【文档说明】江苏省南京市中华中学2022届高三上学期8月零模仿真练习数学试题 含答案.docx，共(13)页，834.055 KB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-c86ead67be077c933c7c8d023a130c98.html

以下为本文档部分文字说明：

中华中学2021-2022学年度第一学期零模仿真考试试卷高三数学本卷考试时间：120分钟总分：150分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合|2Ayyx==，

()ln1|Bxyx==−，则R()AB=ð（）A．(,0)−B．(,0)(1,)−+C．(0,1)D．(1,)+2．已知i为虚数单位，复数z满足2(1i)|1i|z+=+，则复数z的虚部为（）A．-iB．1C．iD．-13．设平面向量(2,1)a=，(,2

)bx=−，若//ab，则|3|ab+等于（）A．5B．6C．17D．264．2名老师和4名学生共6人参加两项不同的活动，每人参加一项活动，每项活动至少有2人参加，但2名老师不能参加同一项活动，则不同的参加方式的种数为（）A．20B．28C．40D．505．

“tan2=”是“π4cos2=25−”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．已知3log15a=，4log20b=，21.9c=，则（）A．acb

B．abcC．bacD．cab7．已知抛物线C：28yx=的焦点为F，抛物线C上一点A满足5AF=，则以点A为圆心，AF为半径的圆被x轴所截得的弦长为（）A．1B．2C．2D．228.已知函数()fx的导函数为()fx，且对任意的实数x都有()(23)()xf

xexfx−=+−（e是自然对数的底数），且(0)1f=，若关于x的不等式()0fxm−的解集中恰有两个整数，则实数m的取值范围是（）A．(,0]e−B．)2,0e−C．[,0)e−D．(2,0e−二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题

给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列命题正确的有（）A．若随机变量X服从正态分布()21,N，(4)0.79PX=„，则(2)0.21PX−=„．B．若随机变量X服从二项分布：1~4,4X

B，则(23)3DX+=C．若相关指数2R的值越趋近于0，表示回归模型的拟合效果越好D．若相关系数r的绝对值越接近于1，表示相关性越强10．已知函数()sin(2)fxAx=+（0A，π||2）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A．π()3sin2

3fxx=+B．函数()fx在π2π,63上单调递减C．函数()fx的图象关于5π,012中心对称D．函数()3cos2gxx=的图象可由函数()fx的图象向左平移π12个单位得到11．关于2021(1)x−及其展

开式，下列说法正确的是（）xA．该二项式展开式中二项式系数和是-1B．该二项式展开式中第8项为710072021Cx−C．当100x=时，2021(1)x−除以100的余数是9D．该二项式展开式中不含有理项12．已知函数()||xxfxeex−=++．则下面结论正确的是（）A．(

)fx是奇函数B．()fx在[0,)+上为增函数C．若0x，则212fxex++D．(3)(())fxffx对任意实数x恒成立三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知球O的内接正方体1111ABCDABCD−中，若四

棱锥OABCD−的体积为323，则11ABC△的面积为________.14．斜率为52的直线l经过双曲线22221xyab−=（0a，0b）的左焦点1F，与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，若线段1FB的垂直平分线经过右焦点2F，则双

曲线的离心率为__________．15．已知数列1(21)(21)nn−+的前n项和为nT，若对任意的*nN，不等式212naTa−恒成立，则实数a的取值范围是______．16．已知函数4,0(),0xxexfxexx+=

„，若存在10x„，20x，使得()()12fxfx=，则()12xfx的取值范围是______.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．在ABC△中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且满足cos13sinbBaA+=．（1）求B的

大小；（2）从①2ac=，②2b=，③π4A=这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中，并解决问题．问题：已知___________，___________，若ABC△存在，求ABC△的面积，若ABC△不存在，请说明理由．注：如果选择多个条

件解答，按第一个解答计分．18．已知na是公差为2的等差数列，10a，且4a是22a和52a−的等比中项．（1）求na的通项公式；（2）设数列nb满足112122nnnbbbaaa+++

+=，求nb的前n项和nT．19．在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期．一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：潜伏期/天[0,

2](2,4](4,6](6,8](8,10](10,12](12,14]人数85205310250130155（1）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患

者中抽取200人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；潜伏期6„天潜伏期6天总计50岁以上（含50岁）6510050岁以下总计200（2）以这1000名患者的潜伏期不超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏

期不超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立，为了深入研究，该研究团队随机调查了该地区的3名患者，设该3名患者中潜伏期不超过6天的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．附：P（20Kk…）0.050.0250.0100k

3.8415.0246.635附：22()()()()()nadbcKabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++.20．如图，在四棱锥PABCD−中，PA⊥平面ABCD，ABBC⊥，//BCAD，1ABBC==，2AD=，3AP=.（1）证明：平面PCD⊥平

面PAC；（2）求平面PCD与平面PAB所成的锐二面角的余弦值.21．已知椭圆C：22221xyab+=（0ab）的离心率为22，且过点(0,1).（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点(2,0)P且不垂直于y轴的直线l与椭圆C相交于A、B两点

，若B点关于x轴的对称点为E，证明：直线AE与x轴相交于定点.22.已知函数2()sinfxaxx=−．（1）若()fx在π0,2上为单调递减函数，求实数a的取值范围；（2）设函数()()cosgxfxxx=+，π0

,2x，若()gx恰有1个零点，求实数a的取值范围．参考答案1．B【详解】根据题意，得2|{|0}Ayyxyy===…，{|ln(1)}{|1}Bxyxxx==−=，则()RABð(,0)(1,)=−+.2．D【详解】解：因为22|1i|112+=+=，2(1i)|1i

|z+=+，所以(1i)2z+=，所以21iz==+2(1i)1i(1i)(1i)−=−+−，所以复数z的虚部为-1；3．A【详解】由题2(2)0x−−=得4x=−，所以33(2,1)(4,2)(2,1)ab+=+−−=，所以22|

3|21ab+=+5=4．B【详解】分两步：（1）安排2名老师：共22A2=种不同的参加方式；（2）安排4名学生：又分两类：①参加两项活动的学生人数为一项3人，一项1人：共132432CCC8=种不同的参加方式；②参加两项活动的学生人数各2人：共22242222CCA6A=种不同的参加方式.所

以，共有2(86)28+=种不同的参加方式.故选：B.5．A【详解】222π2sincos2tan4cos2sin22sincos2sincostan15−=====++等价

于22tan−5tan20+=等价于1tan2=或tan2=，∴tan2=是π4cos225−=的充分不必要条件6．B【详解】333log15log(35)1log51a===+，444log20log(45)1log51b===+，2log1.91c=，

因为34lg5lg5log5log5lg31?g4==，所以abc.7．C【详解】由抛物线C：28yx=，可得4p=，由抛物线定义可得252AApAFxx=+=+=，则3Ax=，26Ay=，则以点A为圆心，AF为半径的圆被x轴所截得的弦长为222225242AAFy−=−=.

8．A【详解】23()()xxfxfxe+=−即[()()]23xefxfxx+=+，所以()23xefxx=+，则2()3xefxxxc=++，所以23()xxxcfxe++=，因为(0)1f=，所以0(0)1cfce===，所以231(

)xxxfxe++=，()()222(23)312(2)(1)()xxxxxxeexxxxxxfxeee+−++−+−−+−===，由()0fx得21x−，此时()fx单调递增，由()0fx得2x−或1x，此

时()fx单调递减，所以1x=时，()fx取得极大值为5(1)fe=，当2x=−时，()fx取得极小值2(2)0fe−=−，又因为(1)0fe−=−，(0)10f=，3(3)0fe−=，且1x时，()0fx，()0fxm−的解集中恰有两个整数等价于231()xxxfxe++=在ym

=下方的图象只有2个横坐标为整数的点，结合函数图象可得：则(1)0fm−„，解得0em−„，所以0em−„时，()0fxm−的解集中恰有两个整数-1，-2，故实数m的取值范围是(,0]e−9．ABD【详解】对于A：若随机变量X服从正态分布()21,N，(4)0.79PX=„，则(4)0

.21PX=…，(2)(4)0.21PXPX−==剠．故A正确；对于B：若随机变量X服从二项分布：1~4,4XB，则13(23)4()44344DXDX+===．故B正确；对于C：相关指数2R的值越大，表示回归模型的拟合效果越好，故C错误；对于D：若相关系数r

的绝对值越接近于1，表示相关性越强．故D正确10．AD【详解】解：对于A：根据函数的图象：ππ22π122k+=+（kZ），解得π2π3k=+（kZ），由于π||2，所以当0k=时，π3=．由于3(0)2f=，所以π3si

n32A=，解得3A=．所以π()3sin23fxx=+，故A正确；对于B：令ππ3π2π22π232kqxqk+++剟（kZ），解得：π7πππ1212kqxqk++剟（kZ），所以函数的单调递减区间为π7ππ,π1212k

k++（kZ），故函数在π7π,1212上单调递减，在7π2π,123上单调递增，故B错误；对于C：令π2π3xk+=（kZ），解得ππ62kx=−+（kZ），所以函数的对称中心为ππ,062k−+（kZ），由于k为整数，故C错误；

对于D：函数πππ3sin23cos2()1263fxxxgx+=++==，故D正确；11．BC【详解】对于选项A：令0x=得展开式各项系数和为-1，但其二项式系数和为20212，故A错误；对于选项B：展开式中第8项为7201477100

720212021C()(1)Cxx−=−，故B正确；对于选项C：当100x=时，20212021(1)(101)x−=−002120202021202120212021C10C10C10(1)rr−=−++−++202012021202120212021C10C(1)+−(

)020191201820190202012021202120212021100C10C10C10C101=−+++−，∵()020191201820190202120212021100C10C10C10−++能被1

00整除，而202012021C10120210120209202009−=−==+，除以100的余数是9，∴当100x=时，2021(1)x−除以100的余数是9，故C正确；对于选项D：2021(1)x−的展开

式的通项202120212120212021C()(1)(1)CrrrrrrTxx−−+=−=−，当20212r−为整数，即1r=，3，．．．．，2021时，1rT+为有理项，故D错误.故选：BC.12．BCD【详解】函数()||xxfxeex−=++的定义域为

R，由()||()xxfxeexfx−−=++−=，得()fx是偶函数，故A不正确；当0x…时，1xe，()xxfxeex−=++，21()110xxxxefxeee−−=−+=+，所以()fx在[0,)+上为增函数，故B正确；因为()fx是偶函数，所以111|||

|||fxfxfxxxx+=+=+，又11||2||2||||xxxx+=…，所以2221||(2)22||fxfeeex−+=+++…，故C正确；01x剟时，22xxeex−+…，1

x时，2xxxeeex−+…，即0x…时，()30fxx…，又()fx在[0,]+上单调增，且()fx是偶函数，所以(|3|)(|()|)fxffx，即D正确.13．8【详解】由题意知，球心O在内接正方体1111ABCDABCD−的体对角线的中点，如图，设

正方体的棱长为a，则四棱锥OABCD−的高为2a，且四边形ABCD为正方形，因为四棱锥OABCD−的体积为323，计算得：216a=，所以4a=，易知11ABC△是等边三角形，且边长为242a=，所以11ABC△的面积为1342428

322=.14．【详解】设双曲线的焦距为2c，因为线段1FB的垂直平分线经过右焦点2F，所以2122BFFFc==，由双曲线的定义可得：12222BFBFaca=+=+，设直线l的倾斜角为θ，则5tan2=，所以θ为锐角，所以由22sin5cos2sincos1=+

=可得：5sin32cos3==，在12FBF△中，由余弦定理可得：2222221122121124()442coscos222()223BFFFBFacccacBFFBFFFaccc+−++−+=====+，解得：3ca=，所以离心率

3cea==，故答案为：3.15．【答案】(,2][3,)−−+16．【详解】∵()()12fxfx=，∴2124xexex+=，∴2124xexex=−，∵10x„，∴224xeex„，当0x时，()xefxx=，22(1)()xxx

exeexfxxx−−==，由()0fx得1x，由()0fx得01x，所以()fx在(0,1)上递减，在(1,)+上递增，∴()fx在1x=处取得最小值e，∴224xeeex剟，∴()22221222222

44xxxxeeeexfxeexxxx=−=−，令22xetx=，则4ete剟，∴()222124(2)4xfxtettee=−=−−当2te=时，()12xfx取得最小值24e−，当4te=时，()12xfx取得最大值0，所

以()12xfx的取值范围是2,04e−.17．【详解】（1）因为cos13sinbBaA+=，由正弦定理可得sincos1sin3sinBBAA+=，……………2分因为sin0A，所以3sincos1BB−=即π1sin62B−=，因为0πB所以ππ5π666

B−−，因为ππ66B−=即π3B=……………………………4分（2）若选择条件①②，由余弦定理2222cosbacacB=+−可得222442ccc=+−，解得233c=，故433a=，……………………………8分所以

114323π23sinsin223333ABCSacB===△……………………………10分若选择条件②③由正弦定理可得sinsinabAB=，可得sin26sin3bAaB==……………………………8分所以

1126ππ33sin2sin223343ABCSabC+==+=△……………………………10分若选择条件①③这样的三角形不存在，理由如下：在三角形ABC中，ππ43AB==，所以ππ5ππ3412C=−−=，所以AC，

所以ac……………………………8分又因为2ac=所以ac与ac矛盾所以这样的三角形不存在……………………………10分18．【详解】（1）由题意，212aa=+，416aa=+，518aa=+．∴()()()21112266aaa++=+，解得12a=，∴2n

an=．……………………………4分（2）∵112122nnnbbbaaa++++=，①∴1121212nnnbbbaaa−−+++=（2n…）．②−①②得2nnnba=，即12nnbn+=（2n…）……………………………6分当1n=

时，1148ba==不满足上式，∴18,12,2nnnbnn+==…．……………………………8分当2n…时，341822322nnTn+=++++，则21452822232(1)22nnnTnn++=++++−+，………

……………………10分两式相减得()()134122281222222(1)2812nnnnnnTnnn−++++−−=+++−=−=−−−，∴2(1)28nnTn+=−+，当1n=时，18T=显然适合上式，

故2(1)28nnTn+=−+（*nN）．………………12分19．解：（1）根据题意，1000名患者中潜伏期超过6天的共有250130155400+++=人，所以200人应该抽取潜伏期超过6天的有400200801000

=人，补充完整的列联表如下：潜伏期6„天潜伏期6天总计50岁以上（含50岁）653510050岁以下5545100总计12080200………………………………………1分则22200(65455535)252.083120801001

0012K−==，………………………………………3分22.0833.841K，所以没有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；………………………………………4分（2）由题可得该地区1名患者潜伏期不超过6天发生的概率为85205310310005++=，…

…5分设调查的3名患者中潜伏期不超过6天的人数为X，则3~3,5XB，0X=，1，2，3．0303328(0)C55125PX===，12133236(1)55125PX

C===，由21233254(2)C55125PX===，即30333227(3)C55125PX===，∴随机变量X的分布列为：X0123P812536125541252712

5…………………………………………………………………………10分∴随机变量X的期望为39()355EX==.……………………………12分20．【详解】解：（1）在梯形ABCD中，过点C作CHAD⊥于点H.由已知可知1CHAB==，1AHHD==，222ACABBC=+=，22

2CDCHHD=+=.所以2224ACCDAD+==，即ACCD⊥，①因为AP⊥平面ABCD，CD平面ABCD，所以CDAP⊥，②…………………………………………2分由①②及ACAPA=，得CD⊥平面PAC.又由CD平面PC

D，所以平面PCD⊥平面PAC.…………………………………………4分（2）因为AB，AD，AP两两垂直，所以以A为原点，以AB，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标Axyz−，…………5分可得(0,0,0)A，(1,0,0)B，(1,1,0)C，(0,2,

0)D，(0,0,3)P，(1,1,3)PC=−，(0,2,3)PD=−.设平面PCD的法向量为(,,)nxyz=，则30230nPCxyznPDyz=+−==−=，取3y=，则2z=，3

x=，则(3,3,2)n=.……………8分平面PAB的一个法向量为(0,2,0)AD=，所以322cos,22||||ADnADnADn==，………………10分所以平面PCD与平面PAB所成的锐二面角的余弦值为32222.…………………………12分21．【详解】解：（1）由题意可知

1b=，22cea==，222abc=+，则解得22a=，∴椭圆C的标准方程为2212xy+=；…………………………………………4分（2）由题意可知直线l一定存在斜率，设斜率为k，设直线l的方程为(2)ykx=−，联立22(2)12y

kxxy=−+=消去y并化简得：()2222128820kxkxk+−+−=，………………………6分∴()()()22228412820kkk=−−+−，∴212k，…………………………7分设()11Axy、()22Bxy，则()22Ex

y−，2122812kxxk+=+，21228212kxxk−=+，∴直线AE的斜率()121212121212422AEkxxkyykxkkxkkxxxxxx+−+−+−===−−−，则直线AE的方程为()()1211124kxxkyyxxxx+−−=−−，…

………………………9分当直线AE与x轴相交时0y=，则()()()()()()1121121211112122444yxxkxkxxkxxxkxxxkxxkkxxk−−−−−++−=+=+−+−()()()22121211212112112122222444kxxkxxkxkxxkxkxk

xkxxkxkxxkkxxk−+−++−++−==+−+−22222222828222212121214841212kkkkkkkkkkkkkk−−−+++===−−++，…………………………11分∴直线AE与x轴相交于定点(1,0).…

………………………12分22.（1）∵()fx在π0,2上为单调递减函数，∴()0fx„对任意π0,2x恒成立…2分∴2cos0axx−„，则cos2xax„，令cos()xhxx=，π0,2x．则

sincos()0xxxhxx−−=，∴()hx在π0,2单调减，则()hx的最小值为π22πh=∴22πa„，即1πa„…………………………………4分（2）①2()cossin

gxaxxxx=+−，π0,2x，所以()(2sin)gxxax=−，当12a时，2sin0ax−，所以()gx在π0,2单调递增，又因为(0)0g=，所以()gx在π0

,2上无零点.…………………………6分当102a时，0π0,2x，使得0sin2xa=，当0π,2xx时，()0gx，当()00,xx时，()0gx，所以()gx在0π,2x单调递减，在()00,

x单调递增，又因为(0)0g=，2ππ124ag=−，所以若2π104a−，即24πa时，()gx在π0,2上无零点，…………………………8分若2π104a−，即240πa时，()gx在π0,2上有一个零点，…………………

…10分当0a时，()2sin0gxaxx=−，()gx在π0,2上单调递减且(0)0g=，所以()gx在π0,2上无零点，…………………………12分