C的方程；(2)在x轴正半轴上取两点𝐴(𝑚,0)，𝐵(𝑛,0)，且𝑚𝑛=4，过点A作直线l与轨迹C交于E，F两点，证明：sin∠𝐸𝐵𝐴=si

n∠𝐹𝐵𝐴．【答案】解：(1)设点P的坐标为(𝑥0,𝑦0)，根据题意可得：𝑀(𝑥0−2√3𝑦0,0)，𝑁(𝑥0+2√3𝑦0,0)，由|𝑂𝑀|2+|𝑂𝑁|2=8得：(𝑥0−2√3𝑦0)2+(𝑥0

+2√3𝑦0)2=8，化简可得：𝑥024+𝑦023=1，所以轨迹C的方程为：𝑥24+𝑦23=1(𝑥≠±√2)；(2)证明：当直线l的斜率不存在时，根据椭圆的对称性，sin∠𝐸𝐵𝐴=sin∠𝐹𝐵𝐴成立，当直线l的斜率存在时，由题意设直线l的方程为：𝑦=𝑘(

𝑥−𝑚)，𝐸(𝑥1,𝑦1)，𝐹(𝑥2,𝑦2)，联立方程{𝑦=𝑘(𝑥−𝑚)𝑥24+𝑦23=1，消去y整理可得：(3+4𝑘2)𝑥2−8𝑘2𝑚𝑥+4𝑘2𝑚2−12=0，由△>0得：

𝑚2𝑘2<3+4𝑘2，且𝑥1+𝑥2=8𝑘2𝑚3+4𝑘2,𝑥1𝑥2=4𝑘2𝑚2−123+4𝑘2，则𝑘𝐵𝐸+𝑘𝐵𝐹=𝑦1𝑥1−𝑛+𝑦2𝑥2−𝑛=𝑦1(𝑥2−𝑛)+𝑦2(𝑥1−𝑛)(𝑥1−𝑛)(𝑥2−𝑛)=2𝑘𝑥1�

�2−(𝑘𝑚+𝑘𝑛)(𝑥1+𝑥2)+2𝑚𝑛𝑘(𝑥1−𝑛)(𝑥2−𝑛)，又2𝑘𝑥1𝑥2−(𝑘𝑚+𝑘𝑛)(𝑥1+𝑥2)+2𝑚𝑛𝑘=2𝑘(4𝑘2𝑚2−12)3

+4𝑘2−8𝑘2𝑚(𝑘𝑚+𝑘𝑛)3+4𝑘2+2𝑚𝑛𝑘=−24𝑘+6𝑚𝑛𝑘3+4𝑘2，因为𝑚𝑛=4，所以𝑘𝐵𝐸+𝑘𝐵𝐹=0，则sin∠𝐸𝐵𝐴=sin∠𝐹𝐵𝐴，综上，sin∠𝐸𝐵𝐴=sin∠𝐹𝐵𝐴．【解析】(1)设出点P的坐标

，利用已知求出点M，N的坐标，进而根据已知建立等式关系，从而可以求解；(2)讨论直线l的斜率不存在与存在的情况，当直线斜率存在时，由角相等转化为证明直线BE和直线BF的斜率的和为0，设出直线l的方程以及

点E，F的坐标，利用韦达定理求出直线BE和直线BF的斜率的和的关系式，利用直线方程化简即可证明．本题考查了求点的轨迹方程以及直线与椭圆的位置关系的应用，涉及到证明角相等转化为证明直线斜率和为0的问题，考查了学生的运算推理能力，属于中档题．21.某企业拥有3条相同的生产线，

每条生产线每月至多出现一次故障．各条生产线是否出现故障相互独立，且出现故障的概率为13．(1)求该企业每月有且只有1条生产线出现故障的概率：(2)为提高生产效益，该企业决定招聘n名维修工人及时对出现故障的生产线进行维修．已知每名维修工人每月只有及时维修

1条生产线的能力，且每月固定工资为1万元．此外，统计表明，每月在不出现故障的情况下，每条生产线创造12万元的利润；如果出现故障能及时维修，每条生产线创造8万元的利润；如果出现故障不能及时维修，该生产线将不创造利润．以该

企业每月实际获利的期望值为决策依据，在𝑛=1与𝑛=2之中选其一，应选用哪个？(实际获利=生产线创造利润−维修工人工资)【答案】解：(1)设3条生产线中出现故障的条数为X，则𝑋∼𝐵(3,13).因此𝑃(𝑋=1)=𝐶3

1(13)1(23)2=1227=49.(2)①当𝑛=1时，设该企业每月的实际获利为𝑌1万元．若𝑋=0，则𝑌1⬚=12×3−1=35；若𝑋=1，则𝑌1=12×2+8×1−1=31；若𝑋=2，则𝑌1=12×1+8×1+0×1−1=19；若𝑋=3

，则𝑌1=12×0+8×1+0×2−1=7；又𝑃(𝑋=0)=𝐶30(13)0(23)3=827，𝑃(𝑋=1)=𝐶31(13)1(23)2=1227，𝑃(𝑋=2)=𝐶32(13)2(23)1=627，𝑃(𝑋=3)=𝐶33(13)3(23)0=127，此时，实际获利𝑌1

的均值𝐸𝑌1⬚=35×827+31×1227+19×627+7×127=77327②当𝑛=2时，设该企业每月的实际获利为𝑌2万元．若𝑋=0，则𝑌2=12×3−2=34；若𝑋=1，则𝑌2=12×2+8×1−2=30；若𝑋=2，则�

�2=12×1+8×2−2=26；若𝑋=3，则𝑌2=12×0+8×2+0×1−2=14；𝐸𝑌2=34×827+30×1227+26×627+14×127=80227因为𝐸𝑌1<𝐸𝑌2.于是以该企业每月实际获利的期望值为决策依据，在𝑛=1与𝑛

=2之中选其一，应选用𝑛=2.【解析】本题考查二项分布、离散型随机变量的分布列及随机变量的期望与方差，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力．(1)设3条生产线中出现故障的条数为X，则𝑋∼𝐵(3,13)，进而即可求得结果；(2)

分别求得𝑛=1及𝑛=2时的期望进而即可求得结果．22.已知函数𝑓(𝑥)=𝑒𝑥𝑥．(1)求曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点(2,𝑓(2))处的切线方程；(2)设𝐺(𝑥)=𝑥𝑓(𝑥)−ln𝑥−2𝑥，

证明𝐺(𝑥)>−ln2−32．【答案】解：(1)𝑓′(𝑥)=𝑒𝑥𝑥−𝑒𝑥𝑥2，𝑓′(2)=2𝑒2−𝑒222=𝑒24且𝑓(2)=𝑒22，所以切线方程𝑦−𝑒22=𝑒24(𝑥−2)，即𝑦=

𝑒24𝑥．(2)证明：由𝐺(𝑥)=𝑥𝑓(𝑥)−𝑙𝑛𝑥−2𝑥(𝑥>0)，𝐺′(𝑥)=𝑒𝑥−1𝑥−2，所以𝐺′(𝑥)在(0,+∞)为增函数，又因为𝐺′(1)=𝑒−3<0，𝐺

′(2)=𝑒2−52>0，所以存在唯一𝑥0∈(1,2)，使𝐺′(𝑥0)=𝑒𝑥0−1𝑥0−2=0，即𝑒𝑥0=1𝑥0+2，且当𝑥∈(0,𝑥0)时，𝐺′(𝑥)<0，𝐺(𝑥)为减函数，𝑥∈(𝑥0,+

∞)时𝐺′(𝑥)>0，𝐺(𝑥)为增函数，所以𝐺(𝑥)𝑚𝑖𝑛=𝐺(𝑥0)=𝑒𝑥0−𝑙𝑛𝑥0−2𝑥0=1𝑥0+2−𝑙𝑛𝑥0−2𝑥0，𝑥0∈(1,2)，记𝐻(𝑥)=1𝑥+2−𝑙𝑛𝑥−2𝑥，(1<�

�<2)，𝐻′(𝑥)=−1𝑥2−1𝑥−2<0，所以𝐻(𝑥)在(1,2)上为减函数，所以𝐻(𝑥)>𝐻(2)=12+2−𝑙𝑛2−4=−32−𝑙𝑛2，所以𝐺(𝑥)≥𝐺(𝑥0)>−

32−𝑙𝑛2．【解析】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间，注意运用导数的几何意义和函数的单调性，考查构造函数法，以及化简整理的运算能力，属于难题．(1)求出𝑓(𝑥)的导数和切线的斜率，以及𝑓(2)，运用点斜式方程，可

得切线的方程；(2)求出𝐺(𝑥)的解析式，求出导数，再求导数，判断𝐺′(𝑥)的单调性，由零点存在定理可得存在唯一𝑥0∈(1,2)，使𝐺′(𝑥0)=𝑒𝑥0−1𝑥0−2=0，即𝑒𝑥0=1𝑥0+2，构

造𝐻(𝑥)=1𝑥+2−𝑙𝑛𝑥−2𝑥，(1<𝑥<2)，求出导数，判断单调性，即可得证．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com