【文档说明】2023-2024学年高中数学人教A版2019 选择性必修第一册课后习题 章末测评卷 第三章测评 Word版含答案.docx，共(13)页，177.239 KB，由小赞的店铺上传

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第三章测评一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知抛物线x2=ay(a≠0)的焦点在直线y=2x-4上,则a的值为()A.8B.-4C.-8D.-162.(2021辽宁沈阳期

中)方程x√1-𝑦2+y√1-𝑥2=1的对应曲线图形是()3.若双曲线𝑥2𝑎2−𝑦24=1(a>0)的渐近线与圆x2+(y-2)2=1相切,则a=()A.2√33B.4√33C.√32D.√34.过抛物线y2=2x的焦点作一条直线与抛物线交于A,B两点,

它们的横坐标之和等于2,则这样的直线()A.有且只有一条B.有且只有两条C.有且只有三条D.有且只有四条5.在△ABC中,A(-5,0),B(5,0),点C在双曲线𝑥216−𝑦29=1上,则sin𝐶sin𝐴-sin𝐵=()A.53B.±53C.±54D.-546.(2021

吉林长春月考)已知M是抛物线y2=4x上的一点,F是抛物线的焦点,若以Fx为始边,FM为终边的角∠xFM=60°,则|FM|等于()A.2B.43√3C.2√3D.47.(2021安徽合肥期中)19世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日,创立了画法几何

学,推动了空间几何学的独立发展.提出了著名的蒙日圆定理:椭圆的两条切线互相垂直,则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上,称为蒙日圆,且该圆的半径等于椭圆长半轴长与短半轴长的平方和的算术平方根.若圆(x-2)2+(y-b)2=9上有且只有一个点在椭圆𝑥23+y2=1的蒙日圆上,则b的值为()A

.±1B.±5C.±√21D.±2√58.(2021江苏泰州期中)如图,椭圆Γ:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)的离心率为e,F是Γ的右焦点,点P是Γ上第一象限内任意一点.且sin∠POF<cos∠POF,𝑂𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗(λ>0),𝐹�

�⃗⃗⃗⃗⃗·𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=0,若λ>e,则离心率e的取值范围是()A.(0,√62]B.[√63,1)C.[√22,1)D.(0,√22)二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符

合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.(2021湖南长沙期中)已知椭圆C的对称中心为坐标原点,焦点在坐标轴上,若椭圆的长轴长为6,短轴长为4,则椭圆C的标准方程可能为()A

.𝑥24+𝑦29=1B.𝑥29+𝑦25=1C.𝑥29+𝑦24=1D.𝑥25+𝑦29=110.(2021辽宁大连期中)已知F是双曲线C:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑎2=1(a>0)的右焦点,点P是双曲线上任意一点,则∠POF的大小可能是()A.30°B.45°

C.60°D.150°11.某同学在研究教材中一例问题“设点A(-5,0),B(5,0),直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积为-49,求点M的轨迹方程”时,将其中已知条件“斜率之积为-49”拓展为“斜率之积为常数k(k≠0)”之后,进行了探

究.则下列结论正确的有()A.k<0时,点M的轨迹为椭圆(不含与x轴的交点)B.-1<k<0时,点M的轨迹为焦点在x轴上的椭圆(不含与x轴的交点)C.k<-1时,点M的轨迹为焦点在y轴上的椭圆(不含与x轴的交点)

D.k>0时,点M的轨迹为焦点在x轴上的双曲线(不含与x轴的交点)12.(2021福建厦门检测)线段AB是抛物线y2=2px(p>0)过焦点F的弦,下列命题正确的有()A.|AF|最小值是pB.|AB|最小值是2pC.∠AOB可能为锐角,其中

O为坐标原点D.以AB为直径的圆一定与直线x=-𝑝2相切三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知抛物线C:y2=2px(p>0)上一点P(3,y0)到其准线的距离为8,则p=.14.已知双曲线的一条渐近线方程为y=2x,则双曲线的方程可以为(写出一个正

确答案即可);此时,你所写的方程对应的双曲线的离心率为.15.(2021上海徐汇区期末)设椭圆𝑥225+𝑦29=1上的一点P到椭圆两焦点的距离的乘积为s,则当s取得最大值时,点P的坐标是.16.(2021江苏常州期中)已知圆C:(x-3)2+y2=1,

点M在抛物线T:y2=4x上运动,过点M引直线l1,l2与圆C相切,切点分别为A,B,则|AB|的取值范围为.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)分别求下列曲线的方程.(1)已知椭圆C:𝑥2𝑎2+𝑦2

5=1(a>√5)的离心率为e=23,求椭圆C的方程;(2)已知双曲线C:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1的焦距为4√2,渐近线方程之一为y=x,求双曲线C的方程.18.(12分)(2021陕西咸阳期末)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的

焦点为F,准线方程为x=-2.(1)求抛物线C的方程;(2)若直线l:y=x-2与抛物线C交于A,B两点,求|AB|.19.(12分)(2021浙江绍兴期中)已知双曲线C:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a>0,b>0)的实轴长为8,

离心率e=54.(1)求双曲线C的方程;(2)直线l与双曲线C相交于P,Q两点,弦PQ的中点坐标为A(8,3),求直线l的方程.20.(12分)(2021宁夏银川期中)如图,把半椭圆Γ1:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(x≥0)与圆弧Γ2:(x-1)2+y2=a2(x<0)合成的曲线称作“曲圆

”,其中F(1,0)为Γ1的右焦点,如图所示,A1,A2,B1,B2分别是“曲圆”与x轴、y轴的交点,已知∠B1FB2=2π3,过点F且倾斜角为θ的直线交“曲圆”于P,Q两点(P在x轴上方).(1)求

椭圆Γ1和圆弧Γ2的方程;(2)当点P,Q分别在第一、第三象限时,求△A1PQ的周长的取值范围.21.(12分)如图,直线l与圆E:x2+(y+1)2=1相切于点P,与抛物线C:x2=4y相交于不同的两点A,B,与y轴相交于点T(0,t)(t>0).(1)若T是抛物线C的焦点,

求直线l的方程;(2)若|TE|2=|PA|·|PB|,求t的值.22.(12分)(2021上海虹口期末)已知椭圆Γ:𝑥212+𝑦28=1的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1的直线l交椭圆于A,B两

点,交y轴于点P(0,t).(1)若F1P⊥F2P,求t的值.(2)若点A在第一象限,满足𝐹1𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝐹2𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=7,求t的值.(3)在平面内是否存在定点Q,使得𝑄𝐴⃗⃗

⃗⃗⃗·𝑄𝐵⃗⃗⃗⃗⃗是一个确定的常数?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由.第三章测评1.D因为抛物线x2=ay(a≠0)的焦点F(0,𝑎4)在直线y=2x-4上,所以𝑎4=-4,即a的值为-16.2.A由方程x√1-𝑦2+y√1-𝑥2=1,可知x∈[-1,1],y∈[

-1,1],显然x<0,y<0,方程不成立,排除C;又√1-𝑦2∈[0,1],√1-𝑥2∈[0,1],所以xy<0不成立,排除B,D,故选A.3.A双曲线𝑥2𝑎2−𝑦24=1(a>0)的渐近线为y=±2𝑎x,即2x±ay=0,因为双曲线𝑥2�

�2−𝑦24=1(a>0)的渐近线与圆x2+(y-2)2=1相切,所以2𝑎√4+𝑎2=1,解得a=2√33(负值舍去).4.B设该抛物线的焦点为F,A,B的横坐标分别为xA,xB,则|AB|=|AF|+|FB|=xA+𝑝2+xB+𝑝2=xA+xB+1=3>2p=2.所以符合条件的直线

有且只有两条.5.C由双曲线的方程𝑥216−𝑦29=1可得a2=16,b2=9,所以c2=a2+b2=25,即焦点坐标恰好为A,B的坐标,所以|AB|=10,|BC|-|AC|=±2a=±8,由正弦定理知sin𝐶sin𝐴-sin𝐵=|𝐴𝐵||𝐵𝐶|-|𝐶𝐴|=10±8=±

54.6.D如图所示,由题意得焦点坐标F(1,0),准线方程x=-1,设M的坐标(𝑦24,𝑦),∠xFM=60°,∴𝑦24>1,∴|y|=√3(𝑦24-1),整理得√3y2-4|y|-4√3=0,解得|y|=2√3,又∠xFM=60°,∴|FM|=2√3sin60°=4.7.

C由椭圆的定义知,𝑥23+y2=1的蒙日圆r2=√3+1=2,所以蒙日圆为x2+y2=4.蒙日圆的半径r1=2.因为圆(x-2)2+(y-b)2=9上有且只有一个点在蒙日圆上,所以两圆相切.由已知r2=3,所以

√22+𝑏2=r1+r2=5,解得b=±√21.8.B因为点P是Γ上第一象限内任意一点,故∠POF为锐角,又sin∠POF<cos∠POF,所以0<tan∠POF<1.设直线OP的斜率为k,则0<k<1.由{𝑦=𝑘𝑥,𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1,𝑥>0,𝑦>0,可得

{𝑥=𝑎𝑏√𝑏2+𝑎2𝑘2,𝑦=𝑘𝑎𝑏√𝑏2+𝑎2𝑘2,故P(𝑎𝑏√𝑏2+𝑎2𝑘2,𝑘𝑎𝑏√𝑏2+𝑎2𝑘2),所以Q(𝜆𝑎𝑏√𝑏2+𝑎2𝑘2,𝑘𝜆

𝑎𝑏√𝑏2+𝑎2𝑘2).因为𝐹𝑄⃗⃗⃗⃗⃗·𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=0,故kQF=-1𝑘,所以𝑘𝜆𝑎𝑏√𝑏2+𝑎2𝑘2𝜆𝑎𝑏√𝑏2+𝑎2𝑘2-𝑐=-1𝑘,解得λ=𝑐𝑎×√𝑏2+𝑎2𝑘2𝑏(𝑘2+1),因为λ>e对任意的0<k<1恒成

立,故𝑐𝑎×√𝑏2+𝑎2𝑘2𝑏(𝑘2+1)>e,整理得到a2-2b2>b2k2对任意的0<k<1恒成立,故a2-b2≥2b2,即2a2≤3c2,即√63≤e<1.9.AC由题可得2a=6,2b=4,则a2=9,b2=4,故椭圆的标准方程可能为𝑥29+𝑦

24=1或𝑥24+𝑦29=1.10.AD∵双曲线C:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑎2=1(a>0)的渐近线方程为y=±x,∴双曲线的渐近线与x轴的夹角为45°.∵F是双曲线C:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑎2=1(a>0)的右焦点,O为坐标原点,点

P是双曲线上任意一点,∴0°≤∠POF<45°或135°<∠POF≤180°.∴∠POF的大小可能是30°,150°.故选AD.11.BCD设M(x,y),则kAM=𝑦-0𝑥+5,kMB=𝑦-0𝑥-5,由题意可得,𝑦-0𝑥

+5·𝑦-0𝑥-5=k,故y2=k(x2-25).若k=-1,方程化为y2+x2=25,点M的轨迹为以原点为圆心,5为半径的圆(不含与x轴的交点);若-1<k<0,方程化为𝑥225+𝑦2-25𝑘=1,点M的

轨迹为焦点在x轴的椭圆(不含与x轴的交点);若k<-1,方程化为𝑦2-25𝑘+𝑥225=1,表示焦点在y轴,以A,B为短轴端点的椭圆(不含与x轴的交点);若k>0,方程化为𝑥225−𝑦225𝑘

=1,点M的轨迹为焦点在x轴的双曲线(不含与x轴的交点).综上可知,BCD正确.故选BCD.12.BD依题意设A(x1,y1),B(x2,y2),对于A选项,由抛物线定义可得|AF|=x1+𝑝2,因为x1>0,所以|AF

|=x1+𝑝2>𝑝2,故A错误;对于B选项,设直线AB的方程为x=my+𝑝2,联立{𝑥=𝑚𝑦+𝑝2,𝑦2=2𝑝𝑥,得y2-2mpy-p2=0,Δ=4m2p2+4p2>0,y1+y2=2mp,y1y2=-p2,所以x1+x2=𝑦122𝑝+𝑦222𝑝=(𝑦1+

𝑦2)2-2𝑦1𝑦22𝑝=2pm2+p≥p,则|AB|=x1+x2+p≥p+p=2p,故B正确;对于C选项,𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=(x1,y1),𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(x2,y2),因为y1y2=-p2,𝑦12=2px1,�

�22=2px2,所以x1x2=𝑦12𝑦224𝑝2=(-𝑝2)24𝑝2=𝑝24,则𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=x1x2+y1y2=𝑝24-p2=-3𝑝24<0,所以∠AOB不可能为锐

角,故C错误;对于D选项,因为|AB|=x1+x2+p=2pm2+p+p=2p(m2+1),所以以AB为直径的圆的半径为r=p(m2+1),又因为AB中点的横坐标x0=𝑥1+𝑥22=pm2+𝑝2=p(𝑚2+12),所以x0-(-𝑝2)=p(𝑚2+12)+𝑝2=p

(m2+1)=r,故以AB为直径的圆一定与直线x=-𝑝2相切,故D正确.13.10∵抛物线y2=2px(p>0)上的一点P(3,y0)到其准线的距离为8,∴3+𝑝2=8,解得p=10.14.x2-𝑦24=1√5(答案不唯一)因为双曲线的渐

近线为y=2x,所以双曲线的方程为x2-𝑦24=λ(λ≠0),故可取λ=1,可得双曲线的方程为x2-𝑦24=1,所以c=√5.此时其离心率e=𝑐𝑎=√5.15.(0,3)或(0,-3)设椭圆𝑥225+𝑦29=1的焦点为F1,F2,由椭圆定义可得,|PF1|+|

PF2|=2a=10,则s=|PF1|·|PF2|≤(|𝑃𝐹1|+|𝑃𝐹2|2)2=a2=25,当且仅当|PF1|=|PF2|=a=5,即P(0,3)或(0,-3)时,s取得最大值25.16.[√142,2)如图,连接MC,CA,CB,AB,则CA⊥MA,CB

⊥MB,MC⊥AB,故|AB|=2·𝐴𝑀·𝐴𝐶𝑀𝐶=2𝐴𝑀𝐶𝑀=2√𝐶𝑀2-1𝐶𝑀=2√1-1𝐶𝑀2,则当|CM|最小时,|AB|最小,设M(x,y),则|CM|=√(𝑥-3)

2+𝑦2=√𝑥2-2𝑥+9,所以当x=1时,|CM|取得最小值2√2,当x→+∞时,|AB|趋近于2,故|AB|的取值范围为[√142,2).17.解(1)因为椭圆C:𝑥2𝑎2+𝑦25=1(a>√5)

,则b2=5,所以c=√𝑎2-5.因为椭圆的离心率为e=23,则e=𝑐𝑎=√𝑎2-5𝑎=23,解得a=3,所以椭圆C的标准方程为𝑥29+𝑦25=1.(2)因为双曲线C:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1的焦距为4

√2,所以c=2√2,又因为其渐近线方程之一为y=x,则𝑏𝑎=1,解得a2=b2=4,所以双曲线C的标准方程为𝑥24−𝑦24=1.18.解(1)∵抛物线C的准线方程为x=-2,∴-𝑝2=-2,得p=4,故抛物线C的方程为y2=8x.(2)显然直线l:y=x-2过焦点F(2,0),联立{�

�2=8𝑥,𝑦=𝑥-2,消去y可得x2-12x+4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=12,故|AB|=x1+x2+p=12+4=16.19.解(1)∵实轴长为8,离心率e=54,∴2a=8,e=𝑐

𝑎=54,又a2+b2=c2,即a=4,c=5,b=3.故双曲线C的标准方程为𝑥216−𝑦29=1.(2)设P,Q的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),∵线段PQ的中点为(8,3),∴x1+x2=16,y1+y2=6.∵𝑥1216−𝑦129=1,𝑥22

16−𝑦229=1,∴(𝑥1+𝑥2)(𝑥1-𝑥2)16−(𝑦1+𝑦2)(𝑦1-𝑦2)9=0,整理得𝑦1-𝑦2𝑥1-𝑥2=32,即直线l的斜率为32,∴直线l的方程为y-3=32(x-8),即3x-2y-18=0.20.解(

1)由题意可得c=1,∠OFB2=π3,则b=√3,∴a2=b2+c2=4,则椭圆Γ1:𝑥24+𝑦23=1(x≥0),圆弧Γ2的方程为Γ2:(x-1)2+y2=4(x<0).(2)由题意得:在等腰△A1QF中,A1Q=4sin𝜃2

,若P,Q分别在第一、第三象限,则θ的取值范围为(0,π3),∴△A1PQ的周长L=|A1Q|+|FQ|+|PF|+|PA1|=4sin𝜃2+2+2+2=6+4sin𝜃2.∵θ∈(0,π3),∴L=6+4sin𝜃2∈(6,8).21.解(1)∵T(0,t)(t>0)是抛物线C:x2=4y的

焦点,∴t=1.设直线l的方程为y=kx+1,由直线l与圆E相切,得2√1+𝑘2=1,即k=±√3,∴直线l的方程为y=±√3x+1.(2)设直线l的方程为y=kx+t,P(x0,y0),A(x1,y

1),B(x2,y2),由{𝑦=𝑘𝑥+𝑡,𝑥2=4𝑦,得x2-4kx-4t=0.则x1+x2=4k,x1x2=-4t,∴|PA|·|PB|=√1+𝑘2|x1-x0|·√1+𝑘2|x2-x0|=(1+k2)[x1x2-x0(x1+x2)+𝑥02]=(1+k2)[

𝑥02-4(kx0+t)]=(1+k2)|𝑥02-4y0|.由直线l与圆E相切,得|𝑡+1|√1+𝑘2=1,即1+k2=(t+1)2,由|TE|=t+1,|TE|2=|PA|·|PB|,得(1+k2)|𝑥02-4y0|=(t+1)2,∴𝑥02

-4y0=±1,又点P在抛物线下方,∴𝑥02-4y0=1,又𝑥02+(y0+1)2=1,解得y0=-3±2√2.由直线l与PE互相垂直,得k=-1𝑘𝑃𝐸=-𝑥0𝑦0+1,∵y0=kx0+t,∴t=y0-kx0

=y0+𝑥02𝑦0+1=𝑥02+𝑦02+𝑦0𝑦0+1=-𝑦0𝑦0+1.当y0=-3+2√2时,t=-𝑦0𝑦0+1=-(-3+2√2)-3+2√2+1=√2-12;当y0=-3-2√2时,t=-𝑦0𝑦0+1=-(-3-2√2)-3-2√2+1=-√2-12.∵t>

0,∴t的值为√2-12.22.解(1)由椭圆Γ:𝑥212+𝑦28=1的方程可知c2=a2-b2=12-8=4,所以c=2,即左焦点F1(-2,0),右焦点F2(2,0).因为P(0,t),若F1P⊥F2P,则𝐹1

𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝐹2𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,即(2,t)·(-2,t)=0,整理可得t2=4,所以t=±2,所以t的值为±2.(2)设A(x1,y1),因为𝐹1𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝐹2𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=7,由(1)可得(x1+2,y1)·(x1-2,y1)=7,所

以𝑥12-4+𝑦12=7,即𝑥12+𝑦12=11,①而𝑥1212+𝑦128=1,②由①②得,𝑥12+8·(1-𝑥1212)=11,∵x1>0,解得x1=3,y1=√2,所以直线AB的方程为y=√25(x+2),令x=0,可得y=2√25,即t的值为2√25.(3)易知直线A

B的斜率存在,设直线AB的方程为y=k(x+2),设A(x1,y1),B(x2,y2),联立直线与椭圆的方程,{𝑦=𝑘(𝑥+2),𝑥212+𝑦28=1,整理可得(2+3k2)x2+12k2x+12(k2-2)=0,可得x1+x2=-12𝑘22+3𝑘2,x1x

2=12(𝑘2-2)2+3𝑘2,设Q为(a,b),所以𝑄𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝑄𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(x1-a,y1-b)·(x2-a,y2-b)=(x1-a)(x2-a)+(kx1+2k-b)(kx2+2k-b)=(1+k2)x1x2+(2k2-bk-a)(x1+

x2)+4k2-4kb+b2+a2=(1+k2)12(𝑘2-2)2+3𝑘2+(2k2-bk-a)-12𝑘22+3𝑘2+4k2-4kb+b2+a2=(3𝑎2+3𝑏2+12𝑎-4)𝑘2-8𝑘𝑏+2(𝑎2

+𝑏2-12)2+3𝑘2=λ,则(3a2+3b2+12a-4-3λ)k2-8kb+2(a2+b2-12-λ)=0恒成立,则{3𝑎2+3𝑏2+12𝑎-4-3𝜆=0,8𝑏=0,𝑎2+𝑏2-12-𝜆=0

,解得a=-83,b=0,λ=-449,