【文档说明】江苏省南京市中华中学2022届高三上学期8月零模仿真练习数学试题 PDF版含答案.pdf，共(12)页，379.317 KB，由小赞的店铺上传

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试卷第1页，总4页中华中学2021-2022学年度第一学期零模仿真考试试卷高三数学本卷考试时间：120分钟总分：150分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{y|y＝x2}，B＝{x|y

＝ln(x－1)}，则(∁RA)∪B＝（）A．(－∞，0)B．(－∞，0)∪(1，＋∞)C．(0，1)D．(1，＋∞)2．已知i为虚数单位，复数z满足(1＋i)z＝|1＋i|2，则复数z的虚部为（）A．－iB．1C．iD．－13．设平面向量a＝(

2，1)，b＝(x，－2)，若a//b，则|3a＋b|等于（）A．5B．6C．17D．264．2名老师和4名学生共6人参加两项不同的活动，每人参加一项活动，每项活动至少有2人参加，但2名老师不能参加同一项活动，则不同的参加方式的种数为（）A．20B．28C．40D

．505．“tanα＝2”是“cos(2α－2π)＝54”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．已知a＝log315，b＝log420，2c＝1.9，则（）A．a＞c＞bB．

a＞b＞cC．b＞a＞cD．c＞a＞b7．已知抛物线C:y2＝8x的焦点为F，抛物线C上一点A满足|AF|＝5，则以点A为圆心，AF为半径的圆被x轴所截得的弦长为（）A．1B．2C．2D．228.已知函数f(x)的导函数为f'(x)，且对任意的实数x都有f'(x)＝e－x(2x＋3)－f(x)(e

是自然对数的底数)，且f(0)＝1，若关于x的不等式f(x)－m＜0的解集中恰有两个整数，则实数m的取值范围是（）A.(－e，0]B.[－e2，0)C.[－e，0)D.(－e2，0]二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每

小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列命题正确的有（）A．若随机变量X服从正态分布N(1，δ2)，P(X≤4)＝0．79，则P(X≤－2)＝0．21．B．若随机变量X服从二项分布：X~B(4,41)

，则D(2X＋3)＝3C．若相关指数R2的值越趋近于0，表示回归模型的拟合效果越好D．若相关系数r的绝对值越接近于1，表示相关性越强试卷第2页，总4页10．已知函数f(x)＝Asin(2x＋φ)(A＞0，|φ|＜π2)的部分图象如

图所示，则下列说法正确的是（）A．f(x)＝3sin(2x＋π3)B．函数f(x)在[π6，2π3]上单调递减C．函数f(x)的图象关于（5π12，0）中心对称D．函数g(x)＝3cos2x的图象可由函数f(x)的图象向左平移π12个单位得到11．关于(x－1)2021及其展开

式，下列说法正确的是（）A．该二项式展开式中二项式系数和是－1B．该二项式展开式中第8项为－C72021x1007C．当x＝100时，(x－1)2021除以100的余数是9D．该二项式展开式中不含有理项12．已知函数f(x)＝

ex＋e－x＋|x|．则下面结论正确的是（）A．f(x)是奇函数B．f(x)在[0，＋∞)上为增函数C．若x≠0，则f(x＋1x)＞e2＋2D．f(3x)＜f(f(x))对任意实数x恒成立三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知球O的内接正方体ABCD－A1B1C1D1中，若四棱锥O－ABCD的体积为323，则△A1BC1的面积为________.14．斜率为52的直线l经过双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左焦点F1，与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，若线段F1B的垂直平分线经过右焦点F2

，则双曲线的离心率为__________．15．已知数列{1(2n－1)(2n＋1)}的前n项和为Tn，若对任意的n∈N*，不等式12Tn＜a2－a恒成立，则实数a的取值范围是______．16．已知函数f(x)＝x＋4e

，x≤0exx，x＞0，若存在x1≤0，x2＞0，使得f(x1)＝f(x2)，则x1f(x2)的取值范围是______.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且满足ba＝cosB＋13sinA．（

1）求B的大小；（2）从�a＝2c，�b＝2，�A＝π4这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中，并解决问题．试卷第3页，总4页问题：已知___________，___________，若△ABC存在，求△ABC的面积，若△ABC不存在，请说明理由．

注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分．18．已知{an}是公差为2的等差数列，a1＞0，且a4是2a2和a5－2的等比中项．（1）求{an}的通项公式；（2）设数列{bn}满足b1a1＋b2a2＋…＋bnan＝2n＋1，求{bn}的前n项和Tn．19．在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机

体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期．一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：潜伏期/天[0，2](2，4](4，6](6，8](8，10](10，12](1

2，14]人数85205310250130155（1）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握

认为潜伏期与患者年龄有关；潜伏期6≤天潜伏期6>天总计50岁以上（含50岁）6510050岁以下总计200（2）以这1000名患者的潜伏期不超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期不超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天

相互独立，为了深入研究，该研究团队随机调查了该地区的3名患者，设该3名患者中潜伏期不超过6天的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．附：P(K2≥k0)0.050.0250.010k03.8415.0246.635附：K2＝n(ad－bc)2(a

＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d．试卷第4页，总4页20．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥BC，BC//AD，AB＝BC＝1，AD＝2，AP＝3.（1）证明：平面PCD⊥平面PAC；（2）求平面PCD

与平面PAB所成的锐二面角的余弦值.21．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为22，且过点(0，1).（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点P(2，0)且不垂直于y轴的直线l与椭圆C相交于A、B两点，若B点关于x轴的对称点为E，证明：直线AE与x轴相

交于定点.22.已知函数f(x)＝ax2－sinx．（1）若f(x)在(0，π2]上为单调递减函数，求实数a的取值范围；（2）设函数g(x)＝f(x)＋xcosx，x∈(0，π2]，若g(x)恰有1个零点，求实数a

的取值范围．答案第1页，总8页参考答案1．B【详解】根据题意，得A＝{y|y＝x2}＝{y|y≥0}，B＝{x|y＝ln(x－1)}＝{x|x＞1}，则(∁RA)∪B＝(－∞，0)∪(1，＋∞).2．D【详解】解：因为|1＋i|＝12＋12＝2，

(1＋i)z＝|1＋i|2，所以(1＋i)z＝2，所以z＝21＋i＝2(1－i)(1＋i)(1－i)＝1－i，所以复数z的虚部为－1；3．A【详解】由题2×(－2)－x＝0得x＝－4，所以3a＋b＝3(2，1)＋(－4，－2)＝(2，1)，所以|3a＋b|＝22＋12＝54．B【详

解】分两步：（1）安排2名老师：共A22＝2种不同的参加方式；（2）安排4名学生：又分两类：�参加两项活动的学生人数为一项3人，一项1人：共C14C33·A22＝8种不同的参加方式；�参加两项活动的学生人数各2人：共C24C22A22·A22＝6种不同的参

加方式.所以，共有2×(8＋6)＝28种不同的参加方式.故选：B.5．A【详解】cos(2α－π2)＝sin2α＝2sinαcosα＝2sinαcosαsin2α＋cos2α＝2tanαtan2α＋1＝45等价于2tan2α－5tanα＋2＝0等价于tanα

＝12或tanα＝2，�tanα＝2是cos(2α－π2)＝45的充分不必要条件6．B【详解】a＝log315＝log3(3×5)＝1＋log35＞1，b＝log420＝log4(4×5)＝1＋log45＞1，c＝log21．9＜1，因为log35＝lg5lg3＞lg5lg4＝log45，所以

a＞b＞c.7．C【详解】由抛物线C:y2＝8x，可得p＝4，由抛物线定义可得|AF|＝xA＋p2＝xA＋2＝5，则xA＝3，|yA|＝26，则以点A为圆心，AF为半径的圆被x轴所截得的弦长为2|AF|2－|yA|2＝225－24＝2.

8．A【详解】【详解】f'(x)＝2x＋3ex－f(x)即ex[f'(x)＋f(x)]＝2x＋3，所以[exf(x)]'＝2x＋3，则exf(x)＝x2＋3x＋c，所以f(x)＝x2＋3x＋cex，因为f(0)＝1，所以f(0)＝ce0＝c＝1，所以f(x)＝x2＋3

x＋1ex，f'(x)＝(2x＋3)ex－ex(x2＋3x＋1)e2x＝－(x2＋x－2)ex＝－(x＋2)(x－1)ex，由f'(x)＞0得－2＜x＜1，此时f(x)单调递增，由f'(x)＜0得x＜－2或x＞1，此时f(x)单调递减，答案第2页，总8页所以x＝1时，f(x)取得极大

值为f(1)＝5e，当x＝－2时，f(x)取得极小值f(－2)＝－e2＜0，又因为f(－1)＝－e＜0，f(0)＝1＞0，f(－3)＝e3＞0，且x＞1时，f(x)＞0，f(x)－m＜0的解集中恰有两个整数等价于f(x)＝x2＋3x＋1ex在y＝m下方的图象只有2个横

坐标为整数的点，结合函数图象可得：则f(－1)＜m≤0，解得－e＜m≤0，所以－e＜m≤0时，f(x)－m＜0的解集中恰有两个整数－1，－2，故实数m的取值范围是(－e，0]9．ABD【详解】对于A：若随机变量X服从正态分布N(1，δ2)，P(X≤4)＝0．79，则P(X≥4)＝0

．21，P(X≤－2)＝P(X≥4)＝0．21．故A正确；对于B：若随机变量X服从二项分布：X~B(4,14)，则D(2X＋3)＝4D(X)＝4×4×14×34＝3．故B正确；对于C：相关指数R2的值越大，表示回归模型的拟合效果越好，故C错误；对于D：若相关系数r的绝对值越接近于1，

表示相关性越强．故D正确10．AD【详解】解：对于A：根据函数的图象：2×π12＋φ＝2kπ＋π2（k∈Z），解得φ＝2kπ＋π3（k∈Z），由于|φ|＜π2，所以当k＝0时，φ＝π3．由于f（0）＝32，所以Asinπ3＝32，解得A＝3．所以f(x)＝3sin(2x＋π3)，故A

正确；对于B：令π2＋2kπ≤q2x＋π3≤q2kπ＋3π2（k∈Z），解得：π12＋kπ≤qx≤qkπ＋7π12（k∈Z），所以函数的单调递减区间为[π12＋kπ，kπ＋7π12]（k∈Z），故函数在[π1

2，7π12]上单调递减，在[7π12，2π3]上单调递增，故B错误；对于C：令2x＋π3＝kπ（k∈Z），解得x＝－π6＋kπ2（k∈Z），答案第3页，总8页所以函数的对称中心为（－π6＋kπ2，0）（k∈Z），由于

k为整数，故C错误；对于D：函数f（x＋π12）＝3sin(2x＋π6＋π3)＝3cos2x＝g(x)，故D正确；11．BC【详解】对于选项A：令x＝0得展开式各项系数和为－1，但其二项式系数和为22021，故A错误；对于选项B：展开式中第8项为

C72021(x)2014·(－1)7＝－C72021x1007，故B正确；对于选项C：当x＝100时，(x－1)2021＝(10－1)2021＝C02021·102021－C12021·102020＋．．．＋Cr2021·102021－r·(－1)r＋．．．＋

C20202021·101＋C20212021·(－1)2021＝100(C02021·102019－C12021·102018＋．．．＋C20192021·100)＋C20202021·101－1，∵100(C02021·102019－C12021·102018＋．．．＋C20192021·

100)能被100整除，而C20202021·101－1＝20210－1＝20209＝20200＋9，除以100的余数是9，∴当x＝100时，(x－1)2021除以100的余数是9，故C正确；对于选项D：(x－1)2021的展开

式的通项Tr＋1＝Cr2021·(x)2021－r(－1)r＝(－1)r·Cr2021·x2021－r2，当2021－r2为整数，即r＝1，3，．．．．，2021时，Tr＋1为有理项，故D错误.故选：BC.12．

BCD【详解】函数f(x)＝ex＋e－x＋|x|的定义域为R，由f(－x)＝e－x＋ex＋|－x|＝f(x)，得f(x)是偶函数，故A不正确；当x≥0时，ex＞1，f(x)＝ex＋e－x＋x，f'(x)＝ex－e－x＋1＝e2x－1ex＋1＞0，所以f(x)在[0，

＋∞)上为增函数，故B正确；因为f(x)是偶函数，所以f(x＋1x)＝f(|x＋1x|)＝f(|x|＋1|x|)，又|x|＋1|x|≥2|x|·1|x|＝2，所以f(|x|＋1|x|)≥f(2)＝e2＋e－2＋2＞e2＋2，故C正确；0≤x

≤1时，ex＋e－x＞2≥2x，x＞1时，ex＋e－x＞ex≥2x，，即x≥0时，f(x)＞3x≥0，又f(x)在[0，＋∞]上单调增，且f(x)是偶函数，所以f(|3x|)＜f(|f(x)|),即D正确.13．83【详解】由题意知，球心O在内接正方体ABCD－A1B1C

1D1的体对角线的中点，如图，设正方体的棱长为a，则四棱锥O－ABCD的高为a2，且四边形ABCD为正方形，答案第4页，总8页因为四棱锥O－ABCD的体积为323，计算得：a2＝16，所以a＝4，易知△A1BC1是等边三角形，且边长为2a＝42，所以△A1BC1的面积为12×42×42×

32＝83.14．【详解】设双曲线的焦距为2c，因为线段F1B的垂直平分线经过右焦点F2，所以|BF2|＝|F1F2|＝2c，由双曲线的定义可得：|BF1|＝|BF2|＋2a＝2c＋2a，设直线l的倾斜角为θ，则tanθ＝52，所以θ为锐角，所以由sinθcosθ＝52sin2θ＋c

os2θ＝1可得：sinθ＝53cosθ＝23，在△F1BF2中，由余弦定理可得：cosθ＝cos∠BF1F2＝BF12＋F1F22－BF222BF1·F1F2＝4(a＋c)2＋4c2－4c22·2(a＋c)·

2c＝a＋c2c＝23，解得：c＝3a，所以离心率e＝ca＝3，故答案为：3.15．【答案】(－∞，－2]∪[3，＋∞)16．【详解】∵f(x1)＝f(x2)，∴x1＋4e＝ex2x2，∴x1＝ex2x2－4e，∵x1≤0，∴

ex2x2≤4e，当x＞0时，f(x)＝exx，f'(x)＝exx－exx2＝ex(x－1)x2，由f'(x)＞0得x＞1，由f'(x)＜0得0＜x＜1，所以f(x)在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，∴f(x)在x＝1处取得最小值e，∴e≤ex2x2≤4e，∴x1f(x2)＝(e

x2x2－4e)ex2x2＝(ex2x2)2－4e·ex2x2，令t＝ex2x2，则e≤t≤4e，∴x1f(x2)＝t2－4et＝(t－2e)2－4e2当t＝2e时，x1f(x2)取得最小值－4e2，当t＝4e时，

x1f(x2)取得最大值0，所以x1f(x2)的取值范围是[－4e2，0].17．【详解】（1）因为ba＝cosB＋13sinA，由正弦定理可得sinBsinA＝cosB＋13sinA,……………2分因为sinA≠0,所以3sinB－cosB＝1即sin(B－π6)＝12,因为0＜B＜π所

以－π6＜B－π6＜5π6,因为B－π6＝π6即B＝π3……………………………4分（2）若选择条件��，答案第5页，总8页由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB可得4＝4c2＋c2－2c2，解得c＝233，故a＝433，……………………………8分所以S△ABC＝12acsinB＝12

×433×233×sinπ3＝233……………………………10分若选择条件��由正弦定理可得asinA＝bsinB，可得a＝bsinAsinB＝263……………………………8分所以S△ABC＝12absinC＝12×2×263×sin(π

3＋π4)＝3＋33……………………………10分若选择条件��这样的三角形不存在，理由如下：在三角形ABC中，A＝π4B＝π3，所以C＝π－π3－π4＝5π12，所以A＜C，所以a＜c……………………………8分又因

为a＝2c所以a＞c与a＜c矛盾所以这样的三角形不存在……………………………10分18．【详解】（1）由题意，a2＝a1＋2，a4＝a1＋6，a5＝a1＋8．�2(a1＋2)(a1＋6)＝(a1＋6)2，解得a1＝2，�an＝2n．……………………………4分（2）�b1a1＋b2

a2＋···＋bnan＝2n＋1，��b1a1＋b2a2＋···＋bn－1an－1＝2n(n≥2)．��－�得bnan＝2n，即bn＝n·2n＋1(n≥2)……………………………6分当n＝1时，b1＝4a1＝8不满足上式，∴bn＝

8，n＝1n·2n＋1，n≥2．……………………………8分当n≥2时，Tn＝8＋2·23＋3·24＋···＋n·2n＋1，则2Tn＝8×2＋2·24＋3·25＋．．．＋(n－1)·2n＋1＋n·2n＋2，……………………………10

分两式相减得－Tn＝(23＋24＋．．．＋2n＋1)－n·2n＋2＝8(1－2n－1)1－2－n·2n＋2＝(1－n)·2n＋2－8，�Tn＝(n－1)·2n＋2＋8，当n＝1时，T1＝8显然适合上式，故Tn＝(n－1)·2n＋2＋8(n∈N*)．………………

12分答案第6页，总8页19．解：（1）根据题意，1000名患者中潜伏期超过6天的共有250+130+15+5=400人，所以200人应该抽取潜伏期超过6天的有200×4001000＝80人，补充完整的列联表如下：潜伏期≤6天潜伏期＞6天总计50岁以上（

含50岁）653510050岁以下5545100总计12080200………………………………………1分则K2＝200×(65×45－55×35)2120×80×100×100＝2512≈2．083，………………………………………3分K2≈2．083＜3

．841，所以没有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；………………………………………4分（2）由题可得该地区1名患者潜伏期不超过6天发生的概率为85＋205＋3101000＝35，……5分设调查的3名患者中潜伏期不超过6天的人数为X，则35~3,XB，X＝0，1，

2，3．.P(X＝0)＝C03(35)0(25)3＝8125，P(X＝1)＝C13(35)1(25)2＝36125，由P(X＝2)＝C23(35)2(25)1＝54125，即P(X＝3)＝C33(35)3(25

)0＝27125，∴随机变量X的分布列为：X0123P812536125.5412527125…………………………………………………………………………10分∴随机变量X的期望为E(X)＝3×35＝95.……………………………12分20．【详解】解：（1）在梯形ABCD中，过点C作CH⊥AD于点

H.由已知可知CH＝AB＝1，AH＝HD＝1，AC＝AB2＋BC2＝2，CD＝CH2＋HD2＝2.所以AC2＋CD2＝4＝AD2，即AC⊥CD，�答案第7页，总8页因为AP⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以CD⊥AP，�…………………………………………2分由��及AC∩A

P＝A，得CD⊥平面PAC.又由CD⊂平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAC.…………………………………………4分（2）因为AB，AD，AP两两垂直，所以以A为原点，以AB，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标A－xyz，…………5分

可得A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，P(0，0，3)，PC→＝(1，1，－3)，PD→＝(0，2，－3).设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)，则30230nPCxyznPDyz⋅=+−=

⋅=−=uuuvvuuuvv，取3y=，则2z=，3x=，则n＝(3，3，2).……………8分平面PAB的一个法向量为AD→＝(0，2，0)，所以cos＜AD→，n＞＝AD→·n|AD→||n|＝32222，………………10分所以平面PCD与平面PAB所成的锐二面角

的余弦值为32222.…………………………12分21．【详解】解：（1）由题意可知b＝1，e＝ca＝22，a2＝b2＋c2，则解得a2＝2，�椭圆C的标准方程为x22＋y2＝1；…………………………………………4分（2）由题意可知直线l一定存在斜率，设斜率为k，设直线l的方程为y＝k(x－2)，联

立y＝k(x－2)x22＋y2＝1消去y并化简得：(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0，………………………6分�Δ＝(－8k2)2－4×(1＋2k2)×(8k2－2)＞0，�k2＜12，…………………………7分设A(x1y1)、B(x2y2)

，则E(x2－y2)，x1＋x2＝8k21＋2k2，x1·x2＝8k2－21＋2k2，�直线AE的斜率kAE＝y1＋y2x1－x2＝kx1－2k＋kx2－2kx1－x2＝k(x1＋x2)－4kx1－x2，答案第8页，总8页则直线AE的方程为y－y

1＝k(x1＋x2)－4kx1－x2(x－x1)，…………………………9分当直线AE与x轴相交时y＝0，则x＝－y1(x1－x2)k(x1＋x2)－4k＋x1＝－(kx1－2k)(x1－x2)＋k(x1＋x2)x1－4kx1k(x

1＋x2)－4k＝－kx21＋kx1·x2＋2kx1－2kx2＋kx21＋kx1·x2－4kx1k(x1＋x2)－4k＝2kx1·x2－2k(x1＋x2)k(x1＋x2)－4k＝2k×8k2－21＋2k2－2k×8k21＋2k2k×8k21＋2k2－4

k＝2k×－21＋2k2k×－41＋2k2＝1，…………………………11分�直线AE与x轴相交于定点(10).…………………………12分22.（1）�f(x)在(0，π2]上为单调递减函数，�f'(x)≤0对任意x∈(0，π2]恒成立…2分∴2a

x－cosx≤0，则2a≤cosxx，令h(x)＝cosxx，x∈(0，π2]．则h'(x)＝－xsinx－cosxx＜0，∴h(x)在(0，π2]单调减，则h(x)的最小值为h(π2)＝2π∴2a≤2π，即a≤

1π…………………………………4分（2）①g(x)＝ax2＋xcosx－sinx，x∈(0，π2]，所以g'(x)＝x(2a－sinx)，当a≥12时，2a－sinx≥0，所以g(x)在(0，π2]单调递增，又因

为g(0)＝0，所以g(x)在(0，π2]上无零点.…………………………6分当0＜a＜12时，∃x0∈(0，π2)，使得sinx0＝2a，当x∈(x0，π2]时，g'(x)＜0，当x∈(0，x0)时，g'(x)＞0，所以g(

x)在(x0，π2]单调递减，在(0，x0)单调递增，又因为g(0)＝0，g(π2)＝aπ24－1，所以若aπ24－1＞0，即a＞4π2时，g(x)在(0，π2]上无零点，…………………………8分若aπ24－1≤0，即0＜a≤4π2时，g(x)在(0，π2]上有一个零点

，……………………10分当a≤0时，g'(x)＝2a－xsinx＜0，g(x)在(0，π2]上单调递减且g(0)＝0，所以g(x)在(0，π2]上无零点，…………………………12分