【文档说明】四川省绵阳南山中学2022-2023学年高二下学期3月月考理科数学试题 含解析.docx，共(21)页，2.625 MB，由小赞的店铺上传

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绵阳南山中学高2021级高二下期3月月考试题数学（理科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列语句是命题的是（）A.二次函数的图象太美啦！B.这是一棵大树C.求证：112+=D.3比5

大【答案】D【解析】【分析】根据命题的定义逐一判断即可.【详解】能够判断成立或不成立的陈述句叫命题，只有选项D能够判断出真假，3比5大显然不成立，是假命题，故选：D2.设命题2:,2nPnNn，则P为A.2,2nnNnB.2,2nnNnC.2,2nnNnD.2,2n

nNn=【答案】C【解析】【详解】特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为2,2nnNn≤，即本题的正确选项为C.3.,,abc为空间的一组基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（）A.a，ab+，ab−B.b，ab+，ab−C.c，ab+，ab−D.2ab+，a

b+，ab−【答案】C【解析】【分析】确定()()12aabab=++−，()()12babab=+−−，()()31222ababab+=+−−排除ABD，得到答案.【详解】对选项A：()()12aabab=++−，向量共面，故不能构成基底，错误；对选项

B：()()12babab=+−−，向量共面，故不能构成基底，错误；对选项C：假设()()cabab=++−，即()()cab=++−，这与题设矛盾，假设不成立，可以构成基底，正确；对选项D：()()3122

2ababab+=+−−，向量共面，故不能构成基底，错误；故选：C4.有下列四个命题，其中是假命题的是（）A.“若0xy+=，则x，y互为相反数”的逆命题B.“全等三角形的面积相等”的否命题C.“若1

q，则220xxq++=有实根”的逆否命题D.“等边三角形的三个内角相等”逆命题【答案】B【解析】【分析】根据逆命题、否命题、逆否命题的定义进行判断即可.【详解】0xy+=，则x，y互为相反数”的逆命题为x，y互为相

反数，则0xy+=，这显然是真命题；全等三角形的面积相等”的否命题是不全等三角形的面积不相等，这显然是假命题；1q，则220xxq++=有实根”的逆否命题是220xxq++=没有实根，则1q，由一元二次方程根的判别式得4401qq−，所以该命题是真命题，等边三角形的三个内角相等”逆命

题是三个内角相等的三角形是等边三角形，这显然正确，故选：B5.已知空间向量()21,3,0axx=+，()1,,3byy=−，（其中x、yR），如果ab∥，则xy+=（）A.1B.2C.-2D.-1【答案】B【解析】【分析】根据空间向量共线的性质进行求解

即可.【详解】因为ab∥，所以有()21332103xyabxyxyxy+====+==−=−，故选：B6.设函数()yfx=在0xx=处可导，若()()000lim62tfxxfxx→+−=，则()0fx=（）A.3B.

6C.8D.12【答案】D【解析】【分析】利用导数的定义进行求解.【详解】()()000lim62xfxxfxx→+−=，()()000lim612xfxxfxx→+−=，()012fx=.故选：D.7.对

于命题p：1m，命题q：方程2230mxx−+=有两个同号且不等实根，则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先化简命题p，q，分别求得

m的范围，进而得到二者间的逻辑关系.【详解】方程2230mxx−+=有两个同号且不等实根，则()20302430mmm−−，解之得103m，则命题q：103m，由1m，可得11m−命题，则p：11m−，则p是q的必要不充分条件.故选：B8.已知命题

p：01,2x，020mx+.命题q：xR，2210xmx−+，若pq为假命题，则实数m取值范围是（）A.)1,+B.(,1−−C.(,2−−D.1,1−【答案】A【解析】【分析】分别求出pq，都为假命题的条件，再取交集即可求解

.【详解】若pq为假命题，则pq，都为假命题，由p：01,2x，020mx+为假命题，得1,2x，20mx+，得1m−；由q：xR，2210xmx−+为假命题，得0xR，2210xmx−+，()2240m=−−，得21m，1m−

或m1，综上可知，m1.故选：A.9.已知O为空间任意一点，,,,ABCP四点共面，但任意三点不共线．如果BPmOAOBOC=++，则m的值为（）A.-2B.-1C.1D.2【答案】A【解析】【分析】由题设条件推得2OPmOAOBOC=+

+，再由四点共面可求得2m=−【详解】因为BPOPOB=−，所以由BPmOAOBOC=++得OPOBmOAOBOC−=++，即2OPmOAOBOC=++，因为O为空间任意一点，,,,ABCP满足任意三点不共线，且四点共面，所

以211m++=，故2m=−.故选：A.10.已知四面体O－ABC，G1是△ABC重心，G是OG1上一点，且OG＝3GG1，若OGxOAyOBzOC=++，则(,,)xyz为（）的A.111,,444B.333,,444C111,

,333D.222,,333【答案】A【解析】【分析】连接AG1并延长，交BC于点E，利用向量加减、数乘几何意义用,,OAOBOC表示出OG，即可得答案.【详解】如图所示，连接AG1并延长，交BC于点

E，则点E为BC的中点，11()(2)22AEABACOBOAOC=+=−+，则121(2)33AGAEOBOAOC==−+，由题设，1133()OGGGOGOG==−，113331211()()()4443334OGOGOAAGOAOBOAOCOAOBOC==+=+−+=++所以14xyz==

=.故选：A11.如图，正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，E，F分别是棱BC，1DD上的点，如果1BE⊥平面ABF，则CE与DF的长度和为（）A.34B.32C.1D.43.【答案】C【解析】【分析】设平面ABF与1C

C交于点G，连接FG，BG，确定1BEBG⊥得到CEDFBC+=，计算得到答案.【详解】设平面ABF与1CC交于点G，连接FG，BG，平面11ADDA//平面11BCCB，平面11ADDA平面ABGFAF=,平面11ADDA平面,ABGFBG=则//AFBG，1BE⊥平面ABF，AF平面ABF

，故1BEAF⊥，故1BEBG⊥，易得1CBGCGBCBGBEB+=+，所以1CGBBEB=，易得1BBECBG△△，故CGBE=，ADFBCG△△，故DFCG=，1CEDFCECGCEBEBC+=+=+==.故选：C12.如图所示

，多面体OABCD，2ABCD==，2ADBCACBD====，且OA，OB，OC两两垂直．给出下列四个命题：其中真命题的个数是（）①三棱锥OABC−的体积为定值；②经过,,,ABCD四点的球的直径为5；③直线//OB平面ACD；④直线AD与OB所成角是60；A.1B.2C.3D

.4【答案】C【解析】【分析】由题意，构造长方体，设OAx=，OBy=，OCz=，由已知解得1x=，1y=，3z=，对于①，根据三棱锥的体积公式可判断；对于②，球面经过点A、B、C、D两点的球的直径即为长方体的对角线长，由此可判断；对于③，由//OBAE可

判断；对于④，由已知得DAE即为直线AD与OB所成的角，解三角形可判断；【详解】由题意，构造长方体，如下图所示，设OAx=，OBy=，OCz=，则222xy+=，224xz+=，224yz+=，解得，1x=，1y=，3z=，对于①，三棱锥OABC−的体积

为113326OCOAOB=，故①对；对于②，球面经过点A、B、C、D两点的球的直径即为长方体的对角线长，即为22211(3)5++=，故②对；对于③，由于//OBAE，AE和平面ACD相交，则OB和平面ACD相交，

故③错．对于④，由于//OBAE，则DAE即为直线AD与OB所成的角，由tan3DEDAEAE==，则60DAE=，故④对；故选：C第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20

分.13.已知直线l的方向向量为()1,,2m，平面的法向量为()3,1,1−，且l∥，则m=_______.【答案】5【解析】分析】运用平面向量数量积计算即可.【【详解】设()()1,,2,3,1,1amb==

−，由题意：,320,5ababmm⊥=−+==；故答案为：5.14.过点()0,16P作曲线33yxx=−的切线，则切点的横坐标为_______.【答案】2−【解析】【分析】设出切点，利用导数求得切线斜率，写出切线方程，根据其过点P，代值求得参数m

的值，则问题得解.【详解】设切点为3(,3)mmm−，3()3fxxx=−的导数为2()33fxx=−，可得切线斜率233km=−，由点斜式方程可得切线方程为323(33)()ymmmxm−+=−−，代入点(0,16)P可得32163(33)(0)mmmm

−+=−−，解得2m=−，故答案为：2−.15.已知()1,2,1a=−−，()1,1,1bx=−−，且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是______.【答案】()()0,33,+【解析】【分析】根据题意得出0ab且a与b不共线，然后根据向量数量积的定义及向量共线的条件即可求出x的

取值范围.【详解】因为a与b的夹角为钝角，所以0ab且a与b不共线，因为()1,2,1a=−−，()1,1,1bx=−−，所以()12110abx=−−−−，且1112x−−−，解得0x，且3x

，所以x的取值范围是()()0,33,+.故答案为：()()0,33,+.16.若不等式x2﹣2x+3﹣a＜0成立的一个充分条件是0＜x＜5，则实数a的取值范围是_____．【答案】)18,+【解析】【详解】∵不等式2230xxa+﹣﹣＜成立的一

个充分条件是05x＜＜，∴当05x＜＜时，不等式不等式2230xxa+﹣﹣＜成立，设223fxxxa=+（）﹣﹣，则满足()()0050ff，即30151030aa−−+−解得18a，故答案为[18+，）．三、解答题：

本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数()25fxxx=+−.（1）利用导数的定义求导函数()fx；（2）求曲线()yfx=在点()2,1处的切线的方程.【答案】（1）()2

1fxx=+（2）59yx=−【解析】【分析】（1）利用导数的定义可求得()fx；（2）分析可知点()2,1在曲线()yfx=上，求出()2f的值，利用到导数的几何意义可求得所求直线的方程.小问1详解】解：因为()()()()()2255fxxfxxxxxxx+−=+++−

−+−()()221xxx=++，所以，()()()()()20021limlim21fxxfxxxxfxxxx→→+−++===+.【小问2详解】解：因为()222251f=+−=，故点()2,1在曲线()

yfx=上，【又因为()22215f=+=，所以，曲线()yfx=在点()2,1处的切线的方程为()152yx−=−，即59yx=−.18.设命题p：实数x满足22450(0)xaxaa−−，命题q：实数x满足203xx−−．（1）若=1a，且p与q均是真命题，求实数x的取值范围；（2）

若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【答案】（1）(2,3)（2）3,5+【解析】【分析】（1）由题意解两个不等式，求其解集的交集即可;（2）求出命题p中x的范围，再根据集合的包含关系列不等式求解即可【小问1详解】当=1a

时，若命题p为真命题，则2245<0xaxa−−可化为245<0xx−−，解得1<<5x−；若命题q为真命题，则2<03xx−−可转化成()()23<0xx−−，解得23x，∵p与q均是真命题，∴x的取值范围是(2,3)；【

小问2详解】由2245<0xaxa−−可得(5)(+)<0xaxa−，又0a，解得<<5axa−，∵p是q的必要不充分条件，∴|23xx|<<5,>0xaxaa−，∴532>0aaa−（等号不能同时成立）

，得35a，当35a=时，满足|2<<3xx|<<5,>0xaxaa−，∴a的取值范围是3,+5．19.如图所示，平行六面体1111ABCDABCD−的底面是菱形，2AB=，14AA=，1160DABAABDAA===，113ANNC=，1DMMB=，设ABa

=，ADb=，1AAc=．（1）试用a，b，c表示AM，AN；（2）求MN的长度．【答案】（1）11133,22244AMabcANabc=++=++（2）332【解析】【分析】（1）将,,abc当作基底，按照向量线性

运算的规则计算即可；（2）运用向量求模的方法计算.小问1详解】如图，连接AM，AN，111BDBCCCCDbca=++=+−，()11111122222AMABBMaBDabcaabc=+=+=++−=++，111111ACABBCab=+=+

，111333444ANACab==+，113344ANAAANabc=+=++；【小问2详解】由条件得：22cos602,24cos604,24cos604abacbc======，【()133111244442MNMAANabcabcabc=+=−++++

+=++，()()222221111424444216MNabcabcabacbc=++=+++++()2221272244224444164=+++++=，273342MNMN===；综

上，111222AMabc=++，3344ANabc=++，332MN=.20.设命题p：若方程220xmxm−+=有两根，其中一根大于3一根小于3；命题q：关于x的不等式220mxmx−−的解集为R.若pq为真，pq为假

，求实数m的取值范围.【答案】9m或80m−【解析】【分析】根据且命题或命题的真假性质，结合一元二次不等式的解集性质、二次函数的性质进行求解即可.【详解】由p可知：令()22fxxmxm=−+，则只需()30

f，解得9m，∴p：9m，由q可知：当0m=时，不等式变为20−，恒成立；当0m时，不等式不恒成立；当0m时，只需Δ0，解得80m−，故80m−；由上可知：q：80m−.因为pq为真，pq为假，所以p、q一真一假，当p真q假时，98

0mmm−或，得9m，当P假q真时，980mm−，得80m−综上所述：9m或80m−.21.如图，在三棱锥PABC−中，22ABBC==，4PAPBPCAC====，O为AC的中点．（1）证明：PO⊥平面

ABC；（2）若点M在棱BC上，且二面角MPAC−−为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）34.【解析】【分析】（1）根据等腰三角形性质得PO垂直AC，再通过计算，根据勾股定理得PO垂直OB，最后根据线面垂直判定定理得结论；（2）方法一：根据

条件建立空间直角坐标系，设各点坐标，根据方程组解出平面PAM一个法向量，利用向量数量积求出两个法向量夹角，根据二面角与法向量夹角相等或互补关系列方程，解得M坐标，再利用向量数量积求得向量PC与平面PAM法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余得结

果．【详解】（1）因为4APCPAC===，O为AC的中点，所以OPAC⊥，且23OP=．连结OB．因为22ABBCAC==，所以ABC为等腰直角三角形，且1,22OBACOBAC⊥==，由222OPOBPB+=知POOB⊥．由,OPOBOPAC⊥⊥知，PO⊥平面ABC

．（2）［方法一］：【通性通法】向量法如图，以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz−．由已知得(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,2,0),(0,0,23),(0,2,23)OBACPAP−=取平面PAC

的法向量(2,0,0)OB=．设(,2,0)(02)Maaa−，则(,4,0)AMaa=−．设平面PAM的法向量为(,,)nxyz=．由0,0APnAMn==得2+23=0+(4)=0yzaxay−，可取2(3(4),3,)naaa=−−所以2

2223(4)cos23(4)3aOBnaaa−=−++．由已知得3cos2OBn=．所以22223|4|3223(4)3aaaa−=−++．解得4a=−(舍去)，43a=．所以83434,,333n

=−−．又(0,2,23)PC=−，所以3cos,4PCn=．所以PC与平面PAM所成角的正弦值为34．［方法二］：三垂线＋等积法由（1）知PO⊥平面ABC，可得平面PAC⊥平面ABC．如图5，在平面ABC内作MNAC⊥，垂足为N，则MN⊥平面PAC．在平面PAC内作NFA

P⊥，垂足为F，联结MF，则MFAP⊥，故MFN为二面角MPAC−−的平面角，即30MFN=．设MNa=，则,4NCaANa==−，在RtAFN△中，3(4)2FNa=−．在RtMFN△中，由33(4)32aa=−，得43a

=，则823FMa==．设点C到平面PAM的距离为h，由MAPCCAPMVV−−=，得213411844343323h=，解得3h=，则PC与平面PAM所成角的正弦值为34．［方法三］：三垂线＋线面角定义法由（1）知

PO⊥平面ABC，可得平面PAC⊥平面ABC．如图6，在平面ABC内作MNAC⊥，垂足为N，则MN⊥平面PAC．在平面PAC内作NFAP⊥，垂足为F，联结MF，则MFAP⊥，故MFN为二面角MPAC−−的平面角

，即30MFN=．同解法1可得43MNa==．在APC△中，过N作NEPC∥，在FNM△中，过N作NGFM⊥，垂足为G，联结EG．在RtNGM△中，334232233NGNM===．因为NEPC∥，所以843NENAa==−=．由PA⊥平面FMN，可得平面PAM⊥平面FMN，交线

为FM．在平面FMN内，由NGFM⊥，可得NG⊥平面PAM，则NEG为直线NE与平面PAM所成的角．设NEG=，则2333sin843NGNE===，又NEPC∥，所以直线PC与平面PAM所成角的正弦值为34．［方法四］：【最优解】定义法如

图7，取PA的中点H，联结CH，则23CH=．过C作平面PAM的垂线，垂足记为T（垂足T在平面PAM内）．联结HT，则CHT即为二面角MPAC−−的平面角，即30CHT=，得3CT=．联结PT，则CPT为直线PC与平面PAM所成的角．在RtPCT△中，4,3PCCT

==，所以3sin4CPT=．【整体点评】（2）方法一：根据题目条件建系，由二面角的向量公式以及线面角的向量公式硬算即可求出，是该类型题的通性通法；方法二：根据三垂线法找到二面角的平面角，再根据等积法求出点到面的距离，由定义求出线面角，是几何法解决空间角的基本手段；方法三：根据三垂

线法找到二面角的平面角，再利用线面角的等价转化，然后利用定义法找到线面角解出，是几何法解决线面角的基本思想，对于该题，略显麻烦；方法四：直接根据二面角的定义和线面角的定义解决，原理简单，计算简单，是该题的最优解．22.如图，圆台12OO的轴截面为等腰梯形11AA

CC，111224ACAAAC===，B为底面圆周上异于A，C的点.（1）在平面1BCC内，过1C作一条直线与平面1AAB平行，并说明理由；（2）设平面1AAB∩平面1CCBlQl=，，1BC与平面QAC所成角为，当四棱锥11BAACC−的体积最大时，求sin的取值范围.【答案】（

1）作图及理由见解析；（2）14[0,]4.【解析】【分析】（1）取BC中点P，作直线1CP，再利用线面平行的判定推理作答.（2）延长11,AACC交于点O，作直线BO，再确定四棱锥体积最大时，点B的位置，然后建立空间直角坐标系，利用空间向量建立线面角正弦的函数关

系，求出其范围作答.【小问1详解】取BC中点P，作直线1CP，则直线1CP即为所求，取AB中点H，连接1,AHPH，则有1//,2PHACPHAC=，如图，在等腰梯形11AACC中，1112ACAC=，有1111//,HPACHPAC=，则四边形11ACP

H为平行四边形，即有11//CPAH，又1AH平面1AAB，1CP平面1AAB，所以1//CP平面1AAB.【小问2详解】延长11,AACC交于点O，作直线BO，则直线BO即为直线l，如图，过点B作BOAC⊥于O，因为平面11AACC⊥平

面ABC，平面11AACC平面ABCAC=，BO平面ABC，因此BO⊥平面11AACC，即BO为四棱锥11BAACC−的高，在RtABC△中，90ABC=，22122BABCBABCBOA

CACAC+==，当且仅当BABC=时取等号，此时点O与2O重合，梯形11AACC的面积S为定值，四棱锥11BAACC−的体积1113BAACCVSBO−=，于是当BO最大，即点O与2O重合时四棱锥11BAACC−的体积最大，22,2BOACBO⊥=，以

2O为原点，射线2221,,OAOBOO分别为,,xyz轴的非负半轴建立空间直角坐标系，在等腰梯形11AACC中，111224ACAAAC===，此梯形的高22111()32ACAChAA−=−=，显然11AC为OAC的中位线，则1(0,0

,23),(2,0,0),(0,2,0),(1,0,3)OABC−，12(1,2,3),(2,2,0),(0,2,23),(2,0,0)BCABBOOA=−−=−=−=，设,RBQBO=，则(2

,22,23)AQABBQABBO=+=+=−−设平面QAC的一个法向量(,,)nxyz=，则2202(22)230nOAxnAQxyz===−+−+=，令3y=，得(0,3,1)n=−，则有11222221||

|233(1)|sin|cos,|||||(3)(1)(1)(2)(3)nBCnBCnBC−+−===+−−+−+23|1|22421+=−+，令1t=+，则23||sin224107ttt=−+，当0=t时，sin0

=，当0t时，2233140sin4710153224227()77ttt==−+−+，当且仅当75t=，即2=5时取等号，综上得140sin4，所以sin的取值范围是14[0,]4.【点睛】思路点睛：求空间角的最值问题，根据给定条件，选定变量，将该角的某

个三角函数建立起选定变量的函数，求出函数最值即可.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com