【文档说明】北京市平谷区第五中学2020-2021学年高二上学期第一次月考数学试题【精准解析】.doc，共(16)页，1.286 MB，由小赞的店铺上传

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北京平谷五中2020-2021学年度第一学期高二第一次月考试题数学一单项选择题共10小题，每小题4分，共40分1.已知某种产品的合格率是95%，合格品中的一级品率是20%．则这种产品的一级品率为（）A.18%B.19%C.20%D.21%【答案】B【解析】

【分析】由题意可知，根据一级品率在合格品率所占的比例，计算即可.【详解】某种产品的合格率是95%，合格品中的一级品率是20%，一级品率为：000000952019.故选：B.【点睛】本题考查了概率的计算，属于基础题.2.甲、乙两位同学各拿出六张游戏牌，用作投骰子的奖品，两人商定：骰子

朝上的面的点数为奇数时甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜得所有12张游戏牌，并结束游戏．比赛开始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这12张游戏牌的分配合理的是（）A.甲得9张，乙得3张

B.甲得6张，乙得6张C.甲得8张，乙得4张D.甲得10张，乙得2张【答案】A【解析】【详解】试题分析：由题意可知：乙获得12张游戏牌概率为111=224，所以甲应分得112(1)94张牌，乙应分得11

234张牌，故选A．考点：排列组合问题．3.从四双不同的鞋中任意取出4只,事件“4只全部不成对”与事件“至少有2只成对”（）A.是对立事件B.不是互斥事件C.是互斥但不对立事件D.都是不可能事件【答案】A【解析】【分析】从4双不同

的鞋中任意摸出4只,可能的结果为:“恰有2只成对”,“4只全部成对”,“4只都不成对”,即可求得答案.【详解】从4双不同的鞋中任意摸出4只,可能的结果为:“恰有2只成对”,“4只全部成对”,“4只都不成

对”,故:事件“4只全部成对”的对立事件为“恰有2只成对”+“4只都不成对”“至少有两只不成对”.事件“4只全部不成对”与事件“至少有2只成对”是:对立事件.故选:A.【点睛】本题主要考查了判断2个事件是否是对

立事件,解题关键是掌握对立事件概念和结合实际问题具体分析,考查了分析能力,属于基础题.4.小吴一星期的总开支分布如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小吴一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为（）A.

1%B.2%C.3%D.5%【答案】C【解析】【分析】由图1知食品开支占总开支的30%，由图2知鸡蛋开支占食品开支的110，由此求得鸡蛋开支占总开支的百分比．【详解】解：由图1所示，食品开支占总开支的30%，由图2所示，鸡蛋开支占食品开支的30130401008

05010，∴鸡蛋开支占总开支的百分比为30%1103%．故选C．5.围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是1235则从中任意取出2粒恰好是同

一色的概率是（）A.17B.1235C.1735D.1【答案】C【解析】【分析】利用互斥事件和的概率等于概率的和计算结果.【详解】从中取出2粒恰好是同一色包含都是黑子或都是白子两个事件，这两个事件是互斥事件，设两粒是同一色为事件A，同为黑子为事件B，同为

白子为事件C，则1121773535PAPBCPBPC.故选：C【点睛】本题考查互斥事件和的概率，属于基础题型.6.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,化简1ABAD

AA()A.1ACB.1CAC.1BCD.1CB【答案】A【解析】【分析】结合图形，根据向量运算的平行四边形法则或三角形法则求解．【详解】在平行六面体1111ABCDABCD，连接AC，如图，则1111ABADAAABADCCACC

CAC,故选A．【点睛】本题考查空间向量的线性运算，解题的关键是结合图形并根据向量加法的平行四边形或三角形法则求解，属于基础题．7.给出下列命题：①空间向量就是空间中的一条有向线段；②在正方体1111

ABCDABCD中，必有11ACAC；③ab是向量ab的必要不充分条件；④若空间向量,,mnp满足,∥∥mnnp，则∥mp．其中正确的命题的个数是A.1B.2C.3D.0【答案】B【解析】【分析】①有向线段起点和终点是固定的，而空间向量是

可以平移的；②11ACAC和，大小一样方向相同，二者相等；③ab不能推出ab；④n为零向量时，这一特殊情况要注意，就不成立．【详解】有向线段可以表示向量，但不是向量，故①不正确；根据正方体1111ABCDABCD中，向量AC与11AC的方向相同，模也相等，则11ACAC，故②

正确；命题③显然正确；命题④不正确，向量的平行不具有传递性，比如当n为零向量时，零向量与任何向量都平行，则,mn不一定平行．故选B．【点睛】向量是既有大小又有方向的量；零向量与任何向量都是平行向量．8

.如图，在正方体1111ABCDABCD中，若11BDxADyABzAA，则xyz的值为（）A.3B.1C.1D.3【答案】B【解析】【分析】以1,,ABADAA为基底表示出1BD，由此确定,,xyz的值，进而求得xyz的值.【

详解】由题意可得111BDBDDDABADAA，∵11BDxADyABzAA，∴x=1，y=-1，z=1，故x+y+z=1，故选：B【点睛】本小题主要考查用基底表示向量，考查空间向量基本定理，属于基础题.9.在四面体O

ABC中，E为OA中点，13CFCB，若OAa，OBb，OCc，则EF（）A.112233abcB.114233abcC.121233abcD.112233abc【答案】D【解析】【分析】运用空间向量基本定理及向量的线性运算可解答

此问题．【详解】解：根据题意得，12OEOA，13CFCBEFFOEO12AOCCFO1132CBOAOC1132OBOCOAOC111332OBOCOOAC111332OBOCCOAO11232

3OAOBOCOAa，OBb，OCc111122332332EFOAOBOCabc故选：D．【点睛】本题考查空间向量基本定理的简单应用以及向量的线性运算，属于基础题．10.已知四面体ABCD中

，AB，BC，BD两两垂直，2BCBD，AB与平面ACD所成角的正切值为12，则点B到平面ACD的距离为（）A.32B.233C.55D.255【答案】D【解析】【分析】首先以B为原点，BC，BD，BA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，BAt=，根据AB与平面

ACD所成角的正切值为12得到2t，再求B到平面ACD的距离即可.【详解】以B为原点，BC，BD，BA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示：设BAt=，0t，0,0,0B，2,0,0C

，0,2,0D，()0,0,At.()0,0,ABt=-，()2,0,CAt=-，()2,2,0CD=-.设平面ACD的法向量,,nxyz，则20220nCAxtznCDxy，令1x，得1y，2zt，故21,1,nt.因为

直线AB与平面ACD所成角的正切值为12，所以直线AB与平面ACD所成角的正弦值为55.即2255211ABnABntt，解得2t.所以平面ACD的法向量21,1,2n，故B到平面ACD的距离为22551112ABndn.故选：D【点睛】本题

主要考查向量法求点到面的距离，同时考查线面成角问题，属于中档题.二填空题共5小题，每小题6分，共30分11.某工厂生产了一批节能灯泡，这批产品中按质量分为一等品、二等品、三等品.从这批产品中随机抽取一件产品检测，已知抽到一等品或二等

品的概率为0.86，抽到二等品或三等品的概率为0.35，则抽到二等品的概率为____________.【答案】0.21【解析】【分析】设抽到一等品、二等品、三等品的事件分别为,,ABC，根据互斥事件的概率求解.【详解】设抽到一等品、二等品、三等品

的事件分别为,,ABC.则()()0.86,()()0.35,()()()1,PAPBPBPCPAPBPC解得()0.21PB故答案为：0.21【点睛】本题主要考查随机事件的概率，还考查了运算求解的能力，属于基础题.12.由1，2，3，…，1000这个1000正整数构

成集合A，先从集合A中随机取一个数a，取出后把a放回集合A，然后再从集合A中随机取出一个数b，则13ab的概率为______．【答案】16672000【解析】【分析】根据题意，11000AxNx，且,abA，要使得13ab，即

：13ab，分类讨论当1,2,3a时，对应的b的值，得出所有取法，即可求出13ab的概率.【详解】解：由题可知，11000AxNx，且,abA，要使得13ab，即：13ab，则有：当1a时

，1b或2，有2种取法；当2a时，b的取值增加3、4、5，有2+3种取法；当3a时，b的取值增加6、7、8，有223种取法；当333a时，b有23323种取法；当3341000a时，b都有1000种取法.故

2223223233236671000131000aPb2333216636671000166710002000.故答案为：16672000.【点睛】本题考查古典概型求概率，考查分类讨论思想

和计算能力.13.O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且3148OPOAOBtOC，若P，A，B，C四点共面，则实数t＝______．【答案】18【解析】【分析】根据四点共面的充要条件即可求出t的值.【详解】P，A，B，C四点共面，且3148OPO

AOBOCt，31148t，解得18t.故答案为:18【点睛】本题考查四点共面，掌握向量共面的充要条件是解题的关键，属于基础题.14.在四面体OABC中，OAa，OBb，OCc，D为BC的中点，E为AD的中点，则OE=_________.（用a，b，c表

示）【答案】111244abc【解析】∵在四面体OABC中，,,OAaOBbOCc，D为BC的中点，E为AD的中点∴1111111222222244OAODOEOAODaOBOCabc故答案为111244

abc15.正三棱柱111ABCABC中，2AB，122AA，D为棱11AB的中点，则异面直线AD与1CB成角的大小为_______．【答案】6【解析】【分析】利用向量的方法，以1,,AAACAB为基底表示AD，1CBuuur，并计算1ADCB，然后根据空间向量

的夹角公式计算即可.【详解】如图，1111111122ADAAADAAABAAAB，111CBCAABBBAAACAB，由侧棱和底面垂直，所以110,0AAABAAAC且12,22ABACBC

AA，∴11112ADCBAAABAAACAB22111122ADCBAAABACAB111182249222ADCB，1813,8423ADCB∴193cos,2323ADCB，且1,[0,]AD

CB，∴1,6ADCB，∴异面直线AD与1CB成角的大小为6．故答案为：6．【点睛】本题考查利用向量的方法求解异面直线所成的角，本题关键在于选择合适的向量作为基底，考查计算能力，属基础题.三解答题共6小题，80分16.将

一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，事件A：“两数之和为8”，事件B：“两数之和是3的倍数”，事件C：“两个数均为偶数”．（I）写出该试验的基本事件，并求事件A发生的概率；（II）求事件B发生的概率；（II

I）事件A与事件C至少有一个发生的概率．【答案】（I）||=36，P（A）=536（II）13（III）1136【解析】【分析】（I）用列举法列举出所有的基本事件，利用古典概型概率计算公式求得事件A发生的概率.（II）根

据（I）列举的基本事件，利用古典概型概率计算公式求得事件B发生的概率.（III）根据（I）列举的基本事件，利用古典概型概率计算公式求得事件A与事件C至少有一个发生的概率.【详解】（I）所有可能的基本事件为：

1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,62,1,2,2,2,3,2,4,2,5,2,63,1,3,2,3,3,3,4,3,5,3,64

,1,4,2,4,3,4,4,4,5,4,65,1,5,2,5,3,5,4,5,5,5,66,1,6,2,6,3,6,4,6,5,6,6共36种.其中“两数之和为8”的有2,6,3,5,4,4,5,3,6,2

共5种，故536PA.（II）由（I）得“两数之和是3的倍数”的有1,2,1,5,2,1,2,4,3,3,3,6,4,2,4,5,5,1,5,4,6,3,6,6共12种，故概率为121363.（III）由（I）“两个数均

为偶数”的有9种，“两数之和为8”的有2,6,3,5,4,4,5,3,6,2共5种，重复的有2,6,4,4,6,2三种，故事件A与事件C至少有一个发生的有95311种，概率为1136.【点睛】本小题主要考查古典概型的计算公式，考查列举法求

解古典概型问题，属于基础题.17.某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“书法”、“诗词”、“理学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立．2015年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三

个社团的概率依次为m、13、n，己知三个社团他都能进入的概率为124，至少进入一个社团的概率为34，且mn.（1）求m与n的值；（2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“书法”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“诗词

”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“理学”社的同学增加校本选修学分3分．求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于4分的概率．【答案】（1）11,24mn；（2）16.【解析】【分析】（1）根据题意，

假设该同学通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为m、13、n，已知三个社团都能进入的概率为124，至少进入一个社团的概率为34，且mn，利用相关公式建立方程组，即可求得m与n的值；（2）根据题意，可知不低于4

分包括了得分为4分、5分、6分三种情况，之后应用乘法和加法公式求得结果.【详解】（1）依题1132413111134mnmnmn，解得1214mn（2）由题令该新同学在社团方面获得本选修课学分

的分数为iX，获得本选修课学分分数不低于4分为事件A，则4121123412PX；5111123424PX；6111123424PX.故11111224246PA.【点睛】该题考查的是有关概率的问题，涉及到的

知识点有相互独立事件同时发生的概率，互斥事件有一个发生的概率，注意对公式的正确应用是解题的关键.18.甲乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢.（1）若以A表示和为6的事件，求()PA；（2）现连玩三次，若以B

表示甲至少赢一次的事件，C表示乙至少赢两次的事件，试问B与C是否为互斥事件？为什么？（3）这种游戏规则公平吗？试说明理由.【答案】（1）15；（2）B与C不是互斥事件；（3）不公平.【解析】【详解】（1）甲、乙出手指都有种可能，因此基本事件的总数为5525，事件A包括甲、乙出的手指

的情况有(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3)共种情况.∴51()255PA.（2）B与C不是互斥事件，因为事件B与C可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次的事件，即符合题意.（3）这种游戏规则不公平，由（1）知和为偶数的基本事件数为个.(1,1)

,(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(5,1),(5,3),(5,5)所以甲赢的概率为1325，乙赢的概率为1225.所以这种游戏

规则不公平.19.已知1,4,2a，2,2,4b.（1）若//3kabab，求实数k的值.（2）若3kabab，求实数k的值.【答案】（1）13k（2）7427k【解析】【分析】(1)直接根

据向量平行得到关于k的方程,然后解出k即可;(2)直接根据向量垂直得到关于k的方程,然后解出k即可;【详解】解:2,42,24kabkkk,37,2,14ab.(1)∵//3kabab,∴242247214kkk,

∴13k.(2)∵3kabab,∴2742224140kkk,∴7427k.【点睛】本题考查了向量平行和向量垂直求参数值,考查了方程思想,属基础题.20.如图所示，已知空间四边形ABCD，E，H分别是边AB，

AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且2CFFB，2CGGD．证明：四边形EFGH是梯形．【答案】证明见解析【解析】【分析】要证明四边形EFGH为梯形，必须证明两点：①EHFG；②EHFG，二者缺一不可．同时还必须指明点E不在FG上，即E，F，G，H四点不能共线

．【详解】因为E，H分别是边AB，AD的中点，所以12AEAB，12AHAD，所以11112222EHAHAEADABADABBD．又2CFFB，2CGGD，所以23CFCB，23CGCD，所以22223333FGCGCFC

DCBCDCBBD，所以EHFG且3=4EHFGFG，又点E不在FG上，所以四边形EFGH是梯形．【点睛】判断向量共线就是利用已知条件找到实数，使得ab成立，同时要充分利用空间向量运算法则，结合具体的图形进行化简，从而得到ab，即a

与b共线．21.在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，//ADBC，ADAB，2PAAD，1ABBC，Q为PD中点．（1）求证：PDBQ；（2）求异面直线PC与BQ所成

角的余弦值．【答案】（1）详见解析；（2）23．【解析】【分析】（1）以A为原点，分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，计算得0PDBQ，即可证明结论；（2）先求出PC，再利用向量夹角公式即可得出.【详解】（1）由题意在四棱锥PABC

D中，PA平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，ADAB，以A为原点，分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则0,0,0A，1,0,0B，1,1,0C，0,2,0D，002P,,．因为Q为PD中点，所以0,1,1Q，所以

0,2,2PD，1,1,1BQ，所以0,2,21,1,10PDBQ，所以PDBQ．（2）由（1）得1,1,2PC，1,1,21,1,12PCBQ，6PC，3BQ，2,3PCBQCOS

PCBQPCBQ，所以PC与BQ所成角的余弦值为23．【点睛】本题考查了异面直线所成的角、向量夹角公式、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．