【文档说明】江西省上饶市广丰一中2024届高三上学期12月月考数学试题 Word版含解析.docx，共(23)页，1.695 MB，由小赞的店铺上传

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江西省上饶市广丰一中2023-2024学年高三上学期12月考试数学试题一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知函数()()232,1,1axxfxaxx

−+=是R上的减函数，则a的取值范围是（）A.302aB.312aC302aD.312a【答案】B【解析】【分析】根据分段函数()yfx=在R上的单调性可得出关于实数a的不等式组，进而可求得实

数a的取值范围.【详解】由于函数()()232,1,1axxfxaxx−+=是定义在R上的减函数，所以，函数()232yax=−+在区间(,1−上为减函数，函数ayx=在区间()1,+上为减函数，且有()1232aa−+，即230021aaaa−−，解得31

2a.因此，实数a的取值范围是31,2.故选：B.2.定义在R上的偶函数()fx在)0,+上单调递增,()20f−=,则不等式()20xfx+解集是（）A.)4,é-+?ëB.()(),40,−−+C.()2,−+D.((,42,0−−−【答

案】A【解析】.【分析】由题意可得()fx在)0,+上单调递增，在(,0)−上单调递减，()20f−=，()20f=，当<2x−或2x时，()0fx；当22x−时，()0fx，由条件列出不等式组，求解即可.【详解】∵定义在R上的偶函数()fx

在)0,+上单调递增，且()20f−=，∴()fx在(,0)−上单调递减，且()20f=，∴当<2x−或2x时，()0fx；当22x−时，()0fx，∵()20xfx+，∴0(2)0xfx+或0(2)0xf

x+，∴02222xxx+−+或或0222xx−+，∴0x或40x−，即4x−，则不等式()20xfx+的解集是)4,−+.故选：A3.函数()π2sin3

fxx=−，()maxπ6fxf=，则当取最小正值时，()πf=（）A.3−B.3C.2−D.2【答案】B【解析】【分析】由题()maxπ6fxf=，可求出，进而求得答案.【详解】因为()maxπ6fxf=

，所以ππsin163−=，即πππ2π632k−=+，Zk，化简得512k=+，Zk，所以的最小正值为5，此时()π2sin53fxx=−，()πππ2sin5π2sin333f=−==.故选：B.4

.已知空间向量a，b满足1a=，2b=，1ab=，则2ab−的值为（）.A.1B.2C.2D.4【答案】C【解析】【分析】目标式平方，利用转化法求解可得【详解】因为1a=，2b=，1ab=，所以2222444444abaabb−=−+=−+=

，所以22ab−=.故选：C5.椭圆C：22195xy+=长轴的左右两个端点分别是A，B，点C满足45ACBC=，则ABC面积的最大值为（）A.40B.44C.433D.533【答案】A【解析】【分析】由题意得(3,0),(3,0)AB−，设(

,)Cxy，则由45ACBC=可得2241160039xy−+=，从而可求得403y，进而可求出ABC面积的最大值.【详解】由22195xy+=，得29a=，则3a=，所以(3,0),(3,

0)AB−，则6AB=，设(,)Cxy，所以2222(3),(3)ACxyBCxy=++=−+,因为45ACBC=，所以22224(3)5(3)xyxy++=−+，所以222216(69)25(69)xxyxxy+++=−++

，化简得2292469810xxy−++=，即2282903xxy−++=，所以228216811681160093999xxy−++=−=，所以2241160039xy−+=，所以2216004116009

39yx=−−，当且仅当413x=时取等号，所以403y，所以1140640223ABCSABy=４?，所以ABC面积的最大值为40，故选：A6.如图，二面角l−−等于150，A、B是棱l上两点，BD、AC分别在半平面、内，ACl⊥，BDl⊥，且2ABAC==，3BD=，则

CD=（）A.23B.22C.17D.5【答案】C【解析】【分析】由已知可得出,150ACBD=，CDABBDAC=+−，利用空间向量数量积的运算性质可求得CD的长.【详解】由已知，二面角l−−等于150，即,150ACBD=，所以，CDADACABBD

AC=−=+−，所以，()22222222CDABBDACABBDACABBDABACACBD=+−=+++−−343400223172=+++−−−=，因此，17CD=.故选：C.7.已知函数

()yfx=的导函数为()yfx=，xR，且()yfx=在R上为严格增函数，关于下列两个命题的判断，说法正确的是（）①“12xx”是“()()()()121211fxfxfxfx++++”的充要条件；②“对任意0x都有()()0fxf”是“()yfx=在R上为严格增函数

”的充要条件．A.①真命题；②假命题B.①假命题；②真命题C.①真命题；②真命题D.①假命题；②假命题【答案】C【解析】【分析】对于①，构造函数()(1)()gxfxfx=+−，结合题设，判断“12xx和“()()()

()121211fxfxfxfx++++之间的逻辑推理关系，可判断其真假；对于②，结合函数单调性，判断必要性；采用反证思想，结合题设推出矛盾，说明充分性成立，判断②的真假.【详解】对于①：设()(1)()gxf

xfx=+−，xR，则()(1)()gxfxfx=+−，因为()yfx=在R上为严格增函数，故(1)()fxfx+，即()(1)()0gxfxfx=+−，则()(1)()gxfxfx=+−在R上

单调递增，由于12xx，故12()()gxgx，即()()()()112211fxfxfxfx+−+−。即()()()()121211fxfxfxfx++++；当()()()()121211fxfxfxfx++++成立时，即()()()()

112211fxfxfxfx+−+−，由于()(1)()gxfxfx=+−在R上单调递增，故12xx，故“12xx是“()()()()121211fxfxfxfx++++的充要条件，①为真命题；对于②

，当()yfx=在R上为严格增函数时，由对任意0x，则都有()()0fxf成立；当对任意0x都有()()0fxf时，假设()yfx=在R上不为严格增函数，即()fx不恒大于等于0，即a，使得()0

fa，由于()yfx=在R上为严格增函数，故(,]xa−时，()0fx，此时()fx在(,]a−上单调递减，且其图象为一个严格递减的凹型曲线，故当x趋近于负无穷时，()fx的值将趋近于正无穷大，这与对任意0x都有()()0fxf矛盾，则假设不成立，即“()yfx

=在R上为严格增函数成立，即“对任意0x都有()()0fxf是“()yfx=在R上为严格增函数的充要条件，②为真命题，故选：C【点睛】关键点睛：解答本题的关键是判断②中命题的充分性成立，解答时采用反证思想，推得矛盾

，说明充分性成立.8.设数列{}na的前n项和为nS，且1nnSa+=，记mb为数列{}na中能使121nam+*()Nm成立的最小项，则数列{}mb的前2023项和为（）A.20232024B.202421−C.7362−D.811322−【答案】D

【解析】【分析】首先根据nS与na的关系，得到数列{}na的通项公式，再根据规律找到满足条件能使121nam+*()Nm成立的最小项，并对于不同的m值，计算满足条件的个数，从而求和得解.【详解】因为1nnSa+=，则111nnSa+++=，两

式相减，得120nnaa+−=，又当1n=时，112a=，故0na，所以{}na是以112a=，12q=的等比数列，则12nna=，显然na递减，要使得na最小，即要使得n最大，令11221nm+，得221nm+.若1m=，则1111,2nba==;若

23m，则212,4mnba==;若47m，则313,;8mnba==若815m，则414,;16mnba==;若10242047m，则1111111,,2mnba==，则()113123111,1222TbTbbb===++=+=()()712345671113,222

2Tbbbbbbb=++++++=++=，204720231111111,222TT===−11824113222=−，故选：D.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是推得221nm+，从而分类讨论m的取值范围，求得对应mb的值，从而得

解.二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．正确选项全对得5分，正确选项不全得2分，有错误选项得0分）9.已知函数()2121xxfx+=−，下面命题正确的是（）A.函数()fx的图象关于原点对

称B.函数()fx的图象关于y轴对称C.函数()fx的值域为()(),11,−−+D.函数()fx在()0,+内单调递减【答案】ACD【解析】【分析】分析函数()fx的奇偶性从而可判断AB选项；结合指数函数的值域判断()fx的值域即

可判断C；根据复合函数的单调性判断()fx的单调性即可判断D.【详解】因为210x−，所以()fx的定义域为0xx，且定义域关于原点对称，又因为()()21122112xxxxffxx−−++−−==−−=，所以()fx为奇函数，故A正确，B错误；又因为()212122

1212121xxxxxfx+−+===+−−−，()()()211,00,x−−+，所以()()2,20,21−−+−Ux，所以()()(),11,fx−−+，故C正确；因为()2121xf

x=+−，()0,x+时210x−，又21xy=−在()0,+上单调递增，221xy=−在()0,+上单调递减，所以()2121xfx=+−在()0,+上单调递减，故D正确；故选：ACD.10.在ABC中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，1sinsinsin8ABC=

，162abc=，则（）A.ABC的面积为2B.ABC外接圆的半径为22C4abD.211()32sinsinsinCAB+【答案】ABD【解析】【分析】根据给定条件，利用正弦定理，结合三角形面积公式逐项分析计算即可得

解.【详解】设ABC外接圆的半径为R，由正弦定理2sinsinsinabcRABC===，得3(2)1282sinsinsinabcRABC==，解得22R=，B正确；ABC的面积111162sin2222242cSabCabR====，A正确；由1si

n22SabC==，得44sinabC=，C错误；由sin0,sin0AB，得2(sinsin)4sinsinABAB+，即22(sinsin)4(sinsin)sinsinABABAB+，由1sinsins

in8ABC=，得432sinsinsinCAB=，因此22(sinsin)32sin(sinsin)ABCAB+，所以211()32sinsinsinCAB+，D正确．故选：ABD【点睛】策略点睛：求三角形面积是解三角形的一种常见类型，经常利用正弦定理，进行边角转

化求解.11.在正四棱柱1111ABCDABCD−中，122AAAB==，P为1AA的中点，Q为1AC上的动点，则（）.A.三棱锥QBDP−的体积为16B.直线1BC，1AC所成角的余弦值为1010C.BQDQ+的最小值为303D.当B，1C，D，Q四点共面时，1AQDQ⊥【答案】AC【

解析】【分析】以D为原点，1,,DADCDD的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法求点Q到平面BDP的距离，然后可得三棱锥QBDP−的体积，可判断A；利用向量法求11cos,BCAC，即可判断B；利用两点间距离公式和二次函数性质可判断C；根据四点

共面求出点Q坐标，然后由向量数量积即可判断D.【详解】以D为原点，1,,DADCDD的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则()()()()()()111,1,0,1,0,1,1,0,2,0,1,0,0,1,2

,0,0,0BPACCD，()()()()()1111,0,1,1,1,0,1,1,2,1,0,2,1,0,2DPDBACBCDA===−−=−=，设()11,,2AQtACttt==−−，则()111,,22DQDAAQttt=+=−−，设(),,nxyz=为平面BDP的法向量，则00DP

nxzDBnxy=+==+=，取1x=得()1,1,1n=−−，所以，点Q到平面BDP的距离122333DQntttdn−−−+===，易知2DPDBBP===，所以1π322sin232DBPS==，所以13313236QDB

PV−==，A正确；因为111111330cos,1065BCACBCACBCAC−===−，所以直线1BC，1AC所成角的余弦值为3010，B错误；由上可知，()1,,22Qttt−−，所以()()()()222222212212226105BQDQtttttt

tt+=+−+−+−++−=−+，由二次函数性质可知，当56t=时，BQDQ+有最小值，最小值为303，C正确；当B，1C，D，Q四点共面时，则有1BQxBDyBC=+，因为()()()1,1,12,1,1,0,1,0,2BQtttBDBC=−−−=−−=−，所以()()(),1,121,1,01

,0,2tttxy−−−=−−+−，即1212xytxtyt−−=−−=−=−，解得12t=，此时，11,,122Q，又()1,0,0A，所以11111,,1,,,12222AQDQ=−=−，因为1111111,,1,,11102

22244AQDQ=−−=−+−=−，所以AQ与1DQ不垂直，D错误.故选：AC12.已知函数()()exfxaax=+−，则下列结论正确的有（）A.当1a=时，方程()0fx=存在实数根B.当0a时，函数()fx在R上单调递减

C.当0a时，函数()fx有最小值，且最小值在lnxa=处取得D.当0a时，不等式()32ln2fxa+恒成立【答案】BD【解析】【分析】对于A，构造函数()e1xhxx=+−求导即可判断；对于B，判断当0a时，是否满足()0e1xfxa−=即可；对于C，令(

)e10xfxa=−=，解得lnxa=−，由此即可判断；对于D，只需验证21ln02aa−−是否恒成立即可，即验证min()0ga是否成立即可.【详解】对于A，因为1a=,所以方程()0fx=即e10xx+−=，设()e1xhxx=+−，则()e1xhx=−，令()e

10xhx=−=，得0x=，当0x时，()e10xhx=−，()e1xhxx=+−单调递减，当0x时，()e10xhx=−，()e1xhxx=+−单调递增，所以()()e1020xhxxh=+−=，所以方程()0fx=不存在实数根，所以A错误.对于B，因为()()exf

xaax=+−，定义域为R，所以()e1xfxa=−，当0a时,由于e0x，则e0xa，故()0e1xfxa−=恒成立，所以()fx在R上单调递减，所以B正确.对于C，由上知，当0a时，令()e10xfxa=−=，解得lnxa=−.当lnxa−时，()0fx

，则()fx在(,ln)a−−上单调递减；当lnxa−时，()0fx，则()fx在(ln,)a−+上单调递增.综上，当0a时，()fx在(,ln)a−−上单调递减，在(ln,)a−+上单调递增.所以函数()fx有最小值，即最小值在

lnxa=−处取得，所以C错误.对于D，由上知()()()lnmin2lnlnlne1afaaxafaaa−−+=++=+=，要证()32ln2fxa+，即证2312ln2lnaaa+++，即证21ln02aa−−恒成立，令()()21ln02

gaaaa=−−，则2121()2agaaaa−=−=.令()0ga，则202a；令()0ga，则22a.所以()ga在20,2上单调递减，在2,2+上单调递增

，所以2min222()ln201lnn22l122gag====−−，则()0ga恒成立，所以当0a时，()32ln2fxa+恒成立，D正确.故选：BD.【点睛】关键点睛：本题对于A的关键是构造

函数即可；对于B，验证导数是否恒小于0即可；对于C，首先验证取极值必要条件不满足即可判断；对于D，转换为验证21ln02aa−−是否恒成立即可.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知集合0,1,1Ma=+，若1M−，

则实数=a________．【答案】2−【解析】【分析】利用元素与集合的关系可得出关于a的等式，解之即可.【详解】因为集合0,1,1Ma=+，若1M−，则11a+=−，解得2a=−.故答案为：2−.14.在三棱锥−PABC中，PA⊥平面,2,23,3ABCABACBCPA====，则三棱锥

−PABC的内切球的表面积等于__________.【答案】12π25【解析】【分析】首先利用等体积法求出内切球半径，再利用球的表面积公式求答案即可.详解】如图，由已知，得ABC的面积为123132=，因为三棱锥−PABC的高为3PA=，所以7PBPC==，等腰三角形PBC底边BC上

的高为732−=，所以三棱锥−PABC的表面积为1122322335322S=++=，体积13313V==.又三棱锥−PABC的体积13VSr=（其中r为三棱锥−PABC内切球的半径），所以35

r=，所以三棱锥−PABC的内切球的表面积为212π4π25r=.故答案为：12π25.15.已知向量(1,1,3)a=−，(2,2,3)b=，(,2,)cmn=，且()//abc+，则mn+=___________.【答案】18【解析】【分析】根据空间向量平

行的坐标运算列方程组求解参数，即可得结论.【详解】由题意得(3,1,6)ab+=，【因为()//abc+，所以2361mn==，得6m=，12n=，所以18mn+=.故答案为：18.16.已知()2810f

xxx=−+，xR，数列na是公差为1的等差数列，若()()()123fafafa++的值最小，则1a=________．【答案】3【解析】【分析】结合等差数列的通项公式，转化为二次函数的最值问题可解.【详解】∵数列na是公差为1的等差

数列，可设：11naan=+−.∴()()()()()()12311112fafafafafafa++=++++()()()()()2221111118101811028210aaaaaa=−+++−++++−++

21131811aa=−+∴当118323a−=−=时，()()()123fafafa++的值最小.故答案为：3四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.设函数()222fxxtx=−+，其中t

R.（1）若1t=，且对任意的,2xaa+，都有()5fx，求实数a的取值范围；（2）若对任意的12,0,4xx，都有()()128fxfx−，求实数t的取值范围.【答案】（1）1,1−（2）422,22−【解析】分析】（1）根据()5fx得到13x−，然后结

合题意列不等式求解即可；（2）将“对任意的1x，2x0,4，都有()()128fxfx−转化为“8Mm−，然后分0t、02t、24t和4t四种情况讨论即可.【小问1详解】当1t=时，()222fxxx=−+，令()5fx，解得13x−，【所以123aa−+，解

得11a−，所以a的取值范围为1,1−.【小问2详解】设函数()fx在区间0,4上的最大值为M，最小值为m，所以“对任意的1x，2x0,4，都有()()128fxfx−等价于“8Mm−，①当0t时，()4188

Mft==−，()02mf==，由18821688Mmtt−=−−=−，得1t，从而此时t；②当02t时，()4188Mft==−，()22mftt==−，由()()222188281648Mmttttt−=−−−=−+=−得4224

22t−+，从而4222t−；③当24t时，()02==Mf，()22mftt==−，由()22228Mmtt−=−−=，得2222t−≤≤，从而222t；④当4t时，()02==Mf，()4188mft==−，由()21888168Mmt

t−=−−=−得3t≤，从而此时t；综上可得，t的取值范围为422,22−.18.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量()()()cos,sinmABAB=−−，()cos,

sinnBB=−，且35mn=−．（1）求sinA的值；（2）若42a=，5b=，求ABC的面积．【答案】（1）45（2）2【解析】【分析】（1）利用数量积的坐标表示及两角和的余弦公式求出cosA，即可求出sinA

；（2）由余弦定理求出c，最后由面积公式计算可得.【小问1详解】因为()()()cos,sinmABAB=−−，()cos,sinnBB=−，且35mn=−，3cos()cossin()sin5ABBA

BB−−−=−，()3coscos5ABBA−+==−，又∵A为ABC内角，24sin1cos5AA=−=，【小问2详解】由余弦定理2222cosabcbcA=+−，得233225255cc=+−−，解得1c=或7c=−（舍去），故1c=，所以114s

in512225ABCSbcA===．19.已知焦距为2的椭圆M：22221(0)xyabab+=，1F，2F分别为其左右焦点，过点2F的直线1l与椭圆交于A，B两点，1ABF的周长为8．（1）求椭圆M的方程；（2）若过点2F的直线2l与椭圆交

于C，D两点且满足12ll⊥，求四边形ACBD面积的最小值．【答案】（1）22143xy+=（2）28849【解析】【分析】（1）由椭圆的性质直接求即可；（2）分斜率不存在，等于零，不等于零三种情况讨论，由弦长公式得出面积的表达式再用二次

函数的单调性求得结果.【小问1详解】设22212(0)(0)FcFccab−=−，，，，因为过点2F的直线1l与椭圆交于A，B两点，1ABF的周长为8所以则有2248ca==所以21ac==所以2223bac=−=所以M的方程为22143xy+=

【小问2详解】()i1l斜率不存在时.1l方程为1x=，2l方程为0y=则有3,4ABCD==所以1134622ABCDSABCD===四边形()ii1l斜率为0时.1l方程为0y=，此时无法构成1ABF，不符合题意；()iii1l斜率存在且不为0时.设1l方程为1122(1)(

)()ykxAxkxkBxkxk=−−−，，，，则2l方程为1(1)yxk=−−所以()222221212121212()()1=1()4ABxxyykxxkxxxx轾=-+-=+-++-臌由22(1)143ykxxy=−+=得2222(34)84120kxkxk+−+

−=所以21441440k=+221212228412,3434kkxxxxkk−+==++所以()()22222221212222841212(1)1()414343443kkkABkxxxxkkkk轾骣-

+犏轾琪=++-=+-=臌琪犏+++桫犏臌同理，设()()3344,,,CDxyyx221(1)143yxkxy=−−+=2222111(34)84120xxkkk+-+-=211441440kD=+>22343422118412,113434kkxxxxk

k-+=?++23434211()4CDxxxxk骣轾琪=++-琪臌桫代入并化简可得2212(1)34kCDk+=+.所以22221112(1)12(1)224334ABCDkkSABCDkk++==++四边形即222272(1)(43)(34)ABCDkSkk+=++四边形.

..令211ktt+=，＞则2227272(41)(31)121ABCDttStttt==−++−四边形即22727211114912()24ABCDSttt==−++−−+四边形所以此时当2t=时，面积最小，【点睛】本题计算量较大，属于弦长问题；第一问直接由椭圆的定义可得；第二问需要分类讨论斜

率不存在，等于零，不等于零三种情况，再由弦长公式得到面积的表达式，最后得出结果.20.设na是等比数列的公比大于0，其前n项和为nS，nb是等差数列，已知11a=，322aa=+，435abb=+，5462abb=+.（1）求na，nb的通项公式（2）设nnndab=，求1ni

id=；（3）设()()111nnnnacaa+=++，数列nc的前n项和为nT，求nT.【答案】（1）12nna−=,nbn=（2）1(1)21nniidn==−+（3）11221n−+【解析】【分析】（1）利用等差和等比数列的通项公式求解；（2）利用错位相减法求和；（

3）利用裂项相消法求和.【小问1详解】设na的公比为0q，因为322aa=+，所以2112aqaq=+，即220qq−−=，解得2q=或1q=−（舍），所以1112nnnaaq−−==，设nb的公差为d，因为

435abb=+，5462abb=+，所以358bb+=，46216bb+=，所以1126831316bdbd+=+=，解得11db==，所以1(1)=+−=nbbndn.【小问2详解】由（1）可得，12nndn−=，所以012111222322nniidn−==++++L，

123121222322nniidn==++++L，所以0121112222222(1)2112nnnnnniidnnn−=−−=++++−=−=−−−L，所以1(1)21nniidn==−+.【

小问3详解】()()111121111(21)(21)2121nnnnnnnnnacaa−−−+===−++++++，所以0112231213111111112121212121212121nnnnTcccc−−+−+−++−++++=++++=+

+++LL11221n=−+.21.已知函数()()ln1fxxaxx=−−，其中aR．（1）当1a=时，求证：()fx在()0,+上单调递减；（2）若()0fxx+=有两个不相等的实数根12,xx．（ⅰ）求实数a的取值范围；（ⅱ）求证：212exx．【答案】（1）证明见详解（2）（i

）()e,+，（ii）证明见详解【解析】【分析】（1）当1a=时，利用导数可证明函数单调性；（2）（i）方程()0fxx+=有两个不等的实数根，即ln0axx−=有两个不等的实数根，令()lngxaxx

=−，利用导数研究单调性，求出最值可得解；（ii）要证212exx，即证12lnln2xx+，又111lnxxa=，221lnxxa=，即证122xxa+，可得1212122lnlnxxxxxx+−−，令21xtx=，即证()21ln01ttt−−+，构造函数()()21ln1

thttt−=−+，利用导数可证明.【小问1详解】当1a=时，()()ln1fxxxx=−−，()ln2fxxx=−，令()()ln2xfxxx==−，()12xxx−=，令()0x，得10,2x

，()0x，得1,2x+，所以函数()x在10,2上单调递增，在1,2+上单调递减，()11ln1022x=−，即()0fx，所以函数()fx在()0,+上单调递减.【小问2详解】（i）()0fxx+=有两个不相等

的实数根1x，2x，即方程ln0axx−=有两个不相等的实数根1x，2x，令()lngxaxx=−，0x，()axgxx−=，当0a时，()0gx，即函数()gx在()0,+上单调递减，

函数()gx至多一个零点，不合题意；当0a时，()0,xa，()0gx，(),xa+，()0gx，所以函数()gx在()0,a上单调递增，在(),a+上单调递减，()()lngxgaaaa=−，函数()gx有两个零点，则ln

0aaa−，解得ea，又()110g=−，()ee0ga=−，不妨设12xx，121exx，所以实数a的取值范围为()e,+.（ii）要证212exx，即证12lnln2xx+，又11lnaxx=，22lnaxx=，121xex，即证122xxa+，将11lna

xx=，22lnaxx=两式相减可得，()2121lnlnxxaxx−=−，只需证()1221212122lnlnlnlnxxaxxaxxxx+=−−−，即证212211121lnxxxxxx+−，

令211xtx=，即证()21ln01ttt−−+；设函数()()21ln1thttt−=−+，1t，则()()()()()()222212111011ttthtttt+−−−=−=++，所以函数()h

t在()1+¥，上单调递增，则()()10hth=，即()21ln01ttt−−+，所以原不等式得证.【点睛】方法点睛：本题第二问的第2小问是双变量不等式问题，利用导数解决的方法如下：（1）变更主元法：对于题目涉及到的两个变元1x，2x，已知其中一个变元在题设给定的范围内任意变

动，求另一外变元的取值范围问题，可以构造关于1x（或2x）的一元函数，利用导数判断单调性，最值求解证明.（2）换元法转化为单变量：通过对所要证明式子结构特征的分析，做适当的变形，通过换元将双变量问题转化为单变量问题来解决，如指数型函数构造差值，对数型函数构造

比值化双变量为单变量问题，从而构造函数求解；（3）放缩法：通过巧妙的放缩变换，将给定的不等式转化为更易证明的形式，常见的放缩有加减放缩，乘除，取对数，去倒数，切线放缩等.22.为普及法律知识，弘扬宪法精神，某校教师举行法律知识竞赛.比赛共分

为两轮，即初赛和决赛，决赛通过后将代表学校参加市级比赛.在初赛中，已知甲教师晋级决赛的概率为23，乙教师晋级决赛的概率为a.若甲､乙能进入决赛，在决赛中甲､乙两人能胜出的概率分别为13和12.假设甲､乙初赛是否晋级和在决赛中能否胜出互不影响.（1）若甲､乙有且只有一

人能晋级决赛的概率为512，求a的值；（2）在（1）的条件下，求甲､乙两人中有且只有一人能参加市级比赛的概率.【答案】（1）34a=（2）3172【解析】【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式可分别计算

甲、乙赢得比赛的概率，可得到结论；（2）根据独立事件概率公式可求得结果.【小问1详解】设事件A表示“甲在初赛中晋级，事件B表示“乙在初赛中晋级，由题意可知，225()()()(1)13312PABABPABPABaa=

+=−+−=，解得34a=.【小问2详解】设事件C为“甲､乙两人中有且只有一人能参加市级比赛，D为“甲能参加市级比赛，E为“乙能参加市级比赛，则()212339PD==，()313428PE==，所以()23233111989872PC=−+−=.