【文档说明】江西省萍乡市2021届高三下学期4月第二次模拟考试（二模）数学（文）试题含答案.doc，共(11)页，1.210 MB，由小赞的店铺上传

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准考证号姓名绝密★启用前（在此卷上答题无效）萍乡市2020－2021学年度高三二模考试试卷文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．满分150分，考试时间120分钟．

注意事项：1．答卷前，考生务必将自已的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人的准考证号、姓名是否一致．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答题无效．3．考试结束后，监考员将试题卷、答题卡一并收回．第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中

，只有一项是符合题目要求的．（1）已知全集1,2,3,4,5,6U=，1,2,4M=，2,5,6N=，则图中阴影部分表示的集合是A.1B.1,4C.5,6D.1,2,4,5,6（2）已知复数z满足()1234izi−=

+(i为虚数单位)，则z=A.2B.5C.52D.5（3）下列函数中,在()0,+上单调递增的是A.21yx=−+B.1yx=−C.3yx=D.2xy−=（4）已知a，b均为单位向量，它们的夹角为120，则|3|ab+=A.7B.7C.13

D.13（5）已知tan2=−，则2sin2cos+的值为A.45B.45−C.35D.35−（6）2021年3月12日是全国第43个植树节，为提高大家爱劳动的意识，某中学组织开展植树活动，并收集了高三年级1～11班植树量的数据(单位:棵)，绘制了下面的折线图.根据折线图，下列结论不正确．．

．的是A.各班植树的棵数不是逐班增加的B.4班植树的棵数低于11个班的平均值C.各班植树棵数的中位数为6班对应的植树棵数D.1至5班植树的棵数相对于6至11班，波动更小，变化比较平稳（7）函数1sin2yx=−的图像沿x轴向右平移a个单位(0a

)，所得图像关于y轴对称，则a的最小值为A.B.34C.2D.4（8）执行如图所示的程序框图，则输出的y值为A.201812B.201912C.202012D.202112（9）已知抛物线()220

:ypCxp=，以()2,0M−为圆心，半径为5的圆与抛物线C交于,AB两点，若8AB=，则p=A.4B.8C.10D.16（10）已知球O夹在一个二面角l−−之间，与两个半平面分别相切于点,AB.若2AB=，球心O到该

二面角的棱l的距离为2，则球O的表面积为A.8B.6C.4D.2（11）2021年是中国共产党百年华诞，3月24日，中宣部发布中国共产党成立100周年庆祝活动标识（图1），标识由党徽、数字“100”“1921”“2021”和56根光芒线

组成，生动展现中国共产党团结带领中国人民不忘初心、牢记使命、艰苦奋斗的百年光辉历程.其中“100”的两个“0”设计为两个半径为R的相交大圆，分别内含一个半径为r的同心小圆，且同心小圆均与另一个大圆外切（图2）.已知21Rr=+（），则在两个大圆的区域内随机取一点，则该点取自两大圆公

共部分的概率为图1图2A.121−+B.232−+C.343−+D.454−+（12）若22xtelnxt+−对一切正实数x恒成立，则实数t的取值范围是A.1(,]e−B.1(,]2−C.1+2−，D.(,]e−萍乡市2020－20

21学年度高三二模考试试卷文科数学第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22，23题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分．（13）在平面直

角坐标系中，直线3430xy++=被圆()()22214xy−++=截得的弦长为.（14）函数1yx=在点1(2,)2处的切线与直线10axy++=垂直，则实数a的值为.（15）在ABC中，58,60acB==，其内切圆半径为3，则其外接圆半径为.（16）在ABC中，tan:ta

n1:3BC=，以,BC为焦点的双曲线的一支经过顶点A，另一支交线段AB于点M，BMMA=，e为双曲线的离心率.设2BCc=，当()2,3e时，的取值范围是.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤．（17）（本小题满分12分）某中学高三共男生800人，女生1200人.现学校某兴趣小组为研究学生日均消费水平是否与性别有关，采用分层抽样的方式从高三年级抽取男女生若干人.记录其日均消费，得到如图所示男生

日均消费的茎叶图和女生日均消费的频率分布直方图.将所抽取女生的日均消费分为以下五组：(((((15,20,20,25,25,30,30,35,35,40，规定日均消费不超过25元的人为“节俭之星”.（1）请完成下面22的列联表；“节

俭之星”非“节俭之星”总计男生女生总计根据以上22的列联表，能否有90%的把握认为学生是否为“节俭之星”与性别有关？（2）现已知学校某小组有6名“节俭之星”，其中男生2人，女生4人.现从中选取2人在学校做勤俭节约宣讲活动报告，求选取的2人中至

少有一名男生的概率.附：22()()()()()nadbcKabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++.0()PKk0.150.100.050.0250.010.0050k2.0722.7063.8415.0246.6357.

829（18）（本小题满分12分）已知等比数列na各项均为正数，nS为其前n项和.若对任意正整数n，有24+3nnSS+=恒成立，且22lognnba=.（1）求数列na的通项公式；（2）令11nnncbb+=，求数列

nc的前n项和nT．（19）（本小题满分12分）在如图所示的空间几何体中，两等边三角形ACD与ABC互相垂直，4ACBE==，BE和平面ABC所成的角为60，且点E在平面ABC上的射影落在ABC的平分线上．（1）求证：DE平面ABC；（2）求点B到平面ADE的距离．（20）（

本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)xyEabab+=，,AB为其左右顶点，G点坐标为(,1)c，c为椭圆的半焦距，且有0AGBG=.椭圆E的离心率32e=.（1）求椭圆E的标准方程；（2）已知O为坐标原点，,MN为椭圆上不重合两点，且,MN的中点H落在直线12yx=上，求MN

O面积的最大值.（21）（本小题满分12分）已知21()sin2fxxxax=−+，且0x.（1）当1a=时，求证：()0fx恒成立；（2）令21()()2ln(1)2gxfxxxx=−+−+，当()0,x时，()gx无零点，求a的取值范围

.请考生在第22，23两题中任选一题做答.只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题记分.做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题号后方框涂黑.（22）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，P为

曲线122cos:sinxCy=+=（为参数）上的动点，将P点纵坐标不变，横坐标变为原来的一半得Q点，记Q点轨迹为2C，以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线2C的极坐标方程；（2）,AB是曲线2

C上异于极点的两点，且6AOB=，求3OAOB−的取值范围.（23）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知()3544fxxx=−++．（1）关于x的不等式()2fxaa−有解，求实数a的取值范围；（2）设,mnR+，且22mn+=，求证：()1212mnfx+++．萍

乡市2020－2021学年度高三二模考试试卷文科数学试题参考答案及评分标准一、选择题（12×5=60分）：CDCAD；CDDBA；BC．二、填空题（4×5=20分）：13．23；14．4−；15．733；16．18,211

．三、解答题（共75分）：17.（1）由茎叶图可知此次抽样男生共20人，由于采用分层抽样的方式，抽取女生人数为30人.依题意：男“节俭之星”共7人，女“节俭之星”共18人，填表如下：“节俭之星”非“节俭之星”总计男生71320女

生181230总计252550…………………2分从而2250(1813127)3.0002.70625252030K−==………………………………………………5分故有90％把握认为学生是否为“节俭之

星”与性别有关.………………………………………6分（2）记2名男生分别为A1,A2,记4名女生为B1,B2,B3,B4,则从这6名“节俭之星”选取2名的所有可能有：（A1,A2）（A1,B1）（A1,B2）（A1,B3）（A1,B4）（A2,B1）（A2,B2）（A2,B3

）（A2,B4）（B1,B2）（B1,B3）（B1,B4）（B2,B3）（B2,B4）（B3,B4）………………………………………………………………………………9分共15种，其中至少有1名男生的情况有9种，因此，所求概率为3.5P=……………………12分18

.（1）设等比数列na的公比为q，首项为1a由2211434243nnnnnnSSaaqSS+++−=+===+，……………………………………………………2分由于2121(21),(21)nnnnSaSa++=−=−，所以211124233n

naaa+−==，故11a=，故12nna−=…………………………………………6分（2）22log21nnban==−，则111111()(21)(21)22121nnnCbbnnnn+===−−+−+………9分故1

2111111(1)2335212121nnnTCCCnnn=+++=−+−++−=−++…………………12分19.（1）取AC中点O，连接,BODO，由题知，BO为ABC的平分线，,BOACDOAC⊥⊥设点F是点E在平面ABC上的射影，由题知，点F在BO上连接EF，则EF⊥平面ABC.平

面ACD⊥平面ABC，平面ACD平面ABCAC=，DO平面,ACDDOAC⊥，DO⊥平面ABC//DOEF……………………………………………………………2分BE和平面ABC所成的角为60，即60E

BF=，23EF=又23DO=，四边形EFOD为平行四边形，//DEBO…………………………………5分BO平面ABC，DE平面ABC，DE平面ABC……………………………………6分（2）设点B到平面ADE的距离

为d由BADEABDEVV−−=得：11233ADEBDEdSS=…………………………………………………8分111123232ADDEdEDDO=………………………………………………………………10分解得3d=……………………………………………………………

……………………………12分20.（1）依题意：(,0),(,0)AaBa−，则(,1),(,1)AGcaBGca=+=−……………………1分2210AGBGca=−+=，即21b=，又32ca=，解得3,2,1cab===………………3分所以椭圆方程为：2214xy+=

………………………………………………………………………4分（2）设112200(,),(,),(,)MxyNxyHxy，则002yx=，因为,MN在椭圆上，有：2211021122221120224414()424

4MNxyxyyxxkxxyyyxy+=−+==−=−=−−++=………………………………6分设直线MN：1(0)2yxmm=−+，联立2221212221244402,22244yxmxmxm

xxmxxmxy=−+−+−=+==−+=………………8分又232160m=−，得()2,2m−所以222212122,1225(2)2xxmMNmm−=−=+−−=−，原点O到直线MN的距离21514mmd==+……………………………………………

………10分故222212(2)122MNOmmSdMNmm+−==−=………………………………………11分当且仅当222mm=−，即1m=时等号成立，故MNO面积的最大值为1.……………12分21.（1）依

题意：当1a=时，21()sin2fxxxx=−+，则'()1cosfxxx=−+.…………1分令()1cosxxx=−+，则'()1sin0xx=−恒成立.()x在R上单调递增………………3分()(0)0x=，即'()0fx恒成立，()fx在

R上单增，()(0)0fxf=即证…5分（2）[解法1]：21()()2ln(1)sinln(1)2gxfxxxxxaxx=−+−+=+−+1()1+cos1gxaxx=−+……………………………………………………………………

………6分○1当0a时，()gx在()0，递增，(0)0g，1()=101ga−−+，所以存在()00x，使0()=0gx……………………………………8分当()00xx，，()gx单调递减，当()0xx，，()gx单调递增又

(0)=0g，()=ln(+1)>0g−故存在唯一的零点0(,)tx使()=0gt…………………………………………………………10分○2当0a时，由()0x，得()ln(1)gxxx−+，可证：ln(1)0((0,))xx

x−+()0gx在()0x，上恒成立。故()gx在()0，无零点…………………………………11分综上所述：0a……………………………………………………………………………………12分[解法2]：21()()2ln(

1)sinln(1)2gxfxxxxxaxx=−+−+=+−+，令()0gx=，则ln(1)sinxxax+−=……………………………………………………………………………………6分设ln(1)()sinxxhxx+

−=，则21(1)sincosln(1)1'()sinxxxxxhxx−−+−+=……………………7分令1()(1)sincosln(1)1Txxxxxx=−−+−+…………………………………

………………8分则21'()sinln(1)(1)Txxxxx=−++−+，ln(1)(1)1xxx++−=，'()0Tx恒成立()Tx在()0,上单调递减，又(0)0T=，所以(0)0T恒成立'()0hx，即()h

x在()0,上单调递减，则()(0)0hxh=………………………………10分()ahx=无零点，0a即为所求……………………………………………………………12分22.（1）曲线122cos:sinxCy=+=化为普通方程为：()22214xy−+=，……………………1分设

P点坐标为(),xy，Q点坐标为()xy，，则有()222142xxyxyy−+===，，，…………………………………………………………3分消去xy，有()2211xy−+=，即222xyx+=

，此式即为2C的普通方程.∴曲线2C的极坐标方程为2cos=.…………………………………………………………5分（2）设()1,A，2,6B+（,23−），……………………

……………………6分∴12332cos23cos6OAOB−=−=−+=3sincos2sin6−=−，………………………………………………………………8分因为2,636−−，所以3OAOB−的取值范围是

)2,1−.……………………10分23.（1）由()()()353524444fxxxxx=−++−−+=………………………………………2分所以原不等式等价于22aa−，得1a−，或2a…………………………………………4分(),12,a−−+…

……………………………………………………………………5分（2）由（1）知()min2fx=，即()222fx……………………………………………6分()()()()222121212121218mnmnmn++++++=+++=…………………………8分()121222mnf

x+++……………………………………………………………10分