【文档说明】湖南师范大学附属中学2020届高三上学期第五次月考数学（文）试题【精准解析】.doc，共(21)页，1.599 MB，由小赞的店铺上传

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湖南师大附中2020届高三月考试卷（五）数学（文科）一、选择题1.若i为虚数单位，复数z满足()11ziii+=−+，则z的虚部为（）A.212−B.212i+−C.122−D.21−【答案】C【解析】【分析】根据复数除法

的运算法则，即可求解。【详解】()()2i1212121222iizii+−++−===++，故z的虚部为122−.故选：C.【点睛】本题考查复数的代数运算，考查计算能力，属于基础题.2.设非空集合PQ，满足PQP=，则（）A.xQ，有xPB.xQ

，有xPC.0xQ，使得0xPD.0xP，使得0xP【答案】B【解析】【分析】根据交集运算结果判定集合关系，再结合Venn图判断元素与集合的关系即可．【详解】解：∵PQP=，∴PQ∴A错误；B

正确；C错误；D错误．故选B．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查子集的关系，属于基础题型.3.某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】分析：根据三视图还原几何体，利用勾股定理求出棱长，再利用勾股定理逆定理判断直角三角形的个数

.详解：由三视图可得四棱锥PABCD−，在四棱锥PABCD−中，2,2,2,1PDADCDAB====，由勾股定理可知：22,22,3,5PAPCPBBC====，则在四棱锥中，直角三角形有：,,PADPCDPAB共三个，故选C.

点睛：此题考查三视图相关知识，解题时可将简单几何体放在正方体或长方体中进行还原，分析线面、线线垂直关系，利用勾股定理求出每条棱长，进而可进行棱长、表面积、体积等相关问题的求解.4.若向量a与b满足()ab

a+⊥，且1a=，2b=，则向量a在b方向上的投影为（）A.3B.12−C.-1D.33【答案】B【解析】【分析】利用向量垂直的充要条件求得1ab=−，再由向量a在b方向上的投影的计算公式，即可求解，得到答案.【详解】利用向量垂直的充要条件有：()20a

baaab+=+=，∴1ab=−，则向量a在b方向上的投影为12abb=−,故选B.【点睛】本题主要考查了向量垂直的应用，以及向量的投影的计算问题，其中熟记向量垂直的充要条件和向量的投影的计算公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基

础题.5.已知数列na是首项为3，公差为d(d∈N*)的等差数列，若2019是该数列的一项，则公差d不可能是()A.2B.3C.4D.5【答案】D【解析】【分析】由题设得到()31nand=+−，再根据2019是该数列的一项得

到20161nd=+，由*dN求出结果【详解】由题设，()31nand=+−，2019是该数列的一项，即2019＝3＋(n－1)d，所以20161nd=+，因为*dN，所以d是2016的约数，故d不可能是5.故选D.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，推出不属于的情况，需要熟练运用公式

，较为基础．6.已知tan3=，则2212sincossincos+−的值是（）A.12B.12−C.2D.5【答案】C【解析】【分析】将221sincos=+代入所求代数式，化为sin,cos的齐次式，再转化为tan，即可求解.【详解】原式2222sincos2sincos

sincos++=−()()()2sincossinccosossin=+−+sincostan1312sincostan131+++====−−−.故选：C.【点睛】本题考查三角函数化简求值，化弦为切是解题的关键，属于基础题.7.若不等式222424

axaxxx+−+对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是（）A.(22)−，B.(2)(2)−−+，，C.(22]−，D.(2]−，【答案】C【解析】由题意，不等式222424axaxxx+−+，可化为2(2)2(2)40axax

−+−−，当20a−=，即2a=时，不等式恒成立，符合题意；当20a−时，要使不等式恒成立，需2)2204(44(2)0aaa−−=+−，解得22a−，综上所述，所以a的取值范围为(2,2]−，故选C

．8.在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，点O在底面ABCD中心，在正方体1111ABCDABCD−内随机取一点P则点P与点O距离大于1的概率为()A.12B.112−C.6D.16−【答案】B【解析】本题考查几何概型，空间几何体的体积，空间想象能力

.到点O的距离不大于1的点在以点O为球心，1为半径的半球内；其体积为31421;233=正方体体积为328;=则在正方体1111ABCDABCD−内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为2831.812−=−故选B9.已知实数x，y满足1xy+，则2zxy=−的最大

值为（）A.5B.4C.3D.2【答案】D【解析】【分析】换元，转化为线性规划求最值问题，做出可行域，即可求解.【详解】令xa=，yb=，则100abab+，且2zab=−.作可行域如图所示，平移直线l：2baz=−，当直线l过点(1,0)A时，直线l的纵截距最小，从而

z为最大，且max2102z=−=.故选：D.【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，以及求线性目标函数的最值，解题的关键是换元转化，属于中档题.10.若直线l：1ykx=+与双曲线C：2221xy−=的右支交于不同的

两点A、B，则实数k的取值范围是（）A.22k−−B.22k−C.22k−D.20k−【答案】A【解析】【分析】将直线方程与双曲线方程联立，消去y，得到关于x的一元二次方程，直线与双曲线右支有两交点，转化为方

程有两个正根，运用根的判别式结合韦达定理，即可求解.【详解】将直线1ykx=+代入双曲线方程，并整理得()222220kxkx−++=.依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故()()2222222202282042220220202kkkkkkkkkkk−=−−

−−−−−，故选：A.【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，用代数方法确定交点的位置，考查计算能力，属于中档题.11.在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，

若coscos23sin3sinBCAbcC+=，cos3sin2BB+=，则ac+的取值范围是（）A.3,32B.3,32C.3,32D.3,32【答案】B【解析】【分析】根据

已知结合正弦定理以及三角恒等变换，化简coscos23sin3sinBCAbcC+=求出b，由cos3sin2BB+=结合22sincos1BB+=，求得sin,cosBB，从而求出B的值，再由正弦定理将,ac结合,AC关系，转化为C（或A

）角的三角函数，注意求出角的范围，再用三角恒等变换求出范围.【详解】由coscos23sin3sinBCAbcC+=可得：coscossincossincossincBbCCBBCbcbC++=()sin23sinsin3sin

BCAbCC+==，∴32b=.13cos3sin2cossin22BBBB+=+2sin26B=+=，2663B+∴62B+=，3B=，1sinbB=，∴23AC+=，又2032CA=−，02A

，∴62A，2sinsinsinsin3acACAA+=+=+−33sincos3sin226AAA=+=+，∵62A，∴2363A+，∴33sin326A

+.故选B.【点睛】本题考查正弦定理边角互化，考查利用三角恒等变换，以及正弦函数的图像与性质的应用，解题中要注意角的范围，属于中档题.12.将函数f(x)＝ln(x＋1)(x≥0)的图像绕坐标原点逆时针方向旋转

角θ(θ∈(0，α])，得到曲线C，若对于每一个旋转角θ，曲线C都仍然是一个函数的图像，则α的最大值为()A.πB.π2C.π3D.π4【答案】D【解析】【分析】因为0x时，()11fxx=+在)0，＋是减函数且()0'1fx，当且仅当0x=时等号成立，故函数()(

)()10fxlnxx=+的图像的切线中，在0x=处切线的倾斜角最大，其值为4，由此可以求得答案【详解】函数()()()10fxlnxx=+的图像绕坐标原点逆时针方向连续旋转时，当且仅当其任意切

线都不经过y轴时，其图像都仍然是一个函数的图像.因为()11fxx=+在)0，＋是减函数且()0'1fx，当且仅当0x=时等号成立，故函数()()()10fxlnxx=+的图像的切线中，在0x=处切线的倾斜角最大，

其值为π4.由此可知π2max=－ππ44=.故选D.【点睛】本题主要考查了函数的概念和导数的几何意义，只需按照题意来求解，较为基础．二、填空题13.已知直线经过点()2,0A−，()5,3B−，则该直线的倾斜角为______.【答案】135【解析】【分析】根据斜率公式，即可求

解.【详解】由()2,0A−，()5,3B−，可得直线AB的斜率03125k−==−−+.设直线AB的倾斜角为()0180，则tan1=−，135=.故答案为：135.【点睛】本题考查斜率公式，以及斜率与倾斜角的关系，属于基础题.14.已知圆

锥的母线长为10cm，侧面积为260cm，则此圆锥的体积为3cm.【答案】96【解析】【分析】设圆锥的底面半径为r，根据题意计算出r的值，并计算出圆锥的高，再利用锥体的体积公式可得出所求圆锥的体积.【详解】设圆锥的底面半径为r，母线

长为10l=，侧面积为1060lrr==，得6r=，圆锥的高为22221068hlr=−=−=，因此圆锥的体积为2211689633rh==，故答案为96.【点睛】本题考查圆锥体积的计算，解题的关键就是求出圆锥的母线长与半径长，考查运算能力，属于基础题.15.在一次数学测试中，甲

、乙、丙、丁四位同学中只有一位同学得了满分，他们四位同学对话如下，甲：我没考满分；乙：丙考了满分；丙：丁考了满分；丁：我没考满分.其中只有一位同学说的是真话，据此，判断考满分的同学是__________．【答案】

甲【解析】如果甲说的是真话，则乙、丙、丁都是假话，此时丙与丁是矛盾的，所以不成立；如果乙说的是真话，则甲、丙、定都是假话，此时甲与丁是矛盾的，所以不成；如果丙说的是真话，则甲、乙、丁都是假话，此时甲与丙是矛盾的，所以不成立；所以只有丁说的是真话，此时甲、乙

、并都是假话，可推得甲得了满分，故考满分的同学是甲.点睛：合情推理主要包括归纳推理和类比推理.数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向.合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确.而演

绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下).16.已知数列na与nb满足*12()3nnabnN=+，若nb的前n项和为3(21)nnT=−且8(3)2nnabn−−+对一切*nN恒成立，则实数的取值范围

是_________.【答案】[4,)+【解析】依题设，当1n=时，113bT==；当2n时，1113(21)3(21)32nnnnnnbTT−−−=−=−−−=，又∵当1n=时，111332b−==，∴132nnb−=.∴122

nna−=+.∴8(3)2nnabn−−+等价于11(22)328(3)2nnn−−+−−+，即1(3)28(3)nn−−−，∴33162nn−−对一切*nN恒成立，令3()2nnfn−=，则123(1)()22nnnnfnfn+−−

+−=−11(2)2(3)422nnnnn++−−−−==，∴当4n时，(1)()fnfn+，当5n时，(1)()fnfn+，∴当4n=或5时，()fn取得最大值，∴max1()(4)16fnf==，∴311616−，∴4.三、解答题

17.某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300名学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）.（1）应收集

多少位女生的样本数据？（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：0,2，(2,4，(4,6，(6,8，(8,10，(10,12，估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；

（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的毎周平均体育运动时间与性别有关”.男生女生总计每周平均体育运动时间不超过

4小时每周平均体育运动时间超过4小时总计附：()()()()()22nadbcKabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++.()20PKk0.100.050.0100.0050k2.7063.8416.6357.879【答案】（1）90位；（2）0.75；（3）联表见解析

，有【解析】【分析】（1）按照女生占学生数的比例，即可求解；（2）根据直方图得出频率，即可求解；（3）算出列联表数据，利用独立性检验求解即可.【详解】（1）45003009015000=，∴应收集90位女生的样本数据.（2）由频率分布直方图可得()2

0.1500.1250.0750.0250.75+++=，∴该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率为0.75.（3）由（2）知，300位学生中有3000.75225=人每周平均体育运动时间超

过4小时，75人每周平均体育运动时间不超过4小时，又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：男生女生总计每周平均体育运动时间不超过4小时453075每周平均体育运动时间

超过4小16560225时总计21090300∴()223004560165304.7623.8412109075225K−=，∴有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.【点睛】本题考查频率分布直方图以及独立性检

验的应用，属于基础题.18.已知数列na的前n项的和为nS，且21nnSn=+−，其中*nN.（1）求数列na的通项公式；（2）若数列nb满足()21nnbna=−，求数列nb的前n项和nT.【答案】（1）112nna−=+；（2）()1122nn

Tn+=−+【解析】【分析】（1）根据数列的前n项与通项na的关系，即可求解；（2）由（1）结论，求出{}nb通项，根据通项特征采用错位相减法，求前n项和.【详解】（1）当1n=时，112112S=+−=，故12

a=.当2n时，1112nnnnaSS−−=−=+，且12a=符合上式，故数列na的通项公式为112nna−=+.（2）由题可知，()()12121212nnnnbnann−=−=+−=，则212222nnTn=+++①，231212222n

nTn+=+++②，①－②得：212222nnnTn+−=+++−，整理得：()1122nnTn+−=−−，则()1122nnTn+=−+.【点睛】本题考查由数列的前n项和求通项，以及错位相减法求数列的前n项和，考查计算能力，属

于中档题.19.如图，已知正方形ABCD的边长为2，AC与BD交于点O，将正方形ABCD沿对角线BD折起，得到三棱锥ABCD−.（1）求证：平面AOC⊥平面BCD；（2）若三棱锥ABCD−的体积为63，且AOC是钝角，求AC的长.【答案】（1）证明见

解析；（2）6【解析】【分析】（1）根据正方形的性质可得BDAO⊥，BDCO⊥，根据线面垂直的判定定理，可得BD⊥平面AOC，进而得到结论；（2）根据（1）中的垂直关系，求出AOCS的面积，进而求出AOC，再由余弦定理，即可求解.【详解】（1）∵四边形

ABCD是正方形，∴BDAO⊥，BDCO⊥.折起后仍有BDAO⊥，BDCO⊥，AOCOO=，,AOCO平面AOC，∴BD⊥平面AOC.∵BD平面BCD，∴平面AOC⊥平面BCD.（2）由（1）知B

D⊥平面AOC，∴13ABCDAOCVSBD−=，∴116sin323OAOCAOCBD=，即11622sin22323AOC=，∴3sin2AOC=.又∵AOC是钝角，∴120AOC=.在AOC

中，由余弦定理，得2222cosACOAOCOAOCAOC=+−()()2222222cos1206=+−=，∴6AC=.【点睛】本题考查面面垂直的证明，要注意空间垂直之间的转化，考查体积以及解三角形，属于中档题.20.已

知离心率为12的椭圆2222:1(0)xyCabab+=的右焦点与抛物线2:2(0)Eypxp=的焦点F重合，且点F到E的准线的距离为2.（1）求C的方程；（2）若直线l与C交于,MN两点，与E交于,AB两点，且4OAOB=−（O为坐标原点），求MNF面积

的最大值.【答案】(1)22143xy+=(2)max3()2MNFS=△【解析】【分析】(1)先求P,再列a,b,c的方程组求解即可（2）设l的方程为xmyn=+，与抛物线联立将4OAOB=-坐标化代入韦达定理解得n

=2，利用313||||22MNFSMFy=△≤即可求解；【详解】（1）因为点x到E的准线的距离为2，所以2p=，(1,0)F，由2221,1,2,ccaabc===+解得2,3,ab==所以C的方程为22143xy+=（2

）解法一.由（1）知抛物线E的方程为24yx=.要使直线l与抛物线E交于两点，则直线l的斜率不为0，可设l的方程为xmyn=+，由2,4,xmynyx=+=得2440ymyn−−=所以2(4)160mn=−+，得20mn+.设()()11

22,,,AxyBxy则12124,4,yymyyn+==−所以22222121212()16441616yyyynxxn====，因为4OAOB=-，所以12124xxyy+=−，所以244nn−=−，所以2n=，所以直线l的方程为2xmy=+，所以直线l过椭

圆C的右顶点(2,0)，不妨设(2,0)M33(,)Nxy，333y−≤≤，且3y0，所以313||||22MNFSMFy=△≤，当且仅当33y=时，max3()2MNFS=△.【点睛】本题考查椭圆方程，考查直线

过定点问题，考查面积问题，考查基本不等式求最值，注意计算的准确，是中档题21.已知函数()2lnfxaxx=+，其中aR.（1）讨论()fx的单调性；（2）当1a=时，证明：()21fxxx+−；（3）求证：对任意正整数n，都有222211111111234

en++++（其中2.7183e，为自然对数的底数）.【答案】（1）讨论见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求出()fx，按()0fx在定义域是

否恒成立分类讨论，不恒成立，求出()0fx，()0fx的解，即可求出结论；（2）要证()21fxxx+−，只需证ln10xx−+，令()ln1hxxx=−+，只要证max()0,(0,)hxx+，求导，求出极值最值，即可得证；（3

）由（2）得ln1xx−（当且仅当1x=时等号成立），令211xn=+，则2211ln1nn+，结合*211(2,)(1)nnNnnn−，累加再利用裂项相消法，对数运算，即可得出结论.【详解

】（1）函数()fx的定义域为()0,+，()22'2aaxxfxxx+=+=，①当0a时，()'0fx，所以()fx在()0,+上单调递增；②当0a时，令()'0fx=，解得：2ax=−，当02ax−时，()'0fx，所以(

)fx在0,2a−上单调递减，当2ax−时，()'0fx，所以()fx在,2a−+上单调递增.综上，当0a时，函数()fx在()0,+上单调递增；当0a时，函数()fx在0,2a−上单调递减，在,2a

−+上单调递增.（2）当1a=时，()2lnfxxx=+，要证明()21fxxx+−，即证ln1xx−，即ln10xx−+，设()ln1gxxx=−+，则()1'xgxx−=，令()'0gx=得，1x=.当()0,1x时，()'0gx，当()1,x+时，()

'0gx，所以1x=为极大值点，也为最大值点，所以()()10gxg=，即ln10xx−+，故()21fxxx+−.（3）由（2）得ln1xx−（当且仅当1x=时等号成立），令211xn=+，则2211ln1nn+，所以22

221111ln1ln1ln1ln1234n++++++++()2221111112312231nnn++++++−111111111ln12231ennn=−+−++

−=−=−，即22221111ln1111ln234en++++，所以222211111111234en++++

.【点睛】本题考查了函数的单调性，极值最值，恒成立问题，以及不等式的证明，运用了等价转化、分类讨论、化归思想，是导数中的综合题，属于较难题.22.在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

已知直线l的参数方程为33xtyt=+=（t为参数），曲线C的极坐标方程为2sin4cos=.（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）设直线l与曲线C交于,AB两点，点()3,0P，求PAPB+的值.【答案】（1）24,333y

xyx==−；（2）8103.【解析】【分析】（1）由cossinxy==代入曲线C的极坐标方程，即可求出普通方程，消去直线l的参数方程中的未知量t，即可得到直线的普通方程；（2）因为直线和曲线C有两个交点，所以根据直线的参数方程，建立一元二次方程根与系数，得出结

果．【详解】（1）由2sin4cos=得曲线的直角坐标方程为24yx=，直线的普通方程为333yx=−.(2)直线l的参数方程的标准形式为32()32txtyt=+=为参数代入24yx=，整理得：238480tt−−=,设,AB所对应的参

数为12,tt，则12128,163tttt+==−,所以128103tPBtAP−=+=.【点睛】本题考查参数方程和极坐标方程化为普通方程，直线与曲线有两个交点时的距离问题，是常考题型．23.已知函数f（x）＝|x+2|﹣2|x﹣1|．（1）解不等式

f（x）≤1；（2）若关于x的不等式f（x）＞ax只有一个正整数解，求实数a的取值范围．【答案】(1)不等式的解集为{3xx或13x};(2)13a.【解析】试题分析：（1）对x分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等

式组，再求并集即可得结果；（2）作出函数()()()()42,321,41.xxfxxxxx−−=−−+与yax=的图象，由图象可知当13a时，不等式只有一个正整数解1x=.试题解析：（1）当2x−时，41x−，解得5x，∴2x−；当21x

−时，31x，解得13x，∴123x−；当1x时，41x−+，解得3x，∴3x.综上，不等式的解集为|3xx或13x.（2）作出函数()()()()42,321,41.xxfxxxx

x−−=−−+与yax=的图象，由图象可知当13a时，不等式只有一个正整数解1x=，∴13a.