【文档说明】广东省阳江市阳春市第一中学2020-2021学年高二上学期第三次月考 数学 答案.docx，共(19)页，1.417 MB，由小赞的店铺上传

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2020--2021学年度第一学期阳春市第一中学高二年级第三次月考数学试题一、单项选择题：本题共8题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若abcd,,,为实数，则下列命题正确的

是（）A.若ab，则||||acbcB.若22acbc，则abC.若ab，cd，则acbd−−D.若ab，cd，则acbd【答案】B【解析】【分析】利用不等式的性质对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A选项，当0c=时，不符合，故A选项错误

.对于B选项，由于22acbc，所以0c，所以ab，所以B选项正确.对于C选项，如2,3,2,3,23,23abcd====，但是acbd−=−，所以C选项错误.对于D选项，由于abcd,,,的正负不确定，所以无法由ab，cd得出acbd，故D选项错误.

故选：B【点睛】本小题主要考查不等式的性质，属于基础题.2.设x∈R.则“3x”是“230xx−”的（）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【答案】B【解析

】【分析】根据充分必要条件的定义判断．【详解】3x时，例如1x=−，则2340xx−=，不是充分的，230033xxxx−，必要性成立．因此应是必要不充分条件．故选：B．【点睛】本题考查充分必要条件的判断，解题方法是用充分必要条件的

定义进行．本题也可从集合的包含角度求解．3.已知0x，0y，191xy+=，则使不等式xym+恒成立的实数m取值范围（）A.18mB.18mC.16mD.16m【答案】D【解析】【分析】根据题中条件，由基本不等式求出xy+的最小值，即可得出结

果.【详解】因为0x，0y，191xy+=，所以()19991910216xyxyxyxyyxyx++=++++=，当且仅当9xyyx=，即412xy==时，等号成立；又不等式xym+恒成立，所以只需16m.故选

：D.【点睛】本题主要考查利用基本不等式解决不等式恒成立问题，属于基础题型.4.在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB=A.3144ABAC−B.1344ABAC−C.3144+ABACD.1344+ABAC【答案】A【解析】【分析】分析：首

先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得1122BEBABC=+，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BCBAAC=+，之后将其合并，得到3144BEBAAC=+，下一步应用相反向量，求得3144EBABAC=−，从而求得结果.【详

解】根据向量的运算法则，可得()111111222424BEBABDBABCBABAAC=+=+=++1113124444BABAACBAAC=++=+，所以3144EBABAC=−，故选A.【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识

点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.5.两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离分别为3km，5km，灯塔A在观察站C的北偏东20方向上，灯塔B在观

察站C的南偏东40方向上，则灯塔A与B的距离为()A.6kmB.43kmC.7kmD.52km【答案】C【解析】【分析】根据题意作出示意图，然后利用余弦定理可求解AB的长度即为灯塔A与B的距离.【详解】由题意作出示意图如下：由题意可得1802040120ACB

=−−=，由余弦定理可知：29251549AB=++=，所以7AB=．故选C.【点睛】本题考查解三角形的实际应用，难度较易.处理解三角形实际问题中的角度问题，可先作出示意图，根据示意图选用合适的正、余弦定理求解相关值.6.已知等差数列

na，满足201920200aa+，201920200aa，且数列na的前n项和ns有最大值，那么ns取最小正值时，n=（）A.4037B.4036C.4035D.4034【答案】A【解析】【分析】由题意易得该数列为递减数列，且前2019项为正数，从第2020项开始为负数，由等差

数列求和公式的性质可得40370S，40380S，40390S，即得答案.【详解】因为数列na的前n项和ns有最小值，所以数列na是递减的等差数列又201920200aa+，201920200aa，所以201920200

aa即数列的前2019项为正数，从第2020项开始为负数，由等差数列求和公式和性质可知()40371403720194037403702Saaa=+=，()()4038140382019202040394037022Saaaa=+=+，()403914039202

04039403702Saaa=+=所以当ns取最小正值时，n=4037故选：A【点睛】本题考查由等差数列求和公式的性质求数列的前n项和的最小正数值时的项数，属于中档题.7.已知函数()222,02,0xxxfx

xxx−−=−，若()()()21fafaf−−，则a的取值范围是（）A.)1,+B.(,1−C.1,1−D.22−,【答案】A【解析】【分析】先求得()1f，再根据分段函数分0a=，0a和0a，利用一元二次

不等式的解法求解.【详解】由题意得：()1123f=−−=−，当0a=时，()()()00216fff−=−，不成立；当0a时，()()22226aaaa−−−−+−−，即2230aa+−，解得3a−或1a，所以1a.当0a时，()()22226aaaa−−−−−−−，

即2230aa−+，无解综上：1a.所以a的取值范围是)1,+故选：A【点睛】本题主要考查分段函数的应用以及一元二次不等式的解法，还考查了分类讨论的思想方法，属于中档题.8.nS为等差数列na的前n项和

，且171,28aS==.记lgnnba=，其中x表示不超过x的最大整数，如0.9=0lg991=，，则数列nb的前1000项和为()A.1890B.1891C.1892D.1893【答案】D【解析】【分析】先求出等差数列na的通项公式，再

分析数列nb的各项取值，求其前1000项和.【详解】设等差数列na的公差为d，则11a=，77671282Sd=+=，解得1d=，故nan=.lglgnnban==，当19n≤≤时，0nb=；当1099n时，1nb=；当100999n时，2nb=；当=1

000n时，3nb=.所以数列nb的前1000项和为0919029003=1893+++.【点睛】本题考查等差数列的基本问题，分组求和，解题的关键是根据新定义判断数列的哪些项的值是相同的..二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，

共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.给出下列四个条件：①22axay②110xy③22xy④xy.其中能成为“x>y”的充分条

件的是（）A.①B.②C.③D.④【答案】ABD【解析】【分析】利用不等式的性质对选项逐一判断，即可得答案.【详解】原题等价于“（）”是“x>y”的充分条件，即“选项”可推出“x>y”成立，对于①：由22axay，及20a，所以xy成

立，故①满足题意；对于②：由110xy，左右同取倒数，可得0xy，所以xy成立，故②满足题意；对于③：由22xy，可得xy，不能推出xy，故③不满足题；对于④：由xy，且yx=在[0,)+为单调递增函数，可得0xy，所以xy成立，故④满足题

意.故选：ABD【点睛】本题考查充分条件定义、不等式的性质的应用，考查分析理解，逻辑推理的能力，属基础题.10.下列四个函数中，最小值为2的是（）A.1sin0sin2yxxx=+B.1ln(0,1)lnyxxxx=+C.2

265xyx+=+D.44xxy−=+【答案】AD【解析】【分析】由基本不等式的适用条件和取等号的条件，逐项判断即可得解.【详解】对于A，当02x时，sin0x，11sin2sin2sinsin=+=yxxxx，当sin1x=即2

x=时，等号成立，所以1sin0sin2yxxx=+的最小值为2，故A正确；对于B，当01x时，1ln0lnyxx=+，故B错误；对于C，2222226115252555xyxxxxx+==+++=++

+，当且251x+=时，等号成立，但255x+，所以2265xyx+=+的最小值不为2，故C错误；对于D，442442xxxxy−−=+=，当且仅当41x=即0x=时，等号成立，所以44xxy−=+的最小值

为2，故D正确.故选：AD.【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.11.在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，已知60B=，4b=，下列判断正确的是（）A.若3c=，则角C有两解B.若92a=，则角C有两解C.ABC为等边三角形时周长

最大D.ABC为等边三角形时面积最小【答案】BC【解析】【分析】根据正弦定理分析求解．【详解】A．由sinsinbcBC=得sin3sin603sin48cBCb===，又cb，∴CB，C为锐角，只有一解，A错；B．由sinsinabAB=，得

93sin1256A=，又ab，∴AB，A角有两解，则C角有两解，B正确；C．由2222cosbacacB=+−得2222223116()3()()()44acacacacacacac=+−=+−+−+=+，8ac+，当且仅当ac=时，等号成立，此时三角形周长最大，三角

形为正三角形．C正确；D．由C的推导过程知22162acacacacac=+−−=，当且仅当ac=时等号成立，即ac最大值是16，此时ABCS最大，又3B=，三角形为正三角形，D错．故选：BC．【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理的应用，有解三角形时，在已知两边和其中一边对称解三角形时

，利用正弦定理求解，可能有两解．12.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列na称为“斐波那契数列”，记nS为数列na的前n项和，则下列结论

正确的是（）A.68a=B.954S=C.13520192020aaaaa++++=D.22212201920202019aaaaa+++=【答案】ACD【解析】【分析】由题意可得数列na满足递推关系12211,1,(3)nnnaaaaan−−===+，

依次判断四个选项，即可得正确答案.【详解】对于A，写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8，故A正确；对于B，911235813+21+3488S=++++++=，故B错误；对于C，由12aa=，342aaa=−，564aaa=−，……，201920202018aaa=−，可得：

13520192426486202020182020aaaaaaaaaaaaaa++++=+−+−+−++−=L，故C正确.对于D，斐波那契数列总有21nnnaaa++=+，则2121aaa=，()222312321aaaaaaaa=−

=−，()233423423aaaaaaaa=−=−，……，()220182018201920172018201920172018aaaaaaaa=−=−，220192019202020192018aaaaa=−，可得222122019202020192019

20202019aaaaaaaa+++==L，故D正确；故选：ACD.【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关

系的灵活转换，属于中档题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若关于x的不等式2122xxmx−+的解集为{02}xx，则m=__________【答案】1【解析】【分析】根据二次不等式和二次方程的关系，得到0,2xx==是方程2122xxmx−+=

的两根，由根与系数的关系得到m的值.【详解】因为关于x的不等式2122xxmx−+的解集为{02}xx所以0,2xx==是方程2122xxmx−+=的两根，()2240xmx+−=，由根与系数的关系得()242m−−=，

解得1m=【点睛】本题考查一元二次不等式和一元二次方程之间的关系，根与系数之间的关系，属于简单题.14.“1<x<2”是“x<2”成立的______________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)．【答案】充分不必要【解

析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】若“1＜x＜2”则“x＜2”成立，若x=0满足x＜2，但1＜x＜2不成立，即“1＜x＜2”是“x＜2”成立的充分不必要条件，故答案为充分不必要【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基

础．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q

的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．15.如图，为测量出高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角060MAN=，C点的仰角045CAB=以及075MAC

=；从C点测得060MCA=．已知山高100BCm=，则山高MN=__________m．【答案】150【解析】试题分析：在ABC中，45,90,100BACABCBC===,1001002sin45AC==，在AMC中，75,

60,MACMCA==45,AMC=由正弦定理可得,sinsinAMACACMAMC=即1002,sin60sin45AM=解得1003AM=,在RtAMN中，sinMNAMMAN=1003sin

60=150()m=．故答案为150．考点：正弦定理的应用．16.把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表．设()*,,ijxijN是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如428a=．若20

20ija=，则ij+=__________．124357681012911131517141618202224【答案】82【解析】【分析】从所给的部分数表可看出，所有奇数都在奇数行，所有偶数都在偶数行，2020ija=是偶数，所以它位于偶数行，将奇数除外，计算

出前n行偶数个数，得到2020ija=是第1010个偶数，判断出2020ija=位于第32偶数行，第31偶数行的最后一个数为29921984=，第32偶数行的第一个数为1986可得到答案.【详解】从所给的部分数表可看出，所有奇数都在奇数行，所有偶数都在偶数行．2020ija=是偶数，所以它位于偶

数行，将奇数除外，前n行偶数共有(22)2462(1)2nnnnn+++++==+个，由22020n=得1010n=，所以2020ija=是第1010个偶数，因为3132992101032331056==，所以2020ija=位于第32偶

数行，即第23264=行，64i=，前31行偶数共有3132992=个偶数，所以第31偶数行的最后一个数为29921984=，第32偶数行的第一个数为1986，2020ija=是第202019861182−+=个数，即18j=，所以641882ij+=+=．故答案为：

82．【点睛】本题考查演绎推理，考查数列的特点，注意观察分析数字的排列规律.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设*nN，正项数列na的前n项和为nS，

已知12nnnSSa+=++，___________．请在①1a，2a，5a成等比数列；②341a−，423a+，8a成等差数列；③2315aSS=这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题．（1）求数列na的通项公式；（2）若11

nnnbaa+=，记数列nb前n项和为nT，求6T．【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）613.【解析】【分析】（1）选①②③都可得()*12nnaanN+−=，则数列na是以1a为首项，2为公差的等

差数列，其他条件求出1a，即可得解；（2）利用裂项相消法求和，再代入求值；【详解】解：选①，（1）由12nnnSSa+=++得：()*12nnaanN+−=，∴数列na是以1a为首项，2为公差的等差数列．由1a，2a，5a成等比数列可得2215aaa=，即()()211128aaa+=+，

解得11a=．∴()*21nannN=−．选②，（1）由12nnnSSa+=++，得()*12nnaanN+−=，∴数列na是以1a为首项，2为公差的等差数列．由341a−，423a+，8a成等差数列

，得()()38441223aaa−+=+，解得11a=，∴()*21nannN=−．选③，（1）同理，由12nnnSSa+=++，得()*12nnaanN+−=，∴数列na是以1a为首项，2为公差的等差数列，由2315aSS=得()()21114520aaa+=+，211340a

a+−=解得11a=，∴()*21nannN=−．（2）由（1）得21nan=−，1111(21)(21)22121nbnnnn==−−+−+，数列nb前n项和为111111111123352121221nT

nnn=−+−++−=−−++，故6116121313T=−=为所求．【点睛】本题考查等差数列通项公式的计算，裂项相消法求和，属于中档题.18.在ABC中，内角,

,ABC所对的边分别为,,abc，已知()coscos23sincosaBCaAbCA−+=（1）求角A；（2）若ABC的周长为8，外接圆半径为3，求ABC的面积.【答案】（1）60A=；（2）433.【解析】【分析】（1）由条件、三角形的内角和、三角函

数的和差公式和正弦定理可化得答案；（2）由正弦定理求出a，然后可得bc+，然后结合余弦定理可得bc，然后可得答案.【详解】（1）由()coscos23sincosaBCaAbCA−+=和ABC++=

得即()()coscos23sincosaBCaBCbCA−−+=，所以()coscossinsincoscossinsinaBCaBCaBCBC+−−23sincosbCA=即sinsin3sincosaBCbCA=，因为sin0C，所以sin3cosaBb

A=，由正弦定理得sinsin3sincosABBA=，因为sin0B，所以sin3cosAA=，所以tan3A=，因为()0,A，所以3A=（2）因为ABC的外接圆半径为3，所以32sin2332aRA===，所以5bc+=，由余弦定理得()22222cos22cos3ab

cbcAbcbcbc=+−=+−−=()23bcbc+−所以()22325916bcbca=+−=−=，得163bc=，所以ABC的面积1116343sin22323SbcA===19.如图，在多面体ABCDEF中

，侧面ADEF是平行四边形，底面ABCD是等腰梯形，//ABCD，4AB=，2BCCD==，顶点E在底面ABCD内的射影恰为点C.（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACE；（Ⅱ）若CDCE=，求四面体ABEF的体积.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）433.【解析】【分析】（Ⅰ）由射影的概念可得EC⊥平面AB

CD，由线面垂直的性质可得ECBC⊥，再由平面几何的知识可得ACBC⊥，再由线面垂直的判定即可得证；（Ⅱ）由题意结合几何体的体积公式转化可得13ABEFEABCABCVVSCE−==△，计算即可得解.【详解】（Ⅰ）证明：因为顶点E在底面ABCD内的射影恰为点C

，所以EC⊥平面ABCD，又BC平面ABCD，所以ECBC⊥，取AB的中点G，连接CG，如图，因为底面ABCD是等腰梯形，//ABCD，4AB=，2CD=，所以四边形AGCD为平行四边形，所以122CGADAB===，所以ABC为

直角三角形，所以ACBC⊥，又,ECAC平面ACE，ECACC=，所以BC⊥平面ACE；（Ⅱ）由（Ⅰ）得ACBC⊥，则2223ACABBC=-=，连接BD，如图，因为侧面ADEF是平行四边形，底面ABCD是等腰梯形，2CECD==，所以13ABEFBAEFBAEDEA

BDEABCABCVVVVVSCE−−−−=====△111143223232323BCACCE===.【点睛】本题考查了线面垂直的判定及几何体体积的求解，考查了空间思维能力与转化化归思想，牢记判定定理、合理转化条件是解题关键，属于中档题.20

.在①2cos2aCbc=−，②()22243Sbca=+−，③()23sin2sin12ABC+=+，这三个条件中任选一个，补充在下面横线处，然后解答问题．在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设ABC的面积为S，已知____

___.（注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分）（1）求角A的大小；（2）已知2b=，4c=，点D在边BC上，且AD为BAC的平分线，求ABD△的面积．【答案】（1）π3；（2）433【解析】【分析】（1）若

选①，由正弦定理化边为角，进而化简可求出；若选②，由三角形面积公式和余弦定理化简可得tan3A=，即可求出；若选③，由二倍角公式和辅助角公式化简可求得；（2）根据面积公式可得2ABDACDSS=△△，求出23ABCS=，即

可求得ABD△的面积.【详解】解：（1）若选①：2cos2aCbc=−，则由正弦定理得()2sincos2sinsinACACC=+−，即2sincossin0CAC−=，∵sin0C，∴1cos2A=，则π3A=．若选②：()22243Sbca=+−，则14

sin32cos2bcAbcA=，化简得tan3A=，∴π3A=．若选③：()23sin2sin12ABC+=+，则有3sin1cos1AA=−+，化简得π2sin26A+=，所以ππ62A+=，故π3A=．（2）∵1sin

42212sin2ABDACDABADBADSABSACACADCAD====△△，且1sin232ABCSABACBAC==△，∴24333ABDABCSS==△△．【点睛】本题考查正余弦定理的应用，考查三角形面积公式的应用，属于中档题.21.已知圆C：（x﹣a）2

+（y﹣b）2=1（a＞0）关于直线3x﹣2y=0对称，且与直线3x﹣4y+1=0相切．（1）求圆C的方程；（2）若直线l：y=kx+2与圆C交于M，N两点，是否存在直线l，使得6OMON=（O为坐标原点）若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（x﹣2）2+（y﹣3）2

=1（2）不存在直线l【解析】【分析】（1）根据题意，分析可得34115320abdab−+==−=，解可得a、b的值，由圆的标准方程即可得答案；（2）假设存在满足题意的直线l，设M（x1，y1）N（x2，y2），联立直线与圆的方程，由直线与圆相交可得△=（2k+4）2﹣16

（1+k2）＞0，由数量积的计算公式可得OM•ON=（1+k2）241k++()22241kkk+++4=6，解可得k的值，验证是否满足△＞0，即可得答案．【详解】（1）根据题意，圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1（a＞0

）关于直线3x﹣2y=0对称，即圆心（a，b）在直线3x﹣2y=0上，圆C与直线3x﹣4y+1=0相切，则C到直线l的距离d=r=1，则有34115320abdab−+==−=，解得23ab==或432ab=−

=−（舍）∴圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣3）2=1．（2）假设存在直线l，使得OMON=6，设M（x1，y1）N（x2，y2），由()()222231ykxxy=+−+−=得（1+k2）x2﹣（2

k+4）x+4=0，由△=（2k+4）2﹣16（1+k2）＞0得403k＜＜，且12122224411kxxxxkk++==++，，OM•ON=x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4=（1+k2）241k++()22241k

kk+++4=6，解得k=﹣1或13−，不满足△＞0，所以不存在直线l，使得OMON=6．【点睛】本题考查直线与圆方程的综合应用，涉及向量数量积的计算，注意圆C关于直线3x﹣2y=0对称，则圆心在直线上．22.已知数列n

a的前n项和为nS，点(),nnS（nN）在函数21122yxx=+的图象上.（1）求na的通项公式；（2）若()312nannba=−，求数列nb的前n项和nT.（3）设()11412nnannc+−=+−（为非零整数，nN），是否存在确定

的值，使得对任意nN，有1nncc+恒成立，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）()nann=N；（2）18(34)2nnTn+=+−；（3）存在；1=−.【解析】【分析】（1）由条件可得21122nSnn=+

，然后利用na与nS的关系可求出答案；（2）利用错位相减法求出答案即可；（3）由1nncc+可得()1112nn−−−，然后分n为奇数，n为偶数两种情况讨论即可.【详解】（1）∵点(),nnS在函数()21122fxxx=+的图象上.∴21122nSnn

=+.①当2n时，()()21111122nSnn−=−+−，②①−②得nan=，当1n=时，111aS==，符合上式∴()nann=N（2）由（1）由题得(31)2nnbn=−123225282(31)2nnTn=++++−23412225282(31)

2nnTn+=++++−1231223(222)(31)2nnnTn+−=++++−−.114(12)43(31)212nnnTn−+−−=+−−−18(43)2nnTn+−=−+−所以18

(34)2nnTn+=+−（3）∵nan=，∴()11412nnnnc−+=+−，假设存在确定的值，使得对任意nN，都有1nncc+恒成立，即10nncc+−，对任意nN恒成立，

即()()11214412120nnnnnn−+++−+−−−，对任意nN恒成立，即：()1112nn−−−，对任意nN恒成立①当n为奇数时，即12n−恒成立，当且仅当1n=时，12n−有最小值为1，∴1，②当n为偶数时，即12n−−恒成立，当

且仅当2n=时，12n−−有最大值2−，∴2−，即21−，又为非零整数，则1=−.综上所述：存在1=−，使得对任意nN，都有1nncc+.【点睛】点睛：方法点睛：常见数列的求和方法：公式法（等差等比数列）、

分组求和法、裂项相消法、错位相减法.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com