【文档说明】黑龙江省哈尔滨市南岗区第三中学校2020届高三上学期期末考试数学（文）试题【精准解析】.doc，共(22)页，1.404 MB，由小赞的店铺上传

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哈三中2019—2020学年度上学期高三学年期末考试文科数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合|1Pxx=，集合1|1,Qxx=则PQ=（）

A.B.|01xxx=或C.|0xxD.1【答案】B【解析】【分析】化简集合Q，按交集定义即可求解.【详解】1110xxx−，解得1x或0x，{|1Qxx=或0}x，PQ=|01xxx=

或.故选:B【点睛】本题考查分式不等式的解法，考查交集的运算，属于基础题.2.设i为虚数单位，复数11zi=+，2iz=，则复数12zz在复平面上对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】

B【解析】【分析】求出12zz的值，即可求解.【详解】11zi=+，2iz=，12(1)1zziii=+=−+，12zz在复平面对应的点在第二象限.故选:B【点睛】本题考查复数的乘法运算，以及复数的几何意义，属于基础题.3.设函数()

2010xxfxx−=，，，则满足()()12fxfx+的x的取值范围是（）A.(1−−，B.()0+，C.()10−，D.()0−，【答案】D【解析】分析：首先根据题中所给的函数

解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有()()12fxfx+成立，一定会有2021xxx+，从而求得结果.详解：将函数()fx的图像画出来，观察图像可知会有2021xxx+，解得0x，所

以满足()()12fxfx+的x的取值范围是()0−，，故选D.点睛：该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是

常函数，从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，从而求得结果.4.已知椭圆22143xy+=,则与椭圆相交且以点()1,1A为弦中点的直线所在方程为（）A.3470xy++=B.2570xy+−=

C.3410xy−+=D.3470xy+−=【答案】D【解析】【分析】用点差法，求出相交弦的斜率，即可求解.【详解】设以点()1,1A为弦中点的直线与椭圆交于()()1122,,,MxyNxy，依题意所求直线的斜率存在，()(

)1122,,,MxyNxy代入椭圆方程得，222211221,14343xyxy+=+=，两式相减得12121212()()()()043xxxxyyyy+−+−+=，121234yyxx−=−−，即所求直线的斜率为34−，所求

的直线方程为3470xy+−=.故选:D【点睛】本题考查直线与椭圆的相交关系，涉及相交弦的中点用点差法求直线的斜率，属于中档题.5.“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚

、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”.“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按照干支顺序相配，构成了“干支纪年法”，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅癸酉、甲戌、乙亥、丙子癸未、甲申、乙酉、丙戌癸巳

癸亥，60为一个周期，周而复始，循环记录.按照“干支纪年法”，中华人民共和国成立的那年为己丑年，则2013年为（）A.甲巳年B.壬辰年C.癸巳年D.辛卯年【答案】C【解析】【分析】到2013年中华人民共和国成立65年，根据60年为一周期，即可得出结论.【详解】到2013年中华人民共和国成立65

年，1949年为己丑年，根据60年为一周期，2013年为癸巳年.故选:C【点睛】本题考查周期数在生活中应用，属于基础题.6.设,mn是两条不同的直线，，，是三个不同的平面（）①,//,mn则//mn；②//

,//,m⊥，则m⊥；③,//,//=nmnm，则//m；④若//,//,//mnmn,则//.上述四个命题中,正确的个数为A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】【分析】逐个命题判断

真假：①假，②真，③假，④假，即可得出结论.【详解】①,//,,mnmn可能是异面直线，可能平行，故是假命题；②//,//,//,,mm⊥⊥，故为真命题；③满足条件的直线m，可能在平面内，故为假命题；④当l=，只需////mnl，即可满足条件//,//,//

mnmn，此时l=，故为假命题.故选:A【点睛】本题考查空间垂直、平行的命题的真假判定，要注意相关定理成立的条件，属于基础题，7.在ABC中,1CA=,3CB=,2ACB=,点M满足3CMCBCA=+,则MAMB=（）A.0B.3C.6D.9【答案】C【解析】【分析】

将,MAMB用向量,CACB表示，根据向量的数量积定义即可求解.【详解】2MACACMCACB=−=−−，3MBCBCMCA=−=−，2(2)(3)66MAMBCACBCACA=−−−==故选:C【点睛】本题考查向量

的基本定理，向量的数量积的运算，属于基础题.8.由直线1yx=−上的点向圆()()22231xy-+-=引切线,则切线长的最小值为（）A.1B.2C.2D.3【答案】A【解析】【分析】切点与圆心的连线垂直切线，利用勾股定理，切线段长转化为直线上点与圆心

连线和半径关系，求圆心与直线上点距离的最小值，即可求解.【详解】设M是直线1yx=−的一点，()()22231xy-+-=圆心为C过M引圆()()22231xy-+-=的切线的切点为A，则ACMA⊥，2||||1MAMC=−，||MC的最小值为圆心C到直线

1yx=−的距离，根据点到直线的距离公式可得||MC的最小值为2，||MA的最小值为1.故选:A【点睛】本题考查直线与圆的关系，考查切线性质，属于中档题.9.数列na的前n项和为nS，且()()121nnan=−−，则2019=

S（）A.2019B.2019−C.4037−D.4037【答案】B【解析】【分析】根据通项公式，相邻两项和为定值，即可求解.【详解】2019=(-1+3)+(-5+7)+(-4033+4035)-4037=21009-4037=-2019S.故选:B【点睛】本题考查

用并项相加求数列的前n项和，数列求和要注意通项公式的特征，属于中档题.10.如图，某摩天轮上一点P在t时刻距离地面高度满足sin()yAtb=++，,−，已知摩天轮的半径为50米，点O距

地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P的起始位置在摩天轮的最低点处．则y（米）关于t（分钟）的解析式为（）A.250sin1032yt=−+B.250sin6032yt=++C.250sin6032yt

=−+D.250sin1032yt=++【答案】C【解析】【分析】由题意，A＝50，b＝60，T＝3；从而可得y＝50sin（23t+φ）+60；再代入初相即可.【详解】解：由题意，A＝50，b＝60，T＝3；故ω23=，故y＝50sin（23t+φ）+6

0；则由50sinφ+60＝10及φ∈[﹣π，π]得，φ2=−；故y=50sin（23t2−）+60；故选：C【点睛】本题考查了三角函数在实际问题中的应用，属于基础题．11.已知直线l：()()=-10ykxk与抛物线2=-4Cyx：相交于AB、两点，F为抛物线的焦

点且满足2AFBF＝，则k的值是（）A.223−B.3−C.33−D.-2【答案】A【解析】【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，联立直线y＝k（x﹣1）和抛物线y2＝﹣4x，设A（x1，y1），B（x2，y2），运用韦达

定理和抛物线的定义，解方程即可得到所求值．【详解】解：抛物线C：y2＝﹣4x的焦点F（﹣1，0），准线方程为x＝1，直线y＝k（x﹣1）和抛物线y2＝﹣4x联立，可得k2x2﹣（2k2﹣4）x+k2＝0，设A（x1，y1），B（

x2，y2），可得x1+x2＝224k−，x1x2＝1，①由抛物线的定义可得|AF|＝1﹣x1，|BF|＝1﹣x2，由|AF|＝2|BF|，可得1﹣x1＝2（1﹣x2），即x1＝2x2﹣1，代入①可得x212=−或1（舍去），x1＝﹣2，∴x1+x2＝52−＝224k−，又

k0，∴k223=−．故选：A．【点睛】本题考查抛物线的标准方程、简单几何性质和直线与抛物线的位置关系等知识，注意运用方程联立和韦达定理，属于中档题．12.已知函数()fx的定义域为R，()01f=−，对任意的xR满足()2fxx.当0,时，不

等式()sincossin20f+−的解集为（）A.,42B.30,4C.,4D.3,24【答案】B【解析】【分析】构造函数g（x）＝f（x）+1﹣

x2，根据条件可得出g′（x）＜0，从而得出g（x）在R上是增函数，并且可求出g（0）0=，根据二倍角公式可根据原不等式得出g（sinα+cosα）＞0，从而得出sinα+cosα0，根据α∈[0，π]即可求出α的范围，即得出原不等式的解集．【详解】解：设g（x）＝f（x）+1﹣x

2，g′（x）＝f′（x）﹣2x，∵f′（x）>2x，∴g′（x）>0，∴g（x）在R上单调递增，且()01f=−，∴g（0）0=，由()sincossin20f+−，可得()()2sincossincos+10f+−+∴()()gsincosg0+∴sincos

0+，即2sin04+，又0,，∴30,4，故选：B【点睛】本题考查了构造函数解决函数问题的方法，根据导数符号判断函数单调性的方法，，以及二倍角的正弦公式，考查了计算能力，属于中档题．二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.抛物线28xy=-的焦点坐标为_______．【答案】()0,2−【解析】【分析】根据题意，由抛物线的方程分析抛物线的开口方向以及p的值，进而可得其焦点坐标．【详解】解：根据题意，抛物线28xy=-的开口向右，其中p＝4，则其焦点坐标为()0,2−；故答案为：()0,2−．

【点睛】本题考查抛物线的标准方程，注意抛物线标准方程的形式．14.若双曲线的渐近线方程为2yx=，且焦点在y轴上，则双曲线的离心率为______________．【答案】52.【解析】【分析】根据渐近线与离心率的

关系，即可求解.【详解】双曲线的焦点在y轴上，渐近线方程为2yx=，双曲线的离心率为15142+=.故答案为:52.【点睛】本题考查圆锥曲线的简单几何性质，要注意焦点的位置，属于基础题.15.已知某几何体的三视图如下,则该几何体的表面积为____________．【

答案】426+【解析】【分析】几何体为三棱锥，作出几何体的直观图，计算出各个面的面积．【详解】解：几何体为三棱锥，作出直观图如图所示，由三视图可知平面PBC⊥平面ABC，BC=2，底面ABC中，BC边上的高为2，侧面PBC中，BC边上的高

为2，∴该几何体的表面积为11122222232426222++=+，故答案为：426+【点睛】本题考查了棱锥的结构特征，三视图和表面积计算，属于中档题．16.一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是221,1,10yxy−=

,在凹槽内放入一个清洁钢球(规则的球体)，要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为________．【答案】1【解析】【分析】设小球圆心（0，y0）双曲线上点（x，y），求得点到球心距离r平方的表

达式，进而根据若r2最小值在（0，1）时取到，则小球触及杯底，需012y进而求得r的范围．【详解】解：设小球球心（0，y0）双曲线上点（x，y）点到球心距离平方为：r2＝y2+（y﹣y0）2﹣1＝2y2﹣2y0y+y02﹣1若r2最小值在（0，1）

时取到，则小球触及杯底故此二次函数的对称轴位置应在y轴的左侧，所以012y，即y0≤2，所以r＝y0﹣1≤1，从而清洁球的半径r的范围为0＜r≤1则清洁球的最大半径为1故答案为：1．【点睛】本小题主要考查函数单调性的应用

、双曲线的应用、圆与圆锥曲线的综合等基础知识，考查运算求解能力，考查解决实际问题的能力、化归与转化思想．属于基础题．三、解答题:共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22

、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，且3,26,2abBA===.（I）求cosA的值；（II）求c的值.【答案】（1）63；（2）5【解析】试题分析：（1）依题意，利用正弦定理326sin2sincos

AAA=及二倍角的正弦即可求得cosA的值；（2）易求sinA=33，sinB=13，从而利用两角和的正弦可求得sin（A+B）=539，在△ABC中，此即sinC的值，利用正弦定理可求得c的值．试题解析：(1）由正弦定

理可得，即：326sinsin2AA=，∴326sin2sincosAAA=，∴6cos3A=.（2由（1）6cos3A=，且0180A，∴2263sin1cos133AA=−=−=，∴3622sinsin22sinc

os2333BAAA====，2261coscos22cos12133BAA==−=−=∴()()sinsinsinCABAB=−+=+=sincoscossinABAB+=3162253

33339+=.由正弦定理可得：sinsincaCA=，∴533sin95sin33aCcA===．18.如图，直三棱柱111ABCABC−中，090BAC=，ABAC=，,DE分别为1AA、1BC的中点．（1）

证明：DE⊥平面11BCCB；（2）若2AB=，直线1BB与直线CD所成角为45，求点B到平面1BCD的距离．【答案】（1）见解析；（2）433.【解析】【分析】（1）取BC的中点为G，证明DEAG，再证明AG⊥平面11BCCB，即可证明DE⊥平面11BCCB；（2）直线

1BB与直线CD所成角为∠DAC，可知2AD=，利用等积法11BBCDCBBDVV−−=，可得点B到平面1BCD的距离．【详解】（1）证明：取BC的中点为G，连接EG、AG，由题易知：EGDA，且EG=DA，∴四边形ADEG为平行四边形，∴

DEAG，∵1BB⊥平面ABC，AG平面ABC，∴1BAGB⊥，∵ABAC=，且BC的中点为G，∴BCAG⊥，又1BBCBB=，∴AG⊥平面11BCCB，又DEAG，∴DE⊥平面11BCCB；（2）∵1BADB，∴直线1BB与直线CD所成角为∠DAC，且∠DAC=45，又2ABAC

==，∴2AD=，设点B到平面1BCD的距离d，由11BBCDCBBDVV−−=，可得1111262423232d=，解得433d=，故点B到平面1BCD的距离433d=【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离，考查逻辑推理能力与空间想象能力，考查等积法，属于中档

题.19.已知在正项数列{}na中，首项12a=，点()+1nnAaa，在双曲线221yx−=上，数列{}nb中，点(),nnbT在直线112yx=−+上，其中nT是数列{}nb的前n项和．（1）求数列na、nb的通项公式；（2）若nnncab=，求证：数

列nc为递减数列．【答案】（1）1nan=+；23nnb=（2）见解析【解析】【分析】（1）由题意可得1na+﹣na＝1，即数列{na}是等差数列，同样Tn12=−bn+1，利用两式作差即可得到nb的通项公式；（2）根据（1）求得{an}的通项公式和数列{bn}的通项公式，进而

可得{cn}的通项公式，进而可得cn+1﹣cn的表达式，根据表达式小于零，原式得证．【详解】解：（1）由已知点An（na，1na+）在曲线y2﹣x2＝1上知1na+﹣na＝1．所以数列{na}是一个以2为首项，公差为1的等

差数列，所以na＝1a+（n﹣1）d＝2+n﹣1＝n+1，点（bn，Tn）在直线y12=−x+1上，所以Tn12=−bn+1①Tn﹣112=−bn﹣1+1②两式相减得bn12=−bn12+bn﹣1∴bn13=bn﹣

1令n＝1得b112=−b1+1所以b123=．所以数列{bn}是以23为首项，以13为公比的等比数列，所以bn23=（13）n﹣123n=；（2）证明：cn＝an•bn＝（n+1）•23n，所以cn+1﹣cn＝（n+2）•123n+−（n+1

）•23n123n+=[（n+2）﹣3（n+1）]123n+=（n+2﹣3n﹣3）123n+=（﹣2n﹣1）＜0故cn+1＜cn．∴数列nc为递减数列．【点睛】本题考查利用递推关系求通项公式，考查数列的单调性，考查等差等比数列定义，考查推理

能力与运算能力，属于中档题.20.已知椭圆()2222:10yxCabab+=的离心率为32，点3,12P在C上.（1）求椭圆的方程；（2）设12,FF分别是椭圆C的上、下焦点，过2F的直线l与椭圆C交于不同的两点,AB

，求1FAB的内切圆的半径的最大值．【答案】（1）2214yx+=；（2）12【解析】【分析】（1）根据题意得e32ca==，①因为点312P，椭圆C上，所以221314ab+=，②又b2＝a2﹣c2，③把①②③组成

方程组，解得a，b，c，进而可以写出椭圆方程；（2）因为11212ABFAFFBFFSSS=+，所以()()111211222AFBFABrcxx++=+，所以124a×r＝c×|1x﹣2x|，所以r12324cxxa==﹣|1

x﹣2x|，设直线l方程为y=kx3−，A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线l与椭圆的方程得（k2+4）x2﹣23kx﹣1＝0，由韦达定理得出|1x﹣2x|的最大值，即可求出答案．【详解】解：（1）根据题意得e32ca==，①因为点312P，

在椭圆C上，所以221314ab+=，②又b2＝a2﹣c2，③把①②③组成方程组，解得a2＝4，b2＝1，c2＝3所以椭圆方程为2214yx+=．（2）设直线l方程为y=kx3−，A（x1，y1），B（x2，y2），因为11212ABFAFFBFFSSS=+

，所以()()111211222AFBFABrcxx++=+，所以124a×r＝c×|1x﹣2x|，所以r12324xcxa=−=|1x﹣2x|，联立直线l与椭圆的方程得（k2+4）x2﹣23kx﹣1＝0，所以12223?

4kxxk+=+，12214xxk−=+，所以|1x﹣2x|2212122223?1()4()444kxxxxkk−=+−=−++，＝42221(4)kk+=+4()22221(1)619kkk+=++++4()22

19161kk++++，由基本不等式得（k2+1）291k++2()22911kk+=+6（当且仅当()22911kk+=+，即k2＝2，取“＝”），所以|1x﹣2x|233，rmax3231432==．【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，分析问

题解决问题的能力，属于中档题21.已知函数()ln,0fxxaxa=−．（1）若()fxa−对0x恒成立，求a的取值集合；（2）在函数()fx的图像上取定点()()()()()112212,,,AxfxBxfxxx,记直线AB的斜率为K，证明：存在()012x

xx，，使()0kfx=恒成立；【答案】（1）1；（2）见解析【解析】【分析】（1）对一切x＞0，f（x）≤a−恒成立，即对一切x＞0，()ln10xax−−恒成立，构造新函数，求出函数的最值，即可求得结论；（2）要证明存在x0∈（x1，x2），使f′（x0）＝k成立，只要证

明f′（x）﹣k＝0在（x1，x2）内有解即可．【详解】（1）解：对一切x＞0，f（x）≤a−恒成立，即对一切x＞0，()ln10xax−−恒成立，令()()ln1gxxax=−−，则()1'axgxx−=令g′（x）>0，可得0＜x＜1a；令g′（x）<0，可得x＞1

a，∴x＝1a时，g（x）取得最大值g（1a）1lnaa=−−∴1ln0aa−−；令()h1lnaaa=−−，()111ahxaa−=−=，()ha在()0,1上单调递减，在在()1,+上单调递增，∴()h10ah=，又()h0a，∴1a=∴a的取值集合1；（2）证明：

由题意，k()()21212121fxfxlnxlnxaxxxx−−==−−−要证明存在x0∈（x1，x2），使f′（x0）＝k成立，只要证明f′（x）﹣k＝0在（x1，x2）内有解即可令h（x）＝f′（x）﹣k21211lnxlnxxxx

−=−−，只要证明h（x）在（x1，x2）内存在零点即可∵h（x）在（x1，x2）内是减函数，只要证明h（x1）＞0，h（x2）＜0即证22111xxlnxx−−＞0，11221xxlnxx−−＞0令F（t）＝t﹣1﹣lnt（t＞0），∵F

′（t）＝11t−，∴函数在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增∴函数在t＝1时，取得最小值0，∴F（t）≥0∵12xx＞0且121xx；21xx＞0且21xx1∴22111xxlnxx−−＞0，11221xxlnxx−−＞0∴结论成立．【点睛】本题考查导数知

识的运用，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．（二）选考题：共10分．请考生在第22,23题中选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐标系xOy中，将曲线1cos:sinxCy==（为参数）上任意一点(,)Pxy经过

伸缩变换'3'2xxyy==后得到曲线2C的图形．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线:(cossin)8l−=．（1）求曲线2C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）点P为曲线

2C上的任意一点，求点P到直线l的距离的最大值及取得最大值时点P的坐标．【答案】（1）22134xy+=，80xy−−=.（2）最大值14422+,此时点3747,77P−.【解析】【分析】（1）根据伸缩坐标关系，可求2C参数方

程，利用22sincos1+=消去参数；由cos,sinxy==，即可求直线l的直角坐标方程；（2）点P用参数表示，根据点到直线的距离公式，求出P到直线l的距离，再结合三角函数的有界性，即可求解.【详解】（1）1cos:sinxCy=

=，'cos'33cos3,''22sinsin2xxxyyy======消去参数，得22134xy+=，所以2C的普通方程为22134xy+=；直线:(cossi

n)cossin8lxy−=−=−=，直线l的直角坐标方程80xy−−=；（2）设(3cos,2sin)P，P点到直线直线l的距离为d，|3cos2sin8|87sin()22d−−+−==，其中32sin,cos77==，当2,2kkZ

−=+时，d取得最大值为14422+，此时232,,sincos,cossin277kkZ=++===−=−，点P的坐标为3747,77−时，点P到直线l的距离的最大为1442

2+.【点睛】本题考查坐标伸缩变化后的曲线方程，考查参数方程化普通方程，极坐标方程和直角坐标方程互化，以及运用参数方程设点坐标求最值，属于中档题.23.已知0a，0b，0c设函数()fxxbxca=−+++，xR（1）若2abc===，求不

等式()7fx的解集；（2）若函数()fx的最小值为2，证明：4199()2abcabbcca+++++++．【答案】（1）55,,22−−+；（2）见解析【解析】【分析】（1）

根据题意，当a＝b＝c＝2时，f（x）＝|x﹣2|+|x+2|+2，然后利用零点分段法解不等式即可；（2）根据题意，由绝对值不等式的性质可得f（x）的最小值为2，所以a+b+c＝2，进而利用柯西不等式即可证明不等式．【详解】解：（1）解：（1）当a＝b＝c＝2时，f（x）＝|x﹣2|+|x+2|+

2所以f（x）>7⇔2227xx−−或2267x−＜＜或2227xx+所以不等式的解集为55,,22−−+；（2）因为a＞0，b＞0，c＞0所以()()()fxxbxcaxbxcabcaabc=−+++−−++=+

+=++因为f（x）的最小值为2，所以a+b+c＝2()()()41914192abbccaabbccaabbcca++=+++++++++++++21213189()422abbccaab

cabbcca+++++==+++++【点睛】本题考查绝对值不等式的解法以及不等式的证明，涉及柯西不等式的应用，考查转化能力与计算能力，属于基础题．