【文档说明】黑龙江省哈尔滨市南岗区第三中学校2020届高三上学期期末考试数学（理）试题【精准解析】.doc，共(25)页，1.911 MB，由小赞的店铺上传

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哈三中2019—2020学年度上学期高三学年期末考试理科数学试卷本试卷共23题，共150分，共8页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项:1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内．2.选择题必

须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．5.保持卡面清洁，

不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合|1Pxx=，集合1|1,Qxx

=则PQ=（）A.B.|01xxx=或C.|0xxD.1【答案】B【解析】【分析】化简集合Q，按交集定义即可求解.【详解】1110xxx−，解得1x或0x，{|1Qxx=或0}x，PQ=|01xxx=或.故选:B

【点睛】本题考查分式不等式的解法，考查交集的运算，属于基础题.2.设i为虚数单位，复数11zi=+，2iz=，则复数12zz在复平面上对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】【分析】求出12zz的值，即可求

解.【详解】11zi=+，2iz=，12(1)1zziii=+=−+，12zz在复平面对应的点在第二象限.故选:B【点睛】本题考查复数的乘法运算，以及复数的几何意义，属于基础题.3.设函数()2010xxfxx−=，，，则满足()()12f

xfx+的x的取值范围是（）A.(1−−，B.()0+，C.()10−，D.()0−，【答案】D【解析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有()()12fxfx+成立，一定会有2021xxx+，从而求得结果

.详解：将函数()fx的图像画出来，观察图像可知会有2021xxx+，解得0x，所以满足()()12fxfx+的x的取值范围是()0−，，故选D.点睛：该题考查的是有关通过函数值的大小来

推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，从而求得结果.4.已知椭圆221

43xy+=,则与椭圆相交且以点()1,1A为弦中点的直线所在方程为（）A.3470xy++=B.2570xy+−=C.3410xy−+=D.3470xy+−=【答案】D【解析】【分析】用点差法，求出相交弦的斜率，即可求解.【详解】设以点()1,1A为

弦中点的直线与椭圆交于()()1122,,,MxyNxy，依题意所求直线的斜率存在，()()1122,,,MxyNxy代入椭圆方程得，222211221,14343xyxy+=+=，两式相减得1212

1212()()()()043xxxxyyyy+−+−+=，121234yyxx−=−−，即所求直线的斜率为34−，所求的直线方程为3470xy+−=.故选:D【点睛】本题考查直线与椭圆的相交关系，涉及相交弦的中点用点差法求直线的斜率，属于中档题.5.“干支纪年法”是中国历

法上自古以来就一直使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”.“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按照干支顺序相配，构成了“干支纪年法”

，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅癸酉、甲戌、乙亥、丙子癸未、甲申、乙酉、丙戌癸巳癸亥，60为一个周期，周而复始，循环记录.按照“干支纪年法”，中华人民共和国成立的那年为己丑年，则2013年为（）A.甲巳年B.壬辰

年C.癸巳年D.辛卯年【答案】C【解析】【分析】到2013年中华人民共和国成立65年，根据60年为一周期，即可得出结论.【详解】到2013年中华人民共和国成立65年，1949年为己丑年，根据60年为一周期，2013年为癸巳年.故

选:C【点睛】本题考查周期数在生活中应用，属于基础题.6.设,mn是两条不同的直线，，，是三个不同的平面（）①,//,mn则//mn；②//,//,m⊥，则m⊥；③,//,//=nmnm，则//m；④若//,/

/,//mnmn,则//.上述四个命题中,正确的个数为A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】【分析】逐个命题判断真假：①假，②真，③假，④假，即可得出结论.【详解】①,//,,mnmn可能是异面直线，可能

平行，故是假命题；②//,//,//,,mm⊥⊥，故为真命题；③满足条件的直线m，可能在平面内，故为假命题；④当l=，只需////mnl，即可满足条件//,//,//mnmn，此时

l=，故为假命题.故选:A【点睛】本题考查空间垂直、平行的命题的真假判定，要注意相关定理成立的条件，属于基础题，7.在ABC中,1CA=,3CB=,2ACB=,点M满足3CMCBCA=+,则MAMB=（）A.0B.3C.

6D.9【答案】C【解析】【分析】将,MAMB用向量,CACB表示，根据向量的数量积定义即可求解.【详解】2MACACMCACB=−=−−，3MBCBCMCA=−=−，2(2)(3)66MAMBCAC

BCACA=−−−==故选:C【点睛】本题考查向量的基本定理，向量的数量积的运算，属于基础题.8.由直线1yx=−上的点向圆()()22231xy-+-=引切线,则切线长的最小值为（）A.1B.

2C.2D.3【答案】A【解析】【分析】切点与圆心的连线垂直切线，利用勾股定理，切线段长转化为直线上点与圆心连线和半径关系，求圆心与直线上点距离的最小值，即可求解.【详解】设M是直线1yx=−的一点，()()22231xy-+-=

圆心为C过M引圆()()22231xy-+-=的切线的切点为A，则ACMA⊥，2||||1MAMC=−，||MC的最小值为圆心C到直线1yx=−的距离，根据点到直线的距离公式可得||MC的最小值为2，||MA的最小值为1.故选:A【点睛】本题考查直线与圆的关系，考查切线性质，属于中档题.9.

数列na的前n项和为nS，且()()121nnan=−−，则2019=S（）A.2019B.2019−C.4037−D.4037【答案】B【解析】【分析】根据通项公式，相邻两项和为定值，即可求解.【详解】2019=(

-1+3)+(-5+7)+(-4033+4035)-4037=21009-4037=-2019S.故选:B【点睛】本题考查用并项相加求数列的前n项和，数列求和要注意通项公式的特征，属于中档题.10.已知某几何体的三视图如下，则该几何体的外接球的

表面积为（）A.174B.171724C.172D.17178【答案】C【解析】【分析】将三视图还原成三棱锥，再根据三棱锥的结构特征，确定外接球的球心，解关于外接球半径的方程，即可求解.【详解】将

三视图还原如下三棱锥,SABCD−为BC中点，2,,1SDADADBCBDCD==⊥==，SD⊥平面ABC，由ABC为等腰三角形，ABC的外接圆圆心M在AD上，外接圆的半径为AM，由正弦定理可得55

52,2sin245ACAMAMABC====，过点M作//MNSD，则MN⊥平面ABC，根据球的截面性质，球心O直线MN上，设外接球的半径为R，2253,,164OAOSROMRMD===−=，22222

53(2)()164RR−−=−，解得2178R=，棱锥SABC−外接球的表面积为棱锥21742R=.故选:C【点睛】本题考查三视图与直观图的关系，考查几何体的外接球的表面积，寻找确定外接球的球心是解题的关键，属于中档题.11.一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是221,

1,10yxy−=,在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为（）A.1B.2C.3D.2.5【答案】A【解析】【分析】根据清洁钢球能擦净凹槽的最

底部的轴截面图，只需圆与双曲线的顶点相交，联立圆与双曲线方程，得到关于y的一元二次方程，要满足方程的根不能大于1，即可求解.【详解】清洁钢球能擦净凹槽的最底部时，轴截面如下图所示，圆心在双曲线的对称轴上，并与双曲线的顶点相交，设半径为r，圆心为(0,1)r+，圆方程为：222(1)x

yrr+−−=代入双曲线方程221yx−=，得2(1)0,1,yryryyr−++===，要使清洁球到达底部，1r.故选:A【点睛】本题考查圆锥曲线方程的实际应用，关键要把实际问题抽象转化为数学问题，属于较难题.12.已知定义在()0+，上的函数()f

x满足()2()xxfxfxe+=，12122fe=，若对任意正数a，b都有2221146441322xabfbea++−，则x的取值范围是（）A.()2,1−−B

.(),1−−C.11,2−D.102，【答案】B【解析】【分析】根据基本等式求出222114644abbea++最小值11()222fe=，不等式转化为解不等式1(1)2322xff−

，构造函数2()()xgxefx=，由条件可得()2()xxfxfxe=−，转化为与()gx相关的函数，通过求导可得()0fx，即()fx在()0+，是减函数，即可解不等式.【详解】2221111110,0,()()464442222abababfbeaabee+

++=，当且仅当4412,222eeabe==时，等号成立.所求不等式转化为1(1)2322xff−，设2()()xgxefx=，2222()2()()(2()())

xxxxxxxgxefxefxefxfxeexe=+=+==，()2()xxfxfxe+=，得()2222()2()2()2()xxxxxxxxxxefxexefxexgxfxfxeeee−−−=−===，设1(12)()2(),()()22xxxexxexgxxexxx

−=−=−=，令1()0,2xx==，当()0x时，102x，当()0x时，11,22xx=时()x取得极大值，即为最大值为112()2()0,()0,()02222eegefxfx

−=−=，()fx在()0+，是减函数，1(1)2322xff−等价于，1311,2,12222xxx−−.故选:B【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查利用函数的单调性

解不等式，解题的关键是构造函数，利用导数研究函数的单调性，属于难题.二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若双曲线的渐近线方程为2yx=，且焦点在y轴上，则双曲线的离心率为______________．

【答案】52.【解析】【分析】根据渐近线与离心率的关系，即可求解.【详解】双曲线的焦点在y轴上，渐近线方程为2yx=，双曲线的离心率为15142+=.故答案为:52.【点睛】本题考查圆锥曲线的简单几何性质，要注意焦点的位置，属于基础题.14

.将5本不同的书分给甲、乙、丙三人，一人三本，其余两人每人一本，则有__________种不同分法．（结果用数字作答）【答案】60.【解析】【分析】先把5本书分成3组，1组3本，另两组各1本，再把这三组书分配给甲、乙、丙三人,即可求解.【详解】5本书分成3组，1组3本，另两组各1本

，有3510C=分法，把3组书分给甲、乙、丙三人，共有336A=种分法，根据乘法原理共有60种不同的分法.故答案为:60【点睛】本题考查排列组合混合问题，解题依据是选组后排，属于基础题.15.如图，摩天轮上一点P在t时刻距离地面高度满足sin()yAtb=++，

,−，已知某摩天轮的半径为50米，点O距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P的起始位置在摩天轮的最低点处．则y（米）关于t（分钟）的解析式为______【答案】250sin6032yt=−+；【解析

】【分析】建立坐标系，根据三角函数的定义，求出P点的纵坐标，即可求出结论.【详解】建立如图坐标系，地面所在的直线方程为60y=−，P点初始位置对应的角为2−，设在t（分钟）时P点坐标为(,)mn，P点对应的角为232t

−，由三角函数定义得250sin()32nt=−，2(60)50sin()6032ynt=−−=−+.故答案为:250sin6032yt=−+【点睛】本题考查三角函数定义的实际应用问题，属于中档题.16.已知ABC的三个顶点、、ABC均在抛物线2yx=上，给出下列命

题：①若直线BC过点3,08M，则存在ABC使抛物线2yx=的焦点恰为ABC的重心；②若直线BC过点()1,0N，则存在点A使ABC为直角三角形；③存在ABC，使抛物线2yx=的焦点恰为ABC的外心；④若边AC的中线//BMx轴，2BM=，则ABC的面积为23.其中正确

的序号为______________．【答案】①②.【解析】【分析】对于①设出直线BC方程，与抛物线联立，利用韦达定理，求出,BC坐标和，再利用重心坐标公式，求出A点坐标，代入抛物线方程，即可得出结论；对于②当直线BC过点()1,0N，可证OBOC⊥，即可得出结论为正确；

对于③判断以焦点为圆心的圆与抛物线是否有三个交点；对于④设AC方程与抛物线联立，利用韦达定理，求出AC中点坐标，然后转化为B点坐标，将B点坐标代入抛物线方程，求出ABC的面积，即可判断结论是否正确.【详解】设、、A

BC三点坐标分别为112233(,)(,)(,)xyxyxy、、，①直线BC过点3,08M，设BC方程为38xmy=+，联立238xmyyx=+=，消去x，得22330,082ymym−−==+，223232323333,,()844yymyyxxmyym+==−+=++

=+，抛物线2yx=的焦点恰为ABC的重心，2123123113,0,,4xxxyyyxmym++=++==−=−，将A点坐标代入抛物线方程22,0mmm=−=，当0m=时，3636(0,0),(,),(,)8484ABC−，①正确；②直线BC过点()1,0N，设B

C方程为1xmy=+，联立21xmyyx=+=消去x得，210ymy−−=，22232323232323,1,1,0yymyyxxyyxxyy+==−==+=，0,OBOCOBOC=⊥，而点O在抛物线上，故②正确；③设以抛物线焦点1(,0

)4F为圆心的圆半径为r，其方程为2221()4xyr−+=，与抛物线方程联立得2222111(),(),444xxrxrxr−+=+==−，方程至多只有一个非负解，即圆与抛物线至多只有两个交点，不存在ABC，使抛物

线2yx=的焦点恰为ABC的外心；③不正确；④AC的方程为xmyn=+，代入抛物线方程得，2213130,40,,ymynmnyymyyn−−==++==−，21313()22xxmyynmn+=++=+设AC中点00(,)Mxy，//BMx轴，2BM=

，22(2,)22mnmB+−，代入抛物线方程得2222()2,4822mmnmn+=−+=，2213131312||()4422232ABCSyyyyyymn=−=−−=+=.④不正确.故答案为:①②.【点睛】本题考查直线与抛物

线的关系，考查抛物线和圆的位置关系以及三角形的面积，灵活运用韦达定理，设而不求是解题的关键，属于较难题.三、解答题:共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题

：共60分．17.ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，且3,26,2abBA===.（I）求cosA的值；（II）求c的值.【答案】（1）63；（2）5【解析】试题分析：（1）依题意，利用正弦定理32

6sin2sincosAAA=及二倍角的正弦即可求得cosA的值；（2）易求sinA=33，sinB=13，从而利用两角和的正弦可求得sin（A+B）=539，在△ABC中，此即sinC的值，利用正弦定理可求得c

的值．试题解析：(1）由正弦定理可得，即：326sinsin2AA=，∴326sin2sincosAAA=，∴6cos3A=.（2由（1）6cos3A=，且0180A，∴2263sin1cos133AA=−=−=，∴3622sin

sin22sincos2333BAAA====，2261coscos22cos12133BAA==−=−=∴()()sinsinsinCABAB=−+=+=sincoscossinABAB+=

316225333339+=.由正弦定理可得：sinsincaCA=，∴533sin95sin33aCcA===．18.如图，直三棱柱111ABCABC−中，090BAC=，ABAC=，D、E分别为1AA、1BC的中点

．（1）证明：DE⊥平面11BCCB；（2）已知直线1BC与1AA所成的角为45，求二面角1DBCC−−的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）045.【解析】【分析】（1）取BC中点F，连接,AFEF，可证AF⊥平面11BCCB，//DEAF，即可得证结论；（

2）设2ABAC==建立空间直角坐标系，直线1BC与1AA所成的角为45，得出111CCBC=，确定各点坐标，求出平面DBC的法向量，（1）可得平面1BCC的法向量为AF，即可求出结论.【详解】（1）取BC中点F，连接,AFEF，,ABACAFBC=⊥，直三棱柱111A

BCABC−，1BB⊥平面,ABCAF平面ABC，111,,,BBAFBBBCBBBBC⊥=平面11BCCB，AF⊥平面11BCCB.,EF分别为1BC，BC中点，111,//2EFBBEFBB=，

D为1AA中点，111,//,,//2ADBBADBBADEFADEF==，四边形ADEF为平行四边形，//,AFDEDE⊥平面11BCCB；（2）设2ABAC==，11//AACC，11BCC为异面直线11,BCAA所成的角，01111145,

22BCCCCBC===，以A为坐标原点，以1,,ABACAA所在的直线分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系，则(2,0,0),(0,2,0)BC，(1,1,0),(0,0,2),(1,1,0),(2,2,0)FDAFBC==−，(2,0,2)BD=−，设平面BCD

的法向量为(,,)mxyz=，220220xyxz−+=−+=，令1x=，则1,2yz==，平面1BCC的一个法向量(1,1,2)m=，由（1）得AF是平面1BCC的一个法向量，22cos,222mAF==二面角

1DBCC−−的大小为045.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查利用空间向量法求二面角，属于中档题.19.已知在正项数列{}na中，首项12a=，点()+1nnAaa，在双曲线221yx−=上，数列{}nb中，点(),nnbT在直线112yx=−+上

，其中nT是数列{}nb的前n项和．（1）求数列na、nb的通项公式；（2）求使得112020nT−成立n的最小值；（3）若nnncab=，求证：数列nc为递减数列．【答案】（1）1nan=+；23nnb=

（2）7；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）由条件可得{}na是等差数列，再由已知{}nb的前n项和与{}nb通项关系，即可求出结论；（2）求出nT，去绝对值，解关于n的不等式，即可求解.【详解】（1）点()+1

nnAaa，在双曲线221yx−=上，+11,{}nnnaaa−=是以2为首项，公差为1的等差数列，1nan=+；点(),nnbT在直线112yx=−+上，112nnTb=−+，当1n=时，1111121,23Tbbb==−+=

，当2n时，111111,223nnnnnnnbTTbbbb−−−=−=−+=，1110,0,3nnnbbbb−=，{}nb是以23为首项，公比为13的等比数列，23nnb=.（2）111111(),|1|()2332020nnnnnTbT=

−+=−−=，解得6n，112020nT−成立n的最小值为7.（3）2(1)3nnnnncab+==，1112(2)2(1)2(21)0333nnnnnnnncc+++++−+−=−=，1nncc+，所以数列nc为递减数列.【点睛】本题考查利用等差数列的定义判

定等差数列并求通项，考查运用前n项和与通项关系求等比数列的通项和前n项和，并求绝对值不等式，考查数列的单调性证明，考查计算能力，属于中档题.20.已知抛物线2:4Cyx=上一点()2,1A,D与A关于抛物线的对称轴对称，斜率为1的直线交

抛物线于M、N两点，且M、N在直线AD两侧．（1）求证：DA平分MDN；（2）点E为抛物线在M、N处切线的交点，若EMNDMNSS=，求直线MN的方程．【答案】（1）证明见解析；（2）13yx=+【解析】【分析】（1）要证DA平分MDN，只需

证直线,DMDN倾斜角互补，只需证,DMDN斜率和为0，设直线MN方程，与抛物线方程联立，运用韦达定理，即可求证；（2）2:4Cyx=方程化为214yx=，求导，求出抛物线在M、N处切线的斜率，继而求出切

线方程，联立两切线方程，求出点E坐标，EMNDMNSS=，,DE到直线MN距离相等，即可求出直线MN的方程.【详解】（1）D与A关于抛物线的对称轴对称，(2,1)D−设直线MN的方程为,13yxnn=+−

，联立24yxnxy=+=，消去y得，2440,16160xxnn−−==+，设11221212(,),(,),4,4MxyNxyxxxxn+==−，121221121211(1)(2)(1)(2)22(2)(2)DMDNyyxnxxn

xkkxxxx−−+−+++−++=+=++++=121212122(1)()4(1)844440(2)(2)(2)(2)xxnxxnnnnxxxx++++−−+++−==++++，直线.DMDN倾斜角互补，//ADx轴，MDANDA=，DA平分MDN

；（2）抛物线2:4Cyx=，211,42yxyx==，在M点处的切线方程为211111111(),224yyxxxyxxx−=−=−，①同理在N点处的切线方程为2221124yxxx=−，②由①②得，12122,,(2,)24xxxxxynEn+====−−，,,EMNDMNSSDE=

到直线MN的距离相等，由点到直线的距离公式得：|3||22|1,13,322322nnnnnn−++=−−=+=，所求的直线方程为13yx=+.【点睛】本题考查抛物线几何性质的证明，在平面解析几何中证明角的关系，经常转化

为斜率的关系，考查用导数求切线方程，考查计算能力，属于较难题.21.已知函数()ln,0fxxaxa=−．（1）若()fxa−对0x恒成立，求实数a的取值集合；（2）在函数()fx的图象上取定点()()()()()112212,,,AxfxBxf

xxx，记直线AB的斜率为k，证明：存在()012xxx，，使()0kfx=成立；（3）当*nN时，证明：()22231ln2lnln224nnnn+++++．【答案】（1）1；（2）证明见解析；（3）证明见解析

.【解析】【分析】（1）()fxa−对0x恒成立，转化为()maxfxa−，利用求导数方法求出()fx极值，进而求出最值，即可求解；（2）设()12(),gxfxkxxx=−，通过构造函数证明1

2(),()gxgx异号，根据零点存在性定理，即可得证；（3）构造函数()ln1hxxxx=−+，证明()ln10hxxxx=−+在(1,)+恒成立，1ln1xx−，令221111111,ln,(ln)1(1)(2)(1)nnnxnnnnnnn+++=

++++1112nn=−++，然后相加，即可求证结论.【详解】（1）11()ln,()axfxxaxfxaxx−=−=−=，令1()0,fxxa==，当1()0,0fxxa，当11()0,,fxxxaa=时，()fx取得极大值，亦为最大值，max1()ln1ln

1fxaaa=−=−−−，ln10aa−−，设11()ln1,()1aaaaaaa−=−−=−=，令()0,1,()0,01;()0,0,1aaaaaa==.min()(1)0,()0aa==，又()ln10aaa=−−，()

ln10,1aaaa=−−==；（2）()121212ln1(),xxgxfxkxxxxxx=−=−−，122211121211ln11()(1ln)xxxxgxxxxxxxx=−=−+−−，121122121222ln11()(1ln)

xxxxgxxxxxxxx=−=−−+−−，令11()1ln,()1tutttuttt−=−+=−+=，()0,01,()0,1uttutt，当1,()0,1ln0tuttt−+，2212111

1ln0,0,()0xxxxgxxx−+−，同理2()0gx，函数12(),(,)gxxxx连续不断，故存在012(,)xxx，使得0()0gx=，即存在()012xxx，，使()0kfx=成立；（3）设()ln1,()ln,hxxxxhxx=−+=，当()0hx时，1,

()xhx在(1,)+递增，11,()0,ln1xhxxx−，令11nxn+=2211111ln,(ln)1(1)(2)(1)nnnnnnnn++++++，2223111ln2lnln.22224nnnnn++++−=++L【点睛】本题考查导数的综合应用

，涉及不等式恒成立最值问题、函数零点、数列不等式的证明，解题的关键是构造函数，导数性质的合理运用，属于难题.（二）选考题：共10分．请考生在第22,23题中选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐标系xOy中，将曲线1cos:sinxCy==（为参数）上任意一点

(,)Pxy经过伸缩变换'3'2xxyy==后得到曲线2C的图形．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线:(cossin)8l−=．（1）求曲线2C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）点P为曲

线2C上的任意一点，求点P到直线l的距离的最大值及取得最大值时点P的坐标．【答案】（1）22134xy+=，80xy−−=.（2）最大值14422+,此时点3747,77P−.【解析】【分析】（1）根据伸缩坐标关系，可求2C参数方程，利用22sincos1+=消去参数

；由cos,sinxy==，即可求直线l的直角坐标方程；（2）点P用参数表示，根据点到直线的距离公式，求出P到直线l的距离，再结合三角函数的有界性，即可求解.【详解】（1）1cos:sinxCy==，'cos'33cos3,''22sinsin2xx

xyyy======消去参数，得22134xy+=，所以2C的普通方程为22134xy+=；直线:(cossin)cossin8lxy−=−=−=，直线l的直角坐标方程80xy−−=；（2）设(3cos,2sin)P

，P点到直线直线l的距离为d，|3cos2sin8|87sin()22d−−+−==，其中32sin,cos77==，当2,2kkZ−=+时，d取得最大值为14422+，此时232,,sincos,cossin277kkZ

=++===−=−，点P的坐标为3747,77−时，点P到直线l的距离的最大为14422+.【点睛】本题考查坐标伸缩变化后的曲线方程，考查参数方程化普通方程，极坐标方程和直角坐标方程互化，以及运用参数方程设点坐标

求最值，属于中档题.23.已知0a，0b，0c设函数()fxxbxca=−+++，xR（1）若2abc===，求不等式()7fx的解集；（2）若函数()fx的最小值为2，证明：4199()2abcabbcca++

+++++．【答案】（1）55,,22−−+；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）分类讨论去绝对值，解不等式，即可求解；（2）利用绝对值不等式的性质求出()fx的最小值，并转化为,,abc关系，再用基

本不等式即可求解.【详解】（1）当2abc===时，()222fxxx=−+++，当2x−≤时，5()227,2fxxx=−+−；当22x−时，()67,fxx=；当2x时，5()227,2fxxx=+所以不等式的解集为55,,22−

−+；（2）()||2fxxbxcacbaabc=−+++++=++=由柯西不等式可得：2419[()()()]()(213)36abbccaabbcca+++++++++=+++，41999()2abcabbcca

++=+++++不等式成立.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，以及利用绝对值不等式求最值，考查柯西不等式证明不等式，属于中档题.