【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019必修二）专题6.4 平面向量的运算（重难点题型检测） Word版含解析.docx，共(12)页，275.312 KB，由小赞的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

专题6.4平面向量的运算（重难点题型检测）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2022秋·内蒙古呼伦贝尔·高一期末）3(𝑎⃑−7𝑏⃑⃑)−(7𝑎⃑+4𝑏⃑⃑)+2(2𝑎⃑+13𝑏⃑⃑

)等于（）A．2𝑎⃑B．23𝑏⃑⃑C．0⃑⃑D．𝑏⃑⃑【解题思路】根据向量的线性运算化简即可求解.【解答过程】3(𝑎⃑−7𝑏⃑⃑)−(7𝑎⃑+4𝑏⃑⃑)+2(2𝑎⃑+13𝑏⃑⃑)=3�

�⃑−21𝑏⃑⃑−7𝑎⃑−4𝑏⃑⃑+4𝑎⃑+26𝑏⃑⃑=𝑏⃑⃑故选：D.2．（3分）（2022·全国·高一专题练习）如图，𝐵𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑等于（）A．2𝑒1⃑⃑⃑⃑−4𝑒2⃑⃑⃑⃑B．−4𝑒1⃑⃑⃑⃑−2𝑒2⃑⃑⃑⃑C．𝑒1⃑⃑⃑⃑−

3𝑒2⃑⃑⃑⃑D．3𝑒1⃑⃑⃑⃑−𝑒2⃑⃑⃑⃑【解题思路】根据向量的减法原则即可得出答案.【解答过程】由图可知𝐵𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝑒1⃑⃑⃑⃑−3𝑒2⃑⃑⃑⃑.故选：C.3．（3分）（2022秋·河南南阳·高一阶段练习）在五边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸中（如图

），下列运算结果为𝐴𝐷⃑⃑⃑⃑⃑的是（）A．𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑+𝐵𝐶⃑⃑⃑⃑⃑−𝐷𝐶⃑⃑⃑⃑⃑B．𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑+𝐶𝐵⃑⃑⃑⃑⃑+𝐷𝐶⃑⃑⃑⃑⃑C．𝐵𝐶→−𝐷𝐶→D．𝐴𝐸⃑⃑⃑⃑⃑−𝐸𝐷⃑⃑⃑⃑⃑【解题思

路】对各选项按向量加法、减法运算法则进行向量加减运算即可判断作答.【解答过程】A，𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑+𝐵𝐶⃑⃑⃑⃑⃑−𝐷𝐶⃑⃑⃑⃑⃑=𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑⃑+𝐶𝐷⃑⃑⃑⃑⃑=𝐴𝐷⃑⃑⃑⃑⃑

，正确；B，𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑+𝐶𝐵⃑⃑⃑⃑⃑+𝐷𝐶⃑⃑⃑⃑⃑=𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑+𝐷𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑≠𝐷𝐴⃑⃑⃑⃑⃑，不正确；C，𝐵𝐶⃑⃑⃑⃑⃑−𝐷𝐶⃑⃑⃑⃑⃑=𝐵𝐶⃑⃑⃑⃑⃑+𝐶𝐷⃑⃑⃑⃑⃑=

𝐵𝐷⃑⃑⃑⃑⃑⃑，不正确；D，𝐴𝐸→−𝐸𝐷→=𝐴𝐸→+𝐷𝐸→≠𝐴𝐷→，不正确.故选：A.4．（3分）（2022·高一课时练习）已知O是△𝐴𝐵𝐶所在平面内一点，且𝑂𝐴⃑

⃑⃑⃑⃑⃑+𝑂𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝑂𝐶⃑⃑⃑⃑⃑⃑，那么（）A．点O在△𝐴𝐵𝐶的内部B．点O在△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑上C．点O在边𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑所在的直线上D．点O在△𝐴𝐵𝐶的外部【解题思路】根据向量加法的平行

四边形法则求得正确答案.【解答过程】因为𝑂𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑+𝑂𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝑂𝐶⃑⃑⃑⃑⃑⃑，所以四边形OACB为平行四边形．从而点O在△𝐴𝐵𝐶的外部．故选：D.5．（3分）（2023春·北京昌平·高一期末）如图，在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，对角线𝐴𝐶,𝐵𝐷交于点𝑂，

则下列各式一定成立的是（）A．𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑=𝐶𝐷⃑⃑⃑⃑⃑B．𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑⃑=𝐵𝐷⃑⃑⃑⃑⃑⃑C．𝐴𝑂⃑⃑⃑⃑⃑=12𝐶𝐴⃑⃑⃑⃑⃑D．𝐴𝑂⃑⃑⃑⃑⃑=12(𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑+𝐴𝐷⃑⃑⃑⃑⃑)【解题思路】由矩形的几何性质，结合各线段对应向量的关系判断各项的正误.

【解答过程】由图知：𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑=𝐷𝐶⃑⃑⃑⃑⃑=−𝐶𝐷⃑⃑⃑⃑⃑，故A错误；𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑⃑,𝐵𝐷⃑⃑⃑⃑⃑⃑不相等，即𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑⃑≠𝐵𝐷⃑⃑⃑⃑⃑⃑，故B错误；𝐴𝑂⃑⃑⃑⃑⃑=

12𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑⃑=−12𝐶𝐴⃑⃑⃑⃑⃑，故C错误；𝐴𝑂⃑⃑⃑⃑⃑=12(𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑+𝐴𝐷⃑⃑⃑⃑⃑)，故D正确.故选：D.6．（3分）（2022秋·浙江嘉兴·高一阶段练习）在平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，设𝑀为线段𝐵𝐶的中点，𝑁

为线段𝐴𝐵上靠近𝐴的三等分点，𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝑎⃑，𝐴𝐷⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝑏⃑⃑，则向量𝑁𝑀⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=（）A．13𝑎⃑+12𝑏⃑⃑B．23𝑎⃑+12𝑏⃑⃑C．13𝑎⃑−12

𝑏⃑⃑D．23𝑎⃑−12𝑏⃑⃑【解题思路】根据题意作出图形，将𝐴𝑀⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑用𝑎⃑、𝑏⃑⃑的表达式加以表示，再利用平面向量的减法法则可得出结果.【解答过程】解：由题意作出图形：在平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∵M为BC的中点，则𝐴𝑀⃑⃑⃑

⃑⃑⃑⃑=𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑+𝐵𝑀⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝑎⃑+12𝑏⃑⃑，又∵N为线段AB上靠近A的三等分点，则𝐴𝑁⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=13𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑=13𝑎⃑，∴𝑁𝑀⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑

=𝐴𝑀⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑−𝐴𝑁⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝑎⃑+12𝑏⃑⃑−13𝑎⃑=23𝑎⃑+12𝑏⃑⃑，故选：B.7．（3分）（2022秋·浙江绍兴·高一阶段练习）如图，已知△𝐴𝐵𝐶中，𝐷为𝐵𝐶

的中点，𝐴𝐸=12𝐸𝐶，𝐴𝐷，𝐵𝐸交于点𝐹，设𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝑎⃑，𝐴𝐷⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝑏⃑⃑.若𝐴𝐹⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝑡𝐴𝐷⃑⃑⃑⃑⃑⃑，则实数𝑡的值为（）A．0.6B．0.8C．0.4D

．0.5【解题思路】根据向量线性运算，结合线段关系，用𝑎⃑，𝑏⃑⃑表示出𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑，𝐸𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑，𝐹𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑，由平面向量的基本定理，即可求得𝑡的值．【解答过程】因为D为BC的中点，且𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑⃑⃑=�

�⃑，𝐴𝐷⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝑏⃑⃑，故𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑+𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2𝐴𝐷⃑⃑⃑⃑⃑⃑，即𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2𝑏⃑⃑−𝑎⃑，又AE=12EC，可得𝐴𝐸⃑⃑⃑⃑⃑⃑=13𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑⃑⃑=13𝑎⃑，𝐸𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝐴𝐵⃑

⃑⃑⃑⃑⃑−𝐴𝐸⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2𝑏⃑⃑−𝑎⃑−13𝑎⃑=2𝑏⃑⃑−43𝑎⃑，又𝐴𝐹⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝑡𝐴𝐷⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝑡𝑏⃑⃑，故𝐹𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑−𝐴𝐹⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2𝑏⃑⃑−𝑎⃑−𝑡𝑏⃑⃑=−𝑎⃑+(2−�

�)𝑏⃑⃑，因为𝐸𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑，𝐹𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑共线，由平面向量的基本定理可知满足−1−43=2−𝑡2，解得𝑡=12，故选：D．8．（3分）（2022秋·江苏扬州·高一期中）已知𝑎⃑，𝑏⃑为不共线的向量，且𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝑎⃑+5𝑏⃑⃑，𝐵𝐶⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−2𝑎

⃑+8𝑏⃑⃑，𝐶𝐷⃑⃑⃑⃑⃑⃑=4𝑎+2𝑏⃑则（）A．𝐴,𝐵,𝐶共线B．𝐴,𝐵,𝐷共线C．𝐴,𝐶,𝐷共线D．𝐵,𝐶,𝐷共线【解题思路】根据𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑，𝐵𝐶⃑⃑⃑⃑⃑⃑，𝐶𝐷⃑⃑⃑⃑

⃑⃑求出𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑⃑⃑和𝐵𝐷⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑，再根据𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑与𝐵𝐶⃑⃑⃑⃑⃑⃑不共线，可得𝐴,𝐵,𝐶不共线，根据𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑与𝐵𝐷⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑共线，且有公共点𝐵，可得𝐴,𝐵,𝐷共线，根据𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑⃑⃑与𝐶𝐷⃑⃑⃑⃑⃑⃑不共

线，可得𝐴,𝐶,𝐷不共线，根据𝐵𝐶⃑⃑⃑⃑⃑⃑与𝐶𝐷⃑⃑⃑⃑⃑⃑不共线，可得𝐵,𝐶,𝐷不共线.【解答过程】因为𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝑎⃑+5𝑏⃑⃑，𝐵𝐶⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−2𝑎⃑+8𝑏⃑⃑，𝐶𝐷⃑⃑⃑⃑⃑⃑=4𝑎+

2𝑏⃑，所以𝐵𝐷⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝐵𝐶⃑⃑⃑⃑⃑⃑+𝐶𝐷⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2𝑎+10𝑏⃑，𝐴𝐶⃑=𝐴𝐵⃑+𝐵𝐶⃑=−𝑎→+13𝑏→，因为𝑎⃑，𝑏⃑为不共线，所以𝑎,𝑏⃑为非零向量，若存在𝜆∈R，使得𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝜆𝐵𝐶⃑⃑⃑⃑⃑⃑，则𝑎

+5𝑏⃑=𝜆(−2𝑎+8𝑏⃑)=−2𝜆𝑎+8𝜆𝑏⃑，即(1+2𝜆)𝑎=(8𝜆−5)𝑏⃑，因为𝑎⃑，𝑏⃑不共线，所以{1+2𝜆=08𝜆−5=0，即{𝜆=−12𝜆=58，此方程组无解，故𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑与𝐵𝐶⃑⃑⃑⃑⃑⃑

不共线，所以𝐴,𝐵,𝐶不共线，故A不正确；因为𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑=12𝐵𝐷⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑，即𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑与𝐵𝐷⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑共线，又𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑与𝐵𝐷⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑有公共点𝐵，所以

𝐴,𝐵,𝐷共线，故B正确；若存在𝜆∈R，使得𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝜆𝐶𝐷⃑⃑⃑⃑⃑⃑，则−𝑎+13𝑏⃑=4𝜆𝑎+2𝜆𝑏⃑，即(1+4𝜆)𝑎=(13−2𝜆)𝑏⃑，因为𝑎⃑，𝑏⃑不共线，所以{1+4𝜆=013−2𝜆=0，即{𝜆=−14𝜆

=132，此方程组无解，故𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑⃑⃑与𝐶𝐷⃑⃑⃑⃑⃑⃑不共线，所以𝐴,𝐶,𝐷不共线，故C不正确；若存在𝜆∈R，使得𝐵𝐶⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝜆𝐶𝐷⃑⃑⃑⃑⃑⃑，则−2𝑎+8𝑏⃑=4𝜆𝑎+2𝜆𝑏⃑，即(4𝜆+2)𝑎=(8−

2𝜆)𝑏⃑，因为𝑎⃑，𝑏⃑不共线，所以{4𝜆+2=08−2𝜆=0，即{𝜆=−12𝜆=4，此方程组无解，故𝐵𝐶⃑⃑⃑⃑⃑⃑与𝐶𝐷⃑⃑⃑⃑⃑⃑不共线，所以𝐵,𝐶,𝐷不共线，故D不正确.故选：B.二．多选题（共4小题，满

分16分，每小题4分）9．（4分）（2022·高一课时练习）下列各式中能化简为𝐴𝐷⃑⃑⃑⃑⃑⃑的有（）A．𝑀𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑+𝐴𝐷⃑⃑⃑⃑⃑⃑−𝐵𝑀⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑B．(𝐴𝐷⃑⃑⃑⃑⃑⃑+𝑀𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑)+(𝐵𝐶⃑⃑⃑⃑⃑⃑+𝐶𝑀⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑)C

．(𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑+𝐶𝐷⃑⃑⃑⃑⃑⃑)+𝐵𝐶⃑⃑⃑⃑⃑⃑D．𝑂𝐶⃑⃑⃑⃑⃑⃑−𝑂𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑+𝐶𝐷⃑⃑⃑⃑⃑⃑【解题思路】由向量的加法与减法法则逐一验证即可【解答过程】对于A：𝑀𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑+𝐴𝐷⃑⃑⃑⃑⃑⃑−𝐵𝑀⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝑀�

�⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑−𝐵𝑀⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑+𝐴𝐷⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝑀𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑+𝑀𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑+𝐴𝐷⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2𝑀𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑+𝐴𝐷⃑⃑⃑⃑⃑⃑，故A错误；对于B：(𝐴𝐷⃑⃑⃑⃑⃑⃑+𝑀𝐵⃑

⃑⃑⃑⃑⃑⃑)+(𝐵𝐶⃑⃑⃑⃑⃑⃑+𝐶𝑀⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=𝐴𝐷⃑⃑⃑⃑⃑⃑+(𝐵𝐶⃑⃑⃑⃑⃑⃑+𝐶𝑀⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑+𝑀𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=𝐴𝐷⃑⃑⃑⃑⃑⃑，故B正确；对于C：(𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑+𝐶𝐷⃑⃑⃑⃑

⃑⃑)+𝐵𝐶⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑+𝐵𝐶⃑⃑⃑⃑⃑⃑+𝐶𝐷⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝐴𝐷⃑⃑⃑⃑⃑⃑，故C正确；对于D：𝑂𝐶⃑⃑⃑⃑⃑⃑−𝑂𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑+𝐶𝐷⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑⃑⃑+𝐶𝐷⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝐴𝐷⃑⃑⃑⃑⃑⃑，故D正确.故选：

BCD.10．（4分）（2022·高一课时练习）已知A，B，C，是三个不同的点，𝑂𝐴⃑⃑⃑⃑⃑=𝑎−𝑏⃑,𝑂𝐵⃑⃑⃑⃑⃑=2𝑎−3𝑏⃑,𝑂𝐶⃑⃑⃑⃑⃑=3𝑎−5𝑏⃑，则下列结论正确的是（）A．𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑⃑=2𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑B．𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑

⃑=𝐵𝐶⃑⃑⃑⃑⃑C．𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑⃑=3𝐵𝐶⃑⃑⃑⃑⃑D．A，B，C三点共线【解题思路】根据向量运算求出𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑,𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑⃑,𝐵𝐶⃑⃑⃑⃑⃑即可依次判断.【解答过程】由题可得𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑=𝑂𝐵⃑⃑⃑⃑⃑−𝑂𝐴⃑⃑⃑⃑⃑=𝑎−2𝑏⃑，𝐴𝐶⃑⃑⃑

⃑⃑=𝑂𝐶⃑⃑⃑⃑⃑−𝑂𝐴⃑⃑⃑⃑⃑=2𝑎−4𝑏⃑，𝐵𝐶⃑⃑⃑⃑⃑=𝑂𝐶⃑⃑⃑⃑⃑−𝑂𝐵⃑⃑⃑⃑⃑=𝑎−2𝑏⃑,∴𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑⃑=2𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑，故A正确；𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑=𝐵𝐶⃑⃑⃑⃑⃑，故B正确；𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑⃑=2𝐵𝐶⃑⃑⃑⃑⃑

，故C错误；由𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑⃑=2𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑可得𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑⃑//𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑，A为公共点，故A，B，C三点共线，故D正确.故选：ABD.11．（4分）（2022春·安徽宿州·高三阶段练习）庄严美

丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，正五角星（5个顶点构成正五边形）是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系在如图所示的正五角星中，𝑃𝑇𝐴𝑇=√5−12，则（）A．𝐴𝑃⃑⃑⃑⃑⃑+𝑆𝐸⃑⃑⃑⃑⃑+𝑅𝑄⃑⃑⃑⃑⃑=0⃑B．

𝑄𝐶⃑⃑⃑⃑⃑+𝑆𝐷⃑⃑⃑⃑⃑=𝑄𝐷⃑⃑⃑⃑⃑⃑+𝑅𝑆⃑⃑⃑⃑⃑C．𝐴𝑇⃑⃑⃑⃑⃑=√5+12𝑇𝑆⃑⃑⃑⃑D．𝐶𝑄⃑⃑⃑⃑⃑−√5+12𝑆𝑇⃑⃑⃑⃑=𝑇𝑃⃑⃑⃑⃑⃑【解题思路】由向量的运算性质逐一计算验

证即可判断.【解答过程】A选项，由图可知，𝐴𝑃⃑⃑⃑⃑⃑+𝑆𝐸⃑⃑⃑⃑⃑+𝑅𝑄⃑⃑⃑⃑⃑=𝑄𝐶⃑⃑⃑⃑⃑+𝐶𝑅⃑⃑⃑⃑⃑+𝑅𝑄⃑⃑⃑⃑⃑=0⃑，故A正确；B选项，𝑄𝐶⃑⃑⃑⃑⃑+𝑆𝐷⃑⃑⃑⃑⃑=𝐴𝑃⃑⃑⃑⃑⃑+𝐴𝑇⃑⃑⃑

⃑⃑=𝐴𝑅⃑⃑⃑⃑⃑，𝑄𝐷⃑⃑⃑⃑⃑⃑+𝑅𝑆⃑⃑⃑⃑⃑=𝐵𝑅⃑⃑⃑⃑⃑+𝑅𝑆⃑⃑⃑⃑⃑=𝐵𝑆⃑⃑⃑⃑⃑，故B错误；C选项，∵𝐴𝑇𝑇𝑆=2√5−1=√5+12，∴𝐴𝑇

⃑⃑⃑⃑⃑=√5+12𝑇𝑆⃑⃑⃑⃑，故C正确；D选项，𝐶𝑄⃑⃑⃑⃑⃑−√5+12𝑆𝑇⃑⃑⃑⃑=𝐶𝑄⃑⃑⃑⃑⃑+√5+12𝑇𝑆⃑⃑⃑⃑=𝐶𝑄⃑⃑⃑⃑⃑+𝐴𝑇⃑⃑⃑⃑⃑=𝑃𝐴⃑⃑⃑⃑⃑+𝐴𝑇⃑⃑⃑⃑⃑=𝑃𝑇⃑⃑⃑⃑⃑，故D错误．故选：AC．12

．（4分）（2022春·河南洛阳·高一阶段练习）点𝑃是△𝐴𝐵𝐶所在平面内一点，且𝐴𝑃⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝑥𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑+𝑦𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑⃑⃑，下列说法正确的是（）A．若𝑥=𝑦=12，则点𝑃是边𝐵𝐶的中点B．若点𝑃是边𝐵𝐶靠近𝐵点的三等分点，

则𝑥=13,𝑦=23C．若点𝑃在𝐵𝐶边的中线上且𝑥+𝑦=12，则点𝑃是△𝐴𝐵𝐶的重心D．若𝑥+𝑦=2，则△𝑃𝐵𝐶与△𝐴𝐵𝐶的面积相等【解题思路】A选项转化为𝐵𝑃⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝑃𝐶⃑⃑⃑⃑⃑⃑，即可判断

；B选项转化为𝐵𝑃⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2𝑃𝐶⃑⃑⃑⃑⃑⃑，即可判断；C选项，分析可得点𝑃为𝐵𝐶边的中线的中点，即可判断；D选项，可得点𝑃在直线𝑀𝑁上，点𝑃与点𝐴到𝐵𝐶边的距离相等即可判断【解答过程】A若𝑥=𝑦=12，𝐴𝑃

⃑⃑⃑⃑⃑⃑=12𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑+12𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑⃑⃑⇔𝐴𝑃⃑⃑⃑⃑⃑⃑−𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑⃑⃑−𝐴𝑃⃑⃑⃑⃑⃑⃑⇔𝐵𝑃⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝑃𝐶⃑⃑⃑⃑⃑⃑，即点𝑃是边𝐵𝐶的中点，故正确；B当𝑥=

13,𝑦=23时，𝐴𝑃⃑⃑⃑⃑⃑⃑=13𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑+23𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑⃑⃑⇔𝐴𝑃⃑⃑⃑⃑⃑⃑−𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2(𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑⃑⃑−𝐴𝑃⃑⃑⃑⃑⃑⃑)⇔𝐵𝑃⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2

𝑃𝐶⃑⃑⃑⃑⃑⃑，点𝑃是边𝐵𝐶靠近𝐶点的三等分点，故错误；C点𝑃在𝐵𝐶边的中线上且𝑥+𝑦=12，点𝑃为𝐵𝐶边的中线的中点，故不是重心；D设𝐴𝑀⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑，�

�𝑁⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑⃑⃑，则𝐴𝑃⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝑥2𝐴𝑀⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑+𝑦2𝐴𝑁⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑，𝑥2+𝑦2=1，故点𝑃在直线𝑀𝑁上，点𝑃与点𝐴到𝐵𝐶边的距离相等，故△𝑃𝐵𝐶与△𝐴𝐵�

�的面积相等.故选：AD.三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2022·全国·高三专题练习）求3(6𝑎+𝑏⃑)−9(𝑎+13𝑏⃑)=9𝑎．【解题思路】根据平面向量线性运算法则及运算律计算可得；【解答过程】解：3(6

𝑎+𝑏⃑)−9(𝑎+13𝑏⃑)=(18𝑎+3𝑏⃑)−(9𝑎+3𝑏⃑)=18𝑎+3𝑏⃑−9𝑎−3𝑏⃑=9𝑎；故答案为：9𝑎.14．（4分）（2022·全国·高一专题练习）如图所示，已知一点

O到平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的向量分别为𝑟1→,𝑟2→,𝑟3→，则𝑂𝐷⃑⃑⃑⃑⃑⃑＝𝑟1→+𝑟3→−𝑟2→.(用𝑟1→,𝑟2→,𝑟3→表示)【解题思路】由向量的加法法则可得答案.【解答过程】𝑂𝐷→=𝑂𝐶→+𝐶𝐷→=𝑂𝐶→+𝐵

𝐴→=𝑂𝐶→+𝑂𝐴→−𝑂𝐵→=𝑟1→+𝑟3→−𝑟2→.故答案为：𝑟1→+𝑟3→−𝑟2→.15．（4分）（2022·全国·高三专题练习）“赵爽弦图”是中国古代数学的图腾，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如图，某人仿照赵爽弦图，用四个三角形和一

个小的平行四边形拼成一个大平行四边形，其中E，F，G，H分别是DF，AG，BH，CE的中点，若𝐴𝐺⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝑥𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑+𝑦𝐴𝐷⃑⃑⃑⃑⃑⃑，则𝑥𝑦=825．【解题思路】直接由

向量的线性运算及图形关系求出𝑥,𝑦的值，即可求解.【解答过程】由题意可得𝐴𝐺⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑+𝐵𝐺⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑+12𝐵𝐻⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑+12(𝐵𝐶⃑⃑

⃑⃑⃑⃑+𝐶𝐻⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑+12𝐵𝐶⃑⃑⃑⃑⃑⃑+14𝐶𝐸⃑⃑⃑⃑⃑⃑．因为EFGH是平行四边形，所以𝐴𝐺⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−𝐶𝐸⃑⃑⃑⃑⃑⃑，所以𝐴𝐺⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑+12𝐵𝐶⃑⃑⃑⃑⃑⃑−14𝐴𝐺⃑⃑⃑⃑⃑⃑，所以𝐴�

�⃑⃑⃑⃑⃑⃑=45𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑+25𝐵𝐶⃑⃑⃑⃑⃑⃑．因为𝐴𝐺⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝑥𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑+𝑦𝐴𝐷⃑⃑⃑⃑⃑⃑，所以𝑥=45，𝑦=25，则𝑥𝑦=45×25=825．故答案为：82

5.16．（4分）（2022秋·全国·高一期末）在△AOB中，𝑂𝐶⃑⃑⃑⃑⃑=14𝑂𝐴⃑⃑⃑⃑⃑,𝑂𝐷⃑⃑⃑⃑⃑⃑=12𝑂𝐵⃑⃑⃑⃑⃑，AD与BC交手M点，设𝑂𝐴⃑⃑⃑⃑⃑=𝑎,𝑂𝐵⃑⃑⃑⃑⃑=𝑏，在线段AC上取一点F，在

线段BD上取一点E，使EF过M点，使𝑂𝐸⃑⃑⃑⃑⃑=𝜇𝑂𝐵⃑⃑⃑⃑⃑,𝑂𝐹⃑⃑⃑⃑⃑=𝜆𝑂𝐴⃑⃑⃑⃑⃑，则1𝜆+3𝜇=7．【解题思路】设𝑂𝑀⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝑚𝑎+𝑛𝑏⃑，分别利用𝐶,𝑀,𝐵三点

共线和𝐷,𝑀,𝐴三点共线求出𝑚,𝑛，再利用𝐹,𝑀,𝐸三点共线和平面向量基本定理可求得结果【解答过程】解：设𝑂𝑀⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝑚𝑎+𝑛𝑏⃑，因为𝐶,𝑀,𝐵三点共线，所以存在非零实数𝑘，使得𝐶𝑀⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝑘𝐶𝐵⃑⃑⃑⃑⃑=𝑘(𝑂𝐵⃑⃑⃑⃑⃑

−𝑂𝐶⃑⃑⃑⃑⃑)=𝑘𝑏⃑−𝑘4𝑎，所以𝑂𝑀⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝑂𝐶⃑⃑⃑⃑⃑+𝐶𝑀⃑⃑⃑⃑⃑⃑=14𝑎+𝑘𝑏⃑−𝑘4𝑎=1−𝑘4𝑎+𝑘𝑏⃑，所以{𝑚=1−𝑘4𝑛=𝑘，得𝑚=1−𝑛4，因为𝐷,𝑀,�

�三点共线，所以存在非零实数𝑡，使得𝐷𝑀⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝑡𝐷𝐴⃑⃑⃑⃑⃑=𝑡(𝑂𝐴⃑⃑⃑⃑⃑−𝑂𝐷⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=𝑡𝑎−𝑡2𝑏⃑，所以𝑂𝑀⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝑂𝐷⃑⃑⃑⃑⃑⃑+𝐷𝑀⃑⃑⃑⃑⃑⃑=12𝑏⃑+𝑡𝑎−𝑡2𝑏⃑=𝑡𝑎+1−

𝑡2𝑏⃑，因为𝑂𝑀⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝑚𝑎+𝑛𝑏⃑，所以{𝑚=𝑡𝑛=1−𝑡2，所以𝑛=1−𝑚2，由𝑛=1−𝑚2和𝑚=1−𝑛4，解得𝑚=17,𝑛=37，所以𝑂𝑀⃑⃑⃑⃑⃑⃑=17𝑎+37𝑏⃑，因为�

�,𝑀,𝐸三点共线，所以存在非零实数𝑥，使得𝐹𝑀⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝑥𝐹𝐸⃑⃑⃑⃑⃑=𝑥(𝑂𝐸⃑⃑⃑⃑⃑−𝑂𝐹⃑⃑⃑⃑⃑)=𝑥𝜆𝑎−𝑥𝜇𝑏⃑，因为𝐹𝑀⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝑂

𝑀⃑⃑⃑⃑⃑⃑−𝑂𝐹⃑⃑⃑⃑⃑=17𝑎+(37−𝜇)𝑏⃑，所以{𝑥𝜆=17−𝑥𝜇=37−𝜇，消去𝑥，得𝜇+3𝜆=7𝜆𝜇，所以1𝜆+3𝜇=7，故答案为：7.四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）

（2022·高一课时练习）化简下列各式：(1)𝐴𝑂⃑⃑⃑⃑⃑⃑+𝑂𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑+𝐶𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑−𝐶𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑；(2)𝑀𝑁⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑−𝑀𝐷⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑+𝑁𝑄⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑−𝐷𝑄⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑

.【解题思路】（1）由向量的加法法则与减法法则求解即可；（2）由向量的加法法则与减法法则求解即可；【解答过程】（1）𝐴𝑂⃑⃑⃑⃑⃑⃑+𝑂𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑+𝐶𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑−𝐶𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(𝐴𝑂⃑⃑⃑⃑⃑⃑+𝑂𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑)+(𝐶𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑−�

�𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑+𝐵𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑=0⃑⃑；（2）𝑀𝑁⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑−𝑀𝐷⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑+𝑁𝑄⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑−𝐷𝑄⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(𝑀𝑁⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑−𝑀𝐷⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑)+(𝑁𝑄⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑+𝑄𝐷⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=𝐷𝑁⃑⃑

⃑⃑⃑⃑⃑+𝑁𝐷⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=0⃑⃑.18．（6分）（2022·全国·高三专题练习）计算：(1)23(𝑎+𝑏⃑⃑)−35(𝑏⃑⃑−𝑎)+13(0⃑−𝑎)；(2)(𝜆+𝜇)(2𝑎−𝑏⃑⃑)−(

3𝜆+5𝜇)(−𝑎−3𝑏⃑⃑),𝜆,𝜇∈R.【解题思路】（1）利用平面向量线性运算的运算律进行计算.（2）利用平面向量线性运算的运算律进行计算.【解答过程】（1）原式=23𝑎+23𝑏⃑⃑−35𝑏⃑⃑+35𝑎+130⃑−13𝑎=(23𝑎+35

𝑎−13𝑎)+(23𝑏⃑⃑−35𝑏⃑⃑+130⃑)=1415𝑎+115𝑏⃑⃑.（2）原式=(𝜆+𝜇)(2𝑎−𝑏⃑⃑)−(3𝜆+5𝜇)(−𝑎−3𝑏⃑⃑)=2(𝜆+𝜇)𝑎−(𝜆+𝜇)𝑏⃑⃑+(3𝜆+5𝜇)𝑎+3(3�

�+5𝜇)𝑏⃑⃑=(2𝜆+2𝜇+3𝜆+5𝜇)𝑎+(9𝜆+15𝜇−𝜆−𝜇)𝑏⃑⃑=(5𝜆+7𝜇)𝑎+(8𝜆+14𝜇)𝑏⃑⃑.19．（8分）（2022·高一课前预习）如图所示，四边形ACDE是平行

四边形，点B是平行四边形ACDE内一点，且𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝑎⃑，𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝑏⃑⃑，𝐴𝐸⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝑐⃑，试用向量𝑎⃑,𝑏⃑⃑,𝑐⃑表示向量𝐶𝐷⃑⃑⃑⃑⃑⃑，𝐵𝐶⃑⃑⃑⃑⃑⃑，𝐵𝐷⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑.【解题思路】根据向量加法和减法的运算法则即可求解.【解答

过程】解：因为四边形ACDE是平行四边形，所以𝐶𝐷⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝐴𝐸⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝑐⃑，𝐵𝐶⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑⃑⃑−𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝑏⃑⃑−𝑎⃑，𝐵𝐷⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝐵𝐶⃑⃑⃑⃑

⃑⃑+𝐶𝐷⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝑏⃑⃑−𝑎⃑+𝑐⃑.20．（8分）（2022秋·高一课时练习）已知G是△𝐴𝐵𝑂的重心，M是𝐴𝐵的中点，过点G作一条直线与𝐴𝑂边交于点P､与𝐵𝑂边交于点Q，设𝑂𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝑎,𝑂𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑=�

�⃑,𝑂𝑃⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝑚⋅𝑎,𝑂𝑄⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝑛⋅𝑏⃑，求1𝑚+1𝑛的值.【解题思路】根据向量的平行四边形法则以及重心表示可得𝑂𝐺⃑⃑⃑⃑⃑⃑=23×12(𝑂𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑+𝑂𝐵⃑⃑⃑

⃑⃑⃑)=13(𝑂𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑+𝑂𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑)，再由𝑃,𝐺,𝑄三点共线即可求解.【解答过程】由题意可得𝑂𝐺⃑⃑⃑⃑⃑⃑=23×12(𝑂𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑+𝑂𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=13(𝑂𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑+𝑂𝐵⃑⃑⃑

⃑⃑⃑)=13𝑂𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑+13𝑂𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑=13𝑎⃑+13𝑏⃑⃑，又𝑂𝑃⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝑚⋅𝑎,𝑂𝑄⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝑛⋅𝑏⃑，即𝑎⃑=1𝑚𝑂𝑃⃑⃑⃑⃑⃑⃑，𝑏⃑⃑=1𝑛𝑂𝑄⃑⃑⃑⃑⃑

⃑⃑，所以𝑂𝐺⃑⃑⃑⃑⃑⃑=13𝑎⃑+13𝑏⃑⃑=13⋅1𝑚𝑂𝑃⃑⃑⃑⃑⃑⃑+13⋅1𝑛𝑂𝑄⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=13𝑚𝑂𝑃⃑⃑⃑⃑⃑⃑+13𝑛𝑂𝑄⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑，因为𝑃,𝐺,𝑄三点共线，则13𝑚+13𝑛=1，即1

𝑚+1𝑛=3.21．（8分）（2022秋·湖北襄阳·高一阶段练习）（1）已知𝑒1⃑⃑⃑，𝑒2⃑⃑⃑是两个不共线的向量，向量𝑎=𝑒1⃑⃑⃑+2𝑒2⃑⃑⃑，𝑏⃑=3𝑒1⃑⃑⃑−5𝑒2⃑⃑⃑，求4𝑎−3𝑏⃑（用𝑒1⃑⃑⃑，𝑒2⃑⃑⃑表

示）.（2）设𝑎，𝑏⃑是不共线的两个非零向量.若8𝑎+𝑘𝑏⃑与𝑘𝑎+2𝑏⃑共线，求实数𝑘的值.【解题思路】（1）由平面向量的线性运算求解即可；（2）由平面向量的共线定理求解即可【解答过程】（1）∵𝑎=𝑒1+2𝑒2，𝑏⃑=3𝑒1−5𝑒2，∴4𝑎−3𝑏⃑=4(𝑒

1⃑⃑⃑+2𝑒2⃑⃑⃑)−3(3𝑒1⃑⃑⃑−5𝑒2⃑⃑⃑)=−5𝑒1⃑⃑⃑+23𝑒2⃑⃑⃑；（2）由𝑎，𝑏⃑不共线可知𝑘𝑎+2𝑏⃑为非零向量，而8𝑎+𝑘𝑏⃑与𝑘𝑎+2𝑏⃑共线，所以存在唯一实数𝜆，使得8𝑎+�

�𝑏⃑=𝜆(𝑘𝑎+2𝑏⃑)=𝜆𝑘𝑎+2𝜆𝑏⃑，因为𝑎，𝑏⃑不共线，所以{8=𝜆𝑘𝑘=2𝜆，解得𝑘=±4.22．（8分）（2023春·北京昌平·高一期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝑀⃑⃑⃑⃑⃑⃑=13𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑

,𝐵𝑁⃑⃑⃑⃑⃑⃑=12𝐵𝐶⃑⃑⃑⃑⃑.设𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑=𝑎,𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑⃑=𝑏⃑.(1)用𝑎,𝑏⃑表示𝐵𝐶⃑⃑⃑⃑⃑,𝑀𝑁⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑；(2)若𝑃为△𝐴𝐵𝐶内部一点，且𝐴𝑃⃑⃑⃑⃑⃑=512𝑎+14𝑏⃑.求证：𝑀,𝑃,𝑁三点共

线.【解题思路】（1）由图中线段的位置及数量关系，用𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑⃑,𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑表示出𝐵𝐶⃑⃑⃑⃑⃑,𝑀𝑁⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑，即可得结果；（2）用𝑎,𝑏⃑表示𝐴𝑀⃑⃑⃑⃑⃑⃑+𝐴𝑁⃑⃑⃑⃑⃑⃑，得到𝐴𝑃⃑⃑⃑⃑⃑=𝜆𝐴𝑀⃑⃑⃑⃑

⃑⃑+𝜇𝐴𝑁⃑⃑⃑⃑⃑⃑，根据向量共线的结论𝜆+𝜇=1即证结论.【解答过程】（1）由题图，𝐵𝐶⃑⃑⃑⃑⃑=𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑⃑−𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑=𝑏⃑−𝑎，𝑀𝑁⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝐵𝑁⃑⃑⃑⃑⃑⃑−𝐵𝑀⃑⃑⃑⃑⃑⃑=12𝐵𝐶⃑⃑⃑⃑⃑

+23𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑=12(𝑏⃑−𝑎)+23𝑎=12𝑏⃑+16𝑎.（2）由𝐴𝑀⃑⃑⃑⃑⃑⃑+𝐴𝑁⃑⃑⃑⃑⃑⃑=13𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑+𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑⃑+𝐶𝑁⃑⃑⃑⃑⃑=13𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑+𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑⃑−

12𝐵𝐶⃑⃑⃑⃑⃑=13𝑎+𝑏⃑−12(𝑏⃑−𝑎)=56𝑎+12𝑏⃑，又𝐴𝑃⃑⃑⃑⃑⃑=512𝑎+14𝑏⃑，所以𝐴𝑃⃑⃑⃑⃑⃑=12𝐴𝑀⃑⃑⃑⃑⃑⃑+12𝐴𝑁⃑⃑⃑⃑⃑⃑，故𝑀,𝑃,𝑁三点共线.