【文档说明】江苏省南京市中华中学2022届高三上学期8月零模仿真练习数学试题 含答案.docx，共(13)页，834.055 KB，由管理员店铺上传

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中华中学2021-2022学年度第一学期零模仿真考试试卷高三数学本卷考试时间：120分钟总分：150分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合|2Ayyx==，()ln1|Bxyx==−，则R()AB=ð（）A．(

,0)−B．(,0)(1,)−+C．(0,1)D．(1,)+2．已知i为虚数单位，复数z满足2(1i)|1i|z+=+，则复数z的虚部为（）A．-iB．1C．iD．-13．设平面向量(2,1)a=，(,2)bx=−，若//ab，则|3|ab+等于（）A．5B．6C．17D．264．

2名老师和4名学生共6人参加两项不同的活动，每人参加一项活动，每项活动至少有2人参加，但2名老师不能参加同一项活动，则不同的参加方式的种数为（）A．20B．28C．40D．505．“tan2=”是“π4cos2=25

−”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．已知3log15a=，4log20b=，21.9c=，则（）A．acbB．abcC．bacD．ca

b7．已知抛物线C：28yx=的焦点为F，抛物线C上一点A满足5AF=，则以点A为圆心，AF为半径的圆被x轴所截得的弦长为（）A．1B．2C．2D．228.已知函数()fx的导函数为()fx，且对任意的实数x都有()(23)()xfxexfx−=+−（e是自然对数的底数

），且(0)1f=，若关于x的不等式()0fxm−的解集中恰有两个整数，则实数m的取值范围是（）A．(,0]e−B．)2,0e−C．[,0)e−D．(2,0e−二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选

对的得2分，有选错的得0分．9．下列命题正确的有（）A．若随机变量X服从正态分布()21,N，(4)0.79PX=„，则(2)0.21PX−=„．B．若随机变量X服从二项分布：1~4,4XB，则(23)3DX+=C．若相关指数2R的值越趋近于0，表示回归模型的拟合效果越好D．若相

关系数r的绝对值越接近于1，表示相关性越强10．已知函数()sin(2)fxAx=+（0A，π||2）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A．π()3sin23fxx=+B．函数()fx在π2π,63上单调递减C．函数()fx的图象关

于5π,012中心对称D．函数()3cos2gxx=的图象可由函数()fx的图象向左平移π12个单位得到11．关于2021(1)x−及其展开式，下列说法正确的是（）xA．该二项式展开式中二项式系数和是-1B．该二项式展开式中第8项为710072021Cx−C．

当100x=时，2021(1)x−除以100的余数是9D．该二项式展开式中不含有理项12．已知函数()||xxfxeex−=++．则下面结论正确的是（）A．()fx是奇函数B．()fx在[0,)+上为增函数C．若0x，则2

12fxex++D．(3)(())fxffx对任意实数x恒成立三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知球O的内接正方体1111ABCDABCD−中，若四棱锥OABCD−的体积为323，则11ABC△的面积为________.14．斜率为52的直线l经过双曲线222

21xyab−=（0a，0b）的左焦点1F，与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，若线段1FB的垂直平分线经过右焦点2F，则双曲线的离心率为__________．15．已知数列1(21)(21)nn−+的前n项和为nT，若对任意的*nN，不等式212naTa−恒成

立，则实数a的取值范围是______．16．已知函数4,0(),0xxexfxexx+=„，若存在10x„，20x，使得()()12fxfx=，则()12xfx的取值范围是______.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤17．在ABC△中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且满足cos13sinbBaA+=．（1）求B的大小；（2）从①2ac=，②2b=，③π4A=这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中，并解决问题．问题：已知___________，

___________，若ABC△存在，求ABC△的面积，若ABC△不存在，请说明理由．注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分．18．已知na是公差为2的等差数列，10a，且4a是22a和52a

−的等比中项．（1）求na的通项公式；（2）设数列nb满足112122nnnbbbaaa++++=，求nb的前n项和nT．19．在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关

症状时止的这一阶段称为潜伏期．一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：潜伏期/天[0,2](2,4](4,6](6,8](8,10](10,12](12,14]人数85205310250130155（1）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与

患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；潜伏期6„天潜伏期6天总计50岁以上（含5

0岁）6510050岁以下总计200（2）以这1000名患者的潜伏期不超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期不超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立，为了深入研究，该研究团队随机调查了该地区的3名患者，设该3名患者中潜伏期不超过6天的人

数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．附：P（20Kk…）0.050.0250.0100k3.8415.0246.635附：22()()()()()nadbcKabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++.20．如图，在四棱锥PA

BCD−中，PA⊥平面ABCD，ABBC⊥，//BCAD，1ABBC==，2AD=，3AP=.（1）证明：平面PCD⊥平面PAC；（2）求平面PCD与平面PAB所成的锐二面角的余弦值.21．已知椭圆C：22221xyab+=（0ab）的离心率为22，且过点(

0,1).（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点(2,0)P且不垂直于y轴的直线l与椭圆C相交于A、B两点，若B点关于x轴的对称点为E，证明：直线AE与x轴相交于定点.22.已知函数2()sinfxaxx=−．（1）若()fx在π0,2上为单调递减函数，求实数a的取值范围；（

2）设函数()()cosgxfxxx=+，π0,2x，若()gx恰有1个零点，求实数a的取值范围．参考答案1．B【详解】根据题意，得2|{|0}Ayyxyy===…，{|ln(1)}{|1}Bxyxxx==−=，则()RABð(,0)(1,)=−+.2．D【详解】解：

因为22|1i|112+=+=，2(1i)|1i|z+=+，所以(1i)2z+=，所以21iz==+2(1i)1i(1i)(1i)−=−+−，所以复数z的虚部为-1；3．A【详解】由题2(2)0x−−=得4x=−，所以33(2,1)(4,2)(

2,1)ab+=+−−=，所以22|3|21ab+=+5=4．B【详解】分两步：（1）安排2名老师：共22A2=种不同的参加方式；（2）安排4名学生：又分两类：①参加两项活动的学生人数为一项3人，一项1人：共132432CCC8=

种不同的参加方式；②参加两项活动的学生人数各2人：共22242222CCA6A=种不同的参加方式.所以，共有2(86)28+=种不同的参加方式.故选：B.5．A【详解】222π2sincos2tan4cos2sin22sincos2sincostan15

−=====++等价于22tan−5tan20+=等价于1tan2=或tan2=，∴tan2=是π4cos225−=的充分不必要条件6．B【详解】333log15log(35)1log51a===+，444log20log(

45)1log51b===+，2log1.91c=，因为34lg5lg5log5log5lg31?g4==，所以abc.7．C【详解】由抛物线C：28yx=，可得4p=，由抛物线定义可得252AApAFxx=+=+=，则3Ax=，26Ay=，则以点A为圆心，AF为半

径的圆被x轴所截得的弦长为222225242AAFy−=−=.8．A【详解】23()()xxfxfxe+=−即[()()]23xefxfxx+=+，所以()23xefxx=+，则2()3xefxxxc=

++，所以23()xxxcfxe++=，因为(0)1f=，所以0(0)1cfce===，所以231()xxxfxe++=，()()222(23)312(2)(1)()xxxxxxeexxxxxxfxeee+−++−+−−+−===，由()0fx得21x−，此

时()fx单调递增，由()0fx得2x−或1x，此时()fx单调递减，所以1x=时，()fx取得极大值为5(1)fe=，当2x=−时，()fx取得极小值2(2)0fe−=−，又因为(1)0fe−=−，(0)10f=，3(3)0fe−=，且

1x时，()0fx，()0fxm−的解集中恰有两个整数等价于231()xxxfxe++=在ym=下方的图象只有2个横坐标为整数的点，结合函数图象可得：则(1)0fm−„，解得0em−„，所以0em−„时，()0fx

m−的解集中恰有两个整数-1，-2，故实数m的取值范围是(,0]e−9．ABD【详解】对于A：若随机变量X服从正态分布()21,N，(4)0.79PX=„，则(4)0.21PX=…，(2)(4)0.21PXPX−==剠．故A正确；

对于B：若随机变量X服从二项分布：1~4,4XB，则13(23)4()44344DXDX+===．故B正确；对于C：相关指数2R的值越大，表示回归模型的拟合效果越好，故C错误；对于D

：若相关系数r的绝对值越接近于1，表示相关性越强．故D正确10．AD【详解】解：对于A：根据函数的图象：ππ22π122k+=+（kZ），解得π2π3k=+（kZ），由于π||2，所以当0k=时，π3=．由于3(0)2f=，所以π3sin32A=，解得3A=．所以

π()3sin23fxx=+，故A正确；对于B：令ππ3π2π22π232kqxqk+++剟（kZ），解得：π7πππ1212kqxqk++剟（kZ），所以函数的单调递减区间为π7ππ,π1212kk++（kZ），故函数在π7π,1212上单调递减，

在7π2π,123上单调递增，故B错误；对于C：令π2π3xk+=（kZ），解得ππ62kx=−+（kZ），所以函数的对称中心为ππ,062k−+（kZ），由于k为整数，故C错误；对于D：函数πππ3sin23cos2()1263fxxxgx

+=++==，故D正确；11．BC【详解】对于选项A：令0x=得展开式各项系数和为-1，但其二项式系数和为20212，故A错误；对于选项B：展开式中第8项为7201477100

720212021C()(1)Cxx−=−，故B正确；对于选项C：当100x=时，20212021(1)(101)x−=−002120202021202120212021C10C10C10(1)rr−=

−++−++202012021202120212021C10C(1)+−()020191201820190202012021202120212021100C10C10C10C101=−

+++−，∵()020191201820190202120212021100C10C10C10−++能被100整除，而202012021C10120210120209202009−=−==+，除以100的余数是9，∴当100x=时，2021(1)x−除以100的余数是9，故

C正确；对于选项D：2021(1)x−的展开式的通项202120212120212021C()(1)(1)CrrrrrrTxx−−+=−=−，当20212r−为整数，即1r=，3，．．．．，2021时，1rT+为

有理项，故D错误.故选：BC.12．BCD【详解】函数()||xxfxeex−=++的定义域为R，由()||()xxfxeexfx−−=++−=，得()fx是偶函数，故A不正确；当0x…时，1xe，()

xxfxeex−=++，21()110xxxxefxeee−−=−+=+，所以()fx在[0,)+上为增函数，故B正确；因为()fx是偶函数，所以111||||||fxfxfxxxx+=+=+，又11||2||2||||xxxx+=

…，所以2221||(2)22||fxfeeex−+=+++…，故C正确；01x剟时，22xxeex−+…，1x时，2xxxeeex−+…，即0x…时，()30fxx…，又()fx在[0,]+上单调增，且()fx是偶

函数，所以(|3|)(|()|)fxffx，即D正确.13．8【详解】由题意知，球心O在内接正方体1111ABCDABCD−的体对角线的中点，如图，设正方体的棱长为a，则四棱锥OABCD−的高为2a，且四边形ABCD为正方形，因为四棱锥OABCD−的体积为323，计算得：216a

=，所以4a=，易知11ABC△是等边三角形，且边长为242a=，所以11ABC△的面积为1342428322=.14．【详解】设双曲线的焦距为2c，因为线段1FB的垂直平分线经过右焦点2F，所以2122BFFF

c==，由双曲线的定义可得：12222BFBFaca=+=+，设直线l的倾斜角为θ，则5tan2=，所以θ为锐角，所以由22sin5cos2sincos1=+=可得：5sin32cos3=

=，在12FBF△中，由余弦定理可得：2222221122121124()442coscos222()223BFFFBFacccacBFFBFFFaccc+−++−+=====+，解得：3ca=，所以离心

率3cea==，故答案为：3.15．【答案】(,2][3,)−−+16．【详解】∵()()12fxfx=，∴2124xexex+=，∴2124xexex=−，∵10x„，∴224xeex„，当0x时，()xefxx=，22(

1)()xxxexeexfxxx−−==，由()0fx得1x，由()0fx得01x，所以()fx在(0,1)上递减，在(1,)+上递增，∴()fx在1x=处取得最小值e，∴224xeeex剟，∴()2222122222244

xxxxeeeexfxeexxxx=−=−，令22xetx=，则4ete剟，∴()222124(2)4xfxtettee=−=−−当2te=时，()12xfx取得最小值24e−，当4te=时，()12xfx取得最大值0，所以()12xfx的取值范围是2,04e−

.17．【详解】（1）因为cos13sinbBaA+=，由正弦定理可得sincos1sin3sinBBAA+=，……………2分因为sin0A，所以3sincos1BB−=即π1sin62B−=，因为0πB所以ππ5π66

6B−−，因为ππ66B−=即π3B=……………………………4分（2）若选择条件①②，由余弦定理2222cosbacacB=+−可得222442ccc=+−，解得233c=，故433a=，…………………

…………8分所以114323π23sinsin223333ABCSacB===△……………………………10分若选择条件②③由正弦定理可得sinsinabAB=，可得sin26sin3bAaB==……………………………8分所以1126π

π33sin2sin223343ABCSabC+==+=△……………………………10分若选择条件①③这样的三角形不存在，理由如下：在三角形ABC中，ππ43AB==，所以ππ5ππ3412C=−−=，所以AC，所以ac……………………………8分又因为

2ac=所以ac与ac矛盾所以这样的三角形不存在……………………………10分18．【详解】（1）由题意，212aa=+，416aa=+，518aa=+．∴()()()21112266aaa++=+，解得12a=，∴2nan=．………………

……………4分（2）∵112122nnnbbbaaa++++=，①∴1121212nnnbbbaaa−−+++=（2n…）．②−①②得2nnnba=，即12nnbn+=（2n…）……………………………6分当1n=时，1148ba==

不满足上式，∴18,12,2nnnbnn+==…．……………………………8分当2n…时，341822322nnTn+=++++，则21452822232(1)22nnnTnn++=++++−

+，……………………………10分两式相减得()()134122281222222(1)2812nnnnnnTnnn−++++−−=+++−=−=−−−，∴2(1)28nnTn+=−+，当1n=时，18T=显然适合上式，故2(1)28nnTn+=−+（*nN）．

………………12分19．解：（1）根据题意，1000名患者中潜伏期超过6天的共有250130155400+++=人，所以200人应该抽取潜伏期超过6天的有400200801000=人，补充完整的列联表如下：潜伏期6„天潜伏期6天总计50岁以上（含50岁）653510050岁以下554

5100总计12080200………………………………………1分则22200(65455535)252.0831208010010012K−==，………………………………………3分22.083

3.841K，所以没有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；………………………………………4分（2）由题可得该地区1名患者潜伏期不超过6天发生的概率为85205310310005++=，……5分设调查的3名患者中潜伏期不超过

6天的人数为X，则3~3,5XB，0X=，1，2，3．0303328(0)C55125PX===，12133236(1)55125PXC===，由21233254

(2)C55125PX===，即30333227(3)C55125PX===，∴随机变量X的分布列为：X0123P8125361255412527125…………………………………………………………………

………10分∴随机变量X的期望为39()355EX==.……………………………12分20．【详解】解：（1）在梯形ABCD中，过点C作CHAD⊥于点H.由已知可知1CHAB==，1AHHD==，222A

CABBC=+=，222CDCHHD=+=.所以2224ACCDAD+==，即ACCD⊥，①因为AP⊥平面ABCD，CD平面ABCD，所以CDAP⊥，②…………………………………………2分由①②及ACAPA=，

得CD⊥平面PAC.又由CD平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAC.…………………………………………4分（2）因为AB，AD，AP两两垂直，所以以A为原点，以AB，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标Ax

yz−，…………5分可得(0,0,0)A，(1,0,0)B，(1,1,0)C，(0,2,0)D，(0,0,3)P，(1,1,3)PC=−，(0,2,3)PD=−.设平面PCD的法向量为(,,)nxyz

=，则30230nPCxyznPDyz=+−==−=，取3y=，则2z=，3x=，则(3,3,2)n=.……………8分平面PAB的一个法向量为(0,2,0)AD=，所以322cos,22||||ADnADnADn==，………………10分所以平面PCD与平面PA

B所成的锐二面角的余弦值为32222.…………………………12分21．【详解】解：（1）由题意可知1b=，22cea==，222abc=+，则解得22a=，∴椭圆C的标准方程为2212xy+=；…………………………………………4分（2）由题意可知直线l一定存在斜率，设斜率为k，设直线

l的方程为(2)ykx=−，联立22(2)12ykxxy=−+=消去y并化简得：()2222128820kxkxk+−+−=，………………………6分∴()()()22228412820kkk=−−+−

，∴212k，…………………………7分设()11Axy、()22Bxy，则()22Exy−，2122812kxxk+=+，21228212kxxk−=+，∴直线AE的斜率()121212121212

422AEkxxkyykxkkxkkxxxxxx+−+−+−===−−−，则直线AE的方程为()()1211124kxxkyyxxxx+−−=−−，…………………………9分当直线AE与x轴相交时0y=，则()()()()()()112112

1211112122444yxxkxkxxkxxxkxxxkxxkkxxk−−−−−++−=+=+−+−()()()22121211212112112122222444kxxkxxkxkxxkxkxkxkxxkxkxxkkxxk−+−++−++−=

=+−+−22222222828222212121214841212kkkkkkkkkkkkkk−−−+++===−−++，…………………………11分∴直线AE与x轴相交于定点(1,0).…………………………12分22.（1）∵()fx在π0,2上为单调递减函数，∴()0f

x„对任意π0,2x恒成立…2分∴2cos0axx−„，则cos2xax„，令cos()xhxx=，π0,2x．则sincos()0xxxhxx−−=，∴()hx在π0,2单调减，则()hx的最小值为π22πh

=∴22πa„，即1πa„…………………………………4分（2）①2()cossingxaxxxx=+−，π0,2x，所以()(2sin)gxxax=−，当12a时，2sin0ax−，所以()gx在π0,2单调递增，又因为(0)0g=，所以()gx在π0

,2上无零点.…………………………6分当102a时，0π0,2x，使得0sin2xa=，当0π,2xx时，()0gx，当()00,xx时，()0gx，所以()gx在0π,2x单调递减

，在()00,x单调递增，又因为(0)0g=，2ππ124ag=−，所以若2π104a−，即24πa时，()gx在π0,2上无零点，…………………………8分若2π104a−，即240πa时，()gx在π0,2上有一个零

点，……………………10分当0a时，()2sin0gxaxx=−，()gx在π0,2上单调递减且(0)0g=，所以()gx在π0,2上无零点，…………………………12分