【文档说明】江西省萍乡市2021届高三下学期4月第二次模拟考试（二模）数学（理）试题含答案.doc，共(11)页，1.455 MB，由小赞的店铺上传

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准考证号姓名绝密★启用前（在此卷上答题无效）萍乡市2020－2021学年度高三二模考试试卷理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．满分150分，考试时间120分钟

．注意事项：1．答卷前，考生务必将自已的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人的准考证号、姓名是否一致．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷

用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答题无效．3．考试结束后，监考员将试题卷、答题卡一并收回．第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）

已知全集1,2,3,4,5,6U=，1,2,4M=，2,5,6N=，则图中阴影部分表示的集合是A.1B.1,4C.5,6D.1,2,4,5,6（2）已知复数z满足()1234izi

−=+(i为虚数单位)，则z=A.2B.5C.52D.5（3）已知a与b满足1a=，2b=，213ab−=，则a与b的夹角为A.120B.90C.60D.30（4）已知函数()fx为偶函数，且当()0,x+时，()lnfxx=若()ln34af=，()2ebf−=，1lncf=

(其中e为自然对数的底数，为圆周率)，则,,abc的大小关系为A.acbB.abcC.cabD.cba（5）2021年3月12日是全国第43个植树节，为提高大家爱劳动的意识，某中学组织开展植树活动，并收集了高三年级1～11班植树量的数据(单位:棵)，绘制了下面的折

线图.根据折线图，下列结论不正确．．．的是A.各班植树的棵数不是逐班增加的B.4班植树的棵数低于11个班的平均值C.各班植树棵数的中位数为6班对应的植树棵数D.1至5班植树的棵数相对于6至11班，波动更小，变化比较平稳（6）已知抛物线()220:yCpxp=，以()2,0M−为圆心，半径为5的圆

与抛物线C交于,AB两点，若8AB=，则p=A.4B.8C.10D.16（7）某几何体的三视图如图所示，该几何体的各个面的面积中，最大的为A.12B.32C.2D.332（8）某小型摩天轮共10个座舱，每个座舱有两个座位.现所有座舱全部为空座，有10人依次排好队准备乘搭，第一个人坐第1个舱，其他

人在可选的情况下，随机选择是与前一个人共乘一个座舱，或是乘搭下一个座舱，则10人不同的座舱选择情况共有A.89种B.90种C.637种D.638种（9）2021年是中国共产党百年华诞，3月24日，中宣部

发布中国共产党成立100周年庆祝活动标识（图1），标识由党徽、数字“100”“1921”“2021”和56根光芒线组成，生动展现中国共产党团结带领中国人民不忘初心、牢记使命、艰苦奋斗的百年光辉历程.其中“100”的两个“0”设计为两个半径为R的相交大圆，分别

内含一个半径为1的同心小圆，且同心小圆均与另一个大圆外切（图2）.已知21R=+，在两大圆的区域内随机取一点，则该点取自两大圆公共部分的概率为图1图2A.121−+B.232−+C.343−+D.454−+（10）如图，在四棱柱1111ABCDABCD−中，底面ABCD为正方形

，侧棱1AA⊥底面ABCD，3AB=，14AA=，P是侧面11BCCB内的动点，且1APBD⊥，记AP与平面11BCCB所成的角为，则tan的最大值为A.43B.53C.2D.259（11）已知数列na的前n项和为nS，对任意*nN，有()1132nn

nnSan=−++−，且()()10nnapap+−−恒成立，则实数p的取值范围是A.111,44−B.311,24−C.111,4−D.311,44−（12）若函数()sinx

xfxeexx−=−+−，则满足()()22ln102xfaxf−++恒成立的实数a的取值范围为A.12ln2,2−+B.1ln2,4−+C.7,4+

D.3,2+萍乡市2020－2021学年度高三二模考试试卷理科数学第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22，23题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题，每小题5分．（13）已

知数列na为等差数列，nS为其前n项和，6353aaa+−=，则7S=.（14）已知圆22:1Cxy+=，点P在直线20xy−−=上运动，若圆C上存在两点,AB，使得PAPB⊥，则点P的坐标是.（15）已知函数()2log,023,2xxfxxx=−+

，若存在三个互不相同的实数,,abc，满足()()()fafbfc==，则abc的取值范围是.（16）已知双曲线()222210,0xyabab−=的左、右焦点分别为12,FF，过1F且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于,AB两点，22,AFBF分别

交y轴于,PQ两点，若2PQF的周长为4，则252ba−−的取值范围为.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）已知函数()πsin()(,0)6fxAxA=+最大值为2，对称中心与对称轴间的最短距离为π4．（1）求函数()yfx=的单调

递增区间；（2）已知ABC的内角,,ABC所对的边分别为,,abc，()1fB=，D为BC的中点，且ADb=，求sinsinBACC的值．（18）（本小题满分12分）在如图所示的空间几何体中，两等边三角形ACD与ABC互相垂直，4ACBE==，BE和平面ABC所成的

角为60，且点E在平面ABC上的射影落在ABC的平分线上．（1）求证：DE平面ABC；（2）求平面ABE与平面CAD所成夹角的余弦值．（19）（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)xyEabab+=，,AB为其左、右顶点，G点坐标为(,1)c，c为椭圆的半焦距，且有

0AGBG=，椭圆E的离心率32e=．（1）求椭圆E的标准方程；（2）已知O为坐标原点，,MN为椭圆上不重合两点，且,MN的中点H落在直线12yx=上，求MNO面积的最大值．（20）（本小题满分12分）某贫困地区经过不懈的奋力

拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加，为了制定提升农民收入、实现2020年脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2019年50位农民的年收入并制成如右频率分布直方图：(1)根据频率分布直方图，估计这50位农民的平均年收入x(单位：千元；同一组数据用该组数据区间的中点值表示)；(2)

为推进精准扶贫，某企业开设电商平台，让越来越多的农村偏远地区的农户通过经营网络商城脱贫致富．甲计划在A店，乙计划在B店同时参加一个订单“秒杀”抢购活动，其中每个订单由()2,nnnN个商品W构成，假定甲、乙两人在A，B两店订单“秒杀”成功的概率分别为p，q，记甲、乙两人抢购成功的

订单总数量、商品W总数量分别为X，Y．○1求X的分布列及数学期望()EX；○2若27sin4npnn=−，sin4nqn=，求当Y的数学期望()EY取最大值时正整数n的值．（21）（本小题满分12分）已知函数1()ln()xfxxaxa−=+−+,函数(

)gx满足2ln[()]lngxxxxa+=+−.(1)讨论函数()fx的单调性；(2)若()gx有两个不同的零点1x,2x，证明：121xx.请考生在第22，23两题中任选一题做答.只能做所选定的题目.如果多做，

则按所做的第一个题记分.做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题号后方框涂黑.（22）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，P为曲线122cos:sinxCy=+=（为参数）上的动点，将P点纵坐标不

变，横坐标变为原来的一半得Q点，记Q点轨迹为2C，以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线2C的极坐标方程；（2）,AB是曲线2C上异于极点的两点，且6AOB=，求3OAOB−的取值范围

.（23）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知()3544fxxx=−++．（1）关于x的不等式()2fxaa−有解，求实数a的取值范围；（2）设,mnR+，且22mn+=，求证：()1212mnfx+++．萍乡市2020－2021学年度高三二模考试试卷理科数学

试题参考答案及评分标准一、选择题（12×5=60分）CDCAC；BDABB；DA．二、填空题（4×5=20分）13．21；14．()1,1−；15．()2,3；16.5,2+.三、解答题（共75分）17.（

1）由题知=2A，12ππ444T==，则2=………………………………………………2分故()π2sin(2)6fxx=+.…………………………………………………………………………3分由πππ2π22π+262kxk−+，kZ，解得ππππ+36kxk−

，kZ………………………5分所以()yfx=的单调递增区间为ππππ+36kk−，，kZ.……………………………6分（2）()π11sin(2)62fBB=+=.∵ππ13π(0,π)2(

,)666BB+.∴π5ππ2==.663BB+，………………………………8分作线段CD的中点E，因为ADAC=，故AECD⊥．因为πcos=3BEAB，即312==423aacc.…………………………………………………………10分由正弦定理知

sin2==.sin3BACaCc…………………………………………………………12分18.（1）取AC中点O，连接,BODO，由题知，BO为ABC的平分线，,BOACDOAC⊥⊥设点F是点E在平面ABC上的射影，由题知，点F在BO上连

接EF，则EF⊥平面ABC.平面ACD⊥平面ABC，平面ACD平面ABCAC=，DO平面,ACDDOAC⊥，DO⊥平面ABC………………………2分DOEFBE和平面ABC所成的角为60，即60E

BF=，23EF=，又23DO=四边形EFOD为平行四边形，DEBO……………………………………………………5分BO平面ABC，DE平面ABC，DE平面ABC……………………………………6分（2）以,

,OAOBOD方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz−则()()()2,0,0,0,232,23,0,23,0AEB−()()2,23,0,2,232,23ABAE=−=−−………………………………8分设平面ABE

的一个法向量为(),,nxyz=则223y02(232)230nABxnAExyz=−+==−+−+=，取1z=，得()3,3,1n=，取平面ACD的法向量为()0,1,0m=………………………………………………………………10分设平面ABE与平面ACD所夹角为，则3339co

scos,||||1113nnnmmm====……………………………………………11分平面ABE与平面ACD所夹角余弦值为3913………………………………………………12分19.（1）依题意：(,0),(,0)AaBa−，则

(,1),(,1)AGcaBGca=+=−……………………1分2210AGBGca=−+=，即21b=，又32ca=，解得3,2,1cab===………………3分所以椭圆方程为：2214xy+=；……………………………………………………………………4分（2）设112200(,),(,),(,

)MxyNxyHxy，则002yx=，因为,MN在椭圆上，有：2211021122221120224414()4244MNxyxyyxxkxxyyyxy+=−+==−=−=−−++=………………………………6分设直线MN：1(0)2yx

mm=−+，联立2221212221244402,22244yxmxmxmxxmxxmxy=−+−+−=+==−+=………………8分又232160m=−，得()2,2m−所以222212122

,1225(2)2xxmMNmm−=−=+−−=−，…………………10分原点O到直线MN的距离21514mmd==+故222212(2)122MNOmmSdMNmm+−==−=当且仅当222mm=−，即1m=时等号成立，故MNO面积的最

大值为1.……………12分20．（1）120.04140.12160.28180.36200.10220.06240.0417.4x=++++++=故估计这50位农民的年平均收人x为17.4千元．………………………………………………2分（2）○1由

题知，X可能取值为0，1，2．()()()011PXpq==−−，()()()111PXpqqp==−+−，()2PXpq==…………………4分所以X的分布列为：X012P()()11pq−−2pqp

q+−pq()()()()01122EXpqpqpqpqpq=−−++−+=+…………………………………………6分○2因为YnX=，所以()()()27sinsin2sin44nnEYnEXnpqnnnnnn==+=−+=−

令(110,2tn=，设()2sinfttt=−，则()()EYft=()()1'2cos2cos2fttt=−=−，且(0,2t……………………………………………9分当()10,3t时

，()'0ft，所以()ft在区间()10,3上单调递增当(11,32t时，()'0ft，所以()ft在区间(11,32上单调递减．…………………………11分所以当13t=，即3n=时，()()1333ftf=−故当()EY取最大值时，n的值为

3．……………………………………………………………12分21.(1)由已知得函数()fx的定义域为()a−+，，则()()()22111()xaxxfxxaxaxa+−−−=−=+++，…………………………………………………………1分当11aa−−，即时,()fx在

()a−+，上单调递增…………………………………………2分当11aa−−，即时,()fx在()a−，1上单调递减，在()1,+上单调递增…………………3分(2)∵2ln[()]lngxxxxa+=+−，∴2()()xaxagxxexxe

x−−=−=−，其定义域为(0)+，，……………………………………4分2()()=0xaxagxxexxex−−=−=−等价于=0xaex−−，即lnxxa−=设()lnhxxx=−(0x)，()11'1xhx

xx−=−=………………………………………………5分令()0hx，则1x；令()0hx，则01x，∴当(1)x+，时()hx单调递增；当()0x,1时()hx单调递减∵函数()gx有两个不同的零点，

即()hx有两个不同的零点，∵0()xhx→→+时，()xhx→+→+时，∴a(1)1h=，…………………………………………………………7分∴()gx有两个不同的零点12,12,01xxxx且，()()12hxhxa==…………………………8分令

()()()1,01xhxhxx=−，则()()()()222211111'''10xxxhxhxxxxxx−−=+=+−=……………………………………9分∴()x在(0,1)x时

单调递增()()10x=，即01x时，()1hxhx又()()1121101,xhxhxhx=…………………………………………………………11分2111,1xx，且(1)x

+，时()hx单调递增211xx故而121xx，得证.…………………………………………………………………………………12分22.（1）曲线122cos:sinxCy=+=化为普通方程

为：()22214xy−+=，……………………1分设P点坐标为()xy，，Q点坐标为(),xy，则有()222124xyxxyy−+===，，，………………………………………………………3分消去xy，有()2211xy−+=，即222x

yx+=，此式即为2C的普通方程.∴曲线2C的极坐标方程为2cos=.…………………………………………………………5分（2）设()1,A，2,6B+（,23−

），…………………………………………6分∴12332cos23cos6OAOB−=−=−+=3sincos2sin6−=−……………………………………………8分因为2,636−−，所以3OAOB−

的取值范围是)2,1−.……………………10分23.（1）由()()()353524444fxxxxx=−++−−+=………………………………………2分所以原不等式等价于22aa−，得1a−，或2a………………………

……………………4分(),12,a−−+……………………………………………………………………………5分（2）由（1）知()min2fx=，即()222fx…………………………………………………6分()()()()222121212121218

mnmnmn++++++=+++=………………………8分()121222mnfx+++……………………………………………………………10分