【文档说明】四川省南充市嘉陵第一中学2022-2023学年高二下学期期中理科数学试题 含解析.docx，共(21)页，1.787 MB，由小赞的店铺上传

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2022—2023学年高二下期期中考试理科数学试题考试范围：圆锥曲线、导数、选修4-4第一章坐标系考试时间：120分钟；总分：150分注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数12iz=+，212iz=−，则（）A.121zz+=B.1z的共轭复数为2zC.复数12zz对应的点位于第二象限D.复数12zz为纯虚数【答案】D【

解析】【分析】利用复数的模长公式可判断A选项；利用共轭复数的定义可判断B选项；利用复数的乘法以及复数的几何意义可判断C选项；利用复数的除法以及复数的概念可判断D选项.【详解】113iz+=+，22113110

z+=+=，()222125z=+−=，所以，121zz+，则A错误；1z的共轭复数为2i−，则12zz，故B错误；()()122i12i43izz=+−=−，复数12zz对应的点()4,3−，位于第四象限，故C错误；()()()(

)122i12i2i2i4i2i12i12i12i5zz+++++−====−−+为纯虚数，故D正确.故选：AD.2.下列函数中，既是定义域内单调递增函数，又是奇函数的为（）A.()tan=fxxB.(

)1fxx=−C.()cosfxxx=−D.()eexxfx−=−【答案】D【解析】【分析】求导，根据单调性和奇偶性的定义逐项分析.【详解】对于A，()tanfxx=为奇函数，是周期函数，在定义域内不单调，

不符合题意，不符合题意；对于()1B,fxx=−，定义域为()()()(),00,,fxfx−+−=−，所以()fx为奇函数，但在定义域内不单调，不符合题意；对于C，()()()()cos,coscosfxxxfxxxxxfx=−−=−−−=−−−，故函数()cosfxxx=−

不是奇函数，不符合题意；对于D，()'ee0xxfx−=+，是增函数，()()eexxxfxf−−==−−，是奇函数，满足题意；故选：D.3.若πsin3y=，则y=（）A.0B.12C.12−D.32【答案】A【解析】【分析】由常数的导数为0即可得解.【详解】∵π

3sin32y==，∴0y=.故选：A.4.设双曲线22221(0,0)xyabab−=的渐近线方程为43yx=，则此双曲线的离心率为（）A.53B.54C.43D.35【答案】A【解析】【分析】根

据渐近线方程求出a与b的关系即可.【详解】双曲线22221xyab−=的渐近线方程为：44,,33bbyxbaaa===，又2222222221625255,,9993ccabaaaeea=+=+====；故选：A.5.如图，方程10xy+−=表示的曲线是（）．A.B

.C.D.【答案】B【解析】【分析】分1y和1y，去掉绝对值，得到相应的曲线.【详解】10xy+−=，当1y时，10xy+−=，当1y时，10xy+−=，画出符合题意的曲线，为B选项，故选：B6.对于常数,mn，“0mn”是“方程221mxny+=曲线是椭圆”的

（）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】运用椭圆方程的一般形式求得m、n的范围，结合两集合的包含关系判断即可.的【详解】因为“方程221mxny+=的曲线是椭圆”，则00mnmn

，又因为000mnmnmn，但000mmnnmn¿，所以“0mn”是“方程221mxny+=的曲线是椭圆”的必要不充分条件.故选：B.7.已知(2,1)A−，(1,1)B−，O为坐标原点，动点P满足OPmOAnOB=+，其中m、Rn，

且2222mn−=，则动点P的轨迹是（）A.焦距为3的椭圆B.焦距为23的椭圆C.焦距为3的双曲线D.焦距为23的双曲线【答案】D【解析】【分析】动点(,)Pxy，由OPmOAnOB=+得到mxy=+，2nxy=+，进而得到222()(2)2

xyxy+−+=，化简可得答案.【详解】设动点(,)Pxy，因为点P满足OPmOAnOB=+，其中m、Rn，且2222mn−=，所以(,)(2,)xymnnm=−−，所以2xmn=−，ynm=−，所以mxy=+，2nxy=+，所以222()(

2)2xyxy+−+=，即2212xy−=，表示焦距为23的双曲线.故选：D8.已知函数()fx的导函数为()fx，且满足()()21lnfxxfx=+，则()1f=（）A.1B.12−C.1−D.e【答案】C【解析】【分析】在等

式()()21lnfxxfx=+求导，再令1x=，可得出关于()1f的等式，解之即可.【详解】在等式()()21lnfxxfx=+两边求导得()()121fxfx=+，所以，()()1211f

f=+，解得()11f=−.故选：C.9.已知函数()fx的导函数是()fx，对任意的xR，()1fx，若()11f−=，则()2fxx+的解集是（）A.()1,1−B.()1,−+C.(),1−−D.()1,+【答案】C【解析】【分析

】设()()2gxfxx=−−，求得()()1gxfx=−，根据题意得到()0gx，得到函数()gx单调递减，又由()11f−=，得到()10g−=，把()2fxx+，转化为()(1)gxg−，结合函数

()gx的单调性，即可求得不等式的解集.【详解】设函数()()2gxfxx=−−，可得()()1gxfx=−，因为()1fx，可得()()10gxfx=−，所以函数()gx单调递减，又因为()11f−=，可得()()111

20gf−=−+−=，由不等式()2fxx+，即为()(1)0gxg−=，所以1x−，即不等式()2fxx+的解集为(),1−−.故选：C.10.函数()fx的定义域为R，它的导函数()yfx=的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（）A.1x=是()fx的极小值点B.()()

21ff−−C.函数()fx在()1,1−上有极大值D.函数()fx有三个极值点【答案】B【解析】【分析】根据导函数与原函数的关系，结合极值点和极大值的定义逐一判断即可.【详解】当3x−时，()0fx¢>，()f

x单调递增，当31x−−时，()0fx，()fx单调递减，所以有()()21ff−−，因此选项B正确；当11x−时，()0fx¢>，()fx单调递增，所以()fx在()1,1−上没有极大值，因此选项C不正确；当

1x时，()0fx¢>，()fx单调递增，因此1x=不是()fx的极值点，只有当3x=−时，=1x−函数有极值点，所以选项A不正确，选项D不正确，故选：B11.:C22221xyab−=()0,0ab的右焦点为F，点P在

双曲线C上，若5PFa=，且120PFO=，其中O为坐标原点，则双曲线C的离心率为（）A.43B.53C.32D.2【答案】C【解析】【分析】根据已知判断P在双曲线右支上，根据双曲线的定义可得17PFa=.然后在1PFF中，根据余弦定理即可

得出,ac的齐次方程，然后得出离心率的方程，求解即可得出答案.【详解】设双曲线左焦点为1F，由已知可推得P在双曲线右支上，如图所示，根据双曲线的定义可知，12PFPFa−=，所以17PFa=.由已知，1120PFFP

FO==，在1PFF中，有17PFa=，5PFa=，12FFc=，由余弦定理可得，21112212cosPFFFFPFPFFPFF+=−，即2221492542522aacac=+−−，整理可得，2225120caca+−=，两边同

时除以2a可得，225120ee+−=，解得32e=或4e=−（舍去），所以32e=.故选：C.12.已知动点P在双曲线C：2213yx−=上，双曲线C的左、右焦点分别为1F，2F，则下列结论：①C的离心率为2；②C的焦点弦最短为6；③动点P到两条渐近线的距离之积为定值；④当动点P

在双曲线C的左支上时，122PFPF的最大值为14．其中正确的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【解析】【分析】①由性质可得；②用特殊值可判定；③设点坐标计算化简即可，④利用双曲线的焦半径办公计算即可.详解】由题意可得421e==

，即①正确；显然当双曲线的焦点弦过左、右焦点时，该弦长为实轴，长度为2＜6，即②错误；【易知双曲线的渐近线方程为3yx=，设点()00,Pxy，则220033xy−=，且到两条双曲线的距离之积为2200000033332244xyxyxy−+−==

是定值，故③正确；对于④，先推下双曲线的焦半径公式：对双曲线22221xyab−=上任意一点()00,Pxy及双曲线的左右焦点()()12,0,0FcFc−、，则()()22222222010000002212xcPFxcyx

cbxcxaaexaa=++=++−=++=+，同理20PFaex=−，所以1020,PFaexPFaex=+=−，此即为双曲线的焦半径公式.设点()00,Pxy()01x−，由双曲线的焦半径公式可得100201212,12PFxxPFx=+=−−=−，故()210220002

12112121212PFxxxxPF+=−=−−−−，其中0123x−，则0110,123x−，由二次函数的性质可得其最大值为18，当且仅当011124x=−，即01.5x=−时取得，故④错误；综上正确的是①③两个.故选：B第II卷（非选择题）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.动点P到两定点A(－4，0)、B(4，0)距离之和为10，则点P的轨迹方程为________．【答案】221259xy+=．【解析】【分析】利用定义法求点P的轨迹方程.【详解】解：因为108P

APBAB+==，由椭圆的定义可知，动点P的轨迹是以()2,0A−，()2,0B为焦点，长轴长为10的椭圆，所以4,5ca==，2229bac=−=，所以点P的轨迹方程是221259xy+=.故答案为：221259xy+=14.若函数()l

nfxxax=−的图象在()()1,1f处的切线斜率为12，则实数=a__________.【答案】12##0.5【解析】【分析】求出函数()fx的导数，再利用导数的几何意义及直线斜率的定义可求【详解】因为()l

nfxxax=−，所以()1fxax=−，所以()fx在1x=处的切线斜率()1112kfa==−=，解得12a=．故答案为：12．15.已知抛物线C：28xy=的焦点为F，设点M在抛物线C上，若以线段FM为直径的圆过点()1,0，则FM=__

____.【答案】52【解析】【分析】根据直径所对的圆周角为直角可得AMAF⊥，进而得斜率关系，联立直线与抛物线的方程即可得交点12,2M，由焦半径公式即可求解.【详解】因为28p=，所以4p=，焦点F的坐标为()0,2F.设()1,0A，则直线AF

的斜率为2−，因为以线段FM为直径的圆过点A，所以AMAF⊥，所以直线AM的斜率为12，直线AM的方程为()112yx=−联立()211,28,yxxy=−=解得12,2M，152222MpFM+=+==y,故答案为：5216.已知球

O的半径为2，四棱锥的顶点均在球O的球面上，当该四棱锥的体积最大时，其高为______【答案】83##223【解析】【分析】根据圆的几何性质、球的几何性质，结合导数的性质、棱锥的体积公式进行求解即可.【详解】圆内接四边形是正方形时，这个四边形的面积最大，当四棱锥的高

经过O点时，此时体积最大，如图所示：设此时正方形的边长为2a，所以()()2212222VZaaa=+=，设该四棱锥的高为()24PZhh=，所以有2OZh=−，由勾股定理可得：()22222224OZVZOVha+=−+=，该四棱

锥体积为()()()22321222424333ahhhhh=−−=−−，设()()()32284233fhhhfhhh=−−=−−，当823h时，()()0,fhfh单调递增，当843h时

，()()0,fhfh单调递减，的所以当83h=时，函数()fh有最大值.故答案为：83.【点睛】关键点睛：根据导数的性质是解题的关键.三、解答题：本题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.17.求适合下列条件的曲线的标准方程.（1）实轴长为8，焦点坐标为()0,5，求双曲线的标准方程；（2）焦点在x轴正半轴上，且焦点到准线的距离是2的抛物线的标准方程.【答案】（1）221169yx−=（2）24yx=【解析】【分析】（

1）由实轴长得到a，由焦点坐标得到焦点位置和c，再由222bca=−，即可求出双曲线的标准方程；（2）由抛物线标准方程相关概念求解即可.【小问1详解】∵双曲线的一个焦点坐标为()0,5，为y轴上一点，∴设双曲线标准方程22221y

xab−=（0a，0b），且5c=，又∵双曲线实轴长为8，∴28a=，4a=，∴22225169bca=−=−=，∴双曲线的标准方程为221169yx−=.【小问2详解】∵抛物线焦点在x轴正半轴上，∴设抛物线的标准方程为22ypx=（0p），又∵抛物线焦点到准线的距离是2，∴2p=，

为∴抛物线的标准方程为24yx=.18.已知函数()322331fxxaxbx=+++且在12xx==及处取得极值.（1）求a，b值；（2）求函数()yfx=在03，的最大值与最小值.【答案】（1）34ab=−=，（2）()()maxmin101fxf

x==，【解析】【分析】（1）利用()()''10,20ff==来求得,ab的值.（2）结合（1）求得()fx在区间0,3上的最值，由此确定正确结论.【小问1详解】()'2663fxxaxb=++，依题意()()16630

2241230fabfab=++==++=，解得3,4ab=−=.()()()'261812612fxxxxx=−+=−−，所以()fx在区间()(),1,2,−+上()()'0,fxfx递增；在区间()1,2上()()'0,fxfx

递减.所以()fx在1x=处取得极大值，在2x=处取得极小值，符合题意.【小问2详解】()3229121fxxxx−+=+，()()()()01,16,25,310ffff====，由（1）知，()fx在区间0,3上的最大值

为10，最小值为1.19.如图1所示，在边长为3的正方形ABCD中，将ADC△沿AC折到APC△的位置，使得平面APC⊥平面ABC，得到图2所示的三棱锥−PABC．点,,EFG分别在,,PAPBPC上，且2AEEP=，2PFFB=，2PGGC=

．记平面EFG与平面ABC的交线为l．的（1）在图2中画出交线l，保留作图痕迹，并写出画法．（2）求二面角AFGE−−的余弦值．【答案】（1）答案见解析（2）133399【解析】【分析】（1）利用公理3，通过找出两

平面的两个公共点即可求出结果；（2）建立空间直角坐系，求出平面AFG与平面EFG的法向量，再利用空间向量的面面公式及图形即可求出结果.【小问1详解】作图步骤：如图所示，延长EF，AB交于点M，延长AC，EG交于点N，连接MN，则直线MN即为交线l

．保留作图痕迹且正确．【小问2详解】四边形ABCD是长为3的正方形，取AC中点O，连接,OPOB，则OBAC⊥，OPAC⊥，又平面APC⊥平面ABC，平面APC平面ABCAC=，OP平面APC，所以OP⊥平面ABC，又OB平面ABC，所

以OPOB⊥，故可建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz−，则32,0,02A，2,0,22E，20,2,2F，22,0,2G−，所以322,2,22FA=−

−，()2,2,0FG=−−，22,2,22FE=−．设平面AFG与平面EFG的法向量分别为()1111,,nxyz=，()2222,,nxyz=，则由1100FAnFGn==，得到1111132220

22220xyzxy−−=−−=，不妨设11x=，则111,5yz=−=，所以()11,1,5n=−，由2200FEnFGn==，得到22222222022220xyzxy−+=−−=，取21x=，则221,3yz=−=−，所以(

)21,1,3n=−−，所以121212131333cos,993311nnnnnn−===−．由图知，二面角AFGE−−为锐二面角，故二面角AFGE−−的余弦值为133399．20.已知椭圆2222:1xyTab+=的离心率为32，直

线:20lxy−=，左焦点F到直线l的距离为305．（1）求椭圆T的标准方程；（2）直线:20lxy−=与椭圆T相交于A，B两点．C，D是椭圆T上异于A，B的任意两点，且直线AC，BC，AD，BD的斜率都存在．直线AC，BD相交于点M，直

线AD，BC相交于点N．设直线AC，BC的斜率为1k，2k．①求12kk的值；②求直线MN的斜率．【答案】（1）22182xy+=（2）①14−；②12−【解析】【分析】（1）由距离公式求出c，再由离心率求出a，即可

求出b，从而得解；（2）首先求出A，B两点坐标，①设()00,Cxy，利用斜率公式计算可得；②设BD，AD的斜率分别为3k，4k，设直线AC的方程为()112ykx−=−，直线BD的方程为()312ykx+=+，即可求出M点坐标，同理求出N点坐标，再由斜率公

式计算即可得解.【小问1详解】因为32cea==，所以2243ca=，又左焦点(),0Fc−到直线:20lxy−=的距离为305，有3055c−=，解得6c=或6c=−（舍去），所以22a=，222bac=−=，椭圆方程为22182xy+=．【小问2详解】由（1）知，椭圆T的方程为221

82xy+=，由2220182xyxy−=+=，解得21xy==或21xy=−=−，所以()2,1A，()2,1B−−．①CA，CB斜率都存在，即1k，2k存在．设()00,Cxy，显

然12kk，且2200182xy+=，从而2200200012222000002111811114224444xxyyykkxxxxx−−−−+−=====−−+−−−．②设BD，AD的斜率分别为3k，4k，设直线AC的方程为()11

2ykx−=−，直线BD的方程为()312ykx+=+．由()()131212ykxykx−=−+=+，解得313113131222241kkxkkkkkykk−−=−−=+−，从而点M的坐标为31131313122224,1k

kkkkkkkk−−−+−−，因为3414kk=−，1214kk=−，设直线AD的方程为()412ykx−=−，即()31124yxk−=−−，设直线BC的方程为()212ykx+=+，即

()11124yxk+=−+，用314k−代1k，114k−代3k得点N的坐标为133311313222124444,111114444kkkkkkkkk++−−+−+−+，即点N的坐标为13311133

182221,1kkkkkkkkk++++−−，所以13311331411282MNMNMNkkyykkkkkxxkk−−−−===−+−−．21.已知函数()22lnfxxxx=+．（1）求()fx的极值；（2）若不等式()2exfxxmx+在

1,e+上恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）极小值31e2−−，无极大值.（2）21,e−−【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极值；（2）

参变分离可得对任意的1,ex+，2lnexxxxxm−+恒成立，令()2lnexxxxxhx−+=，1,ex+，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最小值，即可得解.【小问1详解】函数()22lnfxxxx=+的定

义域为()0,+，又()()2ln22ln3fxxxxxxx=++=+，令()0fx得320ex−，令()0fx¢>得32ex−，所以()fx在320,e−上单调递减，在32e,−+上单调递增，所以(

)fx在32ex−=处取得极小值3321ee2f−−=−，无极大值.【小问2详解】由()2exfxxmx+得2lnexxxxxm−+，即对任意的1,ex+，2lnexxxxxm−+恒成立，令()2l

nexxxxxhx−+=，1,ex+，则()()()1ln2exxxxhx−−+=，令()ln2xxx=−+，则()1xxx−=，所以当11ex时()0x，当1x时()0x，所以()x在

1,1e上单调递增，在()1,+上单调递减，又1110ee=−，()110=，()22e4e0=−，所以当1,ex+时()x在()21,e内存在唯一的零点0x，所以当1,1ex时()0x，()0hx，()hx

单调递增，当()01,xx时()0x，()0hx，()hx单调递减，当()0,xx+时()0x，()0hx，()hx单调递增，所以()()0min1,ehxhxh=，

12e1eeh−−=−，因为()000ln20xxx=−+=，所以00ln11xx−+=−，020exx−=，所以()()00000220000000002ln1lne1eeeeexxxxxxxxxxxxxhx−−+

−+−−=====−，因为e122ee−−−−−，所以()01ehhx，所以()()02min1ehxhx==−，所以实数m的取值范围为21,e−−.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立

问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.2

2.已知曲线C的极坐标方程为24cos3=−，A，B是曲线C上不同的两点，且2OAOB=，其中O为极点.（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）求点B的极径.【答案】（1）()2221xy−+=；（2）62.【解析】【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的互化即可求得曲线C的直角坐标方程；

（2）利用题给条件列方程组即可求得点B的极径.【小问1详解】由222xy=+，cosx=，得：2243+=−xyx，所以曲线C的直角坐标方程为()2221xy−+=；【小问2详解】设(),,0B，则由题

意可知()2,A，将A，B坐标代入方程24cos3=−得：2248cos34cos3=−=−，∴22423−=，得62=(负值舍去)，∴B的极径为62.23.在直角坐标系xOy中，曲线M的方程为24yxx=−+

，曲线N的方程为9xy=，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线M，N的极坐标方程；（2）若射线00π:(0,0)2l=与曲线M交于点A（异于极点），与曲线N交于点B，且|||

|12OAOB=，求0．【答案】（1）π4cos02=；2sin218=（2）π4【解析】【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解曲线M和N的极坐标方程；（2）将0=代入曲线M和N的方程，求得018|

|sin2OB==和0||4cosOA==，结合题意求得0tan1=，即可求解.【小问1详解】解：由24yxx=−+，可得224(0)yxxy=−+，即224(04,0)xyxxy+=，又由cossinxy==，可得2π4cos(0)2

=，所以曲线M的极坐标方程为π4cos02=．由9xy=，可得2cossin9=，即2sin218=，即曲线N的极坐标方程为2sin218=.【小问2详解】解：将0=代入2sin218=，可得018

||sin2OB==，将0=代入4cos=，可得0||4cosOA==，则012||||tanOAOB=，因为||||12OAOB=，所以0tan1=，获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.co

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